2023年江西省高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf

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1、2023年江西省高考文科数学压轴题总复习1.如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线C：=4 x的焦点为F,点力是第一象限内抛物线C上的一点，点。的坐标为(t,0)a 0).(1)若|0川=而，求点/的坐标；(2)若为等腰直角三角形，且乙取。=9 0 ,求点。的坐标；(3)弦 经 过 点。，过弦4 5上一点作直线=的 垂 线，垂足为点0,求证：直线0 4与抛物线相切”的一个充要条件是“尸为弦N 8的中点”.第1页 共104页2.已知函数/(x)=l nx+(x-2)(1)求曲线y=/(x)在 点(1,/(D)处的切线方程；(2)若关于x 的不等式/(x)V/。在 g,1)上恒成立，求。的取值

2、范围.第2页 共104页3.已知函数/(x)=mx-nxl nx(j n,n/?).(I )若函数/(x)在(1,/(l)处的切线与直线x-y=O 平行，求实数的值;(I I )若=1 时，函数/G)恰有两个零点X I,X 2 (0X l 2.第3页 共104页4.已知函数(x)=ax+lnx+.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W/恒成立，求实数。的取值范围.第4页 共104页5.在平面直角坐标系中，A,8分别为椭圆：万+y 2 =i 的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且 C、。两点在y轴右侧，C在

3、。的上方)，直线/O 与 8c相交于点。.(1)设 的两焦点为尸1、尸 2,求/尸”尸 2 的值；(2)若 6=3,且PO=*P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点0 的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第5页 共104页7 F c.6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 B两点（1 ）求椭圆的标准方程；1（I I）当直线/的斜率为5时，求弦长|4 8|的值.（I I I）设M （机，0）是线段OF（O为坐标原点）上一个动点，且（而+病）1m，求机的取值范围.第 6 页 共

4、1 0 4 页7.已 知 项 数 为(znCN*,m 2 2)的数列“”满足如下条件：(T)an G N*(n 1,2,w)；aia2-a,n.若数列 为 满足b；=(ai+azqMam)e N*,其中=1,2,m,则称 篇 为 a”的“心灵契合数列”.(1)数 列 1,5,9,11,15是否存在 心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列“；若不存在，请说明理由；(2)若 为 即 的“心灵契合数列”,判断数列也”的单调性,并予以证明；(3)己知数列 斯 存 在“心灵契合数列”如，且G=1,劭,=1025,求机的最大值.第 7 页 共 1 0 4 页8.设数列4：a,“2,，(2 3)的各项

5、均为正整数，且a iW a z W W a”.若对任意在 3,4,”,存在正整数3 /(1 W iW/V k)使 得 四=。汁华 则称数列/具有性质7.(I )判断数列4：1,2,4,7与数列血：1,2,3,6是否具有性质丁；(只需写出结论)(I I )若数列4具有性质T,且m =l,图=2,。=2 00,求的最小值；(I I I)若集合 5=1,2,3,，2 019,2 02 0=S U S 2 U S 3 U S 4 U S 5U S 6，且 SC 5=0(任意3/6 1,2,6,i壬/).求证：存在$,使得从S中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质7的数列.第8页 共104页9

6、.已知函数/(x)=g(x)=2l nx+2a(a R).(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：存在(0,1),使得方程/(x)=g (x)在(1,+8)上有唯一解.第9页 共104页1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I )讨论/(x)的单调性；(H)设 6 2 0,若/(元)在xo处有极值，求证：f (xo)方 0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（一1,（1）求椭圆C 的方程；（2）设 尸（x,y）为椭圆C 上的动点，F为椭圆C 的右焦点，/、8分别为椭圆C 的左、右顶点，点尸 满足P P =（4-x,0）.证明：为 定 值；|P F|设。是直线/：x=4 上的动点，直线A

7、Q、B Q分别另交椭圆C于 Af、N 两点，求|四用+|询的最小值.第1 2页 共104页1 3.正整数数列“”的前N项和为S”前项积7,e N*(/=!,2,H),贝|J称数列*为“Z 数列”.(I)判断下列数列是否是Z 数列，并说明理由；2,2,4,8；8,24,40,56.(H)若数列 斯 是 Z 数列，且 公=2.求 S3和乃;(I ll)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由.第1 3页 共104页1 4.函数f(x)满足：对任意a,P G R,都有/(耶)=a/-(p)+0/(a),且(2)=2,数列 斯 满足 a*=/(2 )(n N+).Q”(1)证明数列 关 为等差数列，并求

