2022届福建省柘荣、宁德高中重点高三六校第一次联考数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在正方体A5CO 4 百 。中，点 E,尸，G 分别为棱4 A ,DXD,A,g 的中点，给出下列命题：AQT T G C/E D；与/，平面5 G G；口 和 成 角 为

2、 一.正 确 命 题 的 个 数 是（）4A.0 B.1 C.2 D.32.已知方是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，且 au 以，b u/h allfi,b/a,则“。”是a/T 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若 取+工 的展开式中二项式系数和为2 5 6,则二项式展开式中有理项系数之和为（）I xjA.85 B.84 C.57 D.564.刘徽（约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代

3、极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2 的近似值为（）A.B.-C.-D.-90 180 270 3602 25.设片，工 分 别 是 双 曲 线 -，=1（0/0）的左右焦点若双曲线上存在点P，使/”叫=60。，且归耳|=2 归马|,则双曲线的离心率为（）A.73 B.2 C.V5 D.V66.已知a,b 为两条不同直线，a,夕，/为三个不同平面，下列命题：若a 力，a l l y,则/人 若 a a,a!1 /3,则。尸；若03,则二，力；若a_ L a,

4、bL a,则。队其中正确命题序号为（）A.B.C.D.7 .已知数列 为 的前项和为S“，4=1,4=2且对于任意 1,“,满足5,用+5,1=2 6 +1),则()A.4=7 B.Sl6=240 C.Qo=19 D.520-3818 .执行程序框图，则输出的数值为()(开裕)9 .已知圆工2+；/一 6%-7 =0与抛物线9=2 0%(0)的准线相切，则”的 值 为()1A.1 B.2 C.-D.421 0.已知盒中有3 个红球，3 个黄球，3 个白球，且每种颜色的三个球均按A,B,C编号，现从中摸出3 个球(除1 1.记/(x)=x-x 其中表示不大于x的最大整数g(x)=1 八，若方程在

5、/(x)=g(x)在 -5,5 有 7 个不,x0同的实数根，则实数&的取值范围()1 2.数列 斯,满足对任意的 G N+,均有斯+加什呢+2为定值.若4 7=2,。9=3,%8=4,则数列 为 的前1 0 0 项的和S i o o=()A.1 3 2 B.29 9 C.68 D.9 9二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20 分。1 3 .已知数列 )的前 项满足4 +2al+3 a 3 +nan=2C+2 n e N*),则.x 01 4 .已知,)满足约束条件(九+y 21 ,则z =3 x +2)，的最小值为2 x+y 0,5 0 0)与圆相交于A,B两点，求实数。的取值范围

6、；(3)在(2)的条件下，是否存在实数用使得弦AB的垂直平分线，过点尸(-2,4),若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.21 9 .(1 2分)已知函数/(%)=l n(2x +a)(x 0,a 0),曲 线 f(x)在点(1,7(1)处的切线在y轴上的截距为l n 3-.(1)求 a；2x(2)讨论函数 g(x)=f M-2x (尤 0)和 h(x)=-(x 0)的单调性；2x4-12 9M+1 1 设4 =1，。“+1=/(%)，求证：-2 2).3L%20.(1 2分)如 图，在直三棱柱A B C-4 3 1 c l中，A B =B C =A 4,=1,AC=6 ,点D E分别

7、为AC和用弓的中点.(I )棱AA上是否存在点P使 得 平 面 平 面AM?若存在，写出B4的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(D)求二面角A-鹿。的余弦值.21.(1 2 分)如 图，在平面四边形 A B C D中，=,s i n/B 4 C =c os N B =，A B=1 3.3 1 3(1)求AC；(2)求四边形A B C。面积的最大值.22.(1 0 分)如 图，平面四边形 A 3 C O中，B C/AD,Z ADC=9 0 ,Z A B C=1 20 ,E是 AD上的一点,4 5 =8 C =2D E,尸是E C的中点，以E C为折痕把 E O C折起，使点。到达点P的位

8、置，且PC _ L B E.(1)证明：平面PC _ L平面A B C E；(2)求直线P C与平面Q 4 5所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A（2,0,0）,C,（0,2,2）,G（2,l,2）,C（0,2,0）,E（l,0,2）,D（0,0,0）,J5,（2,2,2）,F（0,0,1）,fi（2,2,0）.，A q=（-2,2,2）,G =（l,l,0

9、）,A q-=-2+2+0 =0,所以A G，E G,故正确.，GC=（-2,1,-2）,ED=（-1,0,-2）,不存在实数X使 配=2而，故GC7/ED不成立，故错误.，4=（一2,-2,-1）,筋=（0,-1,2）,星=（一2,0,2）,斯 而=0,骸 骑=2,0,故男尸，平面8GG 不成立，故错误.,定=(-1,0,-1),嗨=(0,0,2),设 瓦 和B用成角为凡贝!jcos6=EFBB,-2V2x2V22由于,所以67T二，故正确.综上所述，正确的命题有2个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.2.D【解析】根据面面平行

