2023年广西高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf

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1、2023年广西高考文科数学压轴题总复习/2T T1.已知椭圆C：0+5=1(a 0)的右焦点为尸，右顶点为力，且篇=2而(O为坐标W 8原点).(1 )求C的标准方程；(I I )过尸点作一斜率为A W A W 1)的直线交C于8,。两点，E(9,0),求ABDE面积的取值范围.第1页 共107页1 32.已知函数/(x)=，n x+2/+a x (a R),g(x)ex+x2 x.(1)当a=-4时;求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(x),若存在x o,使/(x o)=x o成立，则称x o为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g (x)存在不动点，求实数a的取值范围.第2

2、页 共107页3.已知函数/(x)xlnx(a+1)x2-x.(1)若a=l,求曲线y=/(x)在 点(1,/(1)处的切线方程；(2)若对任意的x e.r,e 都有/(x)2-1,求实数a的取值范围.第3页 共107页4.已知函数f(x)=黑(a 0).(1)当 a=l 时，证明：/(X)b 0)的左、右焦点分别为F i (-c,0),F2(C,0),动点P(x,y)在椭圆。上运动，当尸尸1 尸 2面积最大时，SAPF1F2=C2.(I )求椭圆C的离心率：(H )若 c=l,延长尸F i，尸乃分别交椭圆C于，B(A,8不重合)两点，设A、=A F；P,第5页 共107页X 2 v26.已知

3、点P为抛物线f=4y 的焦点，过 F且与x轴平行的直线被椭圆r：/+力=14/6 1 6 0）所截得的线段长为一二，椭圆的离心率6=亍3 乙（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点4 （点Z在第一象限）作切线/,交椭圆于 8,C两点，/与x轴的交点为。，8C的中点为E,8。的垂直平分线交1 轴于点K,记K E D,力。的面积分别为S1,S2,其中。为坐标原点，吟=工，求点/的坐标.第6页 共107页7.已知无穷数列 斯 的首项为a i，其前八项和为S“且斯+1-a”=d (6 N*),其中d为常数且d WO.(1)设。i=d=l,求数列 金 的通项公式，并求m(l-;)的值；n-o o U

4、n(2)设 d=2,S i=-7,是否存在正整数上使得数列 中 的 项 或 成 立？若存在，求出满足条件人的所有值，若不存在，请说明理由；(3)求证：数列 ,中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数，且 加 分-1,使得第7页 共107页8.若对于数列 “中的任意两项可加a j（/；）,在 如 中 都 存 在 一 项 使 得。“尸 笑，aj则称数列 斯 为“X 数列”若对于数列 斯 中的任意一项劭（2 3）,在 斯 中都存在两项以，a l（%/）,使得公尸里，则称数列 斯 为“丫数列al（1）若数列 斯 为首项为1 公差也为1 的等差数列，判断数列 斯 是否为“X 数列”，并说

5、明理由；（2）若数列“”的前项和S=2-1 （N*）,求证：数列%为“丫 数列”；（3）若数列“”为各项均为正数的递增数列，且既为“x数列”，又 为“y 数列”，求证:a ,a z，4 3，。4 成等比数列.第8页 共107页9.已知函数/(x)=ln(x+1)-a x.(I )讨论/(x)的单调性；(H)当 a 0 时，求函数 g(x)=2a2f(x -1)-x2+2 a3(x -1)在(1,e)内的零点个数.第9页 共1 0 7页1 0.已知函数/(X)=x Unx-a),g(x)=a x(x -1),a 0.（I ）当。取何值时，在函数g（x）的单调递增区间内函数/（x）也单调递增；（I

6、I）若函数 F（X）=/（X）-g（X）有两个极值点 XI，X 2（X1 b 0)的离心率为e,点(1,e)在椭圆E上，A(a,0),3B(0,b),三角形0/3 的面积为5.(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线/交椭圆E于 M,N两点，若直线OM的斜率为心，直线ON的斜率为2,且kik2=-1,证明三角形OWN的面积是定值，并求此定值.第1 2页 共107页1 3.对 于 项 数 为(阳 2 3,wG N)的有限数列 ,记该数列前i 项。1，。2，卬中的最大项为沏G=l,2,加)，记用=7w a x m，。2,，所,该数列后加-t 项。汁 1，。汁 2,，府中的最小项/(i=l，2,，加-1