8、数列“的通项公式；(2)记数列仍“前项和为S”且 加=迎 地，问是否存在正整数机，使 得(5+1)(S”-4)+1 9 篇0 成立，若存在，求 m的最小值；若不存在，请说明理由.第1 4页 共104页11 5.已知函数/(x)=-x+al nx.(I)求/(x)在(1,/(I)处的切线方程(用含。的式子表示)(II)讨论/(x)的单调性;(III)若 x)存 在 两 个 极 值 点.证 明：然詈勺一 2.第1 5页 共104页1 6.已知函数/(x)=lnx-a x(6rGR)的最大值为-1.(I)求函数/(x)的解析式;(II)若方程/(X)=2-x/有两个实根XI，X2，且 X1X2，求证

9、：Xl+x2l第1 6页 共104页X 2 y21 7.已知椭圆E：熊 +3=l(a b 0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切.(I)求椭圆的标准方程；()A,B,C 为椭圆E 上不同的三点，。为坐标原点，若&+办+辰=3,试问:N8C的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.第1 7页 共104页X y V 21 8.已知椭圆C：-7 +7 7 =1 Cab0）的离心率为二长轴长为4&.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）设点尸是椭圆C上的任意一点，若点尸到点（2,0）的距离与点P到定直线（r 0）的距离之比为定值入，求人

10、与f的值；（III）若直线/：y k x+m*#0）与椭圆C交于不同的两点，N,且线段M N的垂直平分线过定点（1,0）,求实数4的取值范围.第 1 8 页 共 1 0 4 页1 9.设S”为首项不为零等差数列 a”的前项和，已知a4 a5=3。9,5 5=20.(1)求数列 a“的通项公式；设7，为数列 人 的前项和求 公 的 最 大 值 第 1 9 页 共 1 0 4 页20.设数列 斯,bn 已知 ai=4,61=6,a +i=，b”+i=0n(C N*),(1)求数列 瓦-a 的通项公式;(2)设S”为数列 加 的前项和，对任意 N*,若夕(S“-4)Gl,3 恒成立，求实数p的取值范

11、围.第2 0页 共104页21.己知函数/(x)=2l n(x+1)+sin x+l.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程;(2)证明：x +l nx；(3)证明：/(x)W (x+1)2叫第 2 1 页 共 104页1 322.已知函数/(x)=+ax (aR),g(x)=ex+x.(1)当a=-4时;求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(x),若存在x o,使/(x o)=x o成立，则称x o为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g(x)存在不动点，求实数a的取值范围.第2 2页 共104页/y223.已知椭圆/+记=1 (a 6 0)的右焦点到右准线的

12、距离为1,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段长为夜.(1)求椭圆的标准方程；(2)若。为坐标原点，直线/与椭圆交于P,。两点，且直线/与。0：/+/=|相切，证明：O P _LO。.第2 3页 共1 0 4页X y o2 4.已知椭圆C：葭+6=1（。方0）的左、右焦点分别为F l，F 2,M（l,分为椭圆上一点，且|X|+|加 2尸 4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点/作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于另一点4 B,求证：直线N 8 过定点，并求出定点的坐标.第2 4页 共1 0 4页25.斯 是等比数列，公比大于。，其 前 项 和 为&（叫 N*）,瓦 是等差数列.已知田=1

13、,。3=。2+2,44=63+65，45=04+266.(I)求 “和 加 的通项公式;(II)设 5=(an+D Q+i+l)数列 Cn 的前项 和 为Tn，求Tn的值.(III)设dn=b n，.其中 kN*,求di(nN*).bnClog2bn+l),n=2k 1-1第2 5页 共1 0 4页26.已知函数/(x)的定义域为。，若存在实常数入及a(aWO),对任意在。，当x+托。且x-aE D时，都有/(x+a)+/(x-a)=A/(x)成立，则称函数/(x)具有性质M (人,a),集 合 =(入，a)叫做函数/(X)的性质集.(1)判断函数/(x)=/是否具有性质(入，a),并说明理由

