2022-2023学年原创全国名校高中数学真题模拟专题训练-导数与极限.pdf

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1、2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编（上）12导数与极限三、解答题1、（河南省实验中学2022-2023学年2022-2023学年学年高三第二次月考）设函数f(x)甡江lnx+ln(x+l).l+x(I)求f(x)的单调区间和极值；(II)是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x）a的解集为(0,+oo)？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力满分14分解：(I)f(x)=1-ln x 一丛=-ln x 2分x(l+x)(l+x)2 x x+I(l+x)2 故当XE(

2、Q,l)时，j飞(X)0 I XE(l,+00)时，f(x)0,故关于x的不等式f(x)a的解集为(O,+=).10分(ii)当aO时，由f(x)芒ln（三）即(2)=+1n(1+i J，其中n为正整数，且有ln(1 上巴上ei-ln-logzei-1).12分2 J 2 2 1n 2 n In 2 n 1n 2 2 ln 2 又n?2时，=1+2 l+(l+l),n(n-1)n-1 2 2ln2 a 4ln2 且n+1.n-1 2 n II 取整数n满足n41n2 0;lJ;,lEn0-log2(e2-1),n。十 1,且no;:2 I a 如(2o)=f。ln2+1n(1勹二竺a1+2o

3、2。22,即当aO时，关千x的不等式f(x）?ca的解集不是(O,+=).综合(i)(ii)知，存在a，使得关于x的不等式f(x）?ca的解集为(0，产），且a的取值范围为（=,O.14分2、（河南省实验中学2022-2023学年2022-2023学年学年高三第二次月考）已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)土x2+bx+c 3 2 的导函数为j(x)(I)设a=f(2),b=f(l),c=f(O)，求函数f(x)的解析式；(II)如果方程f(x)=0的两个实数根分别为y、/J，并且1r/J2 问：是否存在正整数no,使得f(n。1）至？请说明理由4(I)解：f(x)=x2+ax+b.：ac

4、2a+bb二，解得忙二-3x3 1八:.J(x)=-x2-3x-3.6 3 2 力(II):f(x)=0的两根为r、/3，:.f(x)=(x-y)(x-j).:I y f O,f(2)=(2-y)(2-/J)0.:.f(l)f(2)=(1-y)(l-/3)(2-y)(2-/3)=(r-l)(2-y)(/3-1)(2-/3)三(y-l+2-y)2(/3-1+2-/3)2 八.2 16 10刀:.0 0,f(2)0,:.0 f(l):-:;或0f(2):o:;.4 严n。=1或n。=2使lfcn。)|0,f(x)在(0,1)上单调递增；当XE(1,2)时，J(x)0,J(x)在(1,2)上单调递减

5、。又f(O)=0,f(l)=.f(2)=A-,f(2)15,：当XE(0,2)时f(x)的值域是o,;方法二：当x=O时f(x)=0；当X E(Q,2时J(x)=-5-4 1 4 1 2 3尸厂当且仅当x=砌x=1时f(x)的值域是0，一2 o,;x+2 x -(2)设函数g(x)在0,2的值域是A,了对任意X1E 0,2，总存在X2E 0,2 1 使f(x,)-g(xi)=0。.呤己对函数g(x)求导，g(x)=a x2-a2,当XE(Q,2),a 0时，函数g(x)在(0,2)上单调递减，g(0)=0,g(2)=!a-2a2 O时，g(x)=a(x矗）（x+如，令g(x)=0得x矗或x=拉

6、（舍去），(i)当XE0,2,Q矗2时，列表X 0(0，扣矗（五，2)2 g(x)。+g(x)0-!,2勹-a嘉个8 _:._a-2a2._.g(O)=O,g（丘）0，又呤A,:.g(2)=!a2a2 2 勹解得飞卢1.(ii)当店（0,2)，石立时g(x)0，占函数g(x)在(0,2)上单调递减，g(O)=0,8 g(2)=:a-2a 20心当x叶0,2时，不满足O,A.综上实数a的取值范围是且寸4、（江西省南昌二中2022-2023学年2022-2023学年学年度第一轮第二次段考）已知函数f(x)的导数f(x)=3x2-3ax,f(O)=h.a,b为实数，1a 2.(I)若f(x)在区间-

