2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.12正方形的性质与判定（拓展篇练习）.pdf

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1、专题1.12正方形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）一、单选题类型一、正方形折叠问题1.如图，正方形ABC。中A B=6,点 E 在 CZ）上，且 C=3OE,将沿AE对折至AAFE，延长边E F 交边BC于点G,连接AG、C F.下列结论:A B G AF G；BG =C G；A G C F ,、5，cc=3；D E2+B G2=E G2.其中正确结论的个数是（）个C.4D.52.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,8。交于点0,折叠正方形48C。，使 AB边落在4 c 上，点 8 落在点”处，折痕AE交 BC于点E,交 8。于点F,连接尸从 下列结论：AO=DF；四 边 形 尸 为 菱

2、形；工=丘-1；密 皿=翌.其 中 正 确 的 结A D A A C E AC论 有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个3.如图，正方形纸片4 5 c o 的边长为1 2,点尸是AO上一点，将ACD尸沿C P折叠,点。落在点G 处，连接DG并延长交A 8于点E.若 AE=5,则GE的 长 为（)4 .如图，将正方形纸片A 8 C。沿 E F 折叠，使点5落在AO边的点尸处（不与点A,点。重合），点 C落在G点处，PG 交 DC于点H,连接B P,B H.BH 交 E F 于点、M,连接P M.下R 5列结论：P B 平分N A P G；P H=A P+C H；B M=B P,若 8

3、 E=-，A P=,则 S 凝彩2 3BE PM=,其中正确结论的序号是（）A.B.C.D.类型二、正方形重叠部分面积问题5 .如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的6 .如图.边长为1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转4 5。，则这两个正方形重叠部分的面积是（)RA.|B.且 C.1-2 D.72-12 3 37.将 个边长 都 为 的 正 方 形 按 如 图 所 示 的 方 法 摆 放，点 A/,A 2,，A分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）8.如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，

4、若两个小正方形的面积分别为Si和 S2,比较，与 S2的 大 小（）A.SiS2 B.S尸S2 C.Si的最小值为（）A.3石B.36C.6D.51 0.如图，正方形A8C 的边长是2,/D 4 c 的平分线交C 于点E,若点P,。分别是 A。和 AE上的动点，则。Q+PQ 的最小值为（）3A.6 B.272 C.-D.211.如图，正方形ABCD边长为4,点 E 是C。边上一点，且 NABE=75。.P 是对角线上一动点，贝+的最小值为（）A.4 B.4&C.7 7 D.五+限212.如图，矩形ABC 中，AB=2,B C =4,P,。分别是8C,A 8上的两个动点，A E =,4EQ沿 E

5、Q翻折形成AFEQ,连接尸尸，P D,则 PF+PQ 的最小值是（）A.5 B.4 C.20 D.2行类型四、平直直角坐标系中的正方形问题13.如图，将正方形0ABe放在平面直角坐标系中，。是原点，点 A 的坐标为（1,6）,则点C 的坐标为（)A.（-1,-B.（5-1）C.（-1,6）D.（-73,1）1 4.在平面直角坐标系中，正方形ABC 的位置如图所示，点4 的坐标为（0,2）,点8 的坐标为（-3,0）,则点C到 y 轴的距离是（）A.6 B.5 C.4 D.31 5.如图，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y 轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线/：y=x-l沿 y 轴的正

6、方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABC。的边所截得的线段长为机（米），平移的时间为1 （秒），他与r 的函数图象如图所示，则图中匕的值为（）A.3&B.5A/2 C.6夜D.10 夜1 6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A 的坐标为（0,2）,点 8的坐标为（4,0）,点E 为对角线的交点，点 F 与点E 关于），轴对称，则点尸的坐标为（)类型五、正方形的旋转问题17.已知正方形O8CD在平面直角坐标系中的位置如图所示M 为 边 上 一点，且点M 的坐标为（，b）.将正方形。BCQ绕原点。顺时针旋转，每秒旋转45。，则旋转2022C.(-/?,