14、；(2)若函数g(x)=sin 2r+sin x具有性质M (入，a),求g(x)的A/性质集；(3)已知函数尸(x)不存在零点，且当x w R时具有性质M(t+4 1)(其中4 0,rHI),若a=h()(6N*),求证：数列%为等比数列的充要条件是&=t或上=Q 1 0 1 t第2 6页 共104页27.已知函数/(x)=a/+c o sx -3的图象在点(0,/(0)处的切线与直线x+=0垂直.(1)判断/(X)的零点的个数，并说明理由；(2)证明：/(x)/对 x (0,+8)恒成立.第2 7页 共104页2 8.已知函数/(x)=(x-a-1)-+(x0).(1)讨论/(x)的单调性

15、；(2)当aW2时，若/(x)无最小值，求实数a的取值范围.第2 8页 共104页/y22 9.已知椭圆C：葭+金=1 (心 6 0)的左焦点F(-0),椭圆的两顶点分别为Z(-a,0),B(a,0),M 为椭圆上除4 8之外的任意一点，直线用4 的斜率之积为一宗(I)求椭圆C 的标准方程；(I I )若 P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k的直线/不经过P点且与椭圆C 交于E,F两点，设直线尸E,P尸的 斜 率 分 别 为 上，且左1+依=-1,试问直线/是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.第2 9页 共10 4页3 0.己知椭圆C：务哙=l（a b 0）的离心率为:，过焦点

16、且垂直于长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1,0）的直线/交确圆C 于 4,8 两点，在 x 轴上是否存在定点P,使得日1 而为定值？若存在，求出点p 的坐标和届丽 的值：若不存在，请说明理由.第3 0页 共104页3 1.已知各项均为正数的数列“的前”项和为S”，且4 5.=必+2册.(I )求数列 利 的前项和为(I I)求证：中何+“+后+第3 1页 共104页3 2.已知等差数列 “和等比数列 瓦 的各项均为整数，它们的前项和分别为S”Tn,且b=2a=2,6 2 s3=5 4,。2+乃=1 1.（1）求数列 即,出 的通项公式；（2）求 跖?=。1 加+。2 b2+

17、0 3 6 3+瓦 I；（3）是否存在正整数加，使得 笔 铲 恰好是数列 斯 或也”中的项？若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，说明理由.第 3 2 页 共 1 0 4 页3 3.已知函数/(X)=历 -x+Q有两个不同零点XI，X 2(X1X2).(1)求。的取值范围；11(2)证明：当0用工工时，X 2X 2 b 0),它的上，下顶点分别为4,B,左，右焦点分别为F i，F i,若四边形/1 8丘2为正方形，且面积为2.(I )求椭圆E的标准方程；(I I)设存在斜率不为零且平行的两条直线/I,/2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形C D M N是菱形，求出该菱形周长

18、的最大值.第3 5页 共104页3 6.已知椭圆C：2+2 =1 （a 6 0）的离心率为万，且经过点（三，2）（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）若直线/与椭圆C交于V、N两点，8为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点尸是否可以成为 8 M N的垂心？若可以，求出直线/的方程；若不可以，请说明理由.（注:垂心是三角形三条高线的交点）第 3 6 页 共 1 0 4 页3 7.已知人是非零实数，数列。”的前项和为S”满足S”=l+入 斯+i，且 6=-2.(1)求。|、。3,并 判 断 4 2,。3 能否依次成等差数列，并说明理由；(2)写出数列 斯 的通项公式，并求出数列 斯 是等比数列时入

19、的值；(3)是否存在入，使得对于任意的C N*,都 有 为 常 数)恒 成 立？若存在，则求人的取值范围，并对每个人的值写出相应的的最小值加(入)；若不存在，请说明理由.第3 7页 共104页3 8.某种汽车购买时费用为1 6.9 万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9 万元，汽车的维修保养费为：第一年0.2 万元，第二年0.4 万元，第三年0.6 万元，依等差数列逐年递增.（1）求该车使用了 3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？（2）设该车使用年的总费用（包括购车费用）为/（），试写出/（）的表达式；（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.第 3 8 页 共