10、的判定及性质求解即可.【详解】解：ac.a,bc.fi,a/b/a,由。儿 不一定有a与 可 能 相 交；反之，由a”k可得a或a与Z 异面，a,)是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且a ua,bc.fi,a/fl,b/a,则 a *是 a /T的既不充分也不必要条件.故选：I).【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.3.A【解析】先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：孤+,的展开式中二项式系数和为2 56I X)故 2 =2 56，=88-r 8-4/加=C亍=C；x 丁要求展开式中的有理项，则/*=2,5,8则二项

11、式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+C：=8 5故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.4.A【解析】3 6 0 1 3 6()。设圆的半径为一，每个等腰三角形的顶角为，则每个等腰三角形的面积为二户s i n，由割圆术可得圆的面积为n2 n7ir2=n-r2 s i n，整理可得s i n=如，当=1 8()时即可为所求.2 n n n【详解】由割圆术可知当n变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，3 6 0 设圆的半径为一，每个等腰三角形的顶角为 一,n1 3 6 0 所以每个等腰三角形的面积为一，s i n 一,2 n所以圆的面积为7厂

12、?=1 2 -3 6 0 a n.3 6 0 2左n-r s i n-，即s i n-=,2 n n n所以当=1 8 0时，可得sin =s i n2 =,1 8 0 1 8 0 9 0故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.5.A【解析】由 周=2|P闾及双曲线定义得归用和上可(用。表示)，然后由余弦定理得出a，c的齐次等式后可得离心率.【详解】由题意力尸制=2|P周，.由双曲线定义得归耳|一|马=2%从而得归耳|=4 a,|P闾=2 a,在 百 居 中，由余弦定理得(2 c)2 =(4 a)2 +(2 a)2-2 x4 a x2 a c os 6 0。，化简得e

13、=J 5.a故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出。，c的齐次式.6.C【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若。，a l l y,则 /,故正确；若a a,al I p,平面外 可能相交，故错误；若a l7,则a,可能平行，故错误；由线面垂直的性质可得，正确；故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.7.D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.【详解】当.2 时，5+

14、1+51 1T=2(5+1)=S,向-S,=S“一+2 n=q +2 .1,7 2 =1所以数列%从第2项起为等差数列，4=。C ,2n 2,.2所以，e q =6,4O=18.S,=4+吆竽曰)+1，56=16 x 15+1 =2 4 1,S2 0=2 0 x 19 +1 =3 8 1.故选：D.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.8.C【解析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量8的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】a =0,b =l,n=l,b =0+2 =2,n 5,满足条件，2-0a=-

15、=1,n-2,8=1 +4 =5,n 5,满足条件，25-1a=-=2 ,n-3,Z?=2+10=12 ,n5 ,满足条件，212-2a=-=5,=4,Z?=5+2 4 =2 9 n 2=2乂(.0)的准线相切，则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知P的值为2,选B.【详解】请在此输入详解！10.B【解析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A，B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，B,C”，记事件“恰好不同时包含字母A,B,。”为七，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为C；=8 4

16、(个)，则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,B,Cw33 19记事件“恰好不同时包含字母A,B,。为七，则P(E)=1-云=有.:9 2 8故选：B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题.11.D【解析】做出函数/(X),g(x)的图象，问题转化为函数f(x),g(x)的图象在-5,5有7个交点，而函数/(x),g(x)在-5,0上有3个交点，则在 0,5上有4个不同的交点，数形结合即可求解.【详解】则在 0,5上有4个不同的实数根，当直线y =丘经过(4,1)时，k=当直线y =

17、依经过(5,1)时，k=g,可知当,4 A (J),，N 2时，(i +2a2+3a3+,+(/?-=2C+,，一得 nan=2(。，一%)=2*=(+1)，:.。=+1,又 6=2C；=2,:.=+1(n w N 深).故答案为：+1.【点睛】本题考查求数列通项公式，由已知条件.类比已知S求凡的解题方法求解.14.2【解析】作出可行域，平移基准直线3x+2y=O到(0,1)处，求得二的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x+2y=0至 限0,1)处时，z取得最小值为2.【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.55【解析】根据

18、该Fo r语句的功能，可得S =l +2 +3 +.+10,可得结果【详解】根据该Fo r语句的功能，可得S =l +2 +3 +.+10则S =0 +忆552故答案为：55【点睛】本题考查Fo r语句的功能，属基础题.16.8【解析】根据图象利用/(0)=当，先求出。的值，结合/(1)=()求出，然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解：由/()=后s i n s =得s i n e =,7 1 3兀*.*0 兀,(P -924贝！J=6 sin(d?x+),V/(l)=5/3sin 0得到答案.(3)/的方程为 y =：(x +2)+4,BP x+ay+2-4 =0,过点 M(2,0),计