7、a)D.(-a,-b)18.如图，正方形OA8C中，点C（0,4）,点。为 AB边上一个动点，连接C Q,点尸为8 的中点，绕点。将线段。尸顺时针旋转90。得到线段。Q,连接B Q,当点。在射线03).D.,104119.如图，在平面直角坐标系中，点4,B 的坐标分别为（0,4）,（4,0）,将线段AB绕点B顺时针旋转6 0。至B C的位置，点4的对应点为点C,则点C的坐标为（)C.(4 6,4百)B.(2 +2 6,2 +2 6)D.卜 痒2,4百-2)2 0.如图，正方形O A B C的两边O A,O C分别在x轴、y轴上，点。（5,3）在边A 8上，以点C为旋转中心，把A C D B逆时

8、针旋转90。,则旋转后点。的对应点。的坐标是（）二、填空题,1 0)C.(3,1 0)D.(-5,7)类型一、正方形折叠问题2 1 .如图，将边长为4的正方形纸片A B C Q折叠，使得点A落在边C D的中点E处，折痕为F G,点F、G分别在边A。、B C 上,则折痕F G的长度为.2 2 .如 图1,将正方形纸片A B C。对折，使A B与C。重合，折痕为ER如图2,展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为G”，点8的对应点为点M,EM 交 A B 于 N.若A Q=8,则折痕GH的长度为23.如图，已知正方形ABC,点 E 是 BC边上一点，将 ABE沿直线AE折叠，点 2落在尸处，连接

9、B尸并延长，与 的 平 分 线 相 交 于 点 H,与 AE,CZ）分别相交于点G,M,连接 HC,D H,DF,若 A8=3,BE 4 则。H=24.如图，已知正方形ABCZ）的边长为6,E 为边AB上一点且AE长 为 1,P为射线BC上一点.把AEBP沿 EP折叠，点 B 落在点9 处.若 点 8,到直线4 0 的距离为3,则 BP长为.类型二、正方形重叠部分面积问题25.如图，正方形A8CO的对角线AC、8。相交于点。，点。又是正方形A/C 0 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.设两个正方形重合部分的面积为，正方形 8的面积为邑，通过探索，我们发现：无论正方形A gG。绕点。怎样转

10、动，始终有H=DA26.如图，正方形ABC。的对角线交于。点，点。是正方形EFG。的一个顶点，正方形ABCD和正方形EFGO的边长分别为2cm和2.5c”?，两个正方形重叠的面积是.27.如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是28.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为m小正方形地砖的面积为b,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形类型三、正方形最值问题（用含a,b 的代数式表示）.29.如图，E,F 是正方形ABCQ的边AQ上两

11、个动点，满足A E=D F.连接CF交于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4,则 线 段 长 度 的 最 小 值 是30.如图，在矩形ABCD中，线段EF在 AB边上，以E F为边在矩形A8CQ内部作正方形 E F G H,连接 AH,C G.若 AB=1(),A D =6,E F =4,则 A/7+CG的最小值为.31.如图，正方形ABC。的边长为2挺 c m,动点E、尸分别从点4、C 同时出发，者|似0.5cm/s的速度分别沿AB、CO向终点B、。移动，当点E 到达点8 时，运动停止，过点8作直线E F的垂线B G,垂足为点G,连接4 G,则 AG长的最小值为cm.点 E、尸分别

12、为4 9、AB上一点，且 A =,连接BE、C F,则BE+CF的最小值是BC类型四、平直直角坐标系中的正方形问题33.如图，在平面直角坐标系xO r中，正方形A8C 3的顶点A坐标为(3,0),顶点8的横坐标为-1,点E是 的 中 点，则侧OE=34.将正方形4 0 c B和正方形4/C G 8/按如图所示方式放置，点A(0,1)和点4在直线y=x+l上，点C和点G在x轴上，若平移直线y=x+l至经过点姑，则直线向右平移的 距 离 为 一.A(4,3),B(4,-3).将AOAB与正方形A3CD组成的图形绕点。逆时针旋转,每次旋转90,则第2022次旋转结束时，点C的坐标是.36.如图，在平