7、),记仙=加 访+1,防+2，am,di=xi-yt(z=1,2,3,，m-I ).(1)对于共有四项的数列：3,4,7,1,求出相应的力、d2、为；(2)设 c 为常数，且 四+x 机.A+1=C (2=1,2,3,加)，求证：Xk=a k(&=1,2,3,，7W)；(3)设实数入 0,数列。“满足。1=1,%=4%-1 +耳(=2，3,，m),若数列 如对应的小满足4+i 4 对任意的正整数i=l,2,3,，加-2 恒成立，求实数入的取值范围.第1 3页 共107页1 4.若有穷数列 x ：x i、1 2、X”满 足 芍 汁 3 x/0 （这 里 八 W N*,2 3,14W”-1,常数0

8、0）,则称有穷数列 曲 具有性质尸（/）.1Y!_ 1（I）已知有穷数列 X 具有性质P（f）（常数/1）,且归2 -x“+|x 3 -X2|+|x”-初一归2,试求t的值；（2）设 0+1=2|&+什2|-|巾-2|（R GN*,2 3,常数 02）,判断有穷数列 所 是否具有性质P（L 2）,并说明理由：（3）若有穷数列U ：、”、则具有性质尸（1），其各项的和为2 0 0 0,将巾、”、加中的最大值记为4当 4 6 N*时，求/+的最小值.第1 4页 共107页1 5.已知函数/(x)=r4+|x3-e x2-mxlnx.(I )当 a=c=l,b=0时，f(x)在定义域上单调递增，求

9、a的取值范围；(II)当 4 =C =0,6=1时，f(X)存在两个极值点X,X2 求证：X|+X2 2.第 1 5 页 共 107页1 6.已知函数f(x)=x2-+萼，6 6 R).(1)若 a b 0,证明/(a)/(/)；(2)若对任意x 6 (0,+8),b&(-e,0),都有/(x)-e,求实数a的取值范围.第 1 6 页 共 107页1 7.椭圆C：荔+台=1 （a b 0）的左、右焦点分别为R,F i,F1A=2 F2A,椭圆的上顶点为 8,|JS|=V1 0,e=芋.（I）求椭圆C的方程；（n）若过点力的直线/与椭圆相交于M N两点，盛 前=春 求直线/的方程.第1 7页 共

10、107页/y2_1 8.已知椭圆：/+记=1（a b 0）的右焦点坐标为（2,0）,且长轴长为短轴长的近倍，直线/交椭圆于不同的两点M 和 N,（1）求椭圆的方程；（2）若直线/经过点尸（0,4）,且 O M N 的面积为2近，求直线/的方程；（3）若直线/的方程为y=A x+f （�）,点 M 关于x轴的对称点为 ，直线MN,M1N分别与x轴相交于P、0 两点，求证：|。尸 卜|。0|为定值.第1 8页 共107页19.已知数列 斯 为等差数列，公差为力 前项和为S”.（1）若。1=0,d=2,求 S o o 的值;（2）若 幻=-1,斯 中恰有6项在区间弓，8）内，求”的取值范围;（3

11、）若“1 =1,$2=3,集合4=斯|7 1 e N*,问能否在集合力中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 瓦,使得此新数列 与 满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.（注：数 受a+b叫作数a和数分的调和平均数）.第1 9页 共107页2 0.已知数列 斯,加,其中 m=2,bn-O n=l,且 点(an，fln+1)在函数/(x)=x(x+2)的图象上，nGN*.(I)证明：数列 值瓦 是等比数列，并求数列 加 的通项；(I I)记T”为数列 m 的前“项积，S”为数列 Cn的前项和，金=6=+瓦 后，试比较Sn与丁与T

12、大小.IT，n第 2 0 页 共 1 0 7 页2 1.已知函数(x)=x3-x2+a.(I)若 a=2 x,求曲线y=/(x)的斜率为2 的切线方程；(II)若 F(x)=|/(x)|在-3,3 上的最大值不超过2 0,求 a 的取值范围.第2 1页 共107页22.已知函数/(x)=xe2x-2a x+2,g(x)a lnx+2.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在x=0处的切线方程；(2)设(x)=/(x)-g(x),若万(x)在(0,+8)上有2个零点，求实数。的取值范围.第2 2页 共1 0 7页2 3.已知为、尸 2分别为椭圆r：1+/=1 的左、右焦点，M 为 上的一点.(1)