7、1,1上的最小值、最大值分别为2、1，求a、b的值，(II)在(I)的条件下，求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程；（田）设函数F(x)=f(x)+6x+l产，试判断函数F(x)的极值点个数解：（I)由已知得八）3 xi=x-ax-+2+b，由f(x)=O,得X1=0，易a.XE-1,1,1 a 0,f(x)递增；当XE(0,1)时，j(x)0,/(x)递减寸(x)在区间-1,1上的最大值为f(0)=b,:.b=I.3 3 3 3 又f(l)=l-a+l=2-a,f(-1)=-l-a+l=-a,.f(-1)0I得a2+3 3 3.-3 3.泸0,la2,:.当2!J_a2时，

8、F(x);:0 3，函数F(x)为单调递增，极值点个数为O;五当1a 2-时，此时方程F(x)=0有两个不相等的实数根，根据极值点3 的定义，可知函数F(x)有两个极值点5、（江西省南昌二中2022-2023学年2022-2023学年学年度第轮第二次段考）已知函数J(x)丿入，2alnx(aER2(),(I)若函数f(x)在(1,心）为增函数，求a的取值范围；(Il)讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由解：（1)若函数f(x)在(1,+oo)上恒成立。则f(x)=X 巴o在(1,+oo)上恒成立，即：ax2在(1,OO)上恒成立。所以有正1(2)当a=O时，f(x)在定义域(0,+oo)上

9、恒大千0，此时方程无解，当a 0在(0,+oo)上恒成立，所以f(x)在定义域(0,oo)上为2 增函数。1-1-:f(l)=-:-0,f(e)=-:-e-1O时，f（x)x-=x x x 因为当xE(0，五）时，j(x)0,j(x)在(0，丘）内为减函数；当XE心，如）时，j(x)在（a应）内为增函数。所以当x矗时，有极小值即为最小值j（拉）1a-aln矗1a(l-lna)。2 2 当aE(0,e)时，J(aa)=-=-a(l-Jn a)0 2，此方程无解；当a=e时，f(a)=0此方程有惟解x=a。.a=a(lIn a丁2 当aE(e,+oo)时，j（如叶a(l-lna)0且l五，所以方程

10、f(x)=0在区间(0，丘）上有惟解，2 因为当xl时，（x-lnx)0,所以xlnx1 所以x In x,f(x)沪alnx扛ax,因为2a矗l,所以f(x)一(2a)2-2a2=0,2 所以方程f(x)=0在区间（五，钩）上有惟解。所以方程J(x)=0在区间(e,+oo)上有惟两解。综上所述：当aE 0,e)时，方程无解；当ae时方程有两解6、(2022-2023学年年重庆中高2022-2023学年级第次月考）已知函数J(x)=x3+a立bx(a,bER)若y=J(x)图象上的点（l，卫）处的切线斜率为-4，求y=f(x)的极大、极小值。解：f(x)=x2+2ax-b,f(l)=-4.1+

11、2ab=-4 又(1,11)在f(x)图象上，11 +ab=即ab+4=0由解得a=lb=3:.f(x)=x3-x2-3x,J(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).J(x)=x2-2x-3=0解得x=-1或3.X（女，1)y,+y/-1。极大值(-1,3)值 3OlJ 极(3，如）+/.f(x)极大/(-1)=,f(x)极小/(3)=-9。7、(2022-2023学年年重庆一中高2022-2023学年级第一次月考）已知函数f(x)矿(e为自然对数的底数），g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数），g(x)是实数集R上的奇函数。(1)求证：J(x)巨x+l(xER);(2)讨论关于x的

12、方程：1ng(x)=g(x)(x2-2ex+m)(m ER)的根的个数；（提示：lim巴0)X今如x/1/1/1/I(3)设n eN*，证明：(!（勹厂十.+（勹(e为自然对n n n n e-l 数的底数）。(1)证：令h(x)=e入-x-l,h(x)=e入1，令h(x)0矿10 xO时f(x)O;xOB寸，j(x)O的根的个数即凹五2ex+m在xO的根的个数(meR)X 令u(x)匣芒，v(x)=x2-2ex+m注意xO，方程根的个数即交点个数X 1 Xln x 对u(x)匣芒，（xO),u(x)=.,!1lnx=X X-x-令u(x)=O,得x=e,当xe时，u(x)O;当Ox 0.:.