19、算得到答案.【详解】(2)设圆心为M(附0)(/n Z).由于圆与直线4 x+3 y-2 9=0相切，且半径为5,所以 4 2 9|=5,即|4,”-2 9|=2.因为，为整数，故机=2.5故所求圆的方程为(x-2)2+y 2=2.(2)把直线a x-y+5=0,即y=a x+5,代入圆的方程，消去整 理 得(a2+2)炉+2 (5a-2)x+2=0,由于直线 o r-y+5=0 交圆于 A,8 两点，故A=4 (5a -2)2-4 (a2+2)0,即2 2 a 2-5a 0,由于a 0,解得。工，所以实数a的取值范围是(工,+o o ).12 12(3)设符合条件的实数a存在，则直线/的斜率

20、为-,，a，的方程为 y =(x+2)+4,E P x+ay+1 4 f l=0,由于/垂直平分弦A B,故圆心M(2,0)必在/上，3 3 /5、3所以2+0+2 -4 a=0,解得。=一.由于：丁,+00 故存在实数。=二4 4 0)为减函数，力(x)=/(x)-(x 0)为 增 函 数.(3)证明见1 +2%解析【解析】(1)求出导函数/(X),求出切线方程，令X =O得切线的纵截距，可 得。(必须利用函数的单调性求解)；(2)求函数的导数，由导数的正负确定单调性；5-2/,+|1(3)不 等 式 一 丁 g()=0(x 0),即/(x)2 x,即2 an 5y4=/(2%_ 1+1)2

21、。,1，依次放缩，an 21 2an_2 0,2+a(2 +a)-因此。(a)为增函数：故。=1是唯一解.2 r(2)由(1)可知，g(x)=l n(2 x+l)-2 x(x 0),/z(x)=l n(2 x+l)-:(%0),2 x+l1 2 x不等式一一2 /?()(x0),a 2x+l/(幻 声70,7二；+1,1_ 2:(！_2 ,先 证,_2 =72_ 2 0),2+Q2因 为 如)=口 一2 =4 x2 x+l 0)为减函数.因为 3 =三 不2_ 4x(2x+l-(2X+1)29 r所以h(x)=/(x)(x 0)为增函数.l+2x2(3)证明：由4=y,4+1=/(a.)=ln

22、(2a+l),易得a“0.5-2),+l2%5由(2)可知，8 3 =/(*)-2%=皿21+1)-2在(0,+00)上为减函数.因此，当x()时，g(x)g(0)=0,B P f(x)2x.令x=4 i(2 2),得/(%_)2 a,i，即 a“2a“_1.2因此，当 时，c in 2a n_ i 2 an_2 2 1 a,=.所以5-2,+l2-2成立.1 c八下面证明：-2 力(0)=0,即 f(x)2x2x+l0.+12x1因 此 而令x=%(2 2),得 J；-2 :-21 1 f 1即2 I n V 3 I n V e =,211八八所以-20,所以一一2 0.l n l.8%所以

23、，当2 3时，所以，当“22时，2 0成立.5-2,+|1综上所述，当2 2时，一一2 0成立.2%【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第(2)小题函数的单调性得出数列的不等关系：a 2an_t,1 c 1 /1 c、一一2 .因为Abu平面M E,所以平面P 8 D _L平面M E.(D)如图所示，以O为坐标原点，以DB,DC,D F分别为，V z轴建立空间直角坐标系.易知0(0,0,0),呜，o,o ，40-y 0 心手 f 1 V 3所以5 E=卜 了1,0,而=已 与,0,丽=(

24、；,0,0设平面M E的法向量为企=(x,y,z),则有m-B E -x+-y+z-0,由基本不等式f +y2 z 2孙 可 知144-孙2 2孙，即 孙 4 8,当且仅当x=y=46时取等号，由三角形面积公式可得SMOC sin ZADCa,-3a,0),B(23a,a,0),C(0,3a,0),PA=(2?a,-3a,-V3a),PB=(2?a,a,-6 a),PC=(0,3a,-乖a),_ ffi-PA-O,2 垂)ax-3ay-6 a z =0,设平面Q4B的法向量m=(x,y,z),由一得 二 .取x=l,则沅=(1,0,2)和 P8=0 2yf3ax+ay-/3az=0,设直线PC

25、与平面P43所成角大小为6,“沅1 4 _ 2屈 _亚同 附|Vl2+22J(3a)2+(-V3a)2 5故直线PC与平面PA8所成角的正弦值为正.5解法二：在R S P E C中,P E=D E=P F =-E C =2 a,取 中 点0,所以由(1)可知平面PEC _L2平面A B C E,平面PE C n平面4?CE=EC,所以P 0,平面ABCE,过。作O H LA B于H,连P H ,则由P。，平面A8CE,ABu平面4 B C E,所以A B L P O,又A B L O H,P O c O H =O,则 AB_L平面P O H,又尸“u平面P 0 所以 A B _L PH,在R P O H 中,P O =6 a,O H =B F =2瓜,所以PH=J为，设C到平面Q钻的距离为d,由%“A B=%-ABC，即 X S aPAB X =X S-BECx O P ,B P-x x 4a x=x x4ax2x-734z,3 2 3 2,6可得d=-a7156,7=a r设直线PC与平面P4B所成角大小为e,则.A d 而 J 5.sin U =-=-P C 2 6 a 5故直线PC与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 也.5【点睛】此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.