20、 1 0 4 页3 9.若方程/(x)=苫有实数根xo,则称xo为函数/(x)的一个不动点.已知函数/(X)=小+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)aE R.(1)当 时 是 否 存 在 不 动 点？并证明你的结论；(2)若a=-e,求证/(x)有唯一不动点.第3 9页 共104页4 0.已知函数/(x)(I )求/(x)的单调区间：(I I)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由;(I I I)若/(x)G-1)对任意x CR恒成立，求实数的取值范围.第4 0页 共104页%2/y24 1.在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆。：+)=1 C2：+=1

21、设直线/与椭圆。切于点M,交椭圆C2于点/，B,设直线/1平行于/,且与椭圆C2切于点N.(1)求证：直 线 恒 过 原 点。；(2)若点”为线段O N上一点，求四边形。/N 8 的面积.第4 1页 共104页4 2.已知/8 C的三边长B C、AC,48成等差数列，且 8、C 的坐标分别为力(-3,0)、C(3,0).(1)求顶点8的轨迹 的方程；(2)求曲线E的内接矩形的面积的最大值.第4 2页 共104页4 3.已知首项相等的两个数列 斯,垢(与H 0,n 6 N*)满足anbnu -an+y bn+2bn+bn 0.(I )求证：数列 普 是等差数列；Jn(I I)若与=2 f 求 斯

22、 的前项和S ；(I I I)在(H)的条件下，数列 S”是否存在不同三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.第 4 3 页 共 104页4 4.已知等比数列 a 前项和为SJ,T=m=2,数列 6 的各项为正，且满足S3+3 a3bn+2-b/=至 塔 a1=aib.（1）求数列 和 瓦 的通项公式；1 1 1 6 V3 1（2）若 5=硒（2+诟短前）求证：WFW5+C2+C3+Cn0 时，f(x)g (x)恒成立，求。的最大值.第 4 5 页 共 104页4 6.已知函数/(x)=al nx(a W O)与y =/好的图象在它们的交点p(5,t)处具有

23、相同的切线.(1)求/(x)的解析式；(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点x i，X 2，且x i b 0)过 点(1,万)，离心率为万，A,8分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点尸且斜率为A (A 0)的直线/与椭圆相交于，N两点.(7)求椭圆C 的标准方程；(2)记 8 F N 的面积分别为S i，S 2，若 自，求女的值；(3)记直线/M、8N的斜率分别为k”k i,求1 的值.第4 7页 共104页/y2 pj4 8.已知椭圆C：滔 +记=1(“6 0)经过点(1,下)，且短轴长为2.(I )求椭圆C的标准方程；(I I )若直线/与椭圆C交于P,0两点，且。尸

24、，0。，求A O P 0面积的取值范围.第4 8页 共10 4页4 9.我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分 到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组 100,110),第二组 110,1 2 0),第五组 140,150,得到频率分布直方图.(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为已 求孑 的分布列及期望.第4 9页 共104页5 0

25、.已知函数/(x)=/-x,g(x)=f+a,曲线y=/(x)在 点(x i，/(x i)处的切线也是曲线y=g (x)的切线.(1 )若 X l=-1,求。；(2)求Q的取值范围.第5 0页 共104页2023年江西省高考文科数学压轴题总复习参考答案与试题解析1.如图，在平面直角坐标系X。)，中，已知抛物线C：炉=4 x的焦点为尸，点4是第一象限内抛物线C上的一点，点。的坐标为(t,0)(?0).(1)若|。川=%，求点Z的坐标；(2)若 Z E D为等腰直角三角形，且/用。=9 0 ,求点。的坐标；(3)弦 经 过 点。，过弦N 8上一点P作直线、=T 的垂线，垂足为点0,求证：“直线 与

26、抛物线相切”的一个充要条件是“尸为弦Z 8的中点”.解：(1)抛物线C：/=我 的 焦 点 为 尸，点/是第一象限内抛物线C上的一点，可设/(MJ H),即 2=4加，m0,M 0,又|0 4|=V 5,可得 ，+“2 =5,解得?=1,n=2,即4(1,2)；(2)设/(x,y),由尸(1,0),D(f,0),X F AD=9 0 AD=(1-x,-y),(t-x,-y)=(1 -x)(t-x)+/=0,由/E D为等腰三角形，可 得/在x轴上的投影为E D的中点，即有x=手，且炉=4 x,代入解得-5 4 a，由f 0,可得。(5+4 V2,0)；(3)先证由“P为 弦 的 中 点”可 得

