2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(二)(解析版).pdf

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1、普通高等学校招生全国统一考试数学预 测 卷（二）本卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若三7 =3-5 1 （1 为虚数单位），则在复平面内复数z 所对应的点位于。3 +2 1A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【1 题答案】【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法运算、儿何意义求解.【详解】解:=（3-5 1）（3+2 1）=9+61 1 5 1 +1 0 =1 991,所以在复平面内复数z 所对应的点为（1 9,-9）,位于第四象限.故选：D.2.己知集合A=X|.V-2

2、A-80,XGZ|,!J!IJ A的非空子集的个数为（）A 3 2 B.3 1 C 1 6 D 1 5【2 题答案】【答案】B【解析】【分析】求出集合A，利用集合的非空子集个数公式可求得结果.【详解】A =|A x2-2 x-8 0,x G Z j=x|-2 x 由条形图可知社会保险基金在2016-2019年收入是逐年递增的社会保险基金在2016s2019年间收支并未出现“赤字”V 2020年三项社会保险基金收入合计50666亿元，比上年减少8464亿元，约减少14.3%2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加308S亿元，约增长X5.7%,选项D 是 6.7%,故 D 错

3、误故选：D.5.在平行四边形功8 中，ABLBm旦AB=3.则 BC.CD=0,刃。物 ，某 种“信号净化器F 产生形如y=A）sui x+O,2 O,H y!由题图得，yn卜F e为干扰信号的周期），解得T,2 4.1t d?=2 T T 2/r7=4所 以T 函数的最大值为;,4;.A=-.将 兰，一;)代入 v=-s i n(4 x+A)f 解得 Q =+2 k/r,k e Z.V4E34 4 6兀.3-U 4.（p=y =s i n 4 x+一6 4 1 6所以欲消除y=j s i n （4 x+f）的波需要选择相反的波，即丫=一：s i n 4 _ r+：）所以&=一：，气=4瓶=,

4、4 6故选：B.7-己知刀，.P是不同的直线，”是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.-加%是F?平行于平面。内的任意一条直线 的充分不必要条件B.“7 。，。”是“，口 的必要不充分条件C.upLm,p ”是f uq,ua,p _ L。”的必要不充分条件D.己知a 0,则f uq”是伊，的充要条件【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系，结合充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得 答【详解】解：对于A 选项；，初平行于平面Q内的任意一条直线”这句话本身的表达就是错的：对于B选项：”，7 。，”是“川，”的既不充分也不必要条件；对于C 选项：u a,

5、p _ L。”可以证明“p _ L？，p _ L”，由“p JJII,p _ L”要证明“p _ La”,还需添加条件勺 u a,n 0)上，抛物线的焦点为F，延长M户与抛物线相交于点N,则卜列结论正确的是(1 7A抛物线的准线方程为=D.MF+NF=WW/A【9题答案】1 A D【解析】【分析】根据条件求出P,再联立直线与抛物线求出N,进而求出结论.【详解】解：.点8(4,4)在抛物线)F =2 p x(p 0),X y2=焦点为(1,0),准线为*=一 1,A对，因为 M(4,4),4-0 4故蠕4故 直 线 为；y =?(x-D，=4 x叱+4?(-侦=4 2.日或“4,联乂 4y =-

6、Cv-i)9叫5+4MF+NF=MN=一=MRWF D 对，4QMN 的面枳为;|QF|,()%-3N)=;X 1 X 5=:.故 C 错，故选：AD.1 0.杨辉三角是中国占代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是-种离散型的数与形的结合根据杨辉三角判断下列说法正确的是()A.(X-l)o =x6-6x5+15x4-20 x5+15x2-6.r+lB.己 知(x+2)5=%+3+1)+外 3+1)-+5(.1+1)5,则+角+s一角与c.己 知(1-3.1)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为2D C；+4