13、u(x)极大u(e)=,lnx 当xO时，u(x)今女X lnx 当x今如时limu(x)=lim=0 I x+00 X+oo x 但此时u(x)0,此时以x轴为渐近线。当me21-即me1 一气时，方程无根e e 当m-e三1即m=e江丿时，方程只有一个根e e 当me2l l-即me2+时，方程有两个根e e(3)由(1)知l+x:S:矿(xER),.-l X=,i=1,2,n-1,n i 占1上:;e了，于是(1-上)”:;(e古）”e-;,i=1,2,.,n-l,n n.l,I()2+(-=-)n nl n2 1 +()=(l)”+(1-.:.:._.=_)+.+(1)”+1 n n

14、n n n n 1 一(n-1)-11-11 1-:;e-11-1)+e-+.+e-1+1=l-e l-e,l l e 1-e-1.1.1 1 a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)=sinx.2分2-sinx+sin2 x g(x)=，定义域为习x妇，kEZ.4分smx(2)g(x)=cosx(sin 2 x-2)sin 2 X g(x)的单调增区间为冗3冗(-+2k兀，冗2k冗），（冗2k冗，2k冗）（kE Z),2 2 g(x)的单调减区间为（亨2k冗，2k冗），（2k冗亨2k兀）（kEZ),8分(3)由（2)知g(x)在X E（气时单调递减，所以冗llJ5-6g(x)g()=3

15、 6 所以a:;ll5-6 6.12 分9、（湖北黄陂中2022-2023学年届高三数学综合检测试题）已知函数f(x)=(xO).(1)试判断函数f(x)在(0,+oo)上单调性并证明你的结论；(2)若f(x)上恒成立，求整数k的最大值；x+t(3)求证：(l+lx2)(1+2x 3)1+n(n+1)e2-3 0 解：(1)f(x)扣二1-ln(x+l)=上上十ln(x+l)(2分）x+1 x x+1 1:X 0,:.X2 0,O,In(x+1)0,:.J(x)k恒成立x+1 x 即h(x)的最值大千k.(6分）x-1-ln(x+l)h(x)=,g(x)=x-1-Jn(x+I)(x 0)X 则

16、g(x)=-=-:-0,:.g(x)在(0，钩）x+1 上单调递增，又g(2)=1-ln3 0:.g(x)=0存在唯一实根a,且满足ae(2,3),a=I+ln(a+1)当x心g(x)O,h(x)0心x心g(x)O,h(x)0)x x+l 3x 3 3.ln(x+1)-1=2-2-.11分x+1 x+1 x x=n(n+l)(n E N*)，则3 lnl+ll(ll+1)2-n(n+l):.ln(l+lx2)+ln(l+2x3)+lnl+n(n+1)3 3 3 (2-)+(2-)+-+2-lx2 lx3 n(n+1)1 3 1=2n-3+.+lx2 2x3 n(n+l)1 3=2n-3(1-)

17、=2n-3+2n-3,t+1 n+1:.(1+lx2)(1+2x3)1+n(n+1)t1-n-3.14分10、（江苏运河中学2022-2023学年年高三第一次质量检测）已知函数f(x)=x2-x+alnx(1)当x习1时，f(x)今x2恒成立，求a的取值范围，(2)讨论f(x)在定义域上的单调性；解：由f(x）x叶亘成立得alnxx在xl时恒成立当x 1 时a E R-2分当X 1时即a全上，令g(x)=I g(x)=lnx-1 lnx 1nx ln2x-4分xe时g(x)o,g(x)在xe时为增函数，g(x)在xO 1(1)当6=1-8aO,a时，ft劝以0恒成立，I(劝在(0I+00)8

18、上为增函数9分1(2)当a一时8 1 当Oa 2 0 f(邓在l汇l+j忑2 2 上为减函数，f(劝在(0,l卢l三2,2 产）上为增函数11分当a=O时，f(劝在(0/1上为减函数，f(邓在1/+CX)）上为增函数13分当aO时，l三2 0/故f(成在(0,l+玉2 上为减函数，凡劝在l+豆2,+oo）上为增函数15 分11、（安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考）已知为实数，函数f(x)=(x勹)(x+a).(I)若函数位）的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围，(II)若f(-1)=0 t求函数位）的单调区间；解：(I).J(x)=x3+ax2十%x+%a,:

19、.f(x)=3x2+2釭.3 2 函数位）的图象上有与轴平行的切线，.f(x)=0有实数解.D=4a2-4x3xo 2 9.a.所求，的取值范围是迈迈（女，）U(,+OO).2 2(II):fO,得x一；由f（x)0，得lx;因此，函数兀）的单调增区间为(-oo,I,一2 1-1,-:-.2+oo)；单调减区间为1 12、（北京五中12月考）已知f(x)=ln(x+l),g(x)=ax2+bx 2(1)若b=2，且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若a=0,b=l时，求证f(x)-g(x)红0对千X E(-1，如）成立；(3)利用(2)的结论证明若Ox(x

