切线、公切线及切线法应用-2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）.pdf

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1、专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用目录【题型一】“在点”切 线 1：有切点.1【题型二】“在点”切线2：无切点.3【题型三】“在点”切线3：双参型.4【题型四】“在点”切线4：分段函数切线.6【题型三】“过点”切 线 1.9【题型四】“过点”切线2：切线条数.1 1【题型五】“过点”切线3：最值与范围.1 3【题型六】双函数公切线.1 5【题型七】三角函数的切线.1 8【题型八】切线与倾斜角.1 9【题型九】“切线法应用”题 型 1：直线上点到曲线距离.2 1【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值.2 3【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参.2 5【题型十二】“

2、切线法应用”题型4：零 点（交点）求参.2 8【题型十三】“切线法应用”题型5：等 式（不等式）整数解求参.3 1【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等.3 3【题型十五】综合应用.3 5二、真题再现.3 9三、模拟检测.4 3【题型一】“在点”切线1 :有切点【典例分析】已知函数/W=（ax+3）e -+xl n x（其中e 为自然对数的底数）的图象在（1,7）处的切线的斜率为8,则实数。的 值 为（）A.1 B.2 C.e D.3【答案】B【分析】求出./U)的导数，将点的横坐标代入得斜率8,解出实数。即可.【详解】/,(x)=(ax+3 +)et-+l n x+l,/(l)=

3、(2 a+3)+l =8,解得”=2.故选:B.【提分秘籍】基本规律基本规律以曲线上的点a。，z u。)(已知X。为具体值)为切点的切线方程的求解步骤:求出函数#*)的导数八X);求切线的斜率/(xo);写出切线方程y-Axo)=/(xo)(x-xo),并化简.【变式演练】1 .已知函数/(x)=2f 矿(1),则曲线y =f(x)在点(2(2)处的切线方程为()A.6 x-y-8 =0 B.6 x-y +8 =0C.6 x+y +8 =0 D.6 x+y-8 =0【答案】A【分析】先求导数，令X =1 ,计算f(l)的 值，得至u x)=2f-2x,r(x)=4 x 2,计算斜率%=:(2)

4、,用点斜式写出直线方程即可.【详解】因为r(x)=4 x r ，令x=l,则/=4-尸 ,所以/=2,则/(x)=2 x2-2 x,/f(x)=4 x-2 ,k=f(2)=6,2)=4 ,所以切线方程为：6 x-y-8 =0故选：A.2.己知函数 x)=/+ax(a 0)在 x=0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为2,则实数。的 值 为()A.1 B.-1 C.-3 D.3【答案】C【分析】根据导数的几何意义求得曲线在x=0 处的切线为y-l =(a+D x,结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数到=+530),则尸(x)=+a,可得r(0)=a+l,4 0)=1，即切点坐标为

5、产()，1)，所以在x=0 处的切线为y-l =(a+l)x,当 x=0 时，y =1 ；当 y=o 时，x=,7 +1因为在x=0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为:，4可得：xl x -|=1,解得a=l 或 =一 3,又因为a )=2+2 +2./=4,当且仅当 q =勺，即。=匕 时 取 等 号,a b ya b)a b a b b a 2所以!的最小值为4,故选：Ba b【提分秘籍】基本规律多参数，对应方程恒成立求参【变式演练】1.若曲线y =x 3 +ax 在点(1 J)处的切线方程为y =6x-a,则，=()A.3 B.-3 C.2 D.-2【答案】c【分析】由广=6 求得。

6、值，然后利用(1J)是切点可求得力值.【详解】f(x)-3x2+a,由已知/=3 +a=6 ,a=3,即/(幻=丁+3 工，/=4,所以4=6 加，m =2.故选：C.2.已知函数/(x)=/-b l n x 在 点 处 的 切 线 为 y =l,则a+6 的 值 为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得.【详解】.函数 力=融 2 R nx,./(刈=26-B，l)=a,.(x)在点处的切线为y =i,f()=2a-b=0,巾，解得 a=l,b=2,a+b 3.故选：C.a=i3.已知函数/(x)=a I n x -加 的 图象在x =1

7、处与直线)，=-；相切，则函数f(x)在 l,e 上的最大 值 为()A.-1 B.0 C.-D.12【答案】C/=0【分析】求出函数的导函数，依 题 意 可 得，/、1,即可求出a、b,从而得到函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值；【详解】解：f(x)=alnx-bx2,f(x)=-2bx,所以=0/=_/=_；a=1解得L i；b=2所以7(x)=l n x-4 r,八 x),_ x =U=(xT)(x+1.2 xx xx l,e)时，fx)=4故选：C【题型四】“在点”切线4：分段函数切线【典例分析】已知函数,图像关于原点对称，则f(x)在X=-l 处的切线方程为