7、C；+6C；+4C：+C；=C【10题答案】【答案】AD【解析】【分析】A选项直接由二项展开式进行判断；B选项令x=-2即诃判断：C选项先解出=10,再令.1=1即爪D选项直接由以=Cfo+C%公式依次递推即可.【详解】A选项；等式为标准二项展开式的结果，故A正确；B 选项：将(x+2)5 看 成(1+1)5,则(X+l+1)5 =/()+(X+1)+(X+I)2 +.+(X+l)5,令=一2,则%-+/-%+。4 一角=0,故B错误：c选项：第3项与第9项的二项式系数相等，可转化为C；=C；.则=10,令犬=/,贝IJ所有项的系数和为(一2广=2七 故C错误：D选项：根据杨辉三角得C%=C：

8、+C%,C%=C；+C*,C；o=C；+C；,.Ct=C：+2C；+C；,同理可得C=C；+3C；+3C；+C；=C；+4C；+6C；+4C；+C；,故 D 正确.故选：AD.11.己知数列 豹 满足%(&+1)=3%+？，则下列说法正确的有()A 若所=-12,%=1,则角=5B 若7=0,c若 7/7=12猊-2,3,则，上 3 是等比数列 D 若/=,4=1,则 a-an+2J【I I 题答案】【答案】BC【解析】I 分析心项由递推关系计算可判断；B 选项，递推关系变形为土-牛构造-个等比数列 一可求出通项公式，从而判断；c 选项由递推关系变形出户二|=一从而得到判断；cin J%i+2

9、 74+2D 选项，递推关系变形得出 一一r 是等比数列，从而求得通项公式进行判断.3:一12【详解】A 选项：若也=一12,则斯+/(2an+l)=3“-L2,即2 ，+-9-12 21又 1=1,则时丁=又务=由=亍故A 错误.B 选项：若 7=0,则 4+l(2%+l)=3q”艮 P%12%+1即一=?+Ta 内 x则-1=一也，3一,则-12%2-1=1所 以 一-1是首项为1,公比为1 的等比数列，则-1=3 a13(/+1Z4-1=1+3-：3%由4 4 即%/=故 B 正 确.3-/3i+l 2。.+3 气+12 3则 4=3 用 2-3(2,+1)=主蒙一为心 四+2 3%,+

10、12 2 3 12+2(2气+1)7%+1 4 7 f t+22 虬+1所以是公比为一 2 的等比数列，故 C正确.0 +2 7D选项：若则皿M-成 则；:苦 受 呼 A1 2 2 气+1 2a+/r=1又 决 匚所 以 一 人 4是首项为2,公差为I 的等差数列，所以=+1,1-4 1 r即为一，=J L 即4=+,故 D错误，2+/n +1 2故选：B C12.己知函数/()=阿若函数g(x)=/2f(x)+。有 7个零点，则实数。的可能取值是x +l,x 0A O B.C4【12题答案】【答案】B D【解析】【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同。对应值域的

11、，(力的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定g(X)有 7 个零点时。的范围.【详解】在 X 0/(1./(-V)单调递增旦值域为(0,+8)；故/()的图象如下:当一.vO时有2/3)-1.即此时g)有 1个零点：当=0 时有2/(x)=1,即/(x)=1./(Q=-；有 1个零点，=!有3 个零点，此时g(x)共有4 个零点；当0一。版 2 时有一 1 2/*(工)也 2 1或；2/()1或 12/(工)式2,号_ 1。有】个零点，刎以)捉 3 个零点，(DG有 3 个零点，此时g(W共有7 个零点；当 lg2-llJj 有也 2 1(2/(工)式 0 或 02/0)!或 2 2/(刈

12、式 10,号”号。们个零点，。%3个零点，91时 有 0 2/(x)10,.0 5 有 2 个零点，此时g(x)共有5 个零点;嫁上，要使g有7 个零点时,则一以2 使 _L M N D.根据双曲线定义I就可一 I屹I =2，|*|一四旦|=&.又年朋=F 2 M 9所以I照 7 旺可7田 册|T昭向切出册I T儿疟I二I枷-2 =2 0,所以|协牛如，因 为 凡M N F、N,F2M=所以三角形E:MN是等腰直角三角形所叫 二I昭I=2如i,低D|=2a.MD=&,岫|=陀|-2 0 =(2 7 1 _2),月邛=1屹+松I =2临.在 Rtj D 中,4/2a)2+(2a)2,化简得匚=3

