2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点知识讲义第07讲抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究含详解.pdf

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1、第 7 讲 抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究考点一“两定一动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】如 图，已知定点A、0,在 x轴上找点P,使AOAP为等腰三角形则 P i、P z、P 3、P 4即为符合题意的点P解决策略：卜勾股定理“求点即：当 O A=O P 时，以0点为圆心，0 A 长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点 当 O A=A P 时，以A点为圆心，0 A 长为半径画圆，与目标直线x 轴的交点即为所求点 当 A P=O P 时，线段0 A 的中垂线与目标直线x轴的交点即为所求点【类题训练】1.(2 0 19 秋云梦县期末)如图，己知抛物线y=*+6x+4与 x轴相交于

2、A、B两点，与 y轴相交于点3C,若已知A点的坐标为A (-2,0).(1)求抛物线的解析式；(2)求线段3c所在直线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 A G P 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.(2 0 2 1秋 南昌期末)如图，二次函数丫=/+法+。的图象交轴于人(-2,0),B(1,0),交 y 轴于 C(0,2).(1)求二次函数的解析式；(2)连接A C,在直线AC上方的抛物线上是否存在点N,使 N 4C 的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由;(3)若点M 在 x轴上，是 否 存 在 点 使 以

3、8、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由.yyy，备用图1 备用图2 3.(2 0 2 0佛山模拟)如图,己知抛物线y=-f+f c c+c与x轴交于点A (-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点力的坐标为(1,0),点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形B D C P面积的最大值；(3)如图，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点8运动，到达点B时停止运动，且不与点0、B重合.设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段B C于点Q,连 接O Q，是否存在f值，使得2。为等腰三角形？若

4、存在，请求出，的值；若不存在，请说明理4.(2 0 2 2河池)在平面直角坐标系中，抛物线h：y=o?+2 x+6与x轴交于两点4,B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线心的函数解析式，并直接写出顶点。的坐标；(2)如图，连接B。，若点E在线段8。上运动(不与B,。重合)，过点E作E F L x轴于点R设E F=z,问：当他为何值时，8 F E与 (2的面积之和最小；(3)若将抛物线心 绕点B旋 转18 0 得抛物线上，其 中C,。两点的对称点分别记作M,N.问：在抛物线乙2的对称轴上是否存在点尸，使得以8,M,P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的

5、坐标；若不存在，请说明理由.备 用 图 考 点 二“一 定 两 动”型 等 腰 三 角 形 存 在 性 问 题【知识点睛】如 图，P、Q分别为AB、CB上一动点，当BPQ是等腰三角形时，有以下几种情况:BQ 5”=3即BQ=PQ可转化为:BP ;BP=PQ可转化为：3 8特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形步骤如下：根据点的坐标，表示出三边的平方根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在【类题训练】1.（2 0 2 1 陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=l,且该抛物线与y轴负半轴交于C点

6、，与x轴交于A,B两点，其中B点的坐标为（3,0）,且O B=O C.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两 点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在 点。，使是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，（1）求抛物线解析式；（2）若点M 为直线BC下方抛物线上一动点，轴 交 8c于点N.当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；如 图 2,连接B M ,当 a B MN是 等 腰 三 角 形 时，求 此 时 点M的 坐3.（2 0 2 1秋大连期末）在平面直角坐标系中，抛物线），=加+云-3 （a,b 是常

7、数，a 0）与x轴交于A、B两点，与 y轴交于点C,对称轴为直线x=l.（1）填空：b=（用含。的代数式表示）；（2）当-I W x W O 时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5,求 a的值；（3）若点A的坐标为（-1,0）,点 E的坐标为（x,0）（其中x N O）,点 Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形C E。？若存在,求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【课后综合练习】1.（2 02 2 春北培区校级期末）如图，已知点（0,2）在抛物线C 1：=2/+加+。上，且该抛物线3 3与x 轴 正 半 轴 有 且 只 有 一 个 交 点 A ,与y 轴 交 于 点B,点0

