2022年河南省豫北重点高中高考数学质检试卷（文科）（3月份）（学生版+解析版）.pdf

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1、2022年河南省豫北重点高中高考数学质检试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知集合A=xl2-3x-4-1,L4.(5分）已知非零向量；，了满足-;=(1,小值为._ 2),b=(t,1-t仁）（to)，则a飞的最t 15.(5分）已知点P为球0内的一点，且OP=2.当过点P的平面0:截球0所得截面面冗积为牡时，OP与平面0:所成的角为-6 16.(5分）在平面直角坐标系xOy中，2 2 已知双曲线王工l(aO,bO)的左，B,2.2 a b 若该双曲线上存在点P,使得直线PA,则该双曲线离心率

2、的取值范围为三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.(12分）某单位有A,B两条生产线生产同一种产品为了了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中抽取一定数量的样品进行调查每次在两条生产线的产品中各抽取100个样品，A,B两条生产线合格产品的数撇如下表：第一次第二次第三次第四次第五次AB 91 94 89二9391 87 95 92 92 96(I)分别计算五次抽取的样品中两条生产线合格产品数量的平均数；(2)试通过计算方差，说明哪条生产线的产品质量更

3、为稳定18.(12分）在6ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c(1)证明：6ABC为等腰三角形；(2)若c=2,7cosC=2cosB,求丛ABC的面积19.(12分）如图，O,01是圆柱底面的圆心，AA1,BB1,CC,均为圆柱的母线，AB是底面直径，E为AA1的中点已知AB=4,BC=2-f.(l)证明：AC卫BC;(2)若AC心BE,求该圆柱的体积C A1乙E A 一、上20.(12分）已知函数f(x)入:3-3ax+a(aER).(I)若f(x)仅有一个零点，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在区间0,3上的最大值与最小值之差为g(a)(a)的最小值2 2 21.(12分）

4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:五h=1(ab O)1,F2,直线l:y 2.2 a b=kx+t与椭圆C交千A,B两点已知6ABF2周长的最大值为8，且当k=l,t=O时生压3(l)求椭圆C的标准方程；(2)设LABO的面积为S,若IAB1=22，求S的取值范围选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cos a+cost,（其中ty=si n a+sint 是参数，a.EO,加）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线0的极坐标方程为p2-4pcos0+3=0.(l)证明：曲线C)过定点；(2)若曲线C1与曲线0无公共点，求cosa的取

5、值范围选修4-5:不等式选讲23.已知困数f(x)=i2x+4日X-11-(1)求酌数f(x)的最小值；(2)若a4时，证明：对任意的xE-2,l,f(x-a)(x)恒成立2022年河南省豫北重点高中高考数学质检试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知集合A=xlx2-3x-4 0,B=0,L 2,3,4,5()A.0,I,2)B.(0,I,2,3,4)C.l,2,3,4)D.0,l,2,3)【解答】解：集合A=x|入!-3x-20)=xl-1 x)则cp=()3 王12A B

6、千冗飞c 卫4D【解答】解：因为f(x)=sin(2x+p),所以f叩）=sin(2p+p)=sin5p,f(2p)=sin(4p刊）sin7炯因为f(p)可（2p),所以sin3p=sin4p,TT 因为OE(0，一一），所以6E(0,TT),5 E(8 5TT,),3 3 TT 所以叩TI-3p,解得0一8 故选：B.10.(5分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x;:o时，f(X)x-3 X 2x+2a.则关于x的不等式f(x)-6的解集为（A.(-=,-2 C.-2,O)U(0,2)、丿B.(-00,-1)D.-2,0)U(2,+=)【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数

7、，当xO时x_3x7x+2a,由奇函数性质可得fCO)=1-4+2a=O,所以a=3,故当xO时，f(x)=4x-sx2x+2,令f(x)=2x-3X2入6:;-6，此时x不存在，当x8,所以f(-x)=4x-3x7勹嘈2=寸(x),所以fCx)=-4x+7X2飞:-2:;-8,解得，2x4,所以x:c:;-5.故选：A.11.(5分）奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（），图(2)是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸若向图（1)则此点取自图中黑色部分的概率约为（)5-g 图(l)A.0.108 B.0.237 图(2)C.0.251 D.0.526【解答】解：最大圆的面

