新课标人教A版高中数学选修2-2教案.pdf

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1、高 中 数 学 教 案 选 修 全 套【选 修2-2教案|全 套】目 录目 录.I第一章 导数及其应用.1变化率问题.1导数与导函数的概念.41.1.2 导数的概念.61.1.3 导数的几何意义.91.2.1 几个常用函数的导数.131.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.161.2.2 复合函数的求导法则.201.3.1 函数的单调性与导数（2 课时）.231.3.2 函数的极值与导数（2 课时）.281.3.3 函数的最大（小）值与导数（2 课时）.321.4 生活中的优化问题举例（2 课时）.351.5.3 定积分的概念.39第二章推理与证明.43合情推理.43类比推理.46

2、演绎推理.49推理案例赏识.51直接证明一综合法与分析法.53间接证明一反证法.55数学归纳法.57第 3 章数系的扩充与复数的引入.683.1数系的扩充和复数的概念.683.1.1 数系的扩充和复数的概念.683.1.2 复数的几何意义.713.2复数代数形式的四则运算.743.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义.743.2.2 复数代数形式的乘除运算.78第一章导数及其应用1.1.1变化率问题教学目标：1 .理解平均变化率的概念；2 .了解平均变化率的几何意义；3 .会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念.

3、教学过程：一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.新课讲授(-)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球

4、的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积*单位1)与半径4单位:而2)之间的函数关系是丫(r)=如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)分析：r(V)(1)当V从。增加到1时，气球半径增加了 r(l)-r(0)x 0.6 2(加)气球的平均膨胀率为“1；一；()0.6 2(J m/L)(2)当V从1增加到2时，气球半径增加了 r(2)-r(l)0.1 6(r f m)气球的平均膨胀率为“彳一 D 0A6(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从口增加到匕时，气球的平均膨胀率是多少？“)一”匕)问题2高台跳水第1页 共173

5、页在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度以单位：成)与起跳后的时间/(单位：S)存在函数关系 =-4.9尸+6$+1 0.如何用运动员在某些时间段内的平均速3度粗略地描述其运动状态?思考计算：04，4 0.5和1 4/4 2的平均速度丫在O Wf WO.5这段时间里，(6 5)二(0)0.5-0在1 W/W 2这段时间里，3=-力=4.0 5(;/s)；2-1-S.2(m/5)探究：计算运动员在0 4/4受这段时间里的平均速度，并思考以下问题:4 9运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数/2 =-4.9产+6.5什1 0的图像，结

6、合图形可知，力(|)=(0),所以y =-奂-04 9=0(.v /m),虽 然 运 动 员 在 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念：1.上述问题中的变化率可用式子 外匕表示，称为函数火X)从X I到X 2的平均变化率2.若设A c =%2 -玉，纣=/(%2)-/(%)(这里A x看作是对于为的一个“增量”可用M+A c代替X 2,同样Af=Ay=f(x2)-f(x1)3c .贝El j平I均变P化率力为 A y =A f =Jf(x42)-f(x1)/(%)+A

7、x)-/(x,)U =-!-!M k x2-X j A x思考：观察函数兀V)的图象平 均 变 化 率 包=/(叱)-/(须)表示什么？A x x2-X j直线A3的斜率第2页 共173页三.典例分析例1.已 知 函 数 於)=/+%的 图 象 上 的 一 点4 1,-2)及 临 近 一 点3(1 +A x,2 +A y),则A x解：-2 +A y =-(-1 +A x)?+(-1 +AX),.A y -(1 4-A x)2 4-(-1 +Z k x)2.=-=3 -zx r x A x例2.求y =/在=尤0附近的平均变化率。2 2解：与 虫 两+以 产 一 改/,所 以 包J x o+)

8、一 。一A x A x=司2+23+=2/+.A x所以y =在x =4附近的平均变化率为2+A x四.课堂练习1 .质点运动规律为s =+3,则在时间(3,3 +Af)中 相 应 的 平 均 速 度 为.2.物体按照s=3尸+/+4的规律作直线运动，求在4 s附近的平均变化率.3.过曲线)，守(x)r3上两点P (1,1)和。(1+Ax,l+Ay)作曲线的割线，求出当Ax=O.1时割线的斜率.五.回顾总结1 .平均变化率的概念2 .函数在某点处附近的平均变化率六.布置作业第3页 共173页导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法：理解导数