13、面直角坐标系中有一边长为1的正方形。A B C,边0 4、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形O B B C,再以对角线08/为边作第三个正方形0 B 4 2 c2,照此规律作下去，则点&022的坐标为类型五、正方形的旋转问题37.如图，点 E在正方形A8CD的边CD上，将 AOE绕点A 顺时针旋转90。到 ABF的位置，连接E凡 过点A 作 EF的垂线，垂足为点H,与 BC交于点G.若 8G=3,CG=2,则C E的长为.38.如图，正方形OABC的边长为2,将正方形OWC绕点。顺时针旋转a。得到正方形O A 8C,连接8 C,当点A 恰好落在直线8C上时，线段BC的

14、长度是39.如图，点尸是边长为1的正方形A2C。的对角线AC上的一个动点，点 E 是 3 c 中点，连接PE,并将P E 绕点尸逆时针旋转120。得到PF,连接E F,则EF的最小值是.A40.如图，正方形 ABC。和即 CEF,AB=10,C E=C F=6,连接 BF,D E,在A CEF绕点C旋转过程中，当NCZ)最大时，SABCF=.三、解答题41.如图，在正方形ABCD中，E为A B的中点，连接C E,将A C B E沿CE对折，得到 CGE,延长E G交C D的延长线于点H.求证：AHCE是等腰三角形.(2)若43=4,求H D的长度.H DC4 2 .一位同学拿了两块4 5。的三

15、角尺AAWK、AABC做了一个探究活动，将 M N K的直角顶点放在AABC的斜边4 3的中点处，设A C=8 C=a.(1)如 图1,两个三角尺的重叠部分为“四，则重叠部分的面积为(2)将 图1中的&WNK绕顶点M逆时针旋转4 5。，得到图2,此时重叠部分的面积为(3)如果将Z X M N K继续绕顶点“逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证.4 3 .如图，正方形A B C。中，点E是边A O上的动点(不与点4,。重合)，连结B E,C E.(1)试问是否存在某个点E使E B 平分N AE C?若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若 8 E C周长的最小值为

16、4,求此时4 E的长.参考答案1.B【分析】先根据正方形的性质可得BC=CD=AD=AB=6,ZB=ZBCD=ZD=90,再根据折叠的性质可得 AF=AD=6,EF=DE=2,ZAFE=ZD=90。，从而可得AB=AF,ZAFG=90=Z B,然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断；先根据全等三角形的性质可得BG=FG,N4GB=N A G F,设8G=FG=X(X 0),则CG=6-x,EG=2+x,再在RfaCEG中，利用勾股定理求出工 的值，由此即可判断；先根据等腰三角形的性质可得ZGCF=ZG F C,再根据三角形的内角和定理可得2NGC/+NCG尸=180。，根据平角的定义可得2Z

17、AGB+/CGB=180。，从而可得FG 3NGCF=Z A G B,然后根据平行线的判定即可判断；根据线段的长度可 得 方=,再根EU 53据三角形的面积公式可得Scc=：S-CC，由此即可判断；根据线段的长度分别求出EG。和DE2+BG，的值，由此即可判断.解：四边形ABCO是正方形，且AB=6,BC=CD=AD=AB=6,ZB=ZBCD=ZD=90,.CD=3DE,;.DE=2,CE=CD-DE=4,由折叠的性质得：AF=AD=6,EF=DE=2,ZAFE=Z D =90,AB=AF,ZAFG=90=NB,AG=AG在RtABG和RtzAFG中，”，AB-AFRt ABG=RtAFG(H

18、L),结论正确；BG=FG/AGB=ZAGF,设3G=FG=x(x 0),则CG=BC-BG =6-x,E G =EF+/?G=2+x,在中，CG2+CE2=EG2.B P (6-x)2+42=(2+x)2,解得x=3,/.BG=FG=x=3,CG=6x=3,.-.FG=BG=C G,结论正确；:G C F =NGFC,:.ZGCF+4GFC+ZCGF=2ZGCF+ZCGF=180,又/ZAGB+ZAGF+ZCGF=2ZAGB+ZCGF=180,G C F =ZAGB,.-.AGIICF,结论正确；.CE=4,CG=3,SRAZt CEC=2 CE-CG=2-x4x3=6,.EF=2,FG=3