13、若点A/的坐标为(1,/n)(m 0),求的面积：(2)若点A/的坐标为(0,1 ),且直线耳*e R)与 交于两不同点4、8,求证:而 诂为定值，并求出该定值；(3)如图，设点用的坐标为(s,f),过坐标原点。作圆M：(%-5)2+Cy-/)2=d(其中 r 为定值，0厂 1,且|s|#r)的两条切线，分别交于点尸、Q,直线OP、O 0 的斜率分别记为依、依，如果法2为定值，试问：是否存在锐角a使得2|OP|Q 0 =5 sec。？若存在，试求出。的一个值；若不存在，请说明理由.第2 3页 共107页2 4.已知椭圆C：苴+藏=l(a b 0),F为左焦点，过产的直线/交椭圆C 于 M,N

14、两点,当直线/过椭圆的上顶点时,/的斜率为鱼,当直线/垂直于x轴时,4 0 M N的面积为 丁,其中。为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线/的斜率大于近，求直线0 M 的斜率的取值范围.第2 4页 共1 0 7页2 5.已知数列 斯、协“的各项为正，且 如=18加，瓦 是公比为3 的等比数列.再从：数歹U 4 的前项和S 满足4s=2+2”；数列 斯 是公差不为0 的等差数列，且。|+。2+。3=1 2,，。2,。4,成等比数列.这两个条件中任选一个，解答下列问题.(1)求数列 ,列”的通项公式;(2)令 Cn=COS/7TT,设 5 的前项和为 与.若(-1)”(入+”)7 对

15、6N*恒成立，求实数人的取值范围.第2 5页 共107页26.设/(x)是偶函数，当时，/(x)=$讥(m)，0 x l(1)当。=2 时，方程/(x)=机有4 个不同的根，求加的取值范围；(2)若方程/G)=”有 4 个不同的根，且这4 个根成等差数列，试探求a 与机满足的条件.第2 6页 共107页2 7.已知函数/(x)ax2-Inx,aeR.(I)若/(x)2 0,求a的取值范围；(II)令g(x)=岑2若y=g(x)的图象与直线y=a相切，求a的值.第2 7页 共107页2 8.已知函数/(、)=ea xcosx+a.(I )当a=l 时，讨论函数/G)的单调性；(I I )设若V

16、x O,5，恒有a (/(x)-a)bx+f(x)成立，求 b的取值范围(注：(*)=。/).第2 8页 共1 0 7页x y 7 2.29.已知椭圆C：+-y =1 (a b 0)的离心率是二，A,5分别为其右顶点和上顶点，a b 2 0/8的 面 积 为(。是坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)若点E(V 3,0),M,N是椭圆C上两动点(，N非顶点)，且 京 扇=一1,试判断直线M N是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.第2 9页 共107页/y230.设椭圆C i：/+言=l（a b 0）的左顶点/在抛物线C 2：/=8 x的准线上，尸是椭圆C i的右焦

17、点，且椭圆。的焦距为2,过点F且斜率不为0的直线/与椭圆。交于。,E两 点,直线/。和N E分别与直线x=4交于点M,N.（1）求椭圆C i的方程；（2）平是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.第3 0页 共107页31.设数列 即 的前项和S=2,e N*.(1)求数列 a”的通项公式；(2)若存在6N*,使 不 等 式-+-+-+-(7 2+%)2a3 a2a3a4 a3a4a5 anan+lan+2 4 入成立，求实数人的最大值.第3 1页 共1 0 7页3 2.已知 斯 为公差不为0的等差数列，5是等比数列 瓦 的前项和，若2是m和4的等比中项,m=b l=6,历=

18、。3(1 )求 4 及 S”；n(2)证明：-2 0),求方程 f (x)=g(x)的根的个数.第3 3页 共1 0 7页3 4.已知函数/(x)=2-x/x-(a-1)x+a.(1)若XI，X2 是/(x)的两个极值点，求”的取值范围；(H)在(I )的条件下，若?/(x i)4/(x2)恒成立，求实数用的取值范围.第3 4页 共107页Y35.已知圆C；2 与V2=l（a b 0）的离心率为三V 3，且经过点（0,1）.（1）求椭圆C的方程；（2）直线夕=f c r+/n与椭圆C交于4,8两点.求|明（用实数左，机表示）；。为坐标原点，若O 4 O B=0,且 暗=彳，求 0/8的面积.I

