2023届高考数学一轮知识练习：空间向量（含解析）.pdf

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1、2023届高考数学一轮知识点训练：空间向量一、选 择 题(共 15小题)1.设点M 是 z 轴上一点，且点M 到 4(1 0 2)与点B(l,-3,1)的距离相等，则点M 的坐标是()A.(-3,-3,0)B.(0,0,-3)C.(0,-3,-3)D.(0,0,3)2.己知点B 是点4(3,4,-2)在 xOy平面上的射影，贝 I 司 等 于()A.(3,4,0)B.2V5 C.5 D.V133.0 为空间任意一点，若 加=：雨+;而+：小，则A,B,C,P 四点()4 8 8A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断4.在长方体ABCD-&B1GD1中，源 +近+西=()A.

2、DB B.DB C.DD.BD、5.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧 面 PAD为正三角形，底 面 ABCD为正方形，侧 面 PAD 1面4BCD,M 为底面4BCD内的一个动点，且满足MP=M C,则点M 在正方形4BCD内的轨迹为下图中的()6.在直角坐标系中，4(2,3),B(3,-2).沿 x 轴把直角坐标系折成120。的二面角，则此时线段的长度为()A.2 V 5B.2V ilC.5 V 2D.4 V 27 .若点尸是正方体4 B C D -a B1 GD1的底面4BCD上一动点，且P到直线BC的距离与到直线G 5的距离相等，则点P的轨迹（）A.是有限个点 B.位于双曲线上 C.位于

3、抛物线上 D.位于直线上8.若直线1的方向向量为,=（1,0,2）,平面a的法向量为丘=（-2,0,-4）,则（）A.l/aB.11 aC.I u aD与a斜交9.如图，在空间直角坐标系中有长方体Z 8 C D-a B 1 G 0 1，AB=1,BC=2,A Ar=3,则点B到直线4C的距离为（）B.雪C.苧 0.110.若平面a的法向量为元，直线I的方向向量为讥 直线，与平面a的夹角为。，则下列关系式成立的是（）A.co s =_ _l n|v|C.s in。=占g|n|v|BD.co s n =1_n M_l n|v|n n ln-v|D.smO I n|v|11.已知正方形4 B C D

4、的面积为2,点P在边4B上，则 丽 丽 的 最大值为（）A.B.2212.在空间四边形。ABC中，瓦？+布 一 方 等 于（A.OA B.ABC.-D.V 22）C.OC D.AC13.如 图，在空间四边形48CD中，设E,F分 别 是B C,CD的中点，则 前+/玩 一 丽）=（）AC.AFD.FF14.在正方体4BCD 4B iC i。I 中，若 E 为 4 1 cl的中点，则直线CE垂直于()A.AC B.BD C.AD D.AA15.已知五=(1-t,2t 1,0),B=(2,t,t),则|加 一 d|的最小值为()A.V5 B.V6 C.V2 D.V3二、填 空 题(共 7 小题)1

5、6.己知d=(2,4,%),b=(2,y,2),若|由=6,且,_ L b,则 x+y=.17.若力(m+l,n +1,3),B(2m,n,m 2n),C(m+3,n 3,9)三点共线，则 m+n=18.若 d 1 比 与,、d 与 E 的夹角均为 60。，|a|=1,b=2,I c|=3,W J(a+2b-c)2=-19.已知在长方体ABCC-AiBiGDi中，底面ABCD是边长为2 的正方形，高 A 4 为 4,则点公到 截 面 D 的距离是.20.已知4(2,-5,1),5(2,-2,4)，C(l,-4,1),则 向 量 荏 与 冠 的 夹 角 等 于 .21.已知空间四边形0 4 B

6、C,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边04,8 c 的中点，点 G 在线段MN上，且 丽 =2 而，若 有 而=x6?+y赤+z方，则 x,y,z 的值分别为.22.三 棱 柱 A B C-A yB 中，若石？=日，CB=b,CC;=c,则 不 可 用 2,b,1 表示为AB=.三、解 答 题(共6 小题)23.已知过，5 是两个不共线的向量，a=u+v,b=3 u-2v,1=2 过+36.求证：a,b,0 共面.24.已知正方形4BCD的边长为1,PD _L平面4B C D,且 PD=1,E,F 分别为4B,BC的中点.(1)求点D 到平面PEF的距离；(2)求直线4 c 到平面PEF

7、的距离.25.正方体ABC D-AIBIG A的棱长为。，点、E,F 分别是当的，如劣的中点，求：(1)点 4 到平面B D F E的距离；(2)直线当5到平面B D F E的距离.26.如图：正四棱柱ABC。-4 1%的 1 中，底面边长为2,B g与底面A B C D所成角的大小为arctan2,M是DDr的中点，N 是 B D上的一动点，设 丽 =ADB(O 1 (_ 1,_ 1,0)=_2+：+0=0，所 以 方 1 而，所以CEJ.BD.15.C【解析】因为五=(1 一 t,2t 1,0),b=(2,t,t),所以不 _ a|=V(l+t)2+(l-t)2+t2=V 3 t2+2 V

8、 2,所以当t =o时，13-a 取得最小值V L16.1 或 一3【解析】提示.2,4 2 j j；=6；(a b=4 +4 y +2%=01 7.0【解析】AB=(m 2n 3),AC=(2,4,6),4、B、C三点共线 存在实数k,使得AB=kAC,即(m 1,-1,m 2几-3)=k(2,4,6),即(m 1):(1):(m 2n -3)=2:(-4):6，解得3m=2,n=-l故？n +n =0.1 8.1 11 9.-3【解析】如图，以4为原点建立空间直角坐标系,则2(0,0,4),当(2,0,4),式0,2,4).设平面ABXDX的一个法向量为n=(x,y,z).因 为 福=(2

