2022年广东省佛山市顺德区高考数学三模试卷（附答案详解）.pdf

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1、2022年广东省佛山市顺德区高考数学三模试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.已知集合4=(x,y)|%2+y2=4,B=(x,y)|x+y=1 ,则4 ClB的元素个数是()A.0 B.1C.2D.42.i是虚数单位，复 数 言 的 虚 部 为()A.l+2i B.2C.2iD.-2 i3.已知tana=2,则COS2Q=()A._1R _35 5c -J 5D.+士-54.箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚阿涅西的深入研究而闻名于世.如图所示,过原点的动直线交定圆好+y2-ay=0(a 0)于点P,交直线y a 于点Q,过P和Q分别作无轴和y轴的平行线交于点M,则点M的轨迹

2、叫做箕舌线.记箕舌线函数为/(x),设N40Q=。，下列说法正确的是()A.f(x)是奇函数 B.点”的横坐标为X”=就C.点M的纵坐标为y”=acos26 D./(%)的值域是(-8,15.已知公比为q的等比数列 与的前n项和%=c+2 q”,n N*,且S3=1 4,则a4=()A.48 B.32 C.16 D.86.已知点4(-2,0),直线”与圆。：/+丫 2-6%=0相切于点，则 前.炉 的 值 为()A.-15 B.-9 C.9 D.157.已知四棱锥P-4B C D 中，底面4BCD是边长为4的正方形，平面248 1平面4BCD,且APAB为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积

3、为()A 28 D 112 _ c 256A.-Tt B.不-兀 C.32TT D.w 兀8.高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若zN（R 2）,令丫=一，则yN（O,I）,且P（Z a）=P（Y 1）=（）参考数据：若yN（0,l）,则P（y -n 0B.曲线C可能是圆C.若nrn 0,则曲线C一定是双曲线D.若C为双曲线，则渐近线方程为y=笔x11.已知0 b a l,则下列不等式成立的是（）A.logab 1 C.alnb blnb1 2.如图，若正方体的棱长为2,点M是正方体4BC0-481C1D 1在侧面BCQB 上

4、的一个动点（含边界），点P是 的 中 点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥P-ODiM的体积为定值B.若PM=V 5,则点M在侧面BCC1B 运动路径的长度为27r第2页，共21页C.若D 1 M 1 DP,则 的 最 大 值 为2近D.若D iM L DP,则4M的最小值为?三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .曲线y =1+2 x在点(0,1)处 的 切 线 方 程 为.14.已知函数/=2丫 +a 2 r的图象关于原点对称，若f(2 x -1)|,则x的取值范围为.15 .已知椭圆C：”=1,居、尸2为C的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则AF i P F?25 16内

5、切 圆 半 径 的 最 大 值 为.16.某挑战游戏经过大量实验，对每一道试题设置相应的难度，根据需要，电脑系统自动调出相应难度的试题给挑战者挑战，现将试题难度近似当做挑战成功的概率.已知某挑战者第一次挑战成功的概率为|,从第二次挑战开始，若前一次挑战成功，则下一次挑战成功的概率为点若前一次挑战失败，则下一次挑战成功的概率为|记第n次挑战成功的概率为4.则P2=；Pn=.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17 .为了调查高一年级选科意愿，某学校随机抽取该校10 0名高一学生进行调查，拟选报物理和历史的人数统计如表:物理(人)历史(人)男5 05女2 52 0(I )能否有9 9%的

6、把提认为选科与性别有关？(n)若用样本频率作为概率的估计值，在该校高一学生中任选3人，记f为三人中选物理的人数，求 的分布列和数学期望.附.K2 =_ nd-bc_J*(a+d)(c+d)(a+c)(d+d)*P g k)0.0 5 00.0 100.0 0 1k3.8 416.63 510.8 2 818.设AABC的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,已知bs讥A+WacosB=0,ABC的平分线交AC于点。，旦BD=2.(1)求8；(n)若。=3,求b.19.如图，在三棱锥P-4BC1中，PA 1 PC,AB 1 A C,平面P4C _L平面ABC,AC=2PA=4.(I)证明：PB1