8、为 坐 标 原（1）求抛物线。的解析式；（2）抛物线C 1 沿射线B A的方向平移亘个单位得到抛物线C 2,如图2,抛物线Q 与 x轴交于C,3。两点，与 y轴交于点E,点 M 在抛物线Q 上，且在线段 的下方，作 MN y 轴交线段。E于点N,连 接 ON,记 /）的面积为S i,E O N 的面积为S 2,求 S 1+2 s 2 的最大值；（3）如 图 3,在（2）的条件下，抛物线C 2的对称轴与x轴交于点F,连 接E F,点 P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足直接写出P点坐标；是否在抛物线C 2 的对称轴上存在点H，使 得 为 等 腰 三 角 形，若存在，请直接写出”点的坐标；若不存

9、在请说明理由.第 7 讲 抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究考点一“两定一动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】如图，已知定点A、0,在x轴上找点P,使AOAP为等腰三角形则Pi、Pz、P3、P4即为符合题意的点P解决策略：卜勾股定理“求点即：当O A=O P时，以0点为圆心，0A长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点 当O A=A P时，以A点为圆心，0A长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点 当A P=O P时，线段0A的中垂线与目标直线x轴的交点即为所求点【类题训练】1.(2 01 9秋云梦县期末)如图，已知抛物线y=/+fer+4与x轴相交于A、B两点，与)，轴相交于点

10、C,若已知A点的坐标为A (-2,0).(1)求抛物线的解析式；(2)求线段B C所在直线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 A C T为等腰三角形？若存在，求出符合条件的尸点坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将A (-2,0)代入抛物线的解析式即可求得答案;(2)先求得点8、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线B C的解析式;(3)设P(2,f),然后表示出Z X/I C尸的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等得出方程，求解即可.【解答】解：将 点A (-2,0)代入 产/+b x+4中，31Q得(-2)+(-2)b+4=0解得：/?=,3 抛物线的解析式为y=?+

11、生 计4；(2)当x=0时，y=4,3 3.点C的坐标为(0,4),当 y=0 时，_AJT+x+4=0,3 3解得：x i =-2,X 2=6,.,.点B的坐标为(6,0),设直线B C的解析式为y=kx+n,将 点B (6,0),点C (0,4)代入解析式y=k x+，得：(6 k+n=0I n=4g解得：3,n=4直线B C的解析式为y=-1.r+4；(3).抛物线y=+生c+4与x轴相交于A (-2,0)、B(6,0)两点,3 3二抛物线的对称轴为=6+1-2)2假设存在点P,设 尸(2,f),则 AC=7 22+42=V 2 0，4P=V 2-(-2)2+t2=V 1 6+t2-C

12、P=7 22+(t-4)2 =V t2-8 t+2 0 ,AC P为等腰三角形，故可分三种情况：当 AC=AP 时，7 2 0 =V 1 6+t2，解得：f=2,点尸的坐标为(2,2)或(2,-2)；当 AC=C P 时，7 2 0 =V t2-8 t+2 0 解得：r=()或r=8,二点尸的坐标为(2,0)或(2,8),设直线A C的解析式为y=mx+n,将点 A(-2,0)、C (0,4)代入得&+0,I n=4解得：(j ；直线A C的解析式为y=2 r+4,当 x=2 时,y=4+4=8,点(2,8)在直线A C上，二4、C、P在同一直线上，点(2,8)应舍去；当 A P=C P 时，

13、V16+t2=Vt2-8t+20，解得：r=，2.点2的坐标为(2,工)；2综上可得，符合条件的点P存在，点尸的坐标为：(2,2)或(2,-2)或(2,0)或(2,工).22.(2 0 2 1秋南昌期末)如图，二次函数yu a/+f o r+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),交y轴于 C(0,2).(1)求二次函数的解析式；(2)连接4 C,在直线A C上方的抛物线上是否存在点N,使 N4 C的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；(3)若点M在x轴上，是 否 存 在 点 使 以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存

14、在，说明理由.即得二次函数的解析式为y=-/-x+2；(2)过N作 即 y轴，交A C于。，由A(-2,0)、C(0,2)得直线A C的解析式为y=x+2,设N(n)-“2 -+2),则。+2),可得 N)=-“2 -2”，即得 SA M C=/N)*|X C-X A|=-(n+1 )2+1,根据二次函数性质可得答案；(3)设 M (n 0),可得 B A/2=(l 1)2,C A/2=/2+4,8 c 2 =+2 2=5,分三种情况：当 8 C=C M时，於+4=5,得 M(-1,0)；当 时，(L 1)2=5,得 M (旗+1,0)或(-遥+1,0)；当 时，(L1)2=3+4,得 0).

