2021-2022学年山东省烟台市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学年山东省烟台市高一下学期期末数学试题一、单选题1.下列说法正确的是（）A.在空间中，没有公共点的两条直线互相平行B.棱柱的侧棱长都相等，侧面都是平行四边形C.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台D.以直角三角形一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体是圆锥B【分析】由直线与直线的位置关系可以判断A,再由多面体和旋转体的概念可以判断B,C,D.【详解】对 A,没有公共点的两条直线可以异面，错误；由棱柱的定义容易判断B正确；对 C,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台，C错误；对 D,若以直角三角形的斜边为旋转轴，则得到的图形是同底面的两个圆锥，D错误.故

2、选：B.2.若某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为1 2 0。、半径为36的扇形，则其体积为（）A.B.3五兀 c.6瓜兀 口.9 6 兀A【分析】设圆锥底面圆半径为匕 根据弧长公式，可求得r,进而可得圆锥的高，代入体积公式，即可得答案.【详解】设圆锥底面圆半径为厂，则底面圆周长为/=2 万 ，I=x 3 V 3 =又 3 ,所以2 万 厂=26%，解得r=则圆锥的高为J6）-=之遥,K =-x -x f s/3 x 2 /6 =2屈冗所以圆锥的体积 3 V 7故选：A3.设 4,8是一个随机试验中的两个事件，则（）A.P（ZU3）=P（4）+P（8）B.P（J）+P（5）1c.P（ACB）=P（

3、4）P（B）D.若止 叫 则 P（/）（8）D【分析】根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：若/,8 是一个随机试验中的两个事件，则P（A B）=P（A）+P（B）-P（A B）故 人错误；对于 B：若则P（）+P 1,故 B 错误；对于C：当 于 5 独立时，尸（C B）=P（4）P（B）,当/、8 不独立时，则不成立，故 C 错误；对于D：若 46,则尸（,）“（8）,故 D 正确.故选：D4.白鹤是国家一级重点保护鸟类.我国境内的白鹤每年在鄱阳湖的越冬地与西伯利亚的繁殖地之间迁徙，莫莫格湿地是其迁徙途中重要的停歇地.2022年春季，某研究小组为统计莫莫格湿地停歇的白鹤

4、数量，从该湿地随机选取了 200只白鹤并做上标记后放回，一段时间后又从该湿地随机选取了 200只白鹤，其中有12只白鹤具有标记，据此估计该湿地内白鹤的数量大致为（）A.2500 B.3300 C.4000 D.4300B【分析】设出该湿地有白鹤x 只，然后列出比例式解得答案即可.迎二乂-33【详解】设该湿地有白鹤x 只，由题意，x 200故 选:B.5.在正方体中，M,N,P,。分别为百，阴，4,8 c 的中点,则 直 线 与 NQ所成的 角 为（）A.30 B.45 C.60 D.90C【分析】取 4 8 的中点/?,连接R N,R Q,A B,根据M,N,P,。为中点，得到W/6 V,从而

5、/小。为直线尸川与 N 0 所成的角求解.【详解】解：如图所示：DiCiCA R B取 4 8 的中点火，连接RN,R Q,因为M,N,P,。分别为“4,BBI,AAlf 8 c 的中点,所以例/阳,/W/个，所以日勿1 F N,所以N+Q为 直 线 与 NQ所成的角,又因为“附 是等边三角形，所以 NNQ=60故选：C6.已知袋中装有5 个大小形状相同的小球，其中黑球2 个、红球3 个，现从中不放回地抽取2 次，每次取出1个球，则第二次取出的球是红球的概率为（）2 3 12A.5 B.5 C.25 D.25B【分析】由题可知第二次取出的球是红球有两种情况，第一次抽到黑球，第二次抽到红球或第一