8、.g(x),x0()A.3 x-y +2-0 B.3 x-y-2 =0 C.3x+y+4=0 D.3 x+y-4 =0【答案】A【分析】令x=2先求出2)的值，再利用函数关于原点对称可求出g(x),再利用导函数的几何意义即可求出X)在x=-l 处的切线方程.【详解】由题意知：八2)=与x 2 2-2 n 2)=6.所以=3 g(x),x0令 x 0.所以/(-x)=2X2+X.又函数f(x)图像关于原点对称，即/(-x)=-/(x).所以当x 0 时，f(x)=-2x2-x.所以当x 0 时，/(尤)=-4X-1./(-)=4-1=3,/(-1)=-2+1 =-1；所以/在 x=-l 处的切线

9、方程为：y+l=3(x+l)=3 x-y +2=0.故选：A.【提分秘籍】基本规律分类讨论决定切点的位置和切点的个数。【变式演练】1.已知函数曲线y=/(x)与直线y=；-1 +ln2有且仅有一个交点,kx,x 0 时，函数g(x)零点的个数，即曲线y =x)与直线y =-g +ln2交点的个数，从而可得出答案.X 1 1 1【详 解 解：令 g(x)=a-/+I n 2-I n(x+l),x e(0,+8),-,x s(0,+oo),当0 x l 时，g(x)l 时，g(x)0,所以函数g(x)在(0,1)上递减，在(1,内)上递增，所以g(x)N g(l)=0,当且仅当x=l 时,取等号，

10、Y 1所以当x 0 时，函数g(x)=1-/+ln2-ln(x +l)只有一个零点，即当x 0 时，曲线y =f(x)与直线y =”；+ln2 有且仅有一个交点，实数。的取值范围为()A.R。)B.(*)C.-)D.g+R【答案】A【分析】画出/(X)、/(-X)的图象，因为产 与 y =-以，y =lnx 与 y =ln(x)的图象关于 y轴对称，且 产 与丁=一交于原点，要使恰有5个零点，)，=I nx 与 y =-ar 的图象必需有两个交点，求出y =I n x 与y =一 相切时a 的值可得答案.【详解】因 为 小/+、g/ax+ag,x-_/所以“/M、fgax,x 0。，T)=|i

11、 n(_ x)xo,因为函数g(x)=/(x)-/(f)恰有 5 个零点，所以 x)、-x)的图象恰有5个交点，画出“力、的图象，由图象可得，因为y =与y =-5，y =1 n x 与 y =I n(-X)的图象关于y 轴对称，且、=5 与y =-3 交于原点，要恰有5个零点，则y =5 与y =ln(x),y =lnx 与y =ar 的图象必有两个交点，当y =I nx 与y =-依 的图象相切时，设切点(小,)，此时切线的斜率为y =L=2,可得 =1,i=ln帆得小=e,所以切点x m tng|J -a=-,交点 a=-1,e e所以要使函数g(x)=x)-/(-x)恰有5个零点，则a

12、e(-g,0 x2+x+a,x 0.x点处的切线重合，则 实 数 的 取 值 范 围 是.【答案】(分析 设A(x,y,),B(x2,y2),x x2,不妨设西 三，利用导数的几何意义判断出X,0 x2,写出函数/(x)在AB两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去与，得a=-T-,换兀得4=一，t2 2t,构造函数g(f)=_ f J_ 2f d ,J 9 4 2 4 4 2 4(0 r D,利用导数可求出结果.【详解】当x 0时，f x)=,X设 B(x2,y2),xtx2,不妨设玉5，若占 0且无2 0且%0,则由曲线y =f(x)在AB两点处的切线重合，得4=4，X X2得%，与X

13、。工2矛盾，所以不 0,所以曲线y =/(x)在点A处的切线方程为y-(x：+玉+。)=(2内+l)(x-X|),即y=(2x,+l)x -x；+。，所以曲线y=/(,x)在点1 1 z 1 2B处的切线方程为y+=*-2),即 二不工一一，j 2由曲线y =/(x)在AB两点处的切线重合，得2%+1 =下且一片+a=-,元2*2z 2 所以。=43-1-2,因为。，所以O v r v l,x24 4 2 4令g Q)=!/_，/_ 2r +_ l,(0 r )=3 -1,令 0,得与y,令 0,得0 f 也,3 3所以也。在(0耳)上单调递减，在4,1)上单调递增，即g 在(0,年)上单调递