9、的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数，(x)=/在 点(2,4)处的切线斜率。Ay f(2 +A x)-/(x).人 二=-人3 =4 +,故斜率为4Ax Ax2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是丫 =产 一1,求f =f“时的瞬时速度

10、。=。+”)一。)=2to+Z,故斜率为 4二、知识点讲解上述两个函数f(x)和V 中，当At (At)无限趋近于0时，竺(竺)都无限趋近于一个常数。t Ax归纳：一般 的，定 义 在 区 间(。，力)上 的 函 数/(x),x0 G (a,b),当A x无 限 趋 近 于0时，包=f(x.+Ax)-/(/)无限趋近于一个固定的常数4,则称/(x)在x =x 0处可导，并称A为了(幻在Ar AxX =X。处的导数，记作f(xr)或/(x)，上述两个问题中：(1)/(2)=4,(2)()=2%三、几何意义：我们上述过程可以看出/(%)在x =/处的导数就是/(%)在x =玉)处的切线斜率。四、例

11、题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数(1)/(x)=x2+,x =2 (2)/(x)-2x l,x =2第4页 共173页(3)f(x)=3 ,x =2例2、函数/(幻 满 足 尸(1)=2,则当x无限趋近于0时,(1)AH-2x(2)f(l +2 x)-“)X变式:设f(x)在X=X o处可导,(3)4+4AA-)-/(X。)无限趋近于1,则/)=(4)二4A x)一八分)无限趋近于1,则f xQ)=Ax(5)当 无 限 趋 近 于0,)所对应的常数与f(x0)的关系。Ax总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。例 3、若/(x)=(x-1)2,求 尸(2)和(2注意分析两者

12、之间的区别。例4：已知函数/(%)=,求/(x)在x =2处的切线。导函数的概念涉及：/(x)的对于区间(。/)上任意点处都可导，则/(x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为/(x)的导函数，记 作/(X)。五、小结与作业第5页 共173页1.1.2导数的概念教学目标：1 .了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3 .会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念.教学过程：创设情景（-）平均变化率（二）探究：计算运动员在0 4/4国这段时间里的平均速度

13、，并思考以下问题：4 9运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数人=-4.9产+6.5r+1 0的图像，结合图形可知，/?（）=/j（0）,4 9_ 蟾）-（。）所以 v =-=0（5/m）,6 5-04 9虽 然 运 动 员 在 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 为0（“加），但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二.新课讲授1 .瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，r =2时的瞬时

14、速度是多少？考察r =2附近的情况：第6页 共173页思考：当加趋近于0时;平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当加趋近于。时，即无论，从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度：都趋近于一个确定的值 1 3.1.从物理的角度看，时 间 间 隔 无 限 变 小 时，平均速度G就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在，=2时的瞬时速度是一 1 3.b n/s为了表述方便，我们用l im 2土 一 =一1 3.1表 示“当Z =2,4趋近于0时，平均速度v趋近于定值一 1 3.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值

15、。2导数的概念从函数)守田在X=x o处的瞬时变化率是：丽/8+).(/)=H m 筮 加：X我们称它为函数y =/(x)在x =x 0出的导数，记作/(%)或y忆与，即f D=l im/(天+r)-/(An)A x说明：(1)导数即为函数y=/&)在户x o处的瞬时变化率(2)AY=X-X(),当 A x 0时，x0,所 以/(%)=l i m )。x-xQ三.典例分析例1.(1)求函数y=3x2在x=l处的导数.分析：先求户)，=/(1 +AJOTA 1 )=6 AX+(AX)2再 求 包=6 +A r再求l i m A =6A%Ar-0 K解：法一(略)3%2-3-I2 3(x2-I2)

16、法二：/I .=l i m =l i m =l i m 3(x+l)=6.v 1%X TI x|x-l(2)求函数火x)=-/+x在 工=1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：包=-(T +AX)2+(-1+AX)-2=3 A x A x、.A y (1 +A x)2+(-1 +A x)2 小 人、af(-1)=l i m =-=l i m (3-A x)=3.0 A x A x第7页 共173页例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x力时，原油的温度(单位：C)为/(X)=X2 7X+15(04X4 8),计算第2时和第6时，原