13、,所以e=-=N.rr a故答案为：$【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：口直接求出G C,从而求出J 二构造，c 的齐次式，求出J 二采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解：二根据HI锥曲线的统一定义求解.16.在四面体 访CQ 中，ZC4=2ZACA=90,ADA.BC,A D2=6A2 tail ZDBA.则四面体外接 球的表而积的最小值为_【16题答案】【答案】241【解析】【分析】根据己知证明，平面J5C,得到A Z),A 8,结合A=6/2tanZDBA 得A8=全区，利用正弦定理表示出 访c 中外接圈的半径为厂，对勺表

14、达式使用均值不等式，即可求出扒最小值，从而确定出四面体外接球的表面积的最小值【详解】因为ZCAD=2ZACB=90 r所以AO/AC又 AD+BC,A C O B C =C,所以人。_L平面A8C因为ABC平面A8C,所以 AZ)A8.因为 AD=6/2 tan ZDBA,所以A3=A-AD在_1功 C 中.设外接置I的半径为尸,AB 6则v=-=2 si n Z A C B AD设四面体外接球的半径为R由侧校垂直于底面，知外接球的球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上(提示：球心与底面圆心的连线垂直于底面)，3 6 A D2心新咎临.=6.当旦仅当AD =28时取等号，所以四面体外接球

15、的表面枳的最小值为4须？=2 5.故答案为：2 4 TM四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4 71 7.在中，。，瓦 分别为角_L B,C的对边，且满足4 c o s2 c o s2(fi+C)=-.求土 2 I I 9(2)若点。满足A D =-AC.B D|=V 3,求c-b的取值范围.【1 7题答案】【答案】(D j：(2)(-/3./3)【解析】71I分析】由E+CE及余弦的二倍角公式得到-2 8 SE 2 8 sA 解得8 SA*最后求出A即可；2设 ZABD=0-可得 c-b=在中，由余弦定理可得I佃=2 sin 8 +?),|=2

16、sin ,进而可得1 3)c-|/?=2 sin H-n7二 4 c o s2 y-c o s2(B +C)=2(1 +c o s A)-c o s 2 A =-2 c o s A+2 c o s A +3=解得 cos A=-X 0 vAvm=2 3设 ZABD=0-因为点。满足 A D=-AC,|S5|二 V3.所以=4B-4DM _ W_2在 zlAB。中，由余弦定理可得：sin。乃、sin4.sui 1 6+所以|Afi|=2sin 6+|AD|=2sine,所以=2sin 0即 c 一 b=Vicoso 一 sin。=2 sin K _13 J国为y吟）,所所第）而：、e 2 2所以

17、 c-he（-y/3）.【点睛】关键点睛：本题的解题关健是在成）中，由余弦定理得到|AB|二 2sin|%+A D=2 SUi 进而求得c-r=2sm 停-“，最后求得取值范闱.18.如图，在四棱柱ABCEM/G中，人 人 _ 1 平面48。）-48。为矩形，E,F 分别在线段凡饥二 1二证明：砰平面22 二若 AQ=2,AB=AAr=5,求二面角-BF-Q 的余弦值.【1819题答案】【答案】（1）证明见解析耍129【解析】【分析】（1）过点E作EHZM,交如f点H,连接尸H.根据线面平行的判断定理证明平面FH 平面和/平面再根据面面平行的判定定理证明平面7”/平面M。，然后根据面面平行的性