27、“直线。”与抛物线相切设直线1 8的方程为x=qy+f,联立抛物线方程/=4 x,可得丁-4 a y-4 f=0,设/(xi j n),B(X 2 /)，可得yi+y2=4 a,4 8 的中点 P (什2 a 2,2a),Q(.-t,2 a),直线。的斜率为&=青 洋，又xi=i+f,可得=嬴 含，又炉=4 x两边对x求导，可得2方=4,即V =今第5 1页 共104页则在/处的切线的斜率为马，71由力 2；-=0,可得 为抛物线的切线;ayr+2t yx yi(ayi+2t)再证由“直线QA与抛物线相切”可 得“P为弦4 B 的中点设 0(“即 P 的纵坐标为s,可得切线3 的方程为=/日)

28、,2联立抛物线方程/=4 x 可得=一 一夕+孑+s=0,2yl y,1 2t由=l-4 -(-+s)=0,2yl 71整理可得“2-2syi-4f=0,由y i为y2-4ay-4 f=0 的根，可得y/-船*-4 f=o,由为同一方程，可得2s=4 ,即S=2 =2,可 得 户 为 的 中 点,综上可得“直线3 与抛物线相切”的一个充要条件是“尸为 弦 的 中 点”.(1)求曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线方程；(2)若关于x 的不等式/(X)lnx+(x-2)x,令 g(x)=/x+(x-2)-x,则 g(x)=(X-1)(，一6，第5 2页 共1 0 4页,1人1当5 x0,

29、：.h(x)在(”)上单调递增，1又力(-)=V e-2 0,1i工存在x()e 1)，使得(x o)=0,即e 。=，即/x o=-x o，2xo1 当 x W (5,x o)时，h(x)0,当 x W (x o，1)时，。(x)0,此时 g (x)0,2:.g(x)max-g(x O)=/x o+(x o -2)e x x o=1-2x o x0A2 1令 m(x)=1-2x,(彳，1 ),x 2贝 Ij m (x)=2(1 丁)0,xz1 函数？(x)在(5,i)上单调递增，m(x)-3,故Q的取值范围为-3,+8).3.已知函数/(第)=n1*一，nx(m,nW R).(I )若函数/

30、(x)在(1,/(1)处的切线与直线、-歹=0 平行，求实数的值；(I I )若=1 时，函数/(X)恰有两个零点X I，X 2(0 X l2.解：(I )因 为 八 为=黄 一!，且切线与直线x-y=O 平行，可得/(1)=n -1 =1,所以n=2；(I I )证明：当=1 时，/(X)由题意知-1-修1-冷-Tnml nxx-0 l nx2=0(?)一 得：l nx2 l nxx=第 5 3 页 共 1 0 4 页立 一 1即 庐=J(3)令1=孑，则12=a 1，且，1,X1又因为x i+x 2=x i+/x i=(l+f)x i，由知：Int=所 以 修=导 1),要证 X 1+X

31、2 2,只需证(1+t)导 2,口 n 产 一 1即证一-2/nt,即 t 2 Int0,令九(。=则h(t)=o,。t所以力(Z)在(1,+8)上单调递增且 (1)=0,所以当正(1,+8)时，h(/)0,即 XI+X22.4.已知函数/(x)ax+l nx+1.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)恒成立，求实数。的取值范围.解：(1)定义域为(0,+8),/(x)=a +；=W,若a 2 0,则/(x)0,/(x)在(0,+8)递增，若a 0,则八x)=W，/(X)在(0,-1)递增，在(一 小+8)递减,综上知a 20,/(x)在(0,+8)递增，a 0,

32、则g 3 =(无 T)广吗令 h(x)=(x -1)x 0,九(%)=x ex+0.所以(x)在(0,+8)单调递增，第 5 4 页 共 104页而(1)=0,所以(0,1)时，h(x)0,即g(x)0,即 g (x)0,y=g(x)单调递增.所以在x=l 处y=g (x)取得最小值g (1)=e -1,所以a W e-1,即实数。的 取 值 范 围 是 1.避5.在平面直角坐标系中，A,8 分别为椭圆：+y 2=i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,6)且与椭圆相交于C、。两个不同点(直线/与 y轴不重合，且 C、。两点在y轴右侧，C在。的上方)，直线工。与 8 c相交于点。.(1)设厂的两