19、 C/1 1 乙第3 5页 共107页3 6.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为2(7 2-1),且椭圆的离心率为当.(1)求椭圆C 的方程；(2)过 点(1,0)作直线/交C 于 P、。两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点使 诂 丽 为 定 值？若存在，求出这个定点”的坐标；若不存在，请说明理由.第3 6页 共107页37.对于实数数列 a,记?”=%+。2；.+(1 )右 I =1,M2 =2,阳3=4,?4=8,写出 Q,Q2，3，。4 的值；(II)若数列 斯 是等差数列，求证：对任意三元数组3 j，k)3 j,攵两两不相等

20、)，总 有(，-/)恤+(j -k)nt i+Ck-z)mj=O；(III)若对任意三元数组(z,j,攵)(3 J,%两两不相等)，存在常数c,使 得G-j)mk+(j-k)力+(k-i)m j=c,求证：斯 是等差数列.第 3 7 页 共 107页38.设 e N,且23.对1,2,的一个排列illi,如果当si”则称(is，it)是排列万2 i”的一个逆序，排列万2 i”的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,3的一个排列2 31,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列2 31的逆序数为2.记(k)为1,2,的的所有排列中逆序数为的全部排列的个数.(1)求 力(2)的值；(2)

21、判 断(2)与加1(2)的大小，并说明理由；(3)求 力(2)()4)的表达式(用”表示).第3 8页 共107页39.设函数/(x)=。(x-1)F,g (x)=(l+2)mx2(其中(I )当a=2时，求曲线y=/(x)在 点(3,/(3)处的切线方程：(I I )当=1,正(”时，求函数A (x)=/(x)一 里 在 0,M上的最大值取第3 9页 共107页4 0.设函数/(x)=(1 -a x)In(x+1)-h x,其中。是实数.(I )若b=l,证明：曲线y=/(x)恒与x轴相切于坐标原点:(I I )当a-1时，讨论函数f(x)在(0,+)上的单调性;(III)证明：历2+竽+粤

22、+吗 尸)得.第4 0页 共107页x4 1.已知椭圆C：万+/=1 的右焦点为尸，直线/：x=2被称作为椭圆C的一条准线，点尸在椭圆C上（异于椭圆左、右顶点），过点尸作直线机：与椭圆C相切，且与直线/相交于点。.（1）求证：PF LQF-,（2）若点P在 x 轴的上方，当 P Q 斤的面积最小时，求直线机的斜率上的平方.第4 1页 共107页4 2.已知圆C：x2+f=4,点尸为圆C上的动点，过点尸作x轴的垂线，垂足为0,设。为尸0的中点，且。的轨迹为曲线(1)求曲线E的方程；(2)不过原点的直线/与曲线E交于、N两点，已知。河，直线/,ON的斜率&i，k,心成等比数列，记以。M,ON为直径

23、的圆的面积分别为S,S 2,试探就S i+S是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.第4 2页 共107页4 3.已知数列 斯 的前项和为%,设%=符(1)若 =2n+1,记数列 6 的前项和为7”.求证：数列他 为等差数列：若不等式7”+3对任意的C N*都成立，求实数人的最小值；(2)若 7 0,且 S+12 2 a+1,是否存在正整数，使得无穷数列尿h i，bk+2,bk+3，成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列 斯 的一个通项公式；若不存在，请说明理由.第4 3页 共107页4 4.已知数列 ”是无穷数列，其前项和为S,.若对任意的正整数机22,存在正整数4,I(I W k

24、W l)使得S m=a k+a i,则称数列 斯 是“S数列”.(I)若=2(=1,2,)，判断数列 斯 是否是“S数列”，并说明理由;(II)设无穷数列 金 的前”项和5 n =q n(n =l,2,)，且 42,证明数列“”不是“S数 列；(III)证明：对任意的无穷等差数列 念,存 在 两 个“S数列 d 和 C n ,使得Z=加-C n (=1,2，)成立.第 4 4 页 共 1 0 7 页4 5.已知函数/(x)=-a x2+a.(1)当。=2 时，求曲线y=f(x)在 x=l 处的切线方程；(2)若对任意x e l,有/)W 0恒成立，求实数。的取值范围.第4 5页 共107页4

25、6.已知函数/(x)mx-x2-Inx(w G R).(1)若函数/(x)的图象在点(1,/(I)处的切线与直线x=l垂直，求f (x)的极值;(2)若方程/(x)=-2%2 -6+(x-1)/X在(1,6)内有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.第4 6页 共107页/y24 7.己知椭圆C：/+$=l（Q b O）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于遍兀，直线/与椭圆C交 于/（X I，yi）,B（X 2,然）两点，其中直线/不过原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线0 4,I,08的斜率分别为心，A,ki,其中4 0且 F=A而.求心勿8