19、,_F_G_ 一_3，EG 53 1R S.FGC=g SRM EG=二 3 3,结论错误；：EG=EF+FG=5,EG2=25,DE=2,BG=3,DE2+BG2=22+32=13 EG2.结论错误：综上，正确结论的个数是3 个，故选：B.【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键.2.A【分析】利用折叠的性质得出N54E=NE4=22.5。，进而得出ND4F=67.5。，利用三角形内角和得出NAFD=67.5。，从而证明AD=D f；根据折叠得出BF=F H,只要再证明BE=B尸就能得出BE/7F

20、是菱形；由题意得FH=5 E,根据角度得到AOm为等腰直角三角形，得出 阳 与。尸的数量关系，以及AD与。尸的数量关系，最后根据等量关系进行比例化简即可：利用角平分线的性质得出EB=EH,再利用三角形面积公式得出S JB E _ ABS.ACE AC解：；在正方形纸片A8C。中，折叠正方形纸片A 8 C/),使 A 8落在AC上，点 8 恰好与AC上的点”重合,二.ZBAE=ZEAH=-ZBAC=22.5,2：.ZDAF=67.5 f:ZAFD=ZBAF+ZABF=67.5,ZDAF=ZDFAAD=D F,故正确;,在正方形纸片ABC。中，折叠正方形纸片ABCO,使 落 在 AC上，点 8 恰

21、好与AC上的点”重合，:.BE=EH,BF=FH,又；AD/BC,ZDAF=NBEF,又:ZAFDZBFE,ZBFE=NBEF,：.BE=EH=FB=BH,四边形8EHF是菱形，故正确；在正方形纸片A8CO中，折叠正方形纸片A 8C D,使 4 8 落在AC上，点 8 恰好与AC上的点H 重合，/.FB=FH,ZABF=ZAHO=45,N R?4=90,二A。”为等腰宜角三角形，&2立2-所加0一2变2FB,-2OB=向FO+FB)=V 2(y-F/+FH)=(1+&)F H，FH FH AD(l+V2)F/7=V2-1,故正确;在正方形纸片A3CO中，折叠正方形纸片A 3C D,使 A 3落

22、在AC上，点 8 恰好与AC上的点”重合，:ABEAEH,EB=EH,c A3,BE,n S.ABE _ 2 A Bc 1 A CMACE-AC EH.2故正确；综上所述正确；故答案为：.【点拨】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键是根据折叠的性质得出边角相等.3.C【分析】由“ASA”可证 ADE/DCF,可得AE=DF=5,进而利用三角形的面积公式可求DO的长，即可求解.解：设 C F 与OE交于点0,.将CQF沿 CF折叠，点。落在点G 处，A GO=DO,CFLDG,四边形A8CD是正方形，.AD=CD,ZZADC=90=ZFOD,NCDF=90。,

23、/CFD+N FCA900=N CFD+/ADE,ZADE=ZFCD,在A APE和A OC尸中,ZA=Z A D C CFVDG,NCDF=90。,S cnF=-CDxDF=-CFxOD,c 2 2x l 2 x 5=x O D x l 3 ,2 2 DO=GO1 3；.E G=1 3-2 x以 竺1 3 1 3故答案为：C【点拨】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明 A O E四 O C F是解题的关键.4.B【分析】根据折叠的性质，NEPG=/EBC =90：EB=EP，从而得到NEPB=NEBP,根据直角三角形两锐角互余，得到N A尸B =即可判定；过点

24、8作8QLPH,利用全等三角形的判定与性质，得到C H =0 H,AP=PQ,即可判定；通过证明&B M P为等腰直角三角形，即可判定；根据S四 边 初 期M=S曲+$.，求得对应三角形的面积，即可判定.解：由题意可得：NEPG=NEBC=9Q,EB=EP,NEPG=NEPB+ZBPG=9 0 .4EPB=/EBP，/EBP+NBPG=9(T,由题意可得：EBP+APB=1 8 0 -z f A =1 8 0 -9 0 =9 0 ,ZAPB=ZBPG,.P B平分/A P G；正确；过点8作8QJ_P，如下图:，ZBQP=Z A =90在“IP b和。依 中，ZA=Z.BQPM=S&BEP+$