7、PC；(H)若三棱锥P-ABC的体积为|四，求二面角P-B C-4的余弦值.第4页，共21页20.设各项非零的数列国少的前n项和记为%，记=Si-S2-S3.S,且满足2S%-Sn 2Tn=0.(i)求匚的值，证明数列 为等差数列并求 rn的通项公式；(口)设。=与 尹，求数列%的前n项和Kn.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点4(一 1,0),5(1,0),动点M(x,y)与点N关于原点。对称，四边形M4NB的周长为8,记点M的轨迹为曲线C.(1)求6 7的方程；(口)过点8(1,0)且斜率不为零的直线交曲线C与P,Q两点，过点Q作x轴的平行线QR交直线x=4于R,试问：直线PR是否过定

8、点，如果是，求出这个定点；如果不是，说明理由.已知函数/(无)=ln(x+l)-?-1,其中x 0,a&R.(I)讨论/0)的单调性；(U)当a=2时，是f(x)的零点，过点AQoJ nQo+1)作曲线y=ln(x+1)的切线试证明直线 也是曲线y=e i的切线.第6页，共21页答案和解析1 .【答案】c【解析】解：集合4 =。,/优 2 +、2 =4 表示以(0,0)为圆心，2 为半径的圆上的所有点，集合B =(x,y)|%+y=1 表示直线+y-1 =0 上所有点，圆心(0,0)到直线 +y-1 =0 的距离d =曰 2，二直线x +y-1 =0 与圆/+y2 =4 相交，4 C8的元素个

9、数为2.故选：C.依据直线与圆的位置关系去判断A n B 的元素的个数.本题考查集合的运算，考查交集定义、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .【答案】B,缶巩土二 3+i _ (3+i)(l+i)_ 2+4i _ .【解析】解：口 一 而 诉 一 十 一 l +2 i，则复数二 的虚部为：2.1-1故选：B.直接由复数代数形式的乘除运算化简复数言，则答案可求.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3 .【答案】B【解析】解：因为t a n a =2,所以C O S 2 a =c o s Z s iM a =1-ta M a =上空=一 三

10、、co 5 za -cos2+sin2a _ 1+tan2a 1+22-s故选：B.由已知利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解.本题考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.4.【答案】C【解析】解：连接4 P,则2P 10P,2圆 式 2+y2 Qy=o(Q 0)的标准方程为%2 4-(y )2=y,该圆的直径为Q,设点Q(&,a),当点Q不与点4 重合时，直线OQ的方程为y=(y=x 3联立+y2 _ Qy=0,斛得J=4+标，(VW O当点Q与点4重合时，点4 的坐标也满足方程y=悬,所以f(汽)=2,八 J x2+a2对任意的

11、 ER,x2+a2 0,即函数f(x)的定义域为R,V 八/(%J)=-匕7=2 2=f (%)，(-x)2+a2 x2+a2 J 故函数f(%)为偶函数，A错；当点Q在第一象限时,xQ=xM f因为詈=如 血 此时和=a 九仇B错；当点Q不与点4重合时，yp=yM 因为|OP|=acosO,则yp=yM=OPcosO=acos20f当点Q与点4重合时，点P也与点4重合，此时6=0,点P的纵坐标也满足yp=acos20,综上所述，点M的纵坐标为VM=acos?。，。对；对于D选项，.2+。2202,所以，/(X)=(0,0,故。错.故选：C.连接4 P,则4 P 1 0 P,设点Q(g,a),

12、联立直线OQ和圆的方程，求出点Q的纵坐标，可第8页，共21页得出函数尸(X)的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断4选项；求出函数X)的值域可判断D选项；求出点M的横坐标与纵坐标，可判断B C选项.本题属新概念题，考查了函数的奇偶性、值域，关键点是求出函数的解析式，属于中档题.5.【答案】C【解析】解：因为公比为q的等比数列 an的前找项和%=c+2 q,根据等比数列和的特点可知c=-2,Sn=2 qn-2,所以 S 3 =2 q 3 2 =1 4,则q =2,%=2,则&4 =24=1 6.故选：C.由已知结合等比数列和公式特点先求出c,然后结合S 3 =1 4求出q及的,再由等比数列通项公式

13、可求.本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题.6.【答案】B【解析】解：由 久2+丫2-6%=0,贝1(%-3)2+)/2 =9,又4 c =5,C P=3,则 c os/P C A =I，则 前-C P=AC C P|c os(7 r -N P G 4)=5 x 3 x(-1)=-9,故 选:B.由平面向量数量积运算求解即可.本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属基础题.7.【答案】B(解析 解：四棱锥P -AB C D中,底面4 B C D是边长为4的正方形，平面P 4 B 1平面力B C D,且4 P 4 B为等边三角形，由题意知：AC=V 42+42