26、最大值时直线/的方程.第4 7页 共107页48.我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦.已知椭圆前+台=l（a b 0）的正焦弦长为1,且点（1,电）在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）经过点P（T，一卷）作一直线交椭圆于2 8 两点如果点P 为线段Z 8 的中点，求直线A B的斜率；（3）若 直 线/与（2）中 的 直 线 平 行，且与椭圆交于M,N 两点，试求MCW（。为坐标原点）面积的最大值.第 4 8 页 共 1 0 7 页4 9.学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清

27、、得分要点缺失等，记此类解答为“8类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“8类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满 分 1 2 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如表：教师评分1 11 09各分数所占比例141.214某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分

28、；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.假设本次考试阅卷老师对满分为1 2 分的题目中的“8类解答”所评分数及比例均如上表的所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).(1 )本次数学考试中甲同学某题(满分1 2 分)的 解 答 属 于“8类解答”，求甲同学此题需要仲裁的概率.(II)本次数学考试中甲同学某题(满分1 2 分)的 解 答 属 于“8类解答”，求甲同学此题得分X的分布列及数学期望E (X)；(1 H)本次数学考试有6 个解答题，每题满分均为1 2 分，同学乙6 个题的解答均为“3类解答”，记该同学6 个题中得

29、分为芍(x i X 2 X 3 X 4 0)的焦点为尸，点。(p,0),过尸的直线交C于，N两点.当 直 线 垂 直 于x轴时，MF =3.(1)求C的方程；(2)设直线M。，M)与C的另一个交点分别为/,B,记直线M N,的倾斜角分别为a,p.当a-B取得最大值时，求直线4 8的方程.第5 0页 共107页2023年广西高考文科数学压轴题总复习参考答案与试题解析/y2T T已知椭圆C-7 4-=1 (a 0)的右焦点为凡 右顶点为Z,K A F=2 F O(O 为坐标ac 8原点).(I )求 C的标准方程；1(H)过厂点作一斜率为左(5 W A W 1)的直线交C于 8,。两点，E(9,0

30、),求4 B D E面积的取值范围.解：(I )由题意 A(a,0),F(c,0),而 c2=a2-b2=a2-8,因 为 前=2 而，即(e-a,0)=2 (-c,0)所以 c-a=-2 c,所以 Q=3C,解得：a=3,c=l,x2 y2所以椭圆的方程为：-4-=1;9 o(I I )设直线B D的方程为歹=%(x -1),设 4(x i,y),D(X 2,”)，%2 y2联立直线与椭圆的方程,q+=1 ，整理可得：(8+9后)2-1 8底什9庐-7 2=0,y =Kx-1)1 8/c2 9k2 7 2制+2=而铲即诉产所以弦长|5。|=V l+/t2|x i-X 2|=V 1 +f c2

31、,7(l+X2)2-4%1%2,1 2 L 1 8f c 2 八 9k2-7 2=y/l+k J(8+9/C2)-4X 8+9248(l+f c2)=8+9/，点 E 到 直 线 山 的 距 离 仁 墨,1所以 S BDE=-8+9H-=1 92H(l+k 2)%2+8(l+H)2=1 9216 4X 嚅+直+1 6第5 1页 共1 0 7页1 4 2 i 1令 t=F-=i+讯，(5 4 w i)所以在2,5,1 一,289 1681令卜=64什彳+16,/62,5 ,所以-。2 51所以 S&BDE-192*-7-,J64t+1+16所 以 当 夕=等，即 4=1 时 DE)max=噜I当

32、 尸 等，即 k=4时(S&BDE)加产噜192 通 192V2所以8DE面积的取值范围为 石-，F-1O2.已知函数/(%)=m%+Q%(QR),。(久)=e*+%2%.(1)当 a=-4 时，求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(X),若存在刈，使/(xo)=xo成立，则称xo为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g (x)存在不动点，求实数。的取值范围.解：(1)当 a=-4 时，/(%)=Inx 4-i%2-4%,f tx)=了，、由，(x)=0,求得x=2 g,列表如下：f(x)极小=/(2+V3)=/n(2+V 3)-2 V 3-|,f(x)极大=f(2-V3)=Zn