33、焦点为尸1、尸 2,求/尸M尸 2的值；T O-(2)若 6=3,且P=.P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点尸，使得点0 的纵坐标恒为,？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)由椭圆的方程知，F i (-1,0),F i(1,0),A(0,1),则N C M 产 2=4 5 ,：.ZF i AF 2=9 0a；(2)若 3=3,设 C、。的两点坐标为C (x i，)，D(小又),PTD =|3 PTC,3 3 3 3二(X 2,、2-3)=2(%1，7 1-3),即 冷=2%1，、2=2 为一2,而 C (x i,y),D(工 2，2)均在万+y=1 上，代入得+

34、2yF=2(94 X1 -+92，(yi-I)2=2解得力=三,；.y2=-1,分别代入 r 解得，X 1=1.x2=1，直线8 c的方程为y=2x -1,直线4。的方程为了=-x+1,第5 5页 共104页联 立 号 二 解 得“多2 。点的横坐标为3(3)假设存在这样的点P,设直线/的方程为歹=f c r+6(%V 0,A 1),点、C,。的坐标为 C (x i，y i),D(X 2,”)，xvL 2-+k2cx y+2 =b 2c，得(2F+1)f+4 祐x+2/2-2=0，由=163庐-8(23+1)(/)2-1)0,得4 2 存1,(,4k bX1+X2=-2由 2b2-2，可得k

35、x 1X 2+%2)，卜/2 二 五 下直线B C的方程为y =笛-1,直 线 的 方 程 为 y =然+1,-(y=Yx1,而 x i y 2=k x x 2+bx ,X 2y =k x x x z+bx i，联 立 ，得 y =y=%+il x201丫 2+%2%)+(%2 一%1)=2 以/2+/+%2)+。2-4 1)=0 1+%2)+力(%2 一%1)(x2y1-x1y2)+(x i+x2)-b(x2-i)+(x i+x2)b2(x2-x1)+b(x1+x2)一万一可则 6=3 1,因此，存在点P(0,3),使得点。的纵坐标恒为最6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为(0,1),离心

36、率e =竽，过椭圆的右焦点厂的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 8两点(I )求椭圆的标准方程；(I I )当直线/的斜率为1 时，求弦长|4 8 的值.(I I I)设/(m,0)是线段O F (。为坐标原点)上一个动点，且(而+诂)1易，求，的取值范围.解：(I )由题意可得 b=l,e=等，c2 a2-b2,解得：2 =5,所以椭圆的标准方程为：+/=1;(I I)由(I )可得：右焦点F(2,0),1由题意设直线/的方程：y=2(x-2),即x=2 y+2,设力(制，y)f B(X 2，玫)，第5 6页 共104页%=2y+2联立直线与椭圆的方程：x2也+y =1o -1整理可得：9

37、 y2+8y -1=0,歹1+歹2=-百，y y=-9所以弦长|/8|=V1+22V（yi+y2）2-4y i y 2=府1 爵+.二崎 即弦长|45|的值N 巨；（III）由（I）的右焦点F（2,0）,由题意可得0 小联立直线/与椭圆的方程:x=ty+2 亏工2 +y 9=i，整理可得：（5+户）炉+4“-1=0,1包2=-4t5+t2,小2=亓R X+X 2=t（丁巾2）+4=XI-X 2=t 3 -J 2）MA +MB=（x i -y）+（X 2-m,y 2）（x i+x 2 -2 w,y i 2），A B=（X 2-X 1,-川），因为（易 +诂），几，所 以（X 1+X 2-2/W）

38、（X 2 -x i）+（y i 2）（州-1）=0,整理可得：（丁万 一 2加）“一二多=0,京 0,5+-5+华所以可得户=一 5 0,解 得:m l，所以可得：0 机V/所以加的取值范围（0,1）.7.已知项数为加（zwGN*,加2 2）的数列。满足如下条件：即 EN*（=1,2,，加）；a a2-am.若数列 m 满足儿=（%+。2 H所）一所小*,其中=1,2,m,则称 瓦 为 斯 的“心灵契合数列”.（1）数 列 1,5,9,11,15是否存在“心灵契合数列”，若存在，写 出 其“心灵契合数列”；若不存在，请说明理由；（2）若 5 为“”的“心灵契合数列”，判断数列协“的单调性，并予