15、2【解答】解：(1)由二次函数丫=加+公+。的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),设二次函数的解析式为：y=a(x+2)C x-1),把 C (0,2)代入得：2=。(0+2)(0-1),解得a=-1,工二次函数的解析式为y=-(x+2)(x -1)=-x2-x+2,答：二次函数的解析式为y=-/-x+2；(2)在宜线A C上方的抛物线上存在点N,使 N4 C的面积最大，过川作人，。丫轴，交A C于 Q,如图：设直线A C的解析式为y=kx+b,把4 (-2,0)、C(0,2)代入得:2k+b=0,lb=2解得：(k=l,lb=2直线AC的解析式为y=x+2,设 N (,-2 -n+2)

16、,则 D(,+2),:.N D=(-2-+2)-(+2)=-n2-2n,SNACND,XC-XAX (-”2-2)X 2-n2-2n-(n+1)2+l,2 2-1 T_Lx 轴,：.E F/DT,E F=B E=B FDT BD Bf.m _ BE _ BF五 27 5 2,A/R 1：.B E=4 m,BF=m,2 2 _.BFE 与 (；的面积之和 S=-l x(25/5-m)x 3 L+l.X m x lm=2 2 5 2 2 4 2 1 6v A o,4；.S 有最小值，最小值为 空，此时m=旦，1 6 2.?=2 时，4 8尸 E 与A OEC的面积之和有最小值.2解法二：求两个三角

17、形面积和的最小值，即就是求四边形O CEF面积的最大值.求出四边形OC E F的面积的最大值即可.(3)存在.理由：如图2 中，由题意抛物线乙2 的对称轴x=5,M(6,P(5,m),当 8 尸=8 知=啦 时，22+/n2=(?/2)2,+V 1 4-APl(5,V I 4),2(5,),当尸B=PM 时，22+汴=2+(切+3)2,解得，/=-1,图2 P3(5,-1),当 时，（蚯）2=12+（胆+3）2,解得，?=-3 0 7，.”4（5,-3+V 1 7），P 5（5,-3-/1 7）.综上所述，满足条件的点P的坐标为P i （5,丁 五），P2（5,-A/五），P3（5,-1）,4

18、（5,-3+V 1 7）.P 5（5,-3-）.考点二“一定两动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】如图，P、Q 分别为AB、CB上一动点，当BPQ是等腰三角形时，有以下几种情况:BQ_5 即 BQ=PQ可转化为:BP 1;BP=PQ可转化为：8Q 8特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形步骤如下：根据点的坐标，表示出三边的平方根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在【类题训练】1.（20 21 陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=l,且该抛物线与），轴负半轴交于C点，与x轴交于A,B两点

19、，其中B点的坐标为（3,0）,且O B=O C（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两 点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点。，使是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在,请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根 据O B=O C,可 得C（0,-3）,由抛物线的对称轴为直线x=l,可得A（-1,0）,利用待定系数法可得出答案；（2）设点-2m-3）S.m ,则 M N=2 C m-1）,当点 M、N在 x 轴下方时，若 N Q M N=9 0 ,且历N=M。时，M NQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可，当点M、N在x轴上方时，

20、若N Q M N=9 0。，且时，M NQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可.【解答】解：（1）点的坐标为（3,0）,且O B=O C,；.C点的坐标为（0,-3）,抛物线的对称轴为直线x=l,8点的坐标为（3,0）,/.A点的坐标为（-1,0）,设抛物线的函数表达式为）=4 （x+1）（x-3）（aW O）.将 C（0,-3）代人 y=a（x+1）（x-3）中，解得：a 1.抛物线的函数表达式为y=（x+1）（x-3）x1-2x-3.（2）轴，且例、N在抛物线上，：.M.N关于直线x=l对称，设点 M（?，nr-2 m-3且，1,贝ij M N=2（w -1）,当点M、N在x轴下方时，若N