20、+y)ln 2.解：(1)b=2时h(x)=In xax22x,h(x)上ax22.X 2:h(x)有单调减区间，h(x)0有解，即l-axx-2x 0,.-.ax2+2x10有解(!)a 以0时合题意Q)aO,即a-1,:.a的范围是(-1,+oo)(2)设(fJ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+l)-x,(fJ1(x)-1二:x+l x+l:X -1 X(-1,0)。(0,+oo)妨(x)+。叭x)/最大值：当x=O时，(x)有最大值01:.f)(X)o恒成立即f(x)-g(x)0对x-1成立(3).0 X Iy=0 2x 2y 2x 2y 求证成立(12分）13、（北京市东城区202

21、2-2023学年届高三部分学校月考）设函数f(x)=ax-(a+l)ln(x+1)，其中a圣l，求f(x)的单调区间解：由已知得函数f(x)的定义域为1，+oo)且f(ax-1 X)=-=-=-(a:?:一1).x+l(1)当1:;a红OO寸，J(x)OO寸，由f(x)=0，解得x=.f(x)、f(x)随x的变化清况如下表：1 1(-=-1,+oo)X(-1,)a a a f(x)。+.f(x)极小值/从上表可知l l 当X E(-1,)时，J(x)0，函数f(x)在(冲心）上单调递增a a 综上所述：当la织0时，函数f(x)在（l，知）上单调递减l l 当a僅寸，函数J(x)在(-1,)上

22、单调递减函数f(x)在(,+oo)上单调递增a a 14、（北京市东城区2022-2023学年届高三部分学校月考）设函数f(x)=-ax气了x+a,xE(O，仆其中aO.(1)若肛）在(0,1上是增函数，求a的取值范围；(2)求位）在(0,1上的最大值解（1)当XE(0,1抇，f(x)=-a-+l2分 汀(x)在(0,1上是增函数f(x)以0在(0,1上恒成立即as5 尸在（0,1上恒立3分x x 而Oxsl时(勹儿，n=-J26分0 as 2.7分(2)由(1)知当O5时，令f(x)=0,x=二E(0,1 a-l Ox 0,了xsl时f(x)0/(x)max=f（已）a-.13分当 5时，f

23、(x)max=a矗亡I14分15、（甘肃省兰州中2022-2023学年2022-2023学年高三上学期第三次月考）已知函数f(x)=x4-4x3+a.x2-1在区间0,1单调递增，在区间1,2)单调递减，(I)求a的值；(II)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-I的图象与函数f(x)的图象恰有3个交寺，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。解：（I）由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间0,1单调递增，在区间1,2)单调递减。知x=I时，取得极大值，：f(l)=02分:f(x)=4x3-12x+2ax.3分:.4-12+2a=0a=44分(II)函数g(x)=bx2-

24、1的图象与函数f(x)的图象恰好有3个交寺，等价于方程x4-4x3+4x2-1=bx2-1恰有3个不等实根6分x4-4x3+4x2-1=bx2-1x4-4x3+(4-b)x2=0:X=0是其中个根，方程x2-4x+(4-b)=0有两个非零不等实根A=16-4(4-b)0bO且丘44-b=t:-O 故存在实数：bO且庐412分.8分16、（广东省广州市2022-2023学年2022-2023学年学年高三第学期中段学业质量监测）已知J(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2(I)求函数J(x)的单调区间，(II)求函数兀）在t,t+2(tO)上的最小值（田）对一切的XE(0，知），2f(

25、x）:Sg(x)+2恒成立求实数a的取值范围解(I)f(x)=lnx+l，令f(x)0，解得Ox 0，解得X,.j(x)单调递增区间是：上0);4分(Il)(i)Ott+2!,t无解；5分e(ii)Ot _!_ t+2,即Ot.!.时，f(x)min=f(_!_)=-_!_;7分e e e e(iii)l 匀t+2/即t_!_时，f(x)在t,t+2单调递增，f(x)min=f(t)=tint9 e e 分l f(x)m,o飞，tlnt 1 Ot 1 e10分t e（田）由题意：2xIn x 3x2+2ax-1+2 即2xlnx 3x2+2ax+1:XE(0，如）可得a江1nX 3 1-x-.