17、油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2/i时和第6时，原油温度的瞬时变化率就是/(2)和/(6)根据导数定义，=/(2+8)/(/)AJC A r=-(-2-+-A-x-)-2-7-(-2-+-A-r-)-+-1-5-(-2-2-7-x-2-+-1-5)=AAx-3、A r所以(2)=l i m 竺=l i m(A r-3)=-3同理可得：/(6)=5在第2时和第6时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2附近，原油温度大约以3 C 7的速率下降，在第6附近，原油温度大约以5 C/z的速率上升.注：一般地，/(X。)反映了原油温度在时刻与 附近的变化情况.四.课堂练习1 .质点

18、运动规律为s =+3,求质点在r =3的瞬时速度为.2.求 曲 线 八x)=/在x =l时的导数.3.例2中，计算第3时和第5/z时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.五.回顾总结1 .瞬时速度、瞬时变化率的概念2.导数的概念六.布置作业第8页 共173页1.1.3导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：创设情景(-)平均变化率、割线的斜率(-)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函

19、数y=/(x)在 x=的处的瞬时变化率，反映了函数y=/U)在户加附近的变化情况，导数/(%)的几何意义是什么呢？二.新课讲授(-)曲线的切线及切线的斜率：如 图 3.1-2,当匕(乙，/(七)(=1,2,3,4沿着曲线/(幻趋近于点尸(%,/(%)时，割线P匕的变化趋势是什么？我们发现，当点勺沿着曲线无限接近点P即 A x-0 时，割线P P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P7称为曲线在点P处的切线.第9页 共173页问题：割线P2 的斜率k,与切线P T的斜率k有什么关系？切线P T的斜率k为多少?容易知道，割线P 匕 的 斜 率 是 腕=也 上 公）,当点与沿着曲线无限接近点尸时，

20、勺无限趋近于切线P T的斜率k,即2=l i m J也+-J曳=/，（/）-A x说明：（1）设切线的倾斜角为a,那么当A x-0 时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质一函数在X =/处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=/（x）在 x=x o 处的导数等于在该点（/，/（/）处的切线

21、的斜率，即/（%）=l i m /（/+/）-3 A x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：求出产点的坐标；求出函数在点3 处的变化率/（a）=l i m X。）=%,得到曲线在点（X o，/（X o）的切线加 T O j x的斜率；利用点斜式求切线方程.（-）导函数：由函数人X）在产均处求导数的过程可以看至I J,当时,/（/）是一个确定的数，那么，当 X变化时，便 是 X的一个函数,我们叫它为式X）的导函数.记作：/（X）或 y ,即：f （x）=y =l i m -A0 A x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数/（X）在点X。处的导数/（七）、导函数/（X）、导数之

22、间的区别与联系。1）函数在一点处的导数/（%）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数/（x）在点/处的导数/（%）就是导函数尸（x）在x =x 0处的函数值，这也是求函数在点方处的导数的方法之一。三.典例分析例 1:（1）求曲线产危0=/+1 在点P（l,2）处的切线方程.第10页 共173页(2)求函数)，=3/在点(1,3)处的导数.解N：(八1)、y,i,(1+AX)2+1-(12+1)r 2AX+AX2 cv_=lim -=hm-=2,-Ax A%所以，所求切线的斜率为

23、2,因此，所求的切线方程为丁一2=2(尤一1)即2x y=03r2-3-I2 3(x2-I2)(2)因为 y|-=lim-=lim-=lim3(x+l)=6I I x-l x-l所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y 3=6(x 1)即6x y 3=0(2)求函数_/(x)=f+x在x=_ i附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：包=-(-1+-1+-=3Ax Ax八 A)，(1 +Ax厂+(1 +A%)-2 八、af (-1)=h m=-=lim(3-Ar)=3Ax 1。例2.(课本例2)如图3.13,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数(x)=-4.9f+6.5%+10,

24、根据图像，请描述、比较曲线(f)在、4、V附近的变化情况-解：我们用曲线(/)在力、乙、G处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当，=%时，曲线依。在2处的切线平行于x轴，所以，在，=小附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当f=4时，曲线在6处的切线4的斜率/?&)0,所以，在t=%附近曲线下降，即函数/?(%)=一4.9/+6.5x+10在t=4附近单调递减.(3)当f=f2时，曲线力)在G处的切线4的斜率人”2)o A,AX-O函数导数y=cy=oy =0表示函数y =c图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若 y=c 表示路程关于时间的函数,则 y =0 可