39、以证明；（3）已知数列 即 存 在“心灵契合数列”与,且 m=l,加=3 2 5,求 机的最大值.解：（1）数 列 1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”，：1+5+9+11+15=41.从=三 一 =10,51,41-5 门八 41-9。,41-11 15 2*6 2=31T=9,63=37=8，匕4=-=数 列 1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”.第5 7页 共104页(2)数列 如 为单调递减数列.1,N*.又 m2a,”.皿L 为+iVO.b+i6”，.数列 瓦 为单调递减数列.(3)VlW iVjW m,bi-b i.bm-bi-bj&C,/.bi-bj=,：.b-b

40、m=用 二?=Z|GN,:bn.-b,=誓 工eN*/.an-an.m-1.又 Q？-41=am dm -1)+(-1 一 加-2)+.+(。2-)+1 2 (7-1)+(？-1 )+.+(？-1 )=(7-1)2.1024*:.(7 -1)21024,即加W 33.又-GN.?W33.m-133例如：即=32-31,(1WW 33),此时，b,=T+an=_rt+530eN*.且数列付“为单调递减数列，故满足题意.：.m 的最大值为33.8.设数列/：a i,。2,，斯(3)的各项均为正整数，且 aiWazWa”.若对任意呢 3,4,存在正整数3 _/(1使得四=+q，则称数列/具有性质7.

41、(I)判断数列小：1,2,4,7 与数列出：1,2,3,6 是否具有性质T；(只需写出结论)(II)若数列/具有性质T,且“1 =1,4 2=2,斯=2()0,求N的最小值：(I I I)若集合 S=1,2,3,，2019,2020=Si US2US3U54US5US6,且 SC$，=0(任意i,J61,2,6,Mj).求证：存在S，使得从S 中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质7 的数列.解：(I)：3#1+1,；.1,3,4,7 不具有性质 P；7 2=1 +1,3=1+2,5=2+3,：.1,2,3,5 具有性质 P,即数列出不具有性质T,数 列 A2具有性质T.(II)由题

42、意可知,a22,2。2=4,2a3W 8,，as 9.若 n=9,Va9=200 且 a9 2a8，128制100,同理，6450,32“625,16卷12.5,86.25,4内3.125,:数列各项均为正整数，.a3=4,.数列前三项为1,2,4.,数列4 具 有 性 质 T,a 4 只可能为4,5,6,8 之一，而又。心 6.25,.=8,同理，有。5=1 6,。6=32,“7=6 4,制=128,第 5 8 页 共 1 0 4 页此时数列为 1,2,4,8,16,32,64,128,20 0.但 数 列 中 存 在i 4 j 9,使得20 0=a,+q),该数列不具有性质7,.NIO.当

43、 N=10 时，取 4 1,2,4,8,16,32,36,64,10 0,20 0 (构造数列不唯一)，At 1,2,4,8,16,32,36,64,10 0,20 0,经验证，此数列具有性质T,的最小值为10.(III)假设结论不成立，即对任意S (i=l,2,6)都有：若正整数 a,h&Si，a b-a时，b-a,a,b是一个具有性质T的数列；当 a=6-a 时，a,a,6 是一个具有性质T 的函数.(/)由题意可知，这 6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于3 3 7 个，不妨设此集合为5 1,从S中 取出 3 3 7 个数，记 为ai，。2，。337且 ai 2*6 8 -biS,

44、Z 6 8 -b任S US2,.N2US3US4US5US6.(i i i)在 S3,S*S5,S 6 中至少有一个集合包含N2中的至少1 7 个元素，不妨设这个集合为S 3,从 S3CN2中 取 出 1 7 个数，记为 C”C2,，C17,且 C C2 0 时，由，+2 办-0,得-a +。或 v-、一 7栈+Q,由 /+2Q X-4 V 0,得 a V a2+a x 0 时，/(x)的单调递增区间为(-8,-a-V a2+a)/(-a 4-V a2+a，+0 0),单调递减区间为(一 a -+%-Q),(-a,-a +V a2+a).(2)令九(%)=f(%)-g(%)=:黑2 1 n x