25、&/=5 BE x AP+x B M ,错误,故选B,【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.5.B【分析】连接AN,O N,易证A W E A D N F,那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系,同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案.三 个边长均为2的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点,ZANE+ZE ND=90,NDNF+ZE ND=90,;.ZANE =ZDNF

26、,四边形ABC。是正方形，Z.E AN=4FDN=45,A N =D N在AANE和A D N F 中Z.E AN=N F D NE=90。，A C =-=/2，C D，=C-1,正方形重叠部分的面积 是:X lx l-；x（夜-=及-1.故选：D.【点拨】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力.7.B【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到 个阴影部分，则”个这样的正方形重叠部分即为-1 阴影部分的和.解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的!，即是!，4 45 个这样的正方形重叠部分

27、（阴影部分）的面积和为：x4,4 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为g x（n-1）=c m2.4 4故 选:B.【点拨】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到”个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积.8.C解：如图，C D设正方形S i的边长为x,VAANH和AHDG都为等腰直角三角形，；.AN=NH,DH=DG,ZANH=ZD=90,.sin/C A B=sin45=孝，即 A H=&N H,同理可得：NH=HG=VGD,AH=0 NH=2HD,又 AD=AH+HD=6,HD=-=2,3.,.HG2=22+22,即 HG=2 0；的面

28、积为HG2=8；VZMAO=ZMOA=45O,，AM=MO,VMO=MN,；.AM=MB,r.M 为 A B的中点，；.S2的边长为3,.S2的面积为3x3=9,，S i v s 2.故选c.9.A【分析】由于点8 与。关于4 c 对称，所以连接B E,与 4 c 的交点即为P 点.此时PE+&A8E最小，而 BE是直角ACBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；解：如图，连接B E,设 8 E 与 AC交于点产，.四边形ABCO是正方形，.点B 与。关于AC对称，：.PD=PB,：.PD+PE=PB+PE=BE 最小.即 P 在 AC与 BE的交点上时，PC+PE最小，即为BE的长度.正方形A

29、8CD的周长为24.,.直角 CBE 中，ZBCE=90。，BC=6,CE=g CD=3,BE =y/62+32=345-故选A.【点拨】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P 点位置是解题的关键10.A【分析】过。作 A E的垂线交AE于凡 交 4 c 于再过。作 A产，A O,由角平分线的性质可得出。是。关于AE的对称点，进而可知。7 仰 为 DQ+PQ的最小值.解：作。关于4 E 的 对 称 点 再 过。作。于产，：DDAE,：.ZAFD=ZAFD,：AF=AF,NDAE=NCAE,：./DAF/DAF,：.D是 D关于A E的

30、对称点，AD=AD=2,.O即为D Q+P Q的最小值，:四 边 形 ABC。是正方形，DAD=45,：.AP=PD,.在 RtA 中，PD2+AP2=AD2,AD2=4,：AP=PD,2 PD2=AD2,即 2F L H：.PD=y/2，即。+PQ的最小值为 夜，故 A 正确.故选：A.【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.11.D【分析】连接AC，作 PG JL8E,证明当AP+；8 P取最小值时，A,P,G三点共线，且AG_L8E,此时最小值为A G,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的

31、一半即可求出结果.解：连接A C,作PG上BEADABC。是正方形目.边长为4,A ZABO=45,AC1BD,A O =2叵,/Z ABE =15,：.N P B G =30。,PG=-BP,2.当 取 最 小 值 时，A,P,G三点共线，且A G J.B E,此时最小值为4G,V ZABE=75,A G A.BE,/BAG =15,Z B A O =45,：.ZPAO=3Q,设OP=h,则 AP=2，.2+(2&=(2 b)2,解得：b=呼，设 PG=a,则 8P=2a,B O 2V2 ；2。+/?=2/，解得：a=f2 A G =AP+P G 2 b +a=/2 +y/6,故选：D【点拨