25、以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数y=/(x)=x的导数因 为 电=f(x+Ax)-/(x)=x+A x-x =iAx Ax Ax所以 y=li m 竺=li m l=lAx-o A,AX-O函数导数y=xy=1y =1表示函数y=x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1 .若 y=x表示路程关于时间的函数,则 y =l可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动.第13页 共173页3.函数y=/()=上的导数 y/(x +Ax)-/(x)(x+Ax)2-%2因 79-=-=-Ax Ax Axx2+2x Ax +(Ax)2-x2 8=-=2尤 +AxA

26、x所以 y=li m =li m(2x +Ax)=2xAx-o Ar -函数导数y =x2y =2x9 =2%表示函数 =/图 像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x 0时，随着x的增加，函数=/增加得越来越快.若y=f表示路程关于时间的函数，则y =2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.4 .函数y=f(x)=的导数X1 _ 1因 为 =/(x +Ax)-/(x)=x +Ax 尤AJV AJC_ x-(x +Ar)_ 1x(x +Ax)Ax x2+x -Z

27、k r所以 y =li m =li m(-)=V 一0 Ax +x Ar JT函数导数1y二X,1y=一rX(2)推广：若 y=/(x)=%(Q*),则尸(x)=yi三.课堂练习1 .课本P13探 究12.课本Pi 3探究24 .求函数y=&的导数第14页 共173页四.回顾总结五.布置作业函数导数y=cy=0y=xy=iy=x2y=2x1X1y=-7Xy=f(x)=x(n&Q)y=nxnl第15页 共173页 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的四则运算法则；3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简

28、单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：-创设情景四种常见函数y=c、y=x、y=2、y 的导数公式及应用二.新课讲授(-)基本初等函数的导数公式表函数导数y=cy=0y=/(x)=x (e Q*)y=nxnxy=s i n 冗y=c os xy=c os xy=-s i n xy=/(x)=ay 二优 I n Q(Q 0)y=f(x)=exy-ef(x)=log(,Xf(x)=log xf(x)(a 。且a /1)xma第1 6页 共1 73页f(x)=l n x1f(x)=-X(-)导数的运算法则

29、导数运算法则1./(x)g(x)=/(x)g (x)2./(%)g(x)=f (x)g(x)/(x)g (x)Q /(X)/(x)g(x)-F(x)g (x),小 士 G3 -=-?-(g (x)w 0)(2)推论：y(x)=cf (x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)三.典例分析例 1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价(单位：元)与时间/(单位：年)有如下函数关系p Q)=Po(l+5%),其中Po为t =0 时的物价.假定某种商品的p 0=l，那么在第1 0个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有.p。

30、)=1.05 I n 1.05第17页 共173页例2.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)所以 p (1 0)=1.051 I n 1.05 a o.08 (元/年)因此，在 第1 0个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.y =x3-2x+31 11 +y f x 1 xy =x s i n x-I n x；xy=77；41-l n xy =-.1 +l n xy=(2JC1 25 x+1)ex(1)因为c (9 0)=(g o _ g o.=52.8 4,所以，纯净度为9 0%时，费用的瞬时变化率是52.8 4

31、元/吨.(2)因为c(9 8)=5 2 84 1 3 2 1,所以，纯净度为9 8%时，费用的瞬时变化率是1 321元/(1 00-9 0)-吨.函 数/(%)在 某 点 处 导 数 的 大 小 表 示 函 数 在 此 点 附 近 变 化 的 快 慢.由 上 述 计 算 可 知，c (9 8)=25c (9 0).它表示纯净度为9 8%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为9 0%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.s i n x-x c o s xy =-:c o s x +x s i n x【点评】求导数是在定

32、义域内实行的.求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为C(X)=(80 X 0)y=/(X)=e*y =e，(x)=l o g“%f(x)=l o g,4(x)=(a。且a +1)x m a/(x)=l n x1f(x)=-X1./(x)g(x)=f x)g x)2./(x g(x)=，(x)g(x)/(x)g (x)(-)导数的运算法则导数运算法则3./(X)g (无)=小圆上萼gg(x)HO)g(前(2)推论：=cf x)(常数与函数的积的导数，等于常数