14、减，在(乎，1)上单调递增，又短(0)=-2 0,g (l)=-2 0,所以g 0 在(0,1)上恒成立，所以8(。在(0,1)上单调递减，所以g g g(0),即-2 g !，4所以 2。:.故答案为：一 2 。1,曲线 司=。隈 3 x+为在点P(x 0,0)处的切线经过点(0,2e),则“+%=()A.e B.y/2e C.D.2e【答案】D【分析】根据已知得到(3%-2e)h u;+3 x(-4 e=(),令g(x)=(3 x-2e)l nx+3 x-4 e ,再利用导数求出函数的单调性和零点得解.【详解】解：由题得%)=。，即a l nx o-3 x o+2a =0，又r(x)=4-

15、3,所以/(%)=-3 =生，即3 x 0-a =2e ,联立得X/一/(3 /-2e)l i u +3 /-4 e=0,令 g(x)=(3%-2e)l nx+3 x-4 c ,所以 g (x)=3 1 nx+6-至，则 g (x)在区间(0,+切内单调递增，乂g (1=3-2e 2 0,由零点存在性定理可知存在meg,11使得g，=0,当x e(O,m)时，g x)o,所以g(x)单调递增，乂与 1,Rg(e)=0,所以x =e,代入得。=6,所以a +x =2e.故选：D【提分秘籍】基本规律曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(知，式 初)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数%)的导数/

16、(X)；求切线的斜率/(油)；写出切线方程y 7(x o)=F(X 0)(x x o),并化简.%=f（x。）(2)如果已知点(x/,y/)不在曲线上，则设出切点(xo,y o),解方程组,乂-%=/(%)得切点(xo,y o),进而确定切线方程.【变式演练】cin Y1.写出。的一个值，使得直线x+ay-a=O 是曲线y=2 吧 的 切线，则。=.x【答案】乃(答案不唯一)【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点(0,1),利用导数的几何意义，列式求参数。的值.【详解】设切点为尸(五,九),直线+-a=0恒过定点(0,1),sin x0,x-cosx-sinx 1y=-；-

17、，则/x0cosx0-sinx0,X-=-2-X。%则 sinx()-x0=戈 ocosx()-sinx(),可得其中一个根与=乃，工 5 =一 -,此时一=一 -,得二万.7t a 兀故答案为：乃(答案不唯一)2.已知直线y=ox(R)与曲线y=lnx相交于两点，则。的取值范围是_【答案】(0口【分析】先求出直线与曲线相切时。的值，再根据函数图象可求出“的取值范围【详解】设直线y=双e R)与曲线y=In X相切于点P(x0,%),由 y=l n x,得了=一，X所以%=叫)，解得4=,，%=lnx由于直线”斌与曲 线 inxx相交于两点,所以 ),根据导数的几何意义求出函数切点为。簿2阳)

18、的切线方程，再根据切线过原点求出,即可得解.【详解】解：设切点为体,e力，r(x)=2e 2,则/(%)=2小。，故切点为(为簿2而)的切线方程为y-e 2%=2 e 2 x-%),又因此切线过原点，所以-e k=-2x e 2。，解得=；,所以函数/(幻=小 过原点的切线方程是y-e =2e(x-g),即 2 e x-y=O.故答案为：2ex-y=0.【题型四】“过点”切线2：切线条数【典例分析】若过点(S )可以作曲线y =的两条切线，则()A.s I n/B.s I n/C.t l rt v【答案】D【分析】设切点为(x(),l nx o),(%0),等价于。+1)%-%1 1 1尤0=

19、5有两个不同的实数根%,求出g(x)单调区间和最大值即得解.【详解】解：设切点为(x ，l nx。)，(/0),由题得 =,所以切线的斜率为,，XXo所以切线方程为y-l nx o=(x-x o),xo所以 E-l nXo=(5-x0)=-1,/%所以“+1)%-/1 1 1%=$有两个不同的实数根与，设 g(x)=Q +l)x-x l nx,(x 0),g,(x)=t-nx,当0 x (),g(x)单调递增；当兀e 时，g(x)v 0,g3)单调递减.所以 gCO rnax =g(e )=e，所以 s e ,，I n s I n s .故选：D【提分秘籍】基本规律“过点”切线条数，可以通过设