26、11分2 2x 3x 1 设h(x)=lnx-,2 2x 则h(x)上2+上-(x-1X3x+l12分x 2 2x2 2x2 令h(x)=0得x=l,x=-l（舍）当Ox0；当xl时，h(x)O当xE(l,3)时，/(x)16ln29=f(1)八产1)-32+11=-21 f(3)所以在f(x)的三个单调区间(-Ll),(1,3),(3主c)直线y=b与y=f(x)的图象各有个交点，当且仅当f(3)b 2k-l(k)n(n+1)(nE N,n2)参考数据：/n2 0.6931.1 解：（l)f（劝1一，由题意，得f(1)=0a=O2(2)由(1)x+a 知伈劝x-lnx:心劝2x=x2+b心x

27、-lnx+2x=Jf红红令x2-3x+lnx+b=0 设队劝x2-3x+lnx+b(x 0)1 2x2-3x+1(2x-l)(x-1)则g(x)=2x-3+-=.4 X X X 当x变化时，g冈，g(劝的变化清况如下表1 1 1 X(0,-2)(-2,1)1(1 t 2)2 2 g(x)+。+b-2+G(劝/极大值 极小值/ln2.6 1 5 当X=1时，g(x)最小值g(l)=b-2,g(2)=b-4-ln2,g(2)=b-2 1+ln2了方程心x)+2x=x2+b 在-,2上恰有两个不相等的实数2 k.l,3,I,9.2-b-22 In。In-1习乙切勾ddd 丿由良木f(k)=Ink n

28、 1 3n2-n-2 J.2 2k-f(k)n(n+1)1 1 1 1 3n2-n-2 心-+ln2 ln3 ln4 Inn n(n+1)(nEN,n2)10 1 设氓x)=lnx-:-(x2-1)4 则(/J(x)=_=-1 x 2-x2(x+)(x-)x 2 2x 2x 当P-2时，(/:J(x)0 函数JX.x)在2/+CX)上是减函数，3 1.-.(/)(x)(/)(2)=ln2-:-0/nx=2（一lnx x2-1(x+l)(x-1)-,x-1 x+1).13 1 1 1 1 1 11 11 11.+2(1-)+（一一）+（一一）+（一一）ln2 ln3 /n4/nn3 2 4 3

29、5 4 6 1 1+.(-:-:-)n-1 n+1 1 1 1=2(1+-)2 n n+l=：原不等式成立.14 20、（江苏省盐城市田家炳中学2022-2023学年届高三数学综合练习）已知x=l是f(x)=2x-!_+lnx的个极值点(1)求b的值，(2)求函数f(x)的单调增区间；(3泌支g(x)=f(x)_1_，试问过点2,5)可作多少条直线与曲线y=g（劝X 相切？请说明理由。解：(1)因x=l是f(x)=2x!_+ln x的一个极值点f(l)=0 X 又f(x)=2乌！所以2+b+l=Ox x:.b=-3经检验，适合题意，所以b=-3.3 1(2)f(x)=2飞十0又x O.Xlx-

30、X.函数的单调增区间为1,+oo)3(3)g(x)=f(x)-=2x+lnx X 设过点(2,5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x。,y。).y。-5=g1(x。)（x。-2)即2x。+lnx。-5=(2+丿)(x。-2).lnx。+_3:_-2=0X。X。令h(x)=1nx+3:-2 1 2.h1(x)=-=0.x=2 X x-.h（劝在(0J 2)上单调递减，在（2，知）上单调递增:又h()=2-ln20,h(2)=1n2-1o.h（劝与x轴有两个交点过点(2J 5)可作2条曲线y=g（劝的切线21、（江西省崇仁中2022-2023学年届高三第四次月考）若函数f(劝=a炉b烂cx+d是

31、奇函数，且f(劝极小值f(-)=-.心气39(1)求函数f(邓的解析式；(2)求函数f(劝在-1,m(m -1)上的最大值，凡-.1(3)设函数g(劝-，若不等式g(劝g(2k劝之（好在(0/X2 K 2k)上恒成立，求实数k的取值范围解：（1）函数f(劝a炉b烂cx+d是奇函数，则b=d=O I fl(-)=a+C=0 3 a=-1 fl(劝3a烂C，则五五正气c=1/(-)=-=-3 I g 3 9 故f(劝炉X;.4分立立(2):fl(劝-3烂1=-3(x+3)(x-3)y.f(劝在(-oo,-五五),(3 I I 3 I+00)上是增函数，3 3 在 33 上是减函数，由f(劝0解得x