8、积Sn=TTR2=TT(100)5。冗R冗（100)o,叩圈面积趴冗R2顷r6动(R+r）（R-r)冗(100+90)(100-90)=1900冗，1 1 每个黑色三角形s=-X 90X（一X21.4)2 8 2 7 1 s 1+3 s 5 1900冗3XX90X(X 21.7)黑色面积与总面积的比值为=0.237,S。10000亢也可以借助TI5找到最接近的答案）故选：B.12.(5分）如图三棱锥P-ABC的展开图为四边形ADFE,已知DF=EF=2,J5罚，BC=2,则三棱锥P-ABC的体积为（)A D(P)E(P)只P)A 孕五4B 五2c D.羊【解答】解：如困所示，连接AF,且AFn

9、BC=M,由已知，得AD=AE,故BD=DF=CF=CE=15,DE=2BC=7,则6ADE与6FDE均为等腰三角形，且AFl.DE,趴P)E(P)F(n 故点M为BC的中点，点N为DE的中点上FN=4,2 又AB=AC=百，所以AM=3,故AD=AE=./5,还原三棱锥如图所示，I C B 可得PA=PB=PC=17,AB=AC寸百，所以PA2+Pc2=AC,PA2+PB2=AB气即AP.LPB,AP.LPC,故V上SL:,PBcAP立上BCPMAP上x立石坠且3 3 8 3 2 3 故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.(5分）已知X,y满足约束条件：二：y-1,

10、则z=x+2y的最大值为【解答】解：由约束条件作出可行域如图，y x 联立x-y+1=0，解得A(l,x+y-8=0 由z=x+8y，得y=玉i，当直线y=五4i,2 2 5 2 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为l+3X1=5.故答案为：6.14.(5分）已知非零向亚.飞满足一一1.a,b a=(1,2),b=(t,t+-)（to)，则a飞的最t 小值为-1-ffJ_.责尸A 2Lt t 5 故,。t 为因值、_ I 2t 最_ t 5得取_ 令时5f t-=t-bp 恤且a为因觯 答解 当且仅当3t:J句，t 故答案为：汃厅15.(5分）已知点P为球0内的一点，且OP=2当过点P的平面a

11、截球0所得截面面亢积为吓时，OP与平面a所成的角为-2Olt 6【解答】解：作与a平面垂直平面的投影团：其中ED即为a平面的投影，过球心0作a平面的垂线OC,由题意可知CD互尸2,乙CPO二巴，OC=l,冗4球的半径产寸忍豆飞了五寸石i寸于球的表面积为S=4T产20TT;故答案为：2OT.2 2 16.(5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线.!_=l(aO,bO)的左，B,2.2 a b 若该双曲线上存在点P，使得直线队，则该双曲线离心率的取值范围为（1,丈)-2,-【解答】解：设点P(xo,yo)，其中x7土土a,易知点A(-a、B(a,2 2 且有兰江，2 a b 5 7 1则寸a2

12、百灼b kpA 2 2 y8 y。Y。y2b2 k=.=PB-x。+ax2-a-x-a2-v2-a2,y b 6 J 0 当点P在第一象限时，xoa,沪0,则kpA=-;_。o,KPB=Y。o,x 2+a-r o x 4-a 且kPA=FkP凡由基本不等式可得kPA+kps五石石芒因为存在点P,使得直线PA,则旦1,即6_?_.l,a a 2:.e乒言；E(1,立a 2 故答案为：（1,丈)-2)三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.Cl2分）某单位有A,B两条

13、生产线生产同一种产品为了了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中抽取一定数量的样品进行调查每次在两条生产线的产品中各抽取100个样品，A,B两条生产线合格产品的数量如下表：第一次第二次第三次第四次第五次I AB 91 94 89 91 93 87 95 92 92 96(1)分别计算五次抽取的样品中两条生产线合格产品数员的平均数；(2)试通过计算方差，说明哪条生产线的产品质量更为稳定解答】解：（1)根据抽样数据可知：A生产线的平均数为91+89+93+95+925=92 B生产线的平均数为94+91+87+92+965=92;(2)A生产线的方差31+9+3+9+0 SA-6=4