20、切点坐标，写出切线方程，转化为求切点横坐标的根的个数或者根的范围。【变式演练】1.已知函数/(x)=(x+l)e ，过点M(l,/)可作3条与曲线y =/(x)相切的直线，则实数r的取值范围是()4 2A.T，。B.C.-*2 eD.-4 1 0【答案】D【分析】设切点为(a,3 +l)e ),利用导数的几何意义求出切线的斜率/=/(),利用点斜式写出切线方程，将点”的坐标代入切线方程，可得关于。的方程有三个不同的解，利用参变分离可得f =(3-a2)e ，令g*)=(3 -/)e ,利用导数求出g(x)的单调性和极值，则根据、=8 0)与 y =f 有三个不同的交点，即可求出实数，的取值范围

21、【详解】设切点为(a,(+D e ),由 x)=(x+l)e)得r(x)=e +(x+l)e =(x+2)e ,所以切线的斜率为2=/(a)=(a+2)e ,所以切线方程为y-(a+l)e =(a+2)e (尤-，因为 点 例(1,f)在切线上，所以f-(a+l)e =(a+2)e (l-a),化简整理得f =(3-/)e ,令g(x)=(3-/把、，则g(x)=(3-2x-x1)ev=-(x-l)(x+3)e*,所以当x l 时，g(x)0,当一3 c x 0,所以g(x)在(v,-3)和(1,铐)上递减，在(-3,1)上递增，所以g(x)的极小值为g(-3)=(3-9)e-3=-p-,极大

22、值为g(9 =2e,当x -3 时，g(x)0,所以g(x)的图象如图所示，因为过点例(1,/)可作3条与曲线y =f(x)相切的直线，所以y =g(x)的图象与直线y =r有三个不同的交点，故选:)-r t l og2 nB.n l og2 mC.m l og2 nD.n 1 0 g2机，故选：B.A.(0,1)B.(-oo.l)C.(-oo,l D.(0,1【答案】A【分析】设切点尸(x。，兀)，进而求得切线方程，进而得到匕=(1-七)e”,构造函数g(x)=(l-x)e*分析g(x)=(l-x)e*的单调性与取值范围即可判断b =(l-%)e*有且仅有两根时b的取值范围即可【详解】设切点

23、为尸(不，几)，y =e故过尸(x ,九)的切线方程为y-e*=e*(x-%),即丫 =6。+(1-%。为.故力=(1 一%)峭有且仅有两根.设8(%)=(1-%烂,则g，(x)=f e”,令g(x)0 则 x0,令 g(x)0,且 g()=e=l,又当 x 0,g(l)=0.【题型五】“过点”切线3：最值与范围【典例分析】已知函数/(x)=e*+6 的一条切线为y =如+。，则曲的最小值为()A！B-T e g D*【答案】A【分析】根据导数的几何意义，可求得必=/皿 ,设g(x)=x2 i n x(x 0),利用导数求得g(x)的单调性和最值，分析即可得答案.【详解】由题意得由(x)=e*

24、,设切点为(%,%),e =a所以 B,解得/=l na,b=axtt=ana,y0=e 0 +b=axQ+a所以 ab =a?I n，设 g(x)=/I nx(x 0),则 g(x)=2xnx+x=x(2l nx +1),令 g，(x)=0,解得人一c当时，g(x)0,则g(x)为减函数，7当 x e e 2,+oo 时，g，（x）0,则 g（x）为增函数，（二）1 1所以g（x）*=g e 2,所以油的最小 值 为 故 选：A【变式演练】1.已知曲线/（x）=nx|在点（x/（xj）与（&,工2）处的切线互相垂直且相交于点尸 伍，儿），则（）x x 2A.X j -x2=-1 B.xt x

25、2=e C.x0=-D.A =.十；【答案】D【分析】利用导数求出切线斜率，再由切线垂直可得%=1，利用切线公共点可得2x+x2【详解】因为曲线f（X）=|l nH =；:X 1在点（x J（%）与仁J（）处的切线互相垂直，所以当0 xl时，f（x）=-,当xl时，/=-,不妨设0占1 X 2，因为在点（X 1,/（xj）与（W ,/（%2）处的切线互相垂直，则-J _.即不=1,故A B错误；“七在点（4/（%）的切线方程为 y+l nxi=-!*一 占），即 y=-x-l n +1,xx在点（，/（）处的切线方程为丫-出=一（-七），BP J =x+l nx2-l,x?x?因为切线相交于尸