14、=4y1 3所以 A M =2 V 2.由于A B =4,所以A H =2；所以 P H =2/3，所以KH=23,点。为外接球的球心，所以4 0=J(2近 尸+(竽 尸=后=后，故S球=人 (后)2 =等 故选：B.首先根据题意求出球心的位置，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积.本题考查的知识要点：四棱锥体和球体的关系，球的半径的求法，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.8.【答案】A【解析】解：P(Z 5 2 0)=P(Y -)=P(Y 5 2 0)=1 -P(Z 1)=1 -P(t =0)=1 -O.9 3 3 23 0 0.8 7 4 3.故选：

15、力.根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，即可求解.第 10页，共 21页本题主要考查正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，属于基础题.9.【答案】AC D【解析】解：/(x)=sin2 x+cos2 x=V 2 s i n(2 x +),函数/(x)的周期为7 =手=n，A正确；函数/(x)的最大值为近，B不正确：?申，贝 拉+注 冶 木，则/(%)在 上 单 调 递 增，c正确；o o 4 4 4 o O/(y)=V 2 s i n 7 T =0,/)正确；故选：AC D.根据题意得/=V 2 s i n(2 x +力，显然最大值为旧代入7 =号计算周期：x e

16、一手,自，则2 x+?e -葭 结合正弦函数判断单调性；直接代入计算/第 判断零点.本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题.1 0.【答案】B D2 2【解析】解：因为曲线C的方程为匕一=1,m n对于4曲线C为焦点在X轴上的椭圆，则工+=1,即nm0,故A错误；-n m对于8:当7 7 2 =九 0时曲线C表示圆，故3正确；对于C：若m=-n=l,满足nmVO,曲线C为2+y 2 =i,表示圆，故c错误；2 2对于D：若-1为双曲线，则 0,m n当时，?-9=1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为、=4，当时，三-止=1表示焦点在X轴上的双曲线，其渐近线方程为y

17、=户,故。正确；故选：B D.根据各选项及曲线的特征一一判断即可.本题考查了双曲线和椭圆的性质，属于中档题.11.【答案】BC【解析】解：对于力，logab-logfca=Igb _ Iga _ l g 2 b i g 2 a _(2 g b T g a)(2 g b+l g a)Iga Igb IgalgbIgalgb由0 V b V a V 1,得Lgb Iga logaa,故 A 错误;选项8,由O V a V l,可得y=log。%为(0,+oo)上是减函数，又O V b V a,则logab logaQ=1,故 B 正确；对于C,由0 a V l,可知y=谟为R上减函数，又b 於，由

18、a 0,可知y=久0为(0,+8)上增函数,又b a,则b。ba9又y=为(0,+8)上增函数，贝 血 戒 Inb。,则a匕 bbia.故C正确;对于D,令a=2，b=j/JiJO b a 1,e eL11 I 11 2alna=-In-=,blnb=-I n-=r,e e e eL则a a blnb=-+-=芍 0,即出na 1【解析】解：因为;(%)=2*+a 2 r 的图象关于原点对称且定义域为R,所以/(0)=1+a=0,所以a=-l,f(x)=2-2 在R上单调递增,由f (2X-1)|=f (1)得2x-1 1,所以x 1.故答案为：x|x 1).由已知结合函数的单调性及奇偶性即可

19、求解.本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在求解不等式中的应用，属于基础题.15.【答案】|第1 4页，共2 1页【解析】解：由题可得a =5,b =4,则c =3,所以尸亡员的周长 C =l&P|+PF2 +F1F2 =2 a+2 c=1 6,因为&PF 2 内切圆半径r =也 则4&PF 2 内切圆半径最大即S最大，显然当点P 为短轴顶点时，S最大，即r 最大，止 匕 时 S=x 2 c =b e =1 2,则r =三工=J1 6 2故答案为：|.根据椭圆定义可得居PF 2 的周长C =FrP+PF2 +F1F2 =2 a+2 c,结合内切圆半径=微，显然当点P 为短轴顶点时.，S最大，即r