32、土1,x=O,如图所示，当lmO时，f(从max=f(-1)=0;五当0 匀m时，f(劝max=f(m)=-m乓m,3 I x 五五气当m时，/(x)max=I()=故/(x)max=3 3 9 0(-1 m 0)-m3+m(O匀m)五3 f.9分五五9(m之）3 1(3)g(劝（x冈，令y=2k-x，则x,yER十且2k=x庐2归又令t=xy,1 1 1 则0 0时，只x)在（O八五勹伍上递减在,+oo)1 上递增，且尺灼（一好，k kO 要咋）(i-好恒成立，必须1-4k50 0 K15时，yO;当0 xl5时，y0I 因此，当x=I5时，y取得最小值，Ymin=2000元答：为了使楼房每

33、平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。23、（揭阳市云路中学2022-2023学年届高三数学第六次测试）设定义在R上的函数f(x)=孔灶年炉和X气无x(a,E R,i=0,1,2,3)当x=心，f(XJ取衙及大值五并且函数y=f1XJ 2 3 的图象关于y轴对称。(1)求f(x)的表达式；(2)试在函数f(x)的图象上求两点，使以这两寺为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间-1,1上；（3）求证：lf(sin气劝f(cosx)I 3(xE/?J.解：ft(x)=4动x3+3年烂2a;.x无为偶函数，.f(-x)=f（劝，4ao炉3aix22a;.x+动4ao炉3年烂2a;.x+动，

34、4ao炉2aix=O对一切XER恒成立，动cl2.=0 J:.f(x)=ai炉无X又当x=-产2 时f(x)取得极大值，产3 I(-立卢2)=3 I f(-立2)=0,解得生：f（x)=：炉x，ft(x)=无1,2烂14分(2)解：设所求两寺的横坐标为Xl、沈(X1 X2)，则(2矿1)(2x22-1)=-1 又凡，劝E-1,1,.-.2x12-1 E -1,1,2x产lE-1,1:.2xi2-1,2x22-1中有个为1,个为1,X1=0 I X1=-1 1 沈1或心01 I.所求的两点为(0t 0)与(1)或(0t 3 O)与(-1,-)30(3)证明：易知sinXE -1,1,cos XE

35、 -1,1。立立当OX时，f（劝O;当X-1),(1)当a=l时，试求函数g(x)的单调区间，并证明此时方程g(x)=0 只有个实数根，并求出此实数根，(2)证明:1 1 1 In n+l 2 3,(n 2 2,n E N-).n 1 2 解：（1)当a=l时，g(x)=x2+x-ln(x+I),(x -1),则g(x)=2x+l-=1 x(2x+3)，令g(x)0及t-1，得xO，所以单调x+l x+l 增区间为(0I+00)I令g(x)0及x-1得lxO即a2时，f(x),f(x)的变化清况如下表()(-(X)I(0,2-X。2-a(2-a,+oo)0)a)J(x)。+。/千极大 f(x)

36、极小值值由题意应有f(O)=0,得a=00,(I)证明当Oal;(II)点P(xo,yo)(0 xo 1)在曲线y=f(x)上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用Xo表达）1-l,X E(0,l 证明:(I).:f(x)=11-.!_ I=x.x 1 1-:,X E(l,+OO)故f(x)在(0t 1上是减函数，而在(1,+oo）上是增函数，由Oab 且f(a)=f(b)得Oal 2立a b a b 故矗伈l，即abI l l 1(Il)Oxl时，y=f(x)=11-I=-1,.J(x0)=-勹,Q Xo o得1-12bO即b12(4分）(2)寸(x)在t=l处

37、取得极值/(1)=0.3-l+b=O,得b=-2,(5分）令/(x)=0 得2-3 l-x X2=1(6分）可以计算得到f(xtm=2+C(7分）所以2+c 2或c-1(8分）(3)可以计算得到八xt,ax=2+C I(10分）.对-1,2内的任意两个值X1,X2,都有f(x)血,=-+CI 2 叩）J(x2仁2+c-（产）勹(12分）27、（山东省德州市宁津高中2022-2023学年2022-2023学年学年高三第次月考）函数l(x)=2x-:!_的定义域为(0,1（，为实数）(1)当a=-1时，求函数y=f(x)的值域，(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，求的取值范围；(3)求函数