6、次抽到红球，第二次抽到红球，进而即得.【详解】由题可知第二次取出的球是红球有两种情况，C 2 3 3P,=-X=一种是第一次抽到黑球，第二次抽到红球，概率为 5 4 10,“3 2 3P、=-X=一种是第一次抽到红球，第二次抽到红球，概率为 5 4 10,3 3 3p=e +E=+=所以第二次取出的球是红球的概率为-10 10 5.故选：B.7.已知直四棱柱的高为2,其底面四边形/8 C O 水平放置时的斜二测直观图为矩形ABCD,如图所示.若 4 0=0B=BC=l,则该直四棱柱的表面积为（）yA.20+4 0 B.8+2（金+6）C.20+8正D.8+4 0 +百）C【分析】首先得到底面四

7、边形/BCD的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得：【详解】解：由直观图可得底面四边形力8 8的平面图形如下，由AO=OB=BC=f则力。=。8=1,C d E;B C?=6 ,所以OC=2后，则，ABCD=2X2/2=4/2,BC=VOC2+OB2=3,所以2(2+3)=1 0,又直棱柱的高=2,所以棱柱的侧面积“面 积=GBCD,=20所以S表 面 积 就 积+ABCD=20+8/28.某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件.若 甲、乙

8、、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为2 4,极差不超过2；乙:平均数为2 3,方差不超过1；丙：众数为2 3,方差不超过1,则一定能通过试用期的有（）A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙A【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于2 2,只要不低于 2 2,则一定能通过.【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于2 4,最低合格品数不低于2,所以甲一定能通过；（G WJrJ_ 5即 I .若乙有不止一天的合格品数低于21,日 ，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于2 2,不妨取=2 1,（q-2 3）2=4,因为平

9、均数为2 3,则至少有一天的合格品数为2 5 或至少有两天的合格品数为2 4,无论哪种情况，都可Z（q-2 3）2 5以得到I ,不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于2 2,乙一定能通过;对于丙：若丙的合格品数为2 1,2 2,2 3,2 3,2 3,则丙的众数为2 3,方差为0.64,符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A正确；故选：A.二、多选题9.已知一组样本数据“I,覆，x”,将这组样本数据中的每一个数加2,得到一组新样本数据必,%,外,.A.两组样本数据的中位数相同C.两组样本数据的标准差相同匕，则（）B.两组样本数据的极差相同D.两组样本数据的平均数相同BC

10、【分析】根据中位数、极差、平均数、方差的性质判断即可;【详解】解：对于A,设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为加+2,故 A错误;对于B,不妨设原样本数据最大为斗，最小为不，则原样本数据中，样本数据的极差为,新样本数据中，样本数据的极差为（怎+2）-（%+2）=Z-%，故B正确.X_ =1 z（X.+X）+居、）对于D,原样本数据的样本平均数为 ,y=（x +2 +x）+2 +x”+2）=x +2新样本数据的样本平均数为“一，故D错误；对于c,原样本数据的标准差为：V”,新样本数据的标准差为：s =+2-（亍 +2）+w +2-（元 +2）（+x“+2-（x +2）一Y,故C正确：故

11、选：BC.1 0.设机，是两条不同的直线，。，/是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A.若 尸，w ,则5 /B.若加 ”,m l a ,则 _ L aC.若机 a,机u/7,a n/=，则机D.若m,是异面直线，机=a,m/P t nu 0,/a,则a 力BC D【分析】A.由直线与平面的位置关系判断；B.由线面垂直的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由面面平行的判定定理判断.【详解】A.若mVa,则“或机u,故错误；B.若机，wla,由 线 面 垂 直 的 性 质 得 故 正 确；C.若加 a,mup,a。夕=,由线面平行的性质得?，故正确；D.如图所示：在上取一点O,由

12、机，。确 定 平 面有了门0=m,因为“夕，所以机/”,则“/a,又/a,n c m=。,所以a /,故正确；故选；BC D1 1.设试验E是古典概型，其样本空间Q包含3 0 个样本点，其事件4B,C分别包含C中 的 1 5,1 3,2 0 个样本点，若 U 8,P I C 分别包含C中 2 8,1 0 个样本点，则（）A.4与 B 互斥 B.Z 与 5对立 C.夕与C不互斥 D.4与。相互独立A C D【分析】根据给定条件求出（,勿，（/C）可判断A,B,C；计算概率结合相互独立事件的意义判断D.详解对于 A、B,因B）=（/）+由已知得：8 8）=1 5 +1 3-2 8=0,AB=0 ,