21、QM N=90 ,且MN=MQ时，M V Q为等腰直角三角形，：.MQ LMN,即 A/Q _ L r 轴，.2（w -1）=-（z n2-2m-3）.解得：U =遥，2=-遥（舍去），.点 M 为（旗，2-2 7 5）,Q（V 5.0）.由 M Q 1=M N 可 得-（2-?而）=V 5 -XN 解得：X N=2.点 N 为（2-遥，2 -25）故当N MN Q 2=9 0 ,M N=N 0 2时，点0的坐标为（2-遥，0）.当点Af、N在x轴上方时，若NQ MN=90 ,且M N=M。时，MN。为等腰直角三角形，：.MQ LMN,即 MQ J _ x 轴,；.2 （z n -1）=汴-2

22、m-3,解得：如=2+遥,加2 =2 -娓（舍去），.点 M 为（2+&，2+2 而），点 0 3 为（2+泥，0）,由 MQ i=MN,可得 2+2 A后=2+V 5 -XN,解得 XN=-V 5 ,.点 N 为（-遥，2+2 7 5）.当N M/V 0 4=9 O ,例N=N 0 4时，点。4的坐标为（-&，0）.综上所述，存在满足条件的点。，其坐标分别为（代，0）或（2-f，0）或（2内而，0）或（-A/5-0）.在平面直角坐标系中，抛物线y=+x+c经过A(1,0),C(0,5)两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式；(2)若点M为 直 线 下 方 抛 物 线 上 一 动 点

23、，轴交B C于点N.当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；如图2,连接当 B MN是等腰三角形时，求此时点 的坐标.图2 【分析】(1)把A,C代入抛物线，求得6 c即可;(2)先求出B C的解析式，再设M (?,后-6?+5),则N(w,-m+5),表示出M N的长，再配方即可；设出M,N的坐标，再表 示 出 和B N,再分三种情况：MN=B N或 MN=B M或 B M=B N,分别计算即可.【解答】解：(1):抛物线)，=+法+MN=-m2+5 m=-（m-2+,.当1 nq 时，A/N的最大值为 空，2 4.线段M N的长度最大时，当M的坐标为号 号），线段M N的

24、长度最大声；：点M在抛物线y=/-6 x+5上，点N在直线y=-x+5上，设 M （加，加2 -6/%+5）,则 N （m，-m+5）,：.M N=-n?+5m,B N=（5-m），：OB=OC,:.N M N B=N OC B=45 ,i.当 M N=8 N 时，-混+5 m=&（5）,解得：m=5（舍去），.,.M（心 7-函），ii.当 时，则 N N 8 M=N MM3=4 5 ,：.N N M B=90,则 nr-6血+5=0,解得?=1 或z=5 （舍去），.M（1,0）,Ui,当 8 M=8 N 时，N B M N=/B N M=4 5 ,:./N BM=90 ,-（z n2-6

25、m+5）=-ni+5,解得加=2或加=5 （舍），：.M（2,-3）,当 8 MN是等腰三角形时，点M的坐标为（&,7-8历）或（I,0）或（2,-3）.3.（2 0 2 1秋大连期末）在平面直角坐标系中，抛物线），=苏+云-3 （a,b是常数，a 0）与x轴交于A、B 两 点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=l.（1）填空：b=-2a（用含“的代数式表示）；（2）当-I W x W O时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5,求a的值；（3）若点A的坐标为（-1,0）,点E的坐标为（x,0）（其中x 2 0）,点。为抛物线上一动点，是否存在以C Q为斜边的等腰直角三角形C E Q?若存在，求出点

26、E的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x=2=1即可解决问题；（2）分别算出-x=l和x=0对应的函数值即可求得a的值；（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标.【解答】解：（1）：抛物线），=苏+法-3对称轴为直线x=l,.对称轴为直线=上=1,2 a：b=-2a,故答案为：-2 a；(2)当x=0时，y=-3,此 时 点(0,-3)到x轴的距离小于5,当 x=-1 时，y=a+2a-3=3 -3.3a-3=5,解得a=&：3(3)存在，,:X C EQ 是以CQ为斜边的等腰直角三角形，设。（X,/-2 x -3）,如图，过点