45、 2 a (x l),则当 花(0,1)时，h(x)=(x+2 a)-(x+a)zx令 h (x)=0,则 x=1 +V l Ta,.当 i x vi +VFT 5时，h (x)o,；./?(x)在(1,1 +a)上单调递减,在(1 +V l +a,+8)上单调递增，第6 0页 共1 0 4页=h(l +V T T a),又 h(1)=1-2“，当 O V q V 4时，h(x)0,即人(e2)0,又 h(x)在(1 +a,+8)上单调递增，=h(1 +a)V O,.由零点存在性定理知，h(x)在(1 +V F K,+8)上存在唯一的零点，二当a 2 4时，方程/(x)=0在(1,+8)上有唯

46、一解，即 存 在(0,1),方程/(x)=g (x)在(1,+8)上有唯一解.1 0.已知函数 f(x)=x2-2bx -Inx.(I )讨论/(x)的单调性；1(I I)设 6 2 0,若/(x)在 xo 处有极值，求证：f(xo)W 2 (1+/2).(I)解：由题得了(X)的定义域为(0,+8),(x)1=2x-2b-x=2x2-2bx-l%由/(x)0,得x 小 尹;由/(x)O,所以2郎一 1 2 0,可得xo N?，所以/(xo)=XQ-2bx o+l nx o=XQ-C2XQ 1)-l nx o=XQ T nx o+1,令函数 g (x)=-x2-l nx+1,+),则 g，(x

47、)=-2x-0,V2所以函数g (%)在 ，+8)上单调递减，第 6 1 页 共 1 0 4 页所以 g （x）W g （）=-4+1=+，2,因此/（xo）0,即户+加 0,设 力（x i，巾），B（工 2,”），贝！J 1+7 2=今，y y i=,由NZ O 8=90 ,所以办=0,即对超+以歹2=0，又工尸分/，X 2=%2，所以白 丘22力丁2=。，故歹1/=-16,所 以-4 加=-16,即 加=4,因此直线A B的方程为x=ty+4,该直线恒过定点（4,0）；（2）（z）因为Z4过 定 点（2,1）,所 以 由（1）可得2=打加，即阳=2 一,=16 户+16 加=16 （Z2-

48、Z+2）0 恒成立，川+y2=4 h y y i-4/7 7=4/-8,由题意可得（中，中），c 中），2 2 16 2所 W irM l-%1+*2 _（月+丫2）2 _ 打/+物 2 _ 仇+丫2）2 _（当一及:所以S1=*M3-竺|=*|川-”/，因为M-以=y/（y i+、2）2-4 yl y2=J l 6 t 2-4（4 t -8）=4 V t2-t +2 2y/7,此时仁 J时，等号成立.所以51=亲历-户|32*（2夜：）3=4 2,第6 2页 共1 0 4页7 V 7 1 2当S取得最小值一 J-时，t=彳m=于直线A B的方程为x=即 2x -y-3=0；（i i）由题意可

49、得S i=-”l，S 2=3。川一历-l，由（2）（/）可得|。根=也 潦 巳（此处W可以理解为4,8 两点处的纵向高度差）,同理可得|/W=（；裂）=/历-川2,由 可 得$1=拓1-加3,（此处加-”1 可以理解为a 8 两点的纵向高度差），1 1由题意同理可得52=变（/1 -盟|）3,1yL ya l所 以/=；丝 下=8，S?32x8所以称=8.$2x va12.已知椭圆C：葭+台=1（。0）的长轴长是焦距的2 倍，且过点（一1,（1）求椭圆C的方程；（2）设 尸（x,夕）为椭圆C上的动点，尸为椭圆C的右焦点，A,8 分别为椭圆C的左、右顶点，点 P满足PP=（4-x,0）.证明：粤

50、 为 定 值；IPF I 设。是直线/：x=4上的动点，直线力。、8 0 分别另交椭圆C于朋;N 两点，求|M F|+|N尸|的最小值.第6 3页 共1 0 4页1 9解：(1)由题意可得 Q=2C,=+?77=1，a2=b2+c2f(T 4解得：萨=4,R =3,无 2 y2所以椭圆的方程为：丁+-=1;4 3(2)由(1)可得4(-2,0),B(2,0),F(1,0),7-2因为P(x,y)为椭圆。上的动点，点尸满足PP=(4-x,0),所以下+=1；4 3 所以|PP=|4-xPF=V(x-i)2+y2=J(x _ 1)2+3(1 一苧)=J 1 x2-2 x +4=，J(x _ 4)2