26、（X。,几），代入切线方程可得-X。Tn占+1 =%+I n-1 ,XX2（1 1、2即 x0=I n X j I n x2+2,由%=1化简可得 o=.、X j X、,玉 +%2故选：D2.若曲线y=（x+d）e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.【答案】（-8,7）5。,+8）【分析】设出切点横坐标质,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于为的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】：y=（x+a）e ,y =（x+l +a）e*,设切点为（毛,%），则 为=（%+a）e*,切线斜率4=（/+1 +a）e ,切线方程为：丁 一（玉）+。）卜=（

27、+1 +）己（工一天），;切 线过原点，二 一（天+a）e =（七+l +a）e（一 七），整理得：X；+-a =0,：切线有两条，=/+4。0.解得。-4或。0,A。的取值范围是（F,-4）U（0,”），故答案为：（-3，-4）0（。,+0）3.过直线y=x-l 上一点尸可以作曲线/(x)=x-l nr 的两条切线，则点尸横坐标1 的取值范围为()A.0 f 1 B.t eC.0 t e D.-r 0,v/,(x)=l-,/，(xo)=1-=X 入 0%x 一|.X 一|则过点P的切线方程为y-X。+I nXo=一(x-x0),整理得y=一x-nx0+l,%由点尸在切线上，贝 一 1 =%一

28、/-l nx0+l,g p r =2x0-x0l nx0,*0因为过直线y=x-l 上一点P可以作曲线y(x)=x-l nx两条切线，所以关于的方程f =2xo-xol n M有两个不等的实数根，即函数y=r 与函数g(x)=2x-xl nx的图象有两个交点，g(.x)=2 I nx 1 =1 I nx,g (x)0=0 x 0)的图象与函数g(x)=t t e 的图象有公切线/,且直线/与直线Xy=-gx +2 互相垂直，则实数/=()A.B.e2 C.一或D.-或 4 Ae e e【答案】D【分析】根据垂直性质可得M =2,再求导根据导数的几何意义可得切线/的方程为y=2x-i,再设函数后

29、(司=诲 与直线/切于点(%,%),列式求解即可【详解】由题知，勺=2,令/(x)=3-g=2,又x 0,解得x=l,因为 1)=1,所以切线/的方程为 y=2x-i.g(x)=f(x+l)e*,设函数8(耳=芦 与 直 线/切 于 点(%,%),所以 工即2x-1 2 。=1%=7，2xj-xo-l=O,解得 1 或 0 2.故选：D【提分秘籍】基本规律公切线，要注意从以下两方面考虑1.两个曲线有公切线，且切点是同一点2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。【变式演练】1.若 函 数 力=/+1与g(x)=2alnx+l的图象存在公共切线，则实数a的最大值为(A.B.e C.Ve D.e2

30、2【答案】B【分析】分别设公切线与f(x)=f+i和c：g(x)=2Hnx+l的切点(不才+1),(私2。加/+1)，根据导数的几何意义列式，再化简可得。=2*-2x；l n/,再求导分析h(x)=2 f 一2丁.inx(x 0)的最大值即可【详解】r(x)=2x,g(x)=与，设公切线与+1的图象切于点(4片+1),与曲线C:g(x)=2alnx+1 切于点(电,2。1 1 1+1).,寸网=史上归1叫=2+，故仆-,所以2寸江口，.x2 x2-x,x2-X,X2-Xxx=2X2-2X2-Inx2,.*a=xxx2,故a=-Zxjlnw,设 h(x)=2x2-2x2-In x(x 0),则

31、hx)=2x(1-2 In x),在(0,/)上递增,在(加,+8)上递减，.,(x)n m=/?(xQ=e,二实数。的最大值为e故选：B.2.若直线y=卮+6是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线)，=ln(x+l)的切线，贝必=()A.2 B.4 C.e2 D.e2 答案A【4析】分别写出两条切线方程，合二为一，联立方程即可.【详解】对于y=lnx+2,设切点为(王，乂)，y=,则切线方程为y-X =(x -xJ，y=x -l+lnX|+2=L x+inX|+l,王 玉 X,即4=J力=始+1；对于丫=1 1 1（+1）,丫=T ，设切点为（莅，/），1 X则切线方程为y-%=-y 7（x_