27、E作x轴的垂线/,再分别/的垂线，分别交于点M和点MV ZCEQ=90,A ZQEN+ZCEM=:/Q EN+/N Q E=9C ,:/E Q N=/C E M,:NCM E=/QNE=90,EC=EQ,：.lE N Q lC M E CAAS：.CM=EN=x2-2 x-3f NQ=EM=3,；-x+x2-2x-3=3,解得x=2-运1 一或x二 一3也至（舍去）,2 2.O E=CN=9-N宣 一,_ _ 2：.E 0）；2如图,.点A(-1,0)与点8关于直线x=l对称,；.B 点的坐标为(3,0).二点E和点。重合，点。和点8重合，此时E(0,0)；如图，过点E作x轴的垂线，再分别过点

28、C和点Q作垂线广的垂线，分别交于点M和点M,同理：EM C丝 Q N E(AAS),CM=EN=x2-2.X-3,NQ=EM=3,AX+3=A2-2 x -3,解得 x“3（舍去），2 2.O E=CM=g W -,2：.E 0）.2 _ _综上所述，点 的坐标为（却叵，0）或（0,0）或（里 亚1-,0）.2 2【课后综合练习】1.（2022春北硝区校级期末）如图，已知点（0,2）在抛物线C i：y=2?+乐+c上，且该抛物线3 3与x轴 正 半 轴 有 且 只 有 一 个 交 点A ,与y轴 交 于 点B,点O为 坐 标 原（1）求抛物线C 1的解析式；（2）抛物线C 1沿射线B A的方向

29、平移Y亘个单位得到抛物线C 2,如图2,抛物线Q与x轴交于C,3。两点，与y轴交于点E,点 在 抛 物 线Q上，且在线段E Q的下方，作加汽丫轴交线段C E于点N,连 接O N,记E M。的面积为Si,E O N的面积为S2,求Si+2s 2的最大值；（3）如 图3,在（2）的条件下，抛物线C 2的对称轴与x轴交于点F,连 接E F,点P在抛物线C 2上且在对称轴的右侧，满足/P E C=N E F O.直接写出P点坐标；是否在抛物线C 2的对称轴上存在点儿 使 得 为 等 腰 三 角 形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由.【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利 用（1

30、）的结论和已知条件求得抛物线Q的解析式，依据图象求得S+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；(3)设E P与x轴交于点H,利用相似三角形的判定与性质求得线段C H的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论.【解答】解：(1)点(0,Z)在抛物线G：y=2/+b x+c,上，3 3._2 C-.3:该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A,：.h3 3设直线E D的解析式为y=+，.f 3 k+n=0,l n=2解得：3.n=2二直线E D的解析式为y=-x+2.轴交线段D E于点N,抛

31、物线的对称轴为直线x=2,：.F(2,0).:.OF=2.,:OC=1,：.CF=OF-OC=.EC=7OC2-K)E2=7 12+22=VS，NPEC=NEFO,NPEC=NPEF+/CEF,NEFO=NPEF+NG,：.ZCEF=ZG.；/ECF=/GCE,:ECFs4GCE,.EC 二 3 育 五:CE2=CFCG,：.CG=5,：.OG=OC+CG=6,：.G(6,0).设直线EG的解析式为y=ox+2,64+2=0,.a-3直线EG的解析式为），=-x+2（7,x=解得：卜=或I,1 y=2 5ly 6在抛物线C2的对称轴上存在点/y=-x+2o2 2 8 cF X+2o o使得PDH为等腰三角形，理由:：.P（二，$）；2 67 5：.0K=，PK=,2 6:.DK=OK-O D=L PG=KF=OK-OF=5,2 2 W-VPK2+D K2=华 V LbVF=1,.抛物线C2的对称轴上不存在点，使得HP=PD；当 时，设（2,h）,贝 I 过点P 作 P G,抛物线对称轴与点G,如图，：HP=HD,：.VDF2+HF2=VPG2+HG2.1 2+人 2=/)2+(吟)2，解得：h=L6：.H(2,工).6综上，在抛物线01的对称轴上存在点H,使得 )”为等腰三角形，点H的坐标为(2,7).6