33、(2-V3)+X(0,2-V 3)2-V3(2-V3,2+V3)2+V3(2+V3,+8)f (x)+0-04-/(x)单调递增单调递减单调递增2百-|；1 3(2)F(x)=f(x)-g(x)=Inx+x2 4-ax ex x2+x=lnx-x2+ax-x-/(x0),:F(x)存在不动点,方程尸G)=x 有实数根，即。二上二节工有解,令 h(x)_ ex/nx+x2x(x0),贝(x)e(x-l)+伍 +Q+l)(x 1)_(e%+x+l)(x 1)+En%函数y=(，+x+l)(x-1)的导函数y=(/+1)(x-1)+/+x+l=x/+2x0 在(0,第 52页 共 107页+）上成立

34、,.=(/+五+1)(x -1)在(0,+8)上为增函数，由=历 为(0,+8)上的增函数,y=(/+x+l)(x -1)+历 x在(0,+8)上为单调增函数，令(x)=0,得 x=l,当 居(0,1)时，(x)0,h(x)单调递减；当(1,+8)时，hr(x)-1,所以 aW-1.下面证明当a W-1时，对任意的x e.r,e 时，都有/(x)-1.易得，(x)=lnx-(6 f+l)XJ若+l W-e,即 QW-C-1,当 I 寸，f(x)=lnx-(Q+1)X20,所以/(%)在/I e 上递增,所以当 xE e 1,e 时，f(x)2/(e 1)=-e(z+1)e 2-e l ,-1,

35、满足题意，故 a W-e-1；若-eV o+1 WO,即-e-1 Va W-1,设(x)=lnx (6/+1)x(x E e I e)则易得力(x)=lnx-(a+1)x 在(xE e 9 e 递增，又(1)=-(a+1)2 0,h(e 1)=-1 -(a+1)e 1 则 g (x)=.设所以g (x)=表加工-冗 在(e I 1 递减，所以 g (x)2 g (-1)=-1,所以当-e-IV c W -1时，/(x)2-1,满足题意.综上可得，a的取值范围是(-8,-1 .4.已知函数/(x)=普 松(a 0).(1)当=1时，证明：/(%)4号；(2)判断/.(、)在定义域内是否为单调函数

36、，并说明理由.解：(1)函数/G)的定义域是(0,+8),证明：当=1时，/(x)=器，欲证 f(x)2 ,一 Inx x 1即证 ,x+1 2艮IH正 21 nx-f+i wo.令 h(x)=2lnx-x2+1,则 h (x)=-2x=-2(x-l)(x+l),X X当X变化时，f l (x),h (x)变化情况如下表:X(0,1)1(1,+8)W(X)+0-h(X)/极大值所以函数 (x)的最大值为(1)=0,故A(x)W O.所以/(x)0.且g(e-i)=-0/+1+品+1-(即一1)0,从而/(x)0,所以函数/(x)在(0,憎)上单调递增；当 x 6 (m，+8)时，g (x)0,

37、从而/(x)6 0)的左、右焦点分别为F l(-C，0),F2(C,0),动点P(x,y)在椭圆。上运动，当尸尸1尸2面积最大时，S A P F 1F 2=C2.(I )求椭圆C的离心率；(I I )若c=l,延长尸F i，P F 2分别交椭圆C于/,B(A,8不重合)两点，设 嘉1 =入&,BF2 求 入+u的最小值.解：(1 )由题意当尸乃尸2面积最大时，P为椭圆短轴的端点,所以s APF F 2=下 画 坨=庆=2所以可得6=。，所以 b1=c1=a1-c2,可得 a2=2c2,则 a=V 2c,所以椭圆的离心率e=5 =母=乌：a V 2c 2(I I)由题意得，点P不在x轴,第5 5

38、页 共107页不妨设点尸(m,)(W 0),A(x i,“)，(工 2，”)，F (-1,0),F i(1,0),由4%=XF、P,得(-1 -x i,-y i)=入(z w+1,n),x i =-痴-入-1,y i =-筋，又 由（I ）及 c=l 知椭圆。的方程为：万+V=1（l m+A 4-l）2 1 八-+）2=1,2又-+2=1,联 立 可 得（3+2加）入 2+（2/H+2）入-1,即（3+2加）入-1卜（1+A）=0,由题意知人 0,入+1#0,所以入=13+2m)同 理 可 得 产 凸 记（R 0）,所以入+|1=2 ；+?=Q 4 2 34-zm 3zm 94mz2故当加=0