32、 X 2）,y=y XJ-+ln（x2+l）,I I 入）I 1 .X ,）I 1=-7 7 =l n（x2 +i）-r h；xl x2+1I nx,+l =l n（x,+1）-x=_ _!k=2由得：I x 解 得,2,Z+l3.若曲线y=l nx与曲线：y=-Z有公切线，则实数%的最大值为（故选：A.)7 A.+I n28 2【答案】C1 1 f c+I n22 2B.若D.-I n22 2C.【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程,可得,整理I nx,-1 =得=1!1 2吃-2+1 =，(外，利用导数研究函数的单调性求出f(x)1 Mx即可得出结果.【详解】设在曲线y=l

33、 nx上的切点为(x“l nxj,则切线斜率为(l nx)|=Lx在曲线 =/上的切点为H M-幻，切线斜率为(/-6高=2 9，所以切线方程分别为 y-l n%=(x-X|)、y-x+k=2x2(x-x2),即 y=,x+l n-l、xl Xy=2X2X-x-k,_ 2x有，百 .，整理得攵=l n2%石+1，设/。)=1。21 一/+1。0),则I n x,-1 =x/-kr(x)4-2 x=E生，X X令 f (x)O =O x孝，令f(x)Onx冬,故函数/(x)在(0,孝)上单调递增，在(,+0 0)上单调递减，2所以在(0 收)上f(x)3=f(当)=/=+卜 2,如图，由图可知&

34、+fn 2,即的最大值为：+领2.故选：C.)2元 一 兀22 2兀【题型七】三角函数的切线【典例分析】函数/(x)=d c o s x-2si nx在1=兀处的切线在y轴上的截距为(A.7 C2 2n B.2兀 C.n2 2【答案】A【分析】先求出/(X),根据导数的几何意义，得出切线方程，然后在切线方程中令x=OM得出答案.【详解】因为/(x)=x2c o sx-2si nx,J 9 f I U (x)=2xc o sx-x2 si nx-2c o sx,所以广(兀)=一2兀+2,/(兀)=/,所以/(力在尢=兀处的切线方程为y+兀2 =(2兀+2)(x 兀),令x=0得 y=7 27c.

35、故选：A.【变式演练】1 .设函数/(X)=；d+一 1)/+a si n X ,若fix)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线斜 率 为()A.3 B.2 C.1 D.y【答案】C【分析】先由函数为奇函数，求出“，再利用导数的儿何意义可求出切线的斜率【详解】因为A x)为奇函数，所以/(-x)+f(x)=0,所以(X)，+(a 1)(x)+tzsi n(x)+x3+(f z l)x2+a si n x=0 ,所 以 2(a l)x =0 ,所以 a-l =0,解得 a =l,所以 f(x)=gd+si nx,f(x)=x1+cosx,所以7(0)=l,所以曲线y=.f(x)在点

36、(0,0)处的切线斜率为1.故选：C.2.过曲线V =84上一点尸且与曲线在P点处的切线垂直的直线的方程为()A.2x-4 y-+与02B.2x+y-2乃T-2：0C.2 X+岛 一 等G-o-U2D.2x-y-24一 +32 0 答案A【1析】根据导数的几何意义，可得切线斜率左，进而可得所求直线斜率I，代入点斜式方程，整理即可得答案.【详解】由题意得y=-si nx,所以在点尸 彳,彳 处切线斜率k.=-si n=-,V 3 2；3 2旦亚则所求直线斜率“一1逅 一 亍，所以直线方程为y-g =(x-。)，整理得2x-6 y-与+乎=0.故选：A3.已知函数/(x)=3 si nx 4c o

37、 sx,则曲线y=f(x)在点(0 J(0)处的切线方程为()A.y=3x-4 B.y=0 C.y=-4 D.y=-4x+3 答案A【4 析】利用导数的几何意义，即可求解.【详 国 军】/(x)=3s i n x-4c os x,/z(x)=3c os x+4s i n x,/z(0)=3,/(0)=T,所以函数y =x)在点(o,/(o)处的切线方程为y+4=3(x-o),即y =31.故选：A【题型八】切线与倾斜角【典 例 分 析】设点P 是曲线y =l-0 x +2 上的任意一点，尸点处切线倾斜角为a,则角a的取值范围是【答案】0卧【分析】求出y =3/-石，由t a n a*-百，根据