13、即事件N 与 8 互斥，又（ZDB）=28W30,故 A正确、B 不正确：对于 C 因（50。）=（8）+（。）-（3。），由已知得：（C）=13+2 0-（8UC）=3 3-（8UC）0,=BC 丰0 ,即事件8 与 C不互斥，故 C正确；n（A C）1 0 1 n（A）1 5 1 2 0 2r（A C）=-=一 尸（力）=-=-r（C）=-=对于 D,因 （C）3 0 3 ,（。）3 0 2 ,（Q）3 0 3 ,有尸（”C）=P（N P（C）,事 件/与 C相互独立，故 D正确.故选：A C D1 2.如图，DE是正三角形/8 C 的一条中位线，将沿。E折起，构成四棱锥ABCDE,产为4

14、c 的中点，则下列各选项正确 的 是（）A.8尸面4 4 面 4 8 cJc.若面面/8 C,则4 E与c o所成角的余弦值为ID.若则二面_角E-4 Q-C的余弦值为一 BCD【分析】假设BE 面 可 证 得 以8 c面4 ,所以平面4 3 c面4。,但平面48C与交，所以假设不成立可判断A：由题目条件可证得则可判断B；以 即 的中点0为坐标原点，建立空间直角坐标系,设三角形的边长为2,由异面直线所成角的夹角公式可判断C；由4 E C 结合题意可 求 出T 6 3人 分 别 求 出 平 面 和 平 面C4Q的法向量，由二面角的公式代入可判断D.详解若8F 面因为B e”。？，B C a 平面

15、4 D E ,D E u平面4。后,所以8c 面 Q E,又因为B C c B F ,所以平面4 8 c 面/Q E,但平面4 8 c与4D E 交,所以假设不成立，所以BF不 平 行 面 所 以A不正确；对于B,因为 2 2,所以又因为4B C 4 c=4,所以441_L面4 8 C,所以B正确对于C,将沿OE折起，使A到,且面面48C,以 的 中 点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2,所以设4 与C。所成角的为。,COS0=则A E C DA E-Cb1i=l1 4所以,也与c o所成角的余弦值为K,所以c正确;对于D,A（x v 4 =1，4 =*设4口/，z）,因为

16、2 ,所以2+y2+z2=n =1 2 -2:因为所以A.E-CD=0 =-+-y=0 =2 44 2,-6 ,所以。污4。万=0C D n=0=_L+且 y-逅 z =。2 6 3设万=（X o/o，z（）L 平面 C 4 Q,所以1-x-27也=0n=x=A/3y =i加z=-2万=G,i,_ 4故I ）设加二a，如z j,平面“4。，所以-77=0=万=0 x =0XH-y-z=02 6 31 百后 x +y-z=02 6 3瓜y-z-3Z 6m=故 7设二面角E-4。-C 所成角为a,cos a =|COS7H,H|3因为a 为钝二面角，所以二面角“一 4。-C 的余弦值为 3所以D

17、正确.故选：BCD.三、填空题1 3.连续两次抛掷一枚六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6 且质地均匀的正六面体骰子，观察并记录每一次朝上一面的点数，则”两次点数之和是7的概率为.16【分析】由题可得连续两次抛掷一枚六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6 且质地均匀的正六面体骰子的样本点个数及“两次点数之和是7”所包含的样本点个数，进而即得.【详解】连续两次抛掷一枚六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6 且质地均匀的正六面体骰子的样本点共有6x6=36个，其中“两次点数之和是7”的样本点有，（L6），（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,l）共6 个，一因此，”两次点数