33、乘函数的导数)二.新课讲授第2 0 页 共 1 7 3 页复合函数的概念 一般地，对于两个函数 =/(“)和=g(x),如果通过变量“，y可以表示成X 的函数，那么称这个函数为函数y =/()和“=g(x)的复合函数，记作y =/(g(x)。复合函数的导数 复 合 函 数 y =/(g(x)的 导 数 和 函 数 y =/3)和“=g(x)的导数间的关系为=为.；，即 y对 x的导数等于y对的导数与”对 x的导数的乘积.若 y =/(g(x),则 =/(g(x)=r(g(x)-g(x)三.典例分析例 1 求 y =s i n (t a n x2)的导数.【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚

34、复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例 2求 y =的导数.V x2-2a x【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.例 3求 y =s i n4x +c o s 4x的导数.【解法一y=s i n 4x+c o s 4x=(s i n2x +c o s2x)22 s i n2c o s2x=1 s i n22 x1 3 1=1 (1 -c o s 4x)=+c o s 4 x.y =s i n 4x.4 4 4【解法二】y =(s i n4x)/+(c o s。)=4 s i n3x(

35、s i n x)+4 c o s3x (c o s x)r=4s i n3x c o s x +4c o s3x(s i nx)=4 s i n x c o sx(s i n2x c o s2x)=2 s i n 2 x c o s 2 x=s i n 4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步.例 4 曲线y =x (x +1)(2-x)有两条平行于直线y =%的 切 线，求此二切线之间的距离.【解】y =x3+x2+2 x y =-3 x2+2 x +2令=1 即 3 X22 x 1=0,解得 x=g 或 x =1.1 1 4于

36、是切点为 P(1 ,2),。(一一，)，3 2 7过点P 的切线方程为，y -2=x-1即x y +1=0.,1 1 4|-1-F1 1 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为 一=?行.四.课堂练习c i n 2 x1 .求下列函数的导数(l)y =s i n +s i i T x；(2)y =-;(3)l o gr/(x2-2)2x-l2 .求l n(2，+3 x +i)的导数第2 1页 共173页五.回顾总结六.布置作业第2 2页 共173页1.3.1函数的单调性与导数(2 课时)教学目标：1 .了解可导函数的单调性与其导数的关系；2 .能利用导数研究函数的单调性，会求

37、函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一.创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时.，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用.新课讲授1 .问题：图 3.3-1 (1),它表示跳水运动中高度力随时间f 变化的函数)=-4.9/+6.5f +1 0 的图像

38、，图 3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间f 变化的函数v(f)=/?(f)=9.8f +6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间r 的增加而增加，即/?)是增函数.相应地,v(Z)=A(f)0 .(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间 的增加而减少，即(/)是减函数.相应地,v(t)=h(t)0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(幻 在/附近单调递增；在x =%处，/(/)0,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,解集在定义

39、域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数/(X)的下列信息：当l x 0；当 4,或x l时，/(%)0 ；当x =4,或x =l 时，/(%)=0试画出函数y =f(x)图像的大致形状.解：当l x 0,可知y =/(x)在此区间内单调递增；当x 4,或x l时，/(x)0因此，/()=丁+3%在R上单调递增，如图3.3-5 (1)所示.(2)因为/(x)=f2 x 3 ,所以，/(x)=2 x-2 =2(x-l)当f(x)0,即x l时,函 数/(x)=f2 x 3单调递增；当/(x)0,即x l时，函 数/(为=%2 2 x

40、 3单调递减；函数/(x)=x 2 -2 x 3的图像如图3.3-5 (2)所示.(3)因为/(x)=si n x-x x e(0,)，所以，/(x)=c o sx-l 0,即 时，函数/(X)=X2-2X 3；当f(x)0,即 时，函 数/(无)=/2 x 3；函数/3)=2/+3f一2 4+1的图像如图3.3-5 (4)所示.注：(3)、(4)生练例3 如 图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度人与时间，的函数关系图像.分析：以 容 器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后

41、高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：一(0，-(小，-(。)，(4)-(。)第2 5页 共173页思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示，函数y =/(x)在(0,8)或(a,0)内的图像“陡峭”，在(乩+8)或(-0 0,4)内的图像“平缓”.例4 求证：函数y =2 x +3 x 2 -1 2