38、a的范围可得答案.【详解】：y =3 W-百 2-石，t a n a 一百，又丁 0 W a W4，.八,4 f 2 4.O W a v 或 a,0=3,此时 tan a =3,.c c 2sina cos。2 tan a 6 3.sin2a=2slna cosa=z-；=5-=-=一 sin a +cos a tan a +l 9+1 5故选：C.2.已知P 是曲线C:y=ln x+/+（百-a,上的一动点，曲线。在 p 点处的切线的倾斜角为,若则实数a 的取值范围是（）A.273,0）B.2 0,0）C.卜8,2 6 D.（7,2 0【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定

39、倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.【详解】因为y=lnx+/+（石一a）x,所以y=：+2戈+石一 a,71兀、因为曲线在M 处的切线的倾斜角6 w ,万J,所以y 2 tan =百对于任意的x 0 恒成立，即L+2 x+G-a w 6 对任意x 0 恒成立，Xg|J 0 恒成立，再 利 用 基 本 不 等 式 求 出 即 可.【详解】因为y=lnx+g尤 2+（1一。）工，所以y =_1+工+1一。，7 T因为曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于丁的锐角，4所以yN tanf=1对于任意的x 0 恒成立，即+x+l-a l对任意x 0 恒成立，4x所以x+Wa,X%+-2,当

40、且仅当x=L即x=l 时，等号成立，“X X故。（2,所以。的取值范围是（F,2.故选：c【题型九】“切线法应用”题型1:直线上点到曲线距离【典例分析】已知l n X 1-再-y+2=0,+2%-5-2 1 1 1 2 =（）,则（玉-W）：+（乂-%）2的最小值为（）A.巫 B.迈 C.2 D.35 5 5 5【答案】C【分析】依题意可得A（%,y）在函数y =l n x-x +2上，点8（毛,丫2）在函数y =-g x+|+l n 2上，贝1 -马）2+（%-%）2表示人、B两点的距离的平方，要求最小值，先求|A B|的最小值，当过A的点切线与直 线 尸-gx+1ln2平行时，点A到直线y

41、 =-g x+g +l n 2的距离即为|明 的最小值，利用导数求出切点坐标，最后利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：由l n X 1-X|-x+2 =。，则点A（X 1,y J在函数y =l n x-x+2上，x2+2 y2-5-2 1 n 2 =0,则点 在函数 y =-g x+g +l n 2 上,则（西一丫+（y%y表示A、B两点的距离的平方，要求（-/+（%-%）2的最小值，即求何目的最小值，当过A的点切线与直线y =-g x+：+l n 2平行时，点A到直线y =-g x+g +l n 2的距离即为|用 的最小值,由y =l n x-尤+2可得y，=L-l ,所以y l+=

42、-1 =-T ,解得玉=2,XX】幺所以凹=如2-2 +2 =如2,即A（2,l n 2）,所以A（2/n 2）到x+2 y-5-2 1 n 2 =0的距离d =包竽产。即MV r+2-75min3忑 所以a r ）2 +（y f ）2的最小值为（跖 J =1 ；故选：c【提分秘籍】基本规律直线与曲线最短距离，方法主要是“切线平行法”【变式演练】1.曲线y =e上到直线丫=改+&的 距 离 为3的点的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】设曲线y =e”上一的点坐标为（xC）,根据点到直线的距离公式得出关于x的方程式,根据“三个等价”从函数图象的角度得出交点个数，进而得出结

43、论.【详解】设曲线y =e、上的点坐标为（x,e、），点到直线 =5+&的距离为，即：?1 7,令/(x)=e r-e+0,求导7?71 2 1 1 2得：r(x)=e-e 当x 0,x)单调递增；当x l时，/(x)。又.(T)0,2)0,.马,使%)=0；.切 e(1,2),使 )=0：二对于函数g(x)=|er-e*+V ,则有：x e(ro,x j,g(x)单调递减；x e(,l),g(x)单调递增；xe(l,x2),g(x)单调递减；X6(x2,+oo),g(x)单调递增；X vg(l)=/e2+l,g(x)=辰-e*+囱 与 直线y=；7e2+1有两个交点，.曲线y=e*上到直线y

44、=ex+应的距离为2的点的个数为2个.故选：C.2.曲线y=lnx上的点到直线y=x+2的最短距离是()A.2及 B.逑 C.巫 D.夜2 3【答案】B【分析】求曲线y=lnx的切线方程，再求两平行线间距离.如图所示，设曲线y=lnx上一点(七,比不)，且在该点处切线斜率为1,y=,所以斜率 =1,解 得$=1,故切点为(1,0),切线方程为y-O=lx(x-l),即X 工0y=x-,|2-(-1)|372两 直 线 间 距 离 为，,2=丁，故选：B.3.已知实数a,b,c,d满足：土芒1=g=1,其中e是自然对数的底数，则(a-c)2+S-d)2b a的最小值是()A.7 B.8 C.9