9、,0,4),砺=(0,2,4),AB n=0,丽 元=0,所 以 明I M*令 z=1,则论=(-2,-2,1),所以4=誓=.In|32 0.-3【解析】AB=(2,-2,4)-(2,5,1)=(0,3,3),AC=一 (2,-5,1)=(-1,1,0),所 以 南 尼=3.再由I荏|=3&，A C =V 2,设向 量 四 与 前 的 夹 角 仇 则 有 荏 而=|荏 H 旅 Icos3=3 aV2cos0=6cos6.故有3=6cos0,所以cosO=再由0 W 8 W n,可得。=21.i,J,16 3 322.-o,+b-c【解析】如图所示，三棱柱A BC-&B1G 中，且 8 5,C

10、B=b,CCi=c,所 以 砧=AA+A C +CB=CC-CA+CB=-CA+C B-C C =-a +b-c.23.c=xa+yb,即 2+3=x(u+)+y(3u 2)，所以 2+3=(%+3y)u 4-(%-2y),所以:+猊;解得(4-4._y-所以=蓑/一 b.所 以 乙 b,，共面.24.(1)建立以点O 为坐标原点，DA,D C,而分别为轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则 P(O,O,1),4(1,0,0),C(0,l,0),E(l,p O),F&l,o)，所 以 而=(一,：,0),P E =(l.p-1),D E =(1,1,0).设平面P E F的法向

11、量为n=(%,y,z),则 此 亘=O,J(n -P E =0,fl,1 c即|x +-y =0,2-x +-y-z =0.令 x =2,则 y =2,z =3,所以元=(2,2,3),所以点D到平面P E F的距离d =鬻=V 1 7.(2)因 为 荏=(0M,0),所以点A到平面P E F的距离c f =噂=2=绊，|n|V17 17所以直线A C到平面P E F的距离为卑.25.(1)建立如图所示空间直角坐标系，则 4(a,0,0),B(a,a,0),(0,0,0),F(O,a),E,a,a),D/O O a),Ba,a,a),设元=Q,%w)是平面BD F E的一个法向量，则 元 丽=

12、0,n-DF=0,又 丽=(a,a,0),而=(0，a),a u +a v =0,v+aw=0,所 以 於 二 源令v =2,则平面B D F E的一个法向量ft=(-2,2,-1),所以|n|=V(-2)2+22+(-1)2=3,在平面B D F E上取一点D,可得向量次=(a,0,0),于是点A到平面B D F E的距离d=噌=ix a+2 x o+(-i)x o i=2a|n|3 3(2)因为瓦瓦=(a,a,0),平面BO F E的一个法向量元=(一2,2,-1),所以 n=a x(-2)+a x 2+0 x (-1)=0,显然B/i不在平面B D F E内，所以直线当。1平面8。F,在

13、直线上取一点5，在平面内取一点。，可 得 向 量 西 =(0,0,a),于是点5 到平面BDFE的距离即为直线B Q到平面BDFE的距离d=喑 =二竺*卢 也1-Q.326.(1)连接 D/,由题意 =3即N为O B中点，又M是。1中点.所以M N为BO。1中位线，则MNZB,又D iB在平面ABCiDi上，所以M N与平面4BGD1平行.(2)由题意，B Q与底面ABCD所成角为4GBC，即tan/C/C =器=2,CjC=4,建立如图所示空间直角坐标系。-x y z,B(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),M(0,0,2),DB=(2,2,0),B C =(-2,0,0),=

14、(-2,-2,2),由 题 意 而=。而 =(2儿2尢0),则N(24,2/l,0)(0 4 俨=仇(n-BM=2x 2y+2z=0 卜=z.令y=1,则日=(0,1,1),点N到平面BCM的距离d满足：d=粤 粤=匚 詈=V 2-V22.|n|V227.(1)因为AC-BD=(AB+AD+AA)-(AD-AB)=AB-AD+AD+AA1-AD-AB-AD AB-AA1-AB=AA-AD-AA-AB=abcos60 a/cos60=0,所 以 温1而，B|J ACr 1 BD.(2)因为I 西|2=(BD+DD)2=(A D-AB+曲 12 12 1 12-,.,=AD+网 +|4 4|-2A

15、B-AD-2AB-AAr+2AD-AAr=苏+02+炉 _ 2。acos90 2abcos60+2abeos60=2a2+b2f所以 IM I=y/2a2+b2.因为布西=(AB+AD)(BD+西)=(AB+AD)(AD-AB+研)=A B-A D-画 *+祐.而 +画 之 一 而.四 +祐.而=0 a2+a/?cos60+a2-0+abcos60=ab,又|4C|=V2a,所以 cosCAC,BD；)=禺邕=厂 2-z =T=j.1/2a2a2+b2 V 4a2+2b2又因为异面直线所成角的范围为(0,2，所以直线BD1与 AC所成角的余弦值为Y-.V4az+2oz28.(1)以E 为原点，EB为无轴，EC为 y 轴，过 E 作平面4BC的垂线为z 轴,系，建立空间直角坐标则 4(-1,0,0),(1,0,1).4 式-1,0,2),E(0,0,0),C(0,A/3,0),而=(2,0,1),西(0,73,0),因 为 而 就=-2 +2=0,A D-IC O,所以 AC 1 E 4,AD 1 EC,因为 E&nEC =E,所以4。J.平面&EC.(2)B i(l,0,2),西=(1,0,2),因为AC 1 平面4EC,所以平面4 E C 的法向量而=(2,0,1)，(-1,0,2),EC=所以点B i到平面&E C 的距离dI 砒 而 I _ _ 4V 5AD 西 5