42、 x +l在区间(2,1)内是减函数.证明：因为 y =6 x2+6 x 1 2 =6,+x 2)=6(x-l)(x+2)当2,1)即一2 x l E I寸，y 0为增函数，/(x)0；当。a时，函 数 单 调 递 减，”。)0；这就说明，在/=a附近，函数值先增(/0)后 减(f a,”0).这样，当在。的附近从小到大经过。时，/先正后负，且 连续变化，于是有(a)=0.对于一般的函数y =/(x),是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两

43、侧的导数异号.二.新课讲授1 .问题：图 3.3-1 ,它表示跳水运动中高度随时间，变化的函数/。)=-4.9 尸+6.5 r +1 0 的图像，图 3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间，变化的函数丫。)=/。)=一 9.8/+6.5 的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(3)运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间，的增加而增加，即力。)是增函数.相应地,(4)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间，的增加而减少，即 Q)是减函数.相应地,第2 8页 共173页v(r)=力(f)0,切线是“左下右上”式

44、的，这时，函数/(x)在/附近单调递增；在 =玉 处，/(x0)0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(幻 在 占 附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(。,切内，如果那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数/(X)的下列信息：当 1%0；当为 4,或x l时，/(%)0 ；当x =4,或x =l 时，/(%)=0试画出函数y =/(x)图像的大致形状.解：当l x 0,可知y =/(x)在此区间内单调递增；当x 4,或x l时，/(x)0因

45、此，/(幻=_?+3%在/?上单调递增，如图3.3-5(1)所示.(2)因为/(x)=f2x 3,所以，/(x)=2x-2=2(x-l)当即x l时，函数/(x)=f2%一3单调递增；当/(x)0,即x l时，函 数 八 幻=/2一3单调递减；函数/(x)=f2x 3的图像如图3.3-5(2)所示.(5)因为/(x)=s i n x-x xw(0,)，所以，/(x)=c o s x-l 0,即 时，函数 f(x)=x2-2x-3；当 f(x)0,即 时，函数/(x)=f-2 x 3；函数/3 =2，+3白24 +1的图像如图3.3-5(4)所示.注：(3)、(4)生练例6 如 图3.3-6,水

46、以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间，的函数关系图像.分析：以 容 器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：-，-(A),f(D),(4)f(C)思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”;反之，函数的图像

47、就“平缓”一些.如图3.3-7所示，函数y =/(x)在(0,)或(a,0)内的图像“陡峭”,在(九+8)或(T,。)内的图像“平缓”.例7 求证：函数y =2V+3x2 I 2x+1在区间(2,1)内是减函数.第3 0页 共173页证明：因为y =6%2+6 x 1 2=6(A：2+x-2)=6(xl)(x+2)当xw(-2,l)即一 2 x l时，y 0 为增函数，/(x)0 为减函数.2例8 已 知 函 数./(x)=4x+a x2了3。氏)在区间 一 1 川 上是增函数，求实数。的取值范围.解：f x)=4+2a j c-2x2,因为/(x)在区间 1,1 上是增函数，所以f(x)2

48、0对x w 1,1 恒成立，即/一处一2 4 0对恒成立，解之得：一i W a W l所以实数。的取值范围为 1,1 .说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 f(x)N 0；若函数单调递减，则/(x)K 0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四.课堂练习1 .求下列函数的单调区间,11.6X2+7 2.f i x)-+2xX3.y(j c)=s i n x,x e 0,2万 4.y=x l n x2.课本P 1 0 1 练习五.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y =/(x)单调区间(3)证明

49、可导函数X)在(a,b)内的单调性六.布置作业第3 1页 共173页1.3.3函数的最大（小）值与导数（2 课时）教学目标：1 .使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数/（X）在 闭 区 间 上 所 有 点（包括端 点 a,。）处 的 函 数 中 的 最 大（或 最 小）值必有的充分条件；2 .使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一.创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果y是函数y

50、=/（x）的极大（小）值点，那么在点小附近找不到比/（%）更 大（小）的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小.如果与是函数的最大（小）值，那么/（%）不 小（大）于函数y =/（x）在相应区间上的所有函数值.二.新课讲授观 察 图 中 一 个 定 义 在 闭 区 间 上 的 函 数/（x）的图象.图中/（再）与/（不）是极小值，/（）是极大 值.函 数/（x）在 a,以上的最大值是/（。），最小值是/（马）.1 .结论：一般地，在闭区间 凡“上函数y =/（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y =/（x）在 a,上必有最大值与最小