38、y=f(x)在XE(O,1上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值解：（1)f(x)=2x+;:2.J2 1 _-X E(0 1 1 1：当且仅当2x=，即X=五X 2-时，f(x)nin=22 I 所以函数y=f(x)的值域为2五，OO）;(4分）(2)因为函数y=f(x)在定义域上是减函数，所以吓x)=2+a 2x2+a-=o对XE(0 1 1恒成斗，X X 即a-2x2 I XE(0,1，所以a(-2x2)minI所以a三2，故a的取值范围是(-00,-2;(8分）(3)当a以0时，函数y=f(x)在(0,1上单调增，无最小值，当x=l时取得最大值2-a;由(2)得当a-2时，函数y=

39、f(x)在(0,1上单调减，无最大值，当X=l时取得最小值2-a;当2aO时，函数y=f(x)在(O,上单调减，在2 三2 ，l上单调增，无最大值，当x=五2 时取得最小值2汇五(14分）28、（山东省临沂高新区实验中学2022-2023学年2022-2023学年学年高三12月月考）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,2 若x=时，y=f(x)有极值，曲线y=f(x)在点(l,J(l)）处的切线l不过第四象限且斜率为3。(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在-4/1上的最大值和最小值。解：(1)f(x)=3x2+2ax+b.1分2 2 由题意，得尸2 2-)=3x(-+2ax-+

40、b=0 a=2,3)3 解得J(l)=3xl2+2axl+b=3.b=-4.4 分设切线l的方程为y=3x+m而由原点到切线l的距离为-，则曰而10启10,解得m土l切线l不过第四象限，m=1,切线l的方程为y=3x+I 由于切点的横坐标为1,切点坐标为(1I 4)I寸(1)=4,.l+a+b+c=4.c=5.6分(2)由（1)知f(x)=3x3+4x-4=(x+2)(3x-2).,令f(x)=0得X1=-2,x2=.6分列表如下：(-4 I 2 2(-2 3,l)X-4-2(-2,-3)1-2)3 f(x)+。+f(x)-极大值 极小值/“函数-11 13 95 4 27 I I I I I

41、 I I j(x)在-4/1上的最大值为13,最小值为11。值.12分29、（天津市汉沽一中2022-2023学年2022-2023学年学年度高三第四次月考试题）已知f(x)=lnx 1 g(X)=-:-X叩m(mO)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(I)求直线l的方程及m的值；(II)若h(x)=f(x+1)-g(x)（其中g(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值；（田）当Oba时，求证：f(a+b)寸(2a)仁立2a 解：(I):f(x)=_!_,:.f(l)=1.直线l的斜率为1且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0

42、).直线的方程为y=x-1.2分又直线l与函数y=g(x)的图象相切，立方程组l y=x-1 y=2 7有一解-x-+1nx+-2 2 由上述方程消去y，并整理得x2+2(m-l)x+9=O(!)依题意，方程有两个相等的实数根，:.ti=2(m-1)2-4x9=0 解之，得m=4或m=-2:m-1)l-X:.h(x)=-=-=-1=x+l x+l.6分.7 分己当XE(-1,Q)时，h(x)0,当XE(Q,+oo)时，h(x)0.；当x=O时，h(x)取最大值，其最大值为2.10分a+b._ _ b-a（田）f(a+b)-f(2a)=ln(a+b)-ln2a=In=ln(l+).2a 2a.1

43、2 分:Oba,:.-ab-aO,l b-a.-0.2 2a 由(II)知当XE(-1,Q)时，h(x)h(O)己当XE(-1,Q)时，ln(l+x)x,b-a.b-a.ln(l+).2a 2a:.f(a+b)-f(2a)15时，f(x)0;当0 x15时，f(x)O因此当x=15时，f(X)取最小值!(15)=2000;答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。31、（厦门市第二外国语学校2022-2023学年2022-2023学年学年高三数学第四次月考）设函数f(x)=x2e-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=l为f(x)的极值点(I)求a和b的值；(II)讨论f(x)

44、的单调性；解：（I)因为f(x)=ex-i(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-i(x+2)+x(3ax+2b),又x=2和x=l为f(x)的极值点，所以J(-2)=J(l)=0,因此-6a+2b=0解方程组得a=丿b=-l.3+3a+2b=O,(II)因为a=-1,b=-1,所以f(x)=x(x+2)(ex一I-1)I 令f(x)=0 t解得X1=-2 I Xz=0 I =I.因为当XE（如2)U(O,l)时，f(x)O.所以f(x)在(2,0)和(1叶心）上是单调递增的；在（心，2)和(0,1)上是单调递减的32、（重庆市大足中学2022-2023学年年高考数学模拟试题）已知函觅(x)