20、 最大，此时5 =：6*2 =乩，代入求解即可.本题考查椭圆的性质，考查三角形内切圆半径的最值求解，属于中档题.1 6.【答案】+心1,n e/V*【解析】解：表示第2次挑战成功的概率，则可能为第一次挑战成功，第二次挑战成功，或第一次挑战失败，第二次挑战成功，所以 P 2=|x!x|=g,设第九一 1次挑战成功的概率为分-i(n 2),则%=Pn _ i x +(1 Pn_】)x|=-i pn_1+|(n 2),整 理 得 产 r =一也3 J J 3 Pn-12 3又 P l-J=31 2 3 2 6所以是以 为首项，一 为公比的等比数列，所以=吁1,则4=；+：x(_ g n T,nN*,

21、Z o 5 Z o 5故答案为：g；5+x(：)九 一 1,n E N*.y z o s结合题意分析计算，即可求得P2的值；由题意B=Pn-l X 5+(1-Pn-l)x|=整 理 得 立 之=一 根据等比数列的定义及通项公式，即可得答65Pn-1-2 案.本题主要考查了独立事件的概率公式，考查了等比数列的通项公式，综合性强，考查分析理解，计算求值的能力，属于中档题.17.【答案】解：(I)由表中数据可知，K2=100 x(50 x225x5)2 16,498.7 5X 25X 55X 45因为16.498 6.635,故而有99%的把握认为选科与性别有关；(n)依题意可知选该校高一学生选物理

22、的频率为誓=f的所有可能取值为0,1,2,3,又P铉=。)=(/3 =5=1)=C虻)2 =专P G=2)=C犯)2(3=g,P铉=3)=(=g,f的分布列如下:0123p16496427642764由题意可知，f8(3,手，所以f的期望是E(n =3 x：=：.【解析】(I)根据表格代入公式片=、*歌?：、,结合题意与临界值6.635比较;(a+D)(c+d)(a+c)(D+a)(II)由题意可得 B(3分,结 合 二 项 分 布=k)=C tp k(l-p)n-k,k=0,1,E(f)=zip计算分布列和期望.本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.18.【答案】解：(I)由正

23、弦定理得bsim4=asinB,所以 asinB+遍 acosB=0,解得 CcmB=V3,因为。8 兀，所以8=拳(n)因为 acsiTig=1a.8D sing+gc.BD sing,所以 QC=2a+2c,因为Q=3,所以c=6,所以加=a2 4-c2-2accosB=32+62 2 x 3 x 6 x cos=63,第16页，共21页所以b=3夕.【解析】（/）由已知可得tanB=-W，可求B；（）由己知可得ac=2a+2 c,可求c,由余弦定理可求b.本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，属中档题.19.【答案】（I）证明：因为

24、平面PAC J 平 面ABC,AB 1 AC,平面PACn平面4BC=4C,4B u平面4BC,所以4B _L平面P4C,因为PCu平面P 4 C,所以4BJ.PC,又因为PC_LPA,PAnAB=A,所以PC1平面P 4 B,从而PB J.PC；（口）解：过点P在平面P4C内作PD 1 AC交4C于D,因为平面PAC J平面A 8 C,平面P4C CI平面ABC=4C,PD LAC,PO u 平面P4C,PD，平面NBC,因为PD 1平面4BC,因为AC=2PA=4,PA 1 P C,则PC=7AC2-P/P=2次,由等面积法可得PC=第=次，ACAD=JPA2-PD2=l.CD=AC-AD

25、=3，因为-ABC=：G AC 4B）PD=W，所以4B=4,又因为4B J./1C,以点。为坐标原点，AB,D C,前 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,V5)、B(4,-l,0)、C(0,3,0),PF=(4,-1,-V3),PC=(0,3,-V3).设平面PBC的一个法向量为有=(x,y,z),(n-PB=4%y-V3z=0则一 一 v(n-PC =3 y V3z=0取z=遮，则元=(14,V3)，易知平面ABC的一个法向量为沆=(0,0,1),cos(沆，元 =-=诉=k,由图可知，二面角P-B C-4为锐角,故二面角P-BC-4的余弦值为手