32、】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，3()。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当AP+：BP取最小值时，4,P,G三点共线，且A G L 3 E,此时最小值为4G.12.B【分析】作点。关于BC的对称点。，连接。，E D,证得OP=P。，PD+PF=PD+PF,又E F=E A=2是定值，即可推出当E、F,P、)四点共线时，PF+PO定值最小，最小值=E0-EF即可得出结果.解：作点。关于8 C 的对称点。连接尸D,ED,如图所示:：.D E=A D-A =B C-A E =3,EO=2DC=2A3=4,ED=dDE?+DD2=732+42=5，在 APC 和 APCD 中，

33、CD=CD,NPCQ=NPCO=90,PC=PC.PCD 空 APCD(SAS),:.D P=P D、:.PD+PF=Piy+P F,.所=E4=1是定值，当E、尸、P、少 四点共线时，尸 尸+P D 定值最小，最小值=5-1=4,.PF+PZ)的最小值为4,故选：B【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.13.D【分析】首先作ADLx轴于。，北上工轴于七，利用“一线三垂直”模型证明即可求出点C 的坐标.解：如图所示，作 AOLx轴于 O,C E lx ttT E,则/OEC=N4DO=90。,

34、，NCOE+NECO=90。,-A的坐标为（1,百），.AD=-ji,OD=,:四 边 形OABC为正方形，：.OA=OC,NAOC=90。，ZAOD+ZCOE=90,：.ZAOD=ZOCE,在人。和中，NADO=NOEC:NA。=NOCEOA=CO：./AOD=OCE（AAS）,：.OE=AD=S，CE=OD=,：.C（-73，1）,故选：D.【点拨】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键.14.B【分析】过点C作CELx轴于点E,则点C到y轴的距离为O E,通过证明 C5E=MAO得到BE=O A,利用点A,

35、B的坐标可求。4,。8的长，则结论可求.解：过点C作CE_Lx轴于点E,如图，则点c到y轴的距离为OE.,点A的坐标为(0.2),点B的坐标为(-3,0),/.OA=2 OB 3.CE J_ x 轴，:./CEB=90。.:.ZEC B+ZEB C =9 0 .四边形ABC。是正方形，.BC=AB,ZCBA=90.ZEB C+ZA B O=9 0 .:.ZEC B =ZA B O.在ACBE和MAO中，/ECB=/OBA(4 j),而 点 P 为 C。的中点，噌芳，4+1 4-t 4-f I PM=-/=DF,QF=MD=2,QE=2+t,OE=4+=6-t,2 2 2 2礴一也，设 0 8

36、的解析式为y=5 而 8(4,4),4A=4,解得：k=l,的解析式为：y=x，、，1 C 6 t=2+t,2Q解得：r=,故选c【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，求解。患-5,2+f 是解本题的关键.19.B【分析】过点C 作CD，无轴于点。，作CE _L y 轴于点E,连接AC,0 C.设A B与 0 C 交于点F.由题意易证“W C为等边三角形，从而易证V8OCwVAEC(L),nDC=EC,进而可知矩形。C 为正方形，结合题意可得出A3=0O A =4 a,N OBA=N O D E =45，即证明B A/D E,得出 COJ_4B

37、,O F =-O A =2 42 ,从而可求出=2 夜，CF=6 B F =2 屈,进而可求出OC=OP+CF=2&+2逐，最后即可求出CE =C D =O C =2+2 6 ,即得出C 点坐标.2解：如图，过点C 作。_Lx轴于点。，作C E L y 轴于点E,连接AC,0 C.设 A 8与0 C 交于点立由题意可知NABC=60。，AB=BC,AABC为等边三角形，:.AB=B C =AC.由所作辅助线可知四边形OCCE为矩形,:.CD=CE,NBEC=ZAC=90,二 N B D C=VAC(/7L),：.D C=E C,矩 形 OOCE为正方形，A Z O D E =45,DE LOC