45、是偶函数，当XE-4,Q时f(x)!入,3+x2-ax(a为实数）(1)若f(x)在X=-2处有极值，求a的值。(6分）(2)若f(x)在2,4上是减函数，求a的取值范围。(8分）解：(1)f(x)=x2+2x-a2分.-.f(-2)=0-.归.4分a=0-6分(2)设Oxs4:.-4sxO f(-x)=-x3+x2+ax:.f(x)=x3+x2+ax(O 0),a2=t2当X=几时，函数f(x)=(a11_,-a,1)x-(a11-a,+1)x,(n 2)取得极值。(1)求数列动的通项公式。(6分）(2)若点Pn(1,bn)。过函数g(x)=ln(l+x2)图象上的点(a11,g(a,)的切

46、线始终与OP，平行(0是坐标原点）。求证：当 t 2时，不等式1 1 1兰+0)6分2a(2)证明：由b,=g(a,）得bn=-=-2t 1+a 1+t2,.l l l:.=-(t”+-).8分bIl2 t1:_:_t2令当一t釭，旧寸一为减函数，1t 2，一为增函数。2 2 b/1bIl 当t=或2时一取得最大值。bf1 1 1.(211+).l2分b11 2.2；分(2+22+-2n)伈号）=2-(1+2一”)x-ax2+b恒成立？若存4 3 在，求b的取值范围；若不存在，说明理由解：（I）在y=心x)的图象上任取一点P(x,y)，它关于点(0,2)对称的点为Q-x,1-y)e.e一r矿1

47、由y=及（ly)-=1-=0 矿1 e一+1 ex+I ex+I 立知点Q在y=伈划图象上从而由P的任意性可知y=心劝的图象关于点(0,-）对称(II)广（x)=In 6(0 x-1)2ax(x+l-)构造函数F(x)=ln(l+x)-x+ax2.F(x)=2a x+l 1 1 又x0,aE-,-43 若F(x)O，则XE己1,+oo).F(x)在（上1,+oo)上为增函数2a 2a 故当xO时F(x)江F丛1)=1n上上a2a 2a 4a 1 1 _ 1 1 记h(a)=In-+a aE一，2a 4a-43 注意到h(a)1 1 一(.!.-2)20故h(a)在aE昙）为增函数4 a 4 3

48、 故h(a)江(-)1n2-要使F(x)b恒成立，只如(x)习h(a);?:h()b即可故b的取值范围妪OO，ln2-）37、(2022-2023学年届福建省福鼎中高三理科数学强化训练综合卷)已知函数f(x)入3矿3x.(1)若f(x)在XE1 1+00)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在xEl,a上的最小值和最大值解析：(1)J(x)=3x2-2a.x+30.X-1 3 1 a-(x+-)2 x-3分3 1.a-(x+-)=3(当x=l时，取最小值）2 x m.in:.a 3(a=3时也符合题意）3.-6分(2)f(3)=0 I良p27-6a+3=

49、0 I:.a=5 I f(x)=X3-5X2+3X.a三令f(x)=3x2-l0 x+3=0得x=3,或-8分当lx3时，f(x)0；当3x 0 气（舍去）即当x=3时，f(x)有极小值/(3)=-9.又f(l)=-1,/(5)=15-10分:.f(X)在X E1,5上的最小值是/(3)=-9/最大值是/(5)=15.-12分38、（北京市东城区2022-2023学年2022-2023学年学年度高三年级部分学校月考）设函数f(x)=ax-(a+l)ln(x+1)，其中a一l，求f（x)的单调区间解：由已知得函数f(x)的定义域为1,+oo)，且f(x)=axl(a1).x+l(1)当l三a红O

50、l3寸，f(x)O时，由f（x)0，解得x=.f(x)、f(x)随x的变化清况如下表：1 1(1,+OO)X(-1,)a a a.f(x)。+f(x)、极小值/刁从上表可知l l 当XE(-1,）时，f(x)0,函数f(x)在（一，OO）上单调递增a a 综上所述：当1:;a:;0时，函数.j(x)在(-1,+oo）上单调递减l l 当a创寸，函数f(x)在(-1,）上单调递减函数f(x)在(-,+OO）上单调递增a a 39、（北京市东城区2022-2023学年2022-2023学年学年度高三年级部分学校月考）设函数f(x)=a心三厂x+a,x E(0,11其中a O(1)若f(x)在(0,