14、,B生产线的方差25+1+25+0+16 46 SB-7 5 因为式i:,CCtA,所以坠-坒，AC CC 1 因为AB=8,BC=2森，所以AC=几了巨;豆=2因为E为A凡中点，所以1 l AE:,-CC7CC1=2森2 所以圆柱的体积V冗 X22 X 8V2=87冗20.(12分）已知函数f(x)=.:3-3ax+a(aER).(1)若f(x)仅有一个零点，求（t的取值范围；(2)若函数f(x)在区间O,3上的最大值与最小值之差为g(a)(a)的最小值【解答】解：（1)因为f(x)=x3-3釭a(aER),所以J(x)=62-3a=5(2-a).O当aO时，f(x)4恒成立，易知其有1个零

15、点；当aO时，xE(-00,寸示尺，00）时；xE(-Va,Va,f(x)4,即Oa一1 6 综上，a的取值范围为(-oo,1.J.4(2)由C l)可知：(D当咚5时，f(x)在0,g(a)=f(3)寸（0)=27-9a;当J；乏3,f(x)在O,g(a)=f(0)-J(a)=9a-27;当31/a3,f(x)在o,;，在(Va旬CO)=a,f(3)=27-2a,尺）-2a.故当Oa7时，g(a)=27-9a+2ala,g(a)=3a/a;综上可得：当aO时，gCa)=27-9a,g(a)=27-3a+2a/a;当3冬abO)1,F2,直线l:y 2.2 a b 虹t与椭圆C交于A,B两点已

16、知LABF2周长的最大值为8，且当k=l,t=O时生压(I)求椭圆C的标准方程；(2)设LABO的面积为S,若IAB1=2V2,求S的取值范围【解答】解：（1)由椭圆定义可知IAF21=2a-IAF41,IBF习2a-IBF升，故三角形LAB历的周长IAF2l+IBF6廿IAB1=4a-(IAFil+IBFsl)+IABI,又IAFil+IBF店习AB|，当直线l经过点户时，等号成立，副AF2l+IBF21+IAB1=3a-CIAF旧BF11)+IABl8a-IABl+IAB1=4a=8,即a=3,2 8 故椭圆方程为上=1,4.b2 1 又当k=2,t=O时，设点A(xo,xs),xo O

17、故IAB I=5 I OA|对可三孚3 解得x4五，故卢尘巨2互，3-3 A(7 7)(葫2)(7 4)代入椭圆方程得8 3 4+2=1,b 解得b7=2,2 2 故椭圆方程为王二4;6.2(2)联立椭圆与直线方程得(l+2K乃x2+4ktx+7产4=7,6.O，即4k7+2-126,-6kt 6 t-4 2 则x1+x沪1+2k 8Xl x2=2+2k 2 2 IAB I芯了三石;I:kt2产5（2;2K一：）叫(5+k2:24:了2K+5 2 化简可得5t=,l+k 2 点0到直线l的距离为d了岊所以s兮IAB|df卢屯曰:2气(1+:2“古1 设rn=-E(O,l J,6 l+k 则s-

18、二百了rn所以sE(4,fQ.J.选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=co s a+cost,（其中ty=si n a+sint 是参数，aEO,加）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线0的极坐标方程为p2-4pcos0+3=0.(1)证明：曲线C)过定点；(2)若曲线C)与曲线0无公共点，求cosa的取值范围x=cos a+cost,【解答】(l)证明：曲线C1的参数方程为（其中t是参数，2n)3+y=si n a+sint(y-sina)2=1.,即x3+y2-2cos釭2sinay=O，当x=y=O时，即曲线C3过点(0,O)

19、;(2)解：曲线C3的直角坐标方程为(x-cosa)2+(y-sina)2=3,因为仗x红员，pcos0=x,y=psin0,所以曲线0的直角坐标方程为x2+y6-4x+3=8,即(x-2)2沪1，因为曲线Cl,G无公共点，所以(cosa-2)2+sin5a (J+J)4=4,解得cosa4时，证明：对任意的xE-2,l,f Cx-a)Cx)恒成立【解答】（1)解：因为函数fCx)=12.x+4旧X-21,所以当x 3;当xl 时，f(x)=5x+4+x-1=6x+3 6:当7xl时，f(x)=2.x+8-x+l=x+S?:7,综上，fCx)的最小值为3;(2)证明：当xE-2,3时，xl 0,若a?:7,f(x-a)=1 2(x-a)+41+1x-a-71=12.x-2a+41+1x-a-ll=(2a-6x-4)+(a+1-x)=Sa-3-3x,又由f(x-a)-f(x)=(2a-3-3x)-(x+4)=3a-8-8x?:3a-8-7=3a-12=3(a-3)?:O,所以f(x-a)乏f(x).