18、质可证结论成立；（2）以H为坐标原点，分别以A 8./D A 4为X,z轴.建立如图所示的空向直角坐标系利用平而的法向量可求出结果.【小问1详解】,B E B H 1过点归作交子点、”，连接必，所以77=4又因为条=!，所以条=器，所以e S因为FHX平面MQD,AQu平面，所以和平面 又 因 为EH/ZAA.E H cz平而M QD,Mu 平面 AA.D.D.所以印平面4 4。人。因为EHCF H=，EH./7/u平面度友.所以平面FH平面必以。又因为EFu平面砂H所以时平面明。【小问2详解】以M 为坐标原点，分别以A8,AD,AA为 x,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-yz.则 A

19、(0,0,5),C|(5,2,5),5(5,0,0),F(4,2,0),则那=(5,0,-5),丽=(12,0),帝=(-1.0,-5).设平面4?尸法向量为？二（&,凹，弓）m-AB=Q 则 J5X_5Z=0则，m-BF=0-xi+2y,=0=,得得=2,乌=2,则7 二(2 1 2).设平面弓时的法向宣为1=3、刈，乙），则则，n,CF=0令 Z2=h 得七=_5,为=_：,则万=（_5,_；-X2+2y2=0 一匚一 5_1=0一 据；gf雨=而开苓=-w10-尸 27A129由图可知，二面角A 8R仍为锐角，所以二面角A 5/一 G,的余弦值为迪2.12919.已知在等差数列%,如中，

20、前项和分别为S.,3且满足*=扫4=2.”二求数列%,的通项公式：ZI2二若d=（-1），羌_L 求数列，）的前项利Q.【1920题答案】【承髓】(1)？H 3 1r。、M J146 +、，4样食簪46:+【生广【4芋】(1)垄丑瞩眺燃宓急地兵志S-&BiA H;3:+p7 m(M+7)澧面丑&晃2W一我AI3 (F L、1才勺圭奉m一二1T或一7、/sm 9-+1)Eg?+-)*a a 2 A (3+1 T 2 M令rII、.A H 6E-(1)己车nH 1 1)J 1 n T0*&64-i1、IIi、)1r)dH 3亏MrO+t 1、*Xf2(3*r+1 LL-或+p上+XmI T2+32

21、S4X1！3 +4为奇小 tn6+4 数，3、6 +42 0 2 0 2 0 年 9月 2 2 日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采 取 更 加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于20 3 0 年前达到峰值，努 力 争 取 20 6 0 年前实现碳中和”为 了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：小学生初高中生大学及大学以上校生6 0 岁以下的社会人士6 0 岁及以上的社会人士不 了 解“碳中和”及相关措施4 03 08 05 57 0了 解“碳中和”及相关措施208 015 019 08 5二 1二根据所

22、给数据，完成卜.面的2x 2列联表，并根据列联表，判断是否有9 5%的 把 握 认 为“是否了解，碳中种及相关措施”与“学生”身份有关?学生社会人士合计不 了 解“碳中和”及相关措施了 解“碳中和”及相关措施合计n(ad-beyn=a+b+c+d.(+0)(c +d)(i+c)(/?+d)P(K2k)0 0 5 00 0 100 0 0 1k3 8 4 16 6 3 510 8 28二 2 二经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10 人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率

23、都为P（0 VP V I）,每个被调查的人之间相互独立.记 10人中恰有3 人不了解“碳中和”的概率为/（），求/，（p）的最大值点;现时以上的10人进行有奖答题，以中确定的P”作为答错的概率p 的值.己知回答正确给价值。元的礼品，回答错误给价值万元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用 b 表示即町D2 0-2 1 题答案】【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解，碳中和，及相关措施”与“学生”身份有关：（2）po=;（7+3。）【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的计算公式，将计算结果与1 一 95%=0.05所对应的k 值比较大小即可：利用独

24、立重复试验与二项分布的特点，写 出 10人中恰有3 人不了解“碳中和”的概率为/（勿，再利用导数求出最值点；利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.【小 问 1详解】由题中表格数据完成2x2列联表如b：学生社会人士合计不了解“碳中和”及相关措施150125275了解 碳中和 及相关措施250275525合计400400800根 据 列 联 表 得r 800 x(125x250-150 x275)800K2=-=A 3.463 o：当T系)时，广(问V0,.当广(0,斜时，r(p)单调选增：当建信，1 时，r(p)单调递减，./()的最大值点&=土本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼

25、品价值X的数学期望.由知答错的概率为土 则E(X)=10+=7a+3b,I 10 J 10故要准备的礼品大致为7。+3。元.21.在平面直角坐标系X。)，中，郴圈C：4+7A=1(/?0)的左、右顶点分别_ L A F是椭圆C的 右CTD焦点，旦人户=2而，序初=8 二1二求椭圆C的方程：FPFQ口 2二若椭圆C存在一动点连接过点户作直线/OM交椭圆C于R。两点，求证：=T为定值.【2122题答案】(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出椭圆c的方程：(2)可设直线/的方程为*=八+1,设户3,月)，。(土，巧)，材(品，)。，用设而不求法表示出FP FQ=x,X2-(xi+x

26、：)+l+=伊+I)yxy2,和布整理化简即可证明出竺婴为定值一MO 9【小 问1详解】根据题意可知A（,7,0）,6（久 0），尸（c,o）.，:AF=2FB,AF，=8,=2（o_c）,（a=3,JS +c）S-c）=8,解得:1,则尸=/一凌=9 1=8,.椭圆C 的方程为土+匕=1.9 8【小问2 详解】由（1）得 F（1,0）.易知直线/的斜率不为0.则可设直线/的方程为1 =）+1,3 况）Q（土况）,M（W,北），一 直线OM的方程为X则/P=Cxi-Lyi）,FQ=,则 FP 尸。=A；x,-（x,+x,）+1+yy2.=（ry+l）（ry2+1）=ryy2+r（+y2）+1.

27、玉+W=（）+已）+2,FP FQ =X,X2-（A；+易）+1+月方=（尸+I）y*.（联立直线/与椭圆。的方程，结合根与系数关系求出）、）顷勺值，代入FPFQ）O$21=日 9+5,得（8 尸+9）y,+16/y-64=0,口 A/y+1,=512（4 尸+5）,则%+”=-乜-.溢尊代=*I!1（联立直线与椭圆C 的方程，求出r_L 广一1 mg v 石 得（8 尸+9疔=72,.异寿x=ry.=+7=（号）+y；=（尸+1）X=?+i）8 尸+9-64(尸+1)FP FQ _ 8 尸+9 _ 8*为定值W O 72(E)9*MO22.B 知函数/(x)=eA-m(x+l)22.718)

28、7!1二选择下列两个条件之一：=7=1，判I析/(X)在区间(0,+8)上是否存在极小值点，并说明理由X二己知，70,设函数8侬)=/(*-1)+加拉(m1)若88)在区间(0、+8)上存在零点，求实数w取值范围.【2223题答案【答案】(1)选择不存在，理由见解析；选择存在，理由见解析 !,+0在(0.+8)上恒成立，所以广(x)在(0,+8)上单调递增，所以当0。，+。)时，r(x)广(0)=0,则/(同在(0,+8)上单以递增，不存在极小值点.若选择m=1,则/()=-(1+1),则 f(x)=e-2x-2.令(*)=,一 2x2，则n(x)=e 2,单调递增,且 Qn2)=0,所以力)

29、在(O,ln2)上单调递减，(血2七力)上单调递增.又 r(ln2)=-21n2v0,尸(2)*2 60,所以存在xoe(ln2,2),满足广(x。)=O.则/*()在(0中)上单调递诚，在(+。上单调递增，所以六x)存在极小值点知【小问2详解】令 g(x)=0,贝I产 _ 技+=0又 M 0,所以领一 1 1(逍=4八 一1 +111(时)=广顼拓(,德)=令f=x-ln(tr),即可转化为4 一_=0有解.设 h(t)=则由 h(f)=d-勺0+时,/(x)用，则/(x)/(l)=1,所以l+lnml,得？21.故实数m的取值范围是1,+时.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由g(x)=0町得广岫“1 -x-m(K)=0,令r=xln(mr),将问题转化为=0有解，构造力=e-/利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题