45、D.10【答案】B【分析】由“，h,c,d满足：伫;Lg=l,得至ij点(“在曲线y=x-2 e上，点(c,d)在b a-1y=2-x上，从而得到m-c)2+3-4)2的几何意义就是曲线y=x-2e,上的任一点到y=2-x上的任一点的距离的平方.利用导数求出 =2&就 是两曲线间距离的最小值，即可求出(a-c+S-d)2的最小值.【详解】因为实数a,b,c,4 满足：三 竺=g=l,b a所以b=a-2 e“，d=2-c.所以点（。在曲线y=x-2 e上，点（c,d）在 y=2-x 上.所以（-c）2 +（-d）2的几何意义就是曲线y=x-2 e上的任一点到y=2一 上的任一点的距离的平方.由

46、几何意义可知，当y=x-2 e”的某条切线与y=2-x 平行时，两平行线间距离最小.设y=x-2 e”在点（。处的切线与y=2-%平行，则有：b=-2c ,即切点为(0,-2).此时（0,-2）到直线y=2-x 的距离为=巧 言 a=2&就是两曲线间距离的最小值，所以（a-c+g -的最小值为/=（2夜=8.故选：B【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值【典例分析】设 P 为曲线y=e上一点，。为曲线y=lnx上一点，则|尸。|的最小值为（）A.B.1 C.J2 D.22 答案c【2 析】由导数求出两曲线的切线【详解】y=e*,y=ex,x=0 时，y=l,y=l,所以y=x+y

47、=e，图象的一条切线，切点为（0,1）,y=lnx,y=,x=l 时，y=l,y=0,所以y=x-1 是y=ln x 的图象的一条切线，切点为(1,0),1-00-1这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直,IPQI的最小值即为两切点间的距离.所以1 P 2 L=0,故选：C.【提分秘籍】基本规律两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图【变式演练】1.已知函数y=e、-3的图象与函数 =蚂 三 12二！的图象关于某一条直线/对称，若尸，Q分别为它们上的两个动点，则 这 两 点 之 间 距 离 的 最 小 值 为.答案应(1+、2)2【分析】整体代换求解直线/的解析式，利用导数的几何

48、意义求解函数y=e 4 i的图象上到直线/距离最短的点，即为点尸，即可求解R Q 两点间的最短距高.【详解】解：令f=x-l,则x=l+r,y=e4r-3=e4,+,y =ln-1)-1=lHzl4 4因为y=e”与 y=关于直线y=r 对称，所以函数 =04与函数丫 =蚂/二 1 关于直线y=x-l对称，所以P,Q两点之间距离的最小值等于P 到直线y=x T 距离最小值的2 倍，函数y=e3在 P(x,%)点处的切线斜率为k=4e”3,令 4/3 3=1 得，%=上詈，%=：,3-21n2 1 1所以点尸到直线N =x-1距离的最小值为,4 4-l+ln2,=二F所以这两点之间距离的最小值为

49、24=近(1 +北2).2故答案为：0 Q +M 2)22.已知点尸为曲线y=与上的动点，。为坐标原点.当|。尸|最小时，直线0 P 恰好与曲线y=alnx相切，则实数“=_.【答案】-e【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.【详解】设 P(x,J n x),所以|O P|=(2+(3 2.(n x)2 ,2设g(x)-+(子。n x)2,g，g+d)2 2 g).1+产,e x xi 2 2 1 与 x 时，I n x 1 =f i n x ,2x2 r,所以 g(x)。,g(x)单调递增，e e e e 2 2 2当 0 x 一时，I n x y I n

50、x ,2 x2 o r-e (e 是自然对数的底数)xl nx,x0,在 R 上恒成立，则“的取值范围是()-1-e2 1 1 f l-e2 1)3 e 2 j I 3 e【答案】D【分析】利用函数图像处理恒成立问题.【详解】/(x)a r-e 在R 上恒成立，等价于f(x)的图像恒在直线y =o r e 的上方，画出了(力二卜口工/羽片,的xl n x,x0图像:宜线y =e 恒过定点(0,-e),当直线y =e与 y =xl nx,x 0 相切时，设切点P(如%I n%),求导得 y C=l nx+l,可得=l +l nx(),由 l +l n/=-r-I-n-x-n-+-e,解得=e，则