26、.【解析】(I)利用面面垂直的性质可得出AB1平面P 4 C,可得出P O 1 B,利用已知条件结合线面垂直的判定定理可得出PC，平面PAB,再利用线面垂直的性质可证得结论成立；(H)过点P在平面PAC内作PD 14C交4c于0,利用等面积法计算出P D,证明出。_1 _平面ABC,利用雉体的体积公式可求出4B的长，然后以点。为坐标原点，同、DC.前的方向分别为x,y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，可以空间向量法可求得二面角P-B C-4的余弦值.本题考查了空间中的垂直关系的证明以及二面角的求解计算，属于中档题.2 0.【答案】解：(I)由定义可知，7=Si=&H 0,且2号一 37=0,解

27、 得=|或A=0(不合，舍去)，又当nN 2时，Sn=,所以有2 x x 7；白 2几=0,2n-i;n-i化简得及-1=*所以数列U“是以|为首项，以3为公差的等差数列，所以”=|+(n-1)x|=1n+1；(n)由题设可知%=鬻=1+系，当n=1时，%=S=|,当n 2时,an=Sn Sn-i=(1 H )(1+-)=,:、,n n k v n+lz、nz n+1 n n(n+l)c=3 =卜”=1,n ncLn I(l)n(n 4-l),n 2,n 6 A f*所以，当九是奇数时，Kn=-：+3+4 5+6+一(zi-2)+(九一1)九+(n+Y、I 2,3 7 1 1 3 71-71)

28、=-7O Z+1 X O=:第18页，共21页当ri 是偶数时，K 九=一|+-3 +4 5 +6-(n -1)+n (n +1)=-1 4-1 x一 _ 何 +1)=干.(咚九 为奇数综上所述，Kn=AB,所以点M的轨迹为椭圆(去掉长轴两端点)，设其方程为今+与=l(a b 0),a2 b2其中半焦距c =1,a=2,所以b =yja2 c2=V 3,所以曲线C 的方程为9+9=l(x*2).(D)设P Q 1，%),(?(%2，、2)，R(4,7 2)，设直线P Q：X=m y+1,(4 2 y2联立方程组1 4 +3 -1 ,整理得(3 m 2 +4)y2+6my-9 =0,l x =m

29、 y+1所以乃+丫2 =高，y，2 =茄 为，又因为直线P R 的斜率士 =泞所以直线P R 的方程为y-九=蜜(X-4),令=0 得X-4 =1 2(打-4)=y2(myi-3)=m y iy2-3 y2J y2-yi y2-yi y2-yi3 3 9Z7l 9m 3=必-5仇+月)-於2-%)=7；-7；一言2-y D =_当yz-yi yz-yi 2所以久=|,即直线P R过定点G，0).【解析】(I)定义法求轨迹方程；(n)设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线PR的方程,令y=0,得到%为定值，从而得到定点.本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系

30、，韦达定理及其应用等知识,属于中等题.22.【答案】解：(I)/(x)=2+三=手 黑，当a 0时，f(x)0在(0,+8)上恒成立，所以函数f(x)在(0,+8)上单调递增，没有减区间，当a )=0时，%=-所,丝,不=-a+V j-丝,且X1 0 0得X 3|三区 所以;(%)的增区间为(、+尸&,+8).令f(X)0得0%-a+?F,所以/(x)的减区间为(0,三 !三)，2(H)证明：当a=2时，%o是/(%)的零点,所以(凡)=】n(%()+1)-二一 1=0,XO即亚 而+1)=:+1 =竽，XQ XQ由y =ln(x +1)得y=金不 由丫 =靖+i得y =ex+1.所以过点4(

31、%o，ln(%o+1)作曲线y =ln(x +1)的切线，的方程为y -ln(x0+1)=神(x-&)(*),假设曲线y =e*+i +在点B Q 1，%)的切线与/斜率相等，所以e%+i =所以与+1=-ln(x()+1),即=-ln(x()+1)，兀0十-1-Vi c%i+l e-ln(%()+l)_ _ _一 一 x0+l,把Xi =-ln(x0+1)-1 代入(*)式得y =ln(x0+1)+土(T n(a +1)-1-x0)=(1-)ln(x0+1)-1,为0十1=1 0(%0+1)-1 =()()-1=71(%0 十XQ+L XQ XQ+1所以点B(XQ%)在切线/上.第20页，共21页所以直线 也是曲线y=e*+i的切线.【解析】(/)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，进而可求；()把a=2代入，结合函数的零点及导数的几何意义即可证明.本题主要考查了导数与单调性关系及导数几何意义的应用，还考查了导数与函数性质的综合应用，属于中档题.