18、之和是7”的概率为 36 6.故答案为1 4.如图，在三棱锥木块片-/8 C 中，匕 4,KB,1C两两垂直，yA=P B=V C=l,点、产为勿1C的重心，沿过点P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线-C和4 8,则该 截 面 的 面 积 为.【分析】如 图 作 出 平 面 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理，可证4 B 平面E F M H ,C 平面E F M H ,则平面E F A 7”即为所求，根据线面平行的判定定理、性质定理,可证四边形瓦加以为平行四边形，根据线面垂直的判定定理、性质定理，可证四边形E F M H为矩形,根据三角形相似，可求得“瓦跖 的 值，即可得答案.【详解

19、】由 以，V B,H C两两垂直，V A=FB=V C=l,则可将三棱锥补形到正方体中，连接力P并延长，交 PC 于D,过P作W的平行线，交4y 于 E,交 A C 与 F,过E作9口 口/18,交K B于，过，作，“交8 c于连接MR如图所示因为加 EF,所 以 及F、M、四点共面，因为N C Z平面 7 5/,Mu平面 7 5/,所以叱平面E厂M H,因为 7 7口 口48,4 8 U 平面 E F M H ,H E u 平面 E F M H ,所以4 B 平面E F M H ,则 平 面 即 为 所 求，因为 7 7口口/8,E H a 平面 4 BC,4 8 U 平面 A 8 C,所以

20、E H 口 口平面18 C,又E H u平面E F M H,平面E F M H c平面ABC=M F ,所以 E H U U M F ,所以四边形EFM”为平行四边形,又y K B J C _ L，平 面 以 以所以-C 1 平 面匕 4 B,所以FJ_平 面V AB,因为Eu 平 面V AB,所以E F LE H,即四边形E/加田为矩形,因为EF 口口叱，所以&A E F VC ,因为尸为口（7 的重心,EF AE AP _2所以正 一 行 一 防 一 3同理可证M E H f U A B ,2AE=EF=-则 3_V_E H E 1 r口 i 口b i 6所以乙T/1 8-3,则-3,及2

21、 2垃-X -所以矩形EFA/的面积为3 3 9272故 丁1 5.某单位对全体职工的某项指标进行调查.现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7 和 4；女职工样本5 个，其平均数和方差分别为8 和 1,以 此 估 计 总 体 方 差 为.3.56【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】解：设男职工的指标数分别为X”超，/20,女职工的指标数分别为必，必，必，20 20 c 5 5 匹 (菁-7)一 (%-8)一 =7,旦-=4 上=8,-=则 20 20,5 520 20 5 5Z 怎=140,Z d =80+20 x49 =4 0,；=5+5x64所

22、以 =|7 ,i=i=i20 5白+40=F所以本次调查的总样本的平均数为 25 2520.5 八X(X.-7.2)-+X(Z-7.2)i=l i=l_本次调查的总样本的方差是 五一20 20 5 5y x,2-1 4.4 X,.+2 0 X 7.22+y,2-1 4.4 X-+5 x 7-22_=1 i=l i=l i=l_2 580+20X49-20X7.22+5+5X64-5X7.22一2 5=3.5 6故 3.5 6四、双空题1 6.如图，在直三棱柱/8 C-4 耳G 中，A CBC,A C =2,B C =C ,CG=3,则该直三棱柱 外 接 球 的 表 面 积 为；设 P为线段8c

23、上的动点，则 P+PG的最小值为.1 6%V1 9【分析】根据题意将直三棱柱 8 C-42c补成长方体 C8O-4GAA,则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将绕8c展开至与平面8CGA垂直的位置，则z，c，G，彳共面，连接 G,则 G的长就是/P+PG的最小值，然后利用余弦定理可求得结果【详解】因为直三棱柱,8 C-4 4 c l 中，ACA.BC,所 以 将 直 三 棱 柱 4 8 1 G 补成长方体力 C8O-4G4A,如图所示，所以直三棱柱 8C-48c的 外 接 球 就 是 长 方 体 4CR Q外接球，因为 Z