38、.;点A,8的坐标分别为(0,4),(4,0),.*.04=08=4,NOBA=45.AB=COA=4/2,NOBA=ZODE=45，/.BA/DE，：.COAB,OF=OA=2y/2,2BF=-AB=2y/2,2/CF=y/3BF=2y/6,OC=OF+CF=2近+2娓，CE=CD=OC=2+2 班，2.，.C(2+2 6，2+2后.故选B.【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理等知识.正确的作出辅助线是解题关键.20.B【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知所。，和8 C的长，由此判断点O的坐标.解：如图，CO8绕 点C逆时针旋

39、转90。后得AC。9，：.BD=BD,BC=BC,.四边形。48c是正方形，D(5,3),：.BC=5,BD=2,：.BO=BC+CO=0,BD=2,二点。的的坐标为(2,10).故选：B.【点拨】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.21.2 石【分析】过点G 作 根 据 翻 折 变 换 的 性 质 可 得 G凡L 4 E,然后求出NGF”=/。，再利用“角角边”证明AAOE和 GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得G Q A E,再利用勾股定理列式求出A E,从而得解.解：如图，过点G 作 G H L 4）于 4,则四边形A5GH中，HG=AB

40、,由翻折变换的性质得V ZAFG+ZDAE=90,ZAE D+ZDAE=90,ZAFG=ZAE D,:四 边 形 ABCC是正方形，：.AD=AB,：.HG=AD,在 4：和 AGHF 中，Z G H F =Z D Z A F G =Z A E D ,G H =A D.,.ADEAGWF(AAS),:.GF=AE,:点 E 是 CO的中点，：.DE=-CD=2,2在放 ACE 中，由勾股定理得，AE=y/AD2+D E2=42+22=2 -的长为2逐.故答案为：2#，.【点拨】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本

41、题的关键.22.4-【分析】连接C E,过点G 作 GJLC。于 J,根据正方形和折叠的性质得到条件，证明 EF 8 A G J H,得到EC=G H,再根据正方形的性质和勾股定理，结合4)=8 即可求出结果.解：连接C E,过点G 作 GJLCO于 J,设 EC和 GH交于点。,:四 边 形 ABCO是正方形，Z BCD=90,ZB=Z BCD=90,四边形8CJG为矩形，GJ=BC=E F,由折叠可得：E,C 关于GH对称,C.E CVGH,AB=E F=CD,ZOHC+ZOCH=90,又 N O C H+N E C F=9 0。,：./E CF=/GHJ,在 EFCUA GJH 中,ZE

42、CF=/GHJDM BC=3,2AE 7 AB?+BE?=V32+l2=亚，.AE=BM=y/w,SBD M=LBMD H=3,2.八_ 6 3y/10 IJrl 尸=-V 10 5故答案为：平【点 拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角一角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键.2 4.三 后 或15【分 析】过 作交A。，8c于 点M,N,过E作交 M N 于 H,进而得出四边 形A 8 N M是矩形，四 边 形 是 矩 形.再 分 两 种 情 况 进 行 讨 论：如 图1,若 点 U在A Z)下方；如 图

43、2,若 点 在AO上方，分 别 根 据R/PBW中，B P P+B,N2,即可得到8 P的值.解：过片作交A。，BC于 点 M,N,过E作E”A。，交 M N 于 H,.A D/B C,MN/A B,四 边 形ABN M是平行四边形,又：/4=9 0,，四 边 形A 8 M W是矩形同理可得：四 边 形 是 矩 形.如图:若 点8在AO下方，则8 M=3c m,B W=3c m,*：M H=A E=(c m),：.B H=2(c m),由折叠可得，EB,=EB=5(c m),：R m EB H 中,E H/?_*=f c m,:.B N=A M=EH=c m,设 8 P=i cm,/.PB-r

44、 cm,P N=(/21-/)cm,Rd P B N 中，BP二P l M N2,：.t2=(方 )2+32,解得：q后;如图：若点8,在力。上方，则8M=3cm,B,N=9 c m,同理可得，E/7=3cm,设 B P=t cm,B P=t cm,P N=(f-3)cm,:/?/P B,N 中，B，p 2=p N2+B N2,t2(/-3)2+92解得：r=15.综上所述，B P的 值 为 万 或15.【点拨】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形，运用勾股定理