39、,入+p 取到最小值了/v26.已知点F为抛物线f=4y的焦点，过尸且与x轴平行的直线被椭圆：君+言=1（。b 0）所截得的线段长为一7 ,椭圆r的离心率e=4.3乙（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点/（点/在第一象限）作切线/,交椭圆于 8,C两点，/与 X 轴的交点为。，8C的中点为E,B C的垂直平分线交X 轴于点K,记K ,Z。的面积分别为S i,S 2,其中。为坐标原点，碍=|，求点/的坐标.解：（1）由抛物线的方程抛物线 2=令可得焦点尸（0,1）,x2 v2 4/6过户且与x轴平行的直线被椭圆：葭+%=1（4 心 0）所截得的线段长为 亍，2V 6 8 1-所 以 点（

40、工一，1）在椭圆上，所以宏 +记=1,又因为椭圆的离心率e 而 e.=4,而 a2=b2-c2(3)9第5 6页 共1 0 7页由可得：=4,必=3,工2 y 2所以椭圆的标准方程：丁+=1;4 3（2）设 4 （x o，（x o O）,则 切 线/的 方 程 为 尸 第 一牛,p o令y =0,则 X D=争，则 5 2=2 2 2 4 16设 8 （x i,y）,C（X2 yi）联立可得（V-y.2y=-x v-2 2 4 ,整理可得:E+i 一 ir4（3+xo2）x2-x o3x+12=0,（*）3+比2X1X2=%04-4 84（3+的2），所以 X1+X2 _ 汽3 Xo/3/2所

41、 以 犯 _ 2 _2（3+勺）2 2犯 4 -4（3+比2），所 以 直 线 性 的 方 程 一Qy+_避2 而=一7 茅 一y盘-3司即 产 一 亲+高两令的藤百C,_ n i x i vr l _ 1 x r x 3 l x 3x2 _9比3（4+沏2）S i-2 KD X yE-2x2 8（3+&2产4（3+近2）-6 4（3+勺2）2,h h-以-S-i =-9-X-O-3-（-4-+-X-O-2-）-x -1-6-=-9-（-4-+-X-0-2-）-=-1-8-S?6 4（3+3 2）2&3 4（3+和2）2 4 9化简，整理可得（刈2-4）（8XO2+31）=0,所以x o=2

42、（x o=-2舍去），当 3=2 时，方 程（*）为 7 7-8 x-8=0,此时=（-8）2 -4 X 7 X （-8）0,满足题意，所以点4的 坐 标（2,1）.7.已知无穷数列 斯 的首项为m,其前项和为S?,且即+i -即=d （W N*）,其中d为常数且d#0.（1）设 a i=d=l,求数列 斯 的通项公式，并求根（1 一 ）的值；n-o o U n（2）设 d=2,S7=-7,是否存在正整数使得数列 中的项H SkV&成立？若存在，求出满足条件A 的所有值，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列 斯 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且加-1,使得4 1=3

43、/.解：（1 ）由处=1 得数列&是 以 1 为首项1 为公差的等差数列,第5 7页 共107页1故斯=，6 N*,/i m(l-)=Z i m(l )=1；n-*c o CLn n-o o M(2)因为%?是等差数列，S 7=7d4=-7,解得4=-1，又因为 d=2,所以 a i=-7,故 S n-n2+(at-)n -n2-8 n,所以,=n3-8 n2,N*,则料 k=k3-8 k2=k2(k-8)V 2,当 k=l,2,3,4,5,6,7,8 时，kS k 0 j),在%中都存在一项a,“，使得a,”=竽，aJ则称数列%为“X 数列”若对于数列 斯 中的任意一项“(3),在 斯 中都

44、存在两项 a*,a i(*/),使 得 即=竽，则称数列 斯 为“丫数列”.(1)若数列“为首项为1 公差也为1 的等差数列，判断数列 “是否为“X 数列”，并说明理由；(2)若数列 ”的前项和S“=2 -1 (N*),求证：数列 斯 为“丫数列”；(3)若数列“”为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又 为“丫 数列”，求证:a f 4 2，3，。4 成等比数列.第 5 8 页 共 107页解：(1)数列 ”的通项公式为：a,n,。2=2,。3=3,a?2 9 .工=7；不是整数，故不是数列 利 的项，0-2 2故数列 板 不 是 X 数列”；(2)数列 外 的前项和 S“=2 -1