45、列出方程求出答案.2 5.-4【分析】由正方形性质可证AOEgZiBO尸(A S A)由5匆如/。尸B=SZkEOB+SABOF=54E0B+S4A0E=SAA0B 即可.解：正方形ABC的对角线A C、BD相交于点0,：.OA=OBf ZAOB=90f ZOAB=ZOBC=45,又 ,点。又是正方形A与G。的一个顶点，“00=9 0。,.ZAOE+ZEOB=ZEOB+Z BOF=90,ZAO E=ZFO Bf在 AOE和 BOF中，NOAE=/O B F 0A=OB,ZAOE=ZBOF:AAOE久BOF(ASA),Si=S EOFB=S EOB+S B0 F=SAEOB+SAOE=SAOB=

46、S2.故答案为!.【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积是解题关键.26.kvn2【分析】根据题意得出 AM。且8M XASA),则两个正方形重叠的面积等于4 4 8。的面积=!S正方形A B C D,进而得出答案.解：四边形4 8 c o和四边形EFGO都是正方形，A Z 2=Z 5=4 5,Z l+Z 3 =Z 3+Z 4=90,A Z 1=Z 4,，在4人加。和4 BNO中Z2=Z5 AO=B OfZ1=Z4:.A M 0 XBNO(ASA),两个正方形重叠的面积等于 ABO的面积=及历48c

47、z)=1.故答案为：1cm?.【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出 AM O QW N O是解题关键._ M-12 7.4解：如下图，过 点0作OELGH于 点E,OF_LHM于 点F,由已知条件易得NEOF=NGOM=90。，OE=OF,ZOEG=ZOFM=90,AZEOG=ZFOM,AAEOGAFOM,S四边形O G H M=S正方形OEHF=：4T n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，1 n n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：（-l）x：=一4 4f i 故答案为：2rL.4【点拨】将一个直角的顶点放到正方形对角线的交点处，则这个直角和

48、正方形重叠部分的面积是正方形面积的四分之一.28.a+b【分析】如图，连接AE、AF,先证明 GAEtZXHAF,由此可证得S四 边 形 的依=，进而同理可得，根据正方形A8CO的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案.解：如图，连接AFf ,点A 为大正方形的中心，：.AE=AFt NEAF=90。,ZAEF=ZAFE=45f :ZGEF=90,NAEG:NGEF-ZAEF=45,NAEG=NAFE,四边形ABC。为正方形，./DAB=NEAF=90。,.NGAE=NHAF,在 GAE与A HAF中，4GAE=4HAF,AE=AFfNAEG=NAFH,.AG AEAHA

49、F(ASA),SGAE=%HAF S4GAE+S EH=S4HAF+S E H，即 S四 边 形GAHE=S j E F，r _lv-1 4AF-W J大 正 方 形 一。，,.J四 边 形GA/E 一 J大 正 方 形 一 ，六同理可得：S正 方 窗 B8=4x；a+6,K P S正 方 形 人 品、。=a+b,故答案为：a+b.【点拨】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键.29.2A/5-2【分析】根据正方形的性质可得A8=A氏 CD,Z B A D=Z C D A,Z A D G=Z C D G,然后利用“边角边”证明和

50、 QCF全等，根据全等三角形对应角相等可得NABE=NOCF,利用“SAS，证明AAOG和ACOG全等，根据全等三角形对应角相等可得/Q C G=N D 4G,从而得到Z A B E=Z D A G,然后求出/AHB=90。，取 AB的中点。，连接O D,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=1 A fi=2,利用勾股定理列式求出。),然后根据三角形的三边关系可知当。、D、”三点共线时，O”的长度最小.解：在正方形 4BCD 中，AB=AD=CD1 N B A D=N C D A,Z A D G=Z C D G,在 ABE和 OCT中，A B=C D N B A D=N C D A