45、 (6 N*),故 a=2 r,当 N2 3 时，取 l=m-2,则 尤=2 2 Z/r=2 r=a,“故数列伍“是“丫数列”，四(3)证明：记 g=，而数列 斯 为各项均为正数的递增数列，al故夕1且当人/时，1,四若 k l9 an=4-=Xa k a k a h 则”k 1,al al2 .数列 a“为 X 数列”，故存在且。3=等，aj由知：故 i=2,J=l,n2即的=言=N 2,即 Q l，Q 2，。3 成等比数列，2 数列 利 是“X 数列”，存在正整数匕/(%/),使得4 4=受，al2由得：4 k l,故 3 2%/,从而4=4-=1 产 1 1,记4=2 攵-/-1 6 N

46、*,al 数列 a.是“丫 数列”，存在正整数，使得。尸 字=q Xa 3 =a i/,a2由夕1,得若 a 4=a qn4 V a i/,再由 3=1 2。1 q 3 =即,则 4 3 V 4?0 时，求函数 g(x)=2a2f(x-1)-x2+2a3(x -1)在(1,e)内的零点个数.解：(I)由题可知函数的定义域为(-1,+8),/(x)=击 一。，所以当aWO 时，f(x)0恒成立，函数/(x)在(-1,+8)上单调递增；第5 9页 共1 0 7页当a 0时，令，(x)0得x V工一1,函数/(x)在(-1,-1)上单调递增；aai _ 1令，(x)V0得4 工一1,函数/(%)在(

47、,一1，+8)上单调递减.(I I )由题意得 g(x)=2a1lnx-x2,贝U g (x)=竽2 x=2(a+?(a r)(x0(”(),所以当 OVXVQ 时，g (x)0；当 时，g(x)遥时，g (1)0,g (e)=2a2-2,若g (e)2 0,即竽e,g(x)在(1,e)内只有1个零点；若g (e)0.(I )当取何值时，在函数g (x)的单调递增区间内函数/(x)也单调递增；(I I )若函数 F (x)=/(x)-g(X)有两个极值点 X”X 2(X 1 X 2).求证：F(X I)F(X2)0时，函数g (x)的图象开口向上，对称轴为x=51故此时函数g(X)的单调递增区

48、间为(5,+8),由题意得，(x)=lnx-a+x-=lnx-a+(x 0),令/(x)0,得 Inx a -1,即 x /r,所以函数/(x)的单调递增区间为(炭一1,+8),第6 0页 共107页1 1要使题意成立，则必有e 2,所以的取值范围为(0,1 -历2 .(I I )因为 F(x)=f(x)-g(x)=x Unx-a)-a x (x -1)=xlnx-ax2(x 0),_ 1所以尸(x)=lnx+x*2ax=lnx+-lax,x由题意知，x,X 2 是方程历x+1 -2 a x=0,即 2 a=包手已的两个根，令p (x)=(x 0),则p (x)当xl时，p (x)0,函数p

49、(x)单调递增，又因为p (一)=0,所以当(0,一)时，p (x)0,e又因为 p (1)=1,所以 0 L因为尸(制)=xlnx-ax=x Unx-ax)=x(a x i -1),且易知 a x i Va Vl,所以 x i (a x i -1)0,即 F(x i)0,则(x)=,当x l,时，hf(x)0,所以函数力(x)单调递增，故 h(X2)=$2(Inxi-1)h(1)=去B P F(X2)=X2(lnX2-1)p -(X2)V4,所以尸(XI)-F(X2)b 0）的离心率为e,点（1,e）在椭圆E上，A（a,0）,3B（0,b）,三角形。/8的面积为5.（1）求椭圆E的标准方程；

50、（2）直线/交椭圆E于 M,N两点，若直线。河 的斜率为1,直线ON的斜率为依，且k#2=_/，证明三角形OWN的面积是定值，并求此定值.Ce =a1 ,=3解：（1）由题意可得 2 -2 可得“2=9,=,运+京-1 0,贝!I Xl+X2=-1 8km9m2 9申 岸,X|X 2=W，k ki=(依 1 +n i)(k%2 +m)-9f c2+m2X1 X21-9所以 1+9F=2/M2,满足(),第6 3页 共1 0 7页I.n mb2 I 6ll+k2/9k2 m2+lVI+fc2|xi-X2|=-，又原点0到直线/的距离d=J l+k2所以三角形OM N的面积S=5 x X d_ 1