24、C =2,B C =6 ,C G=3,所以外接球的直径为2 R=C2+B C2+C C；=J 4 +3 +9 =4 ,所以外接球的半径为R=2,所以直三棱柱外接球的表面积为4 万x 2 2 =1 6 万，直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为4 C _ L B C,平面平面平面/8Cn平面5 C C 4 =8 0,所以/C 1 平面B C C 0,因为巴Cu平面8 蜴，所以“C _ L B C,将 A C4c绕 3c展 开 至 与 平 面 垂 直 的 位 置，则4CG，鸟共面，如图所示,连 接 右，则“G的长就是“尸+PG的最小值，在 A C C 向 中，N B C =9 0。,B =C G =3,

25、则与C =百 1=2 月,在 A4C4 中，ZACB=9 0,A C =2在 Z C C 中，由 余 弦 定 理 得=U +CCt 2 A C-CC c o sZ.ACCX=4 +9-2 x 2 x 3 c o s(9 0 +Z 51C C1)=1 3 +1 2 s i n Z 5,C C=1 3 +12x48 1 c=1 3 +1 2 x、=1 92 V3所以/=呵Bi所以/P+PG的最小值为西，故1 6 万，M五、解答题1 7.农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了 6 株麦田测量株高，得到数据如下(单位：c m)：甲1 1.21

26、 2.41 1.71 3.51 4.21 3.8乙1 2.11 3.81 2.11 4.11 3.91 0.8(1)假定株高不低于1 2.0 c m 为长势良好，利用频率估计概率，估计甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好的概率：(2)试从平均数和方差的角度，分析甲、乙两种麦苗的长势情况.1 7(2)甲、乙的平均株高相等，甲种麦苗的长势更加均衡.2工【分析】(1)由表中的数据可求得甲、乙两种麦苗长势良好的频率分别为6,然后利用独立事件和对立事件的概率公式可求得答案，(2)利用平均数和方差的公式求解比较即可2 5【详解】(1)由题知，甲、乙两种麦苗长势良好的频率分别为6,设“甲、乙两种麦苗至少有一种长

27、势良好“为事件人则 邛用1 1.2 +1 2.4 +1 1.7 +1 3.5 +1 4.2 +1 3.8 -o-1 2.0(2)甲的平均数为 6 ,乙的平均数为1 2.1 +1 3.8 +1 2.1 +1 4.1 +1 3.9 +1 0.8 1r 0-=1 2.86所以甲、乙的平均株高相等.甲的方差为：x (l 1.2-1 2.8,+(1 2.4-1 2.8?+(1 1.7-1 2.8)2 +(1 3.5-1 2.8)2 +0 4.2-1 2.8)2+(1 3.8-1 2.8)2 =1.2 3乙方差为：x (1 2.1-1 2.8)2+(1 3.8-1 2.8)2+0 2.1-1 2.8)2+

28、(1 4.1 -1 2.8)2+(1 3.9-1 2.8)2+(1 0.8-1 2.8)1 =1.4 8因为 1.2 3 1.4 8,所以甲种麦苗的长势更加均衡.1 8.长方体/8CD-48CQ 中，”=4,8 c =加=2.求 点 C到平面8CQ的距离.（1）证明见解析；4（2）3.【分析】（1）先证明8 G 平面 A,平面”与与，进而通过面面平行的判定定理证明问题；（2）利用“等体积法”即可求得答案.【详解】（1）因为=所以四边形/BGA为平行四边形，所以AR/g因为/0u平面/8 Q,8 G?若 存 在，指出点。的位置；若不存在，说明理由.(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析.【分析

29、】(1)取/。中点E,连接E 匕E B.先利用线面垂直的判定定理证得“OJL 平面 P E B,然后利用线面垂直的性质定理证得结论；(2)假设在棱8。上存在一点尸，使得y平面尸N D利用线面垂直的性质定理可以判断E 8 8 C,与砂八8 0 =8 矛盾，从而得出结论.【详解】(1)证明：取力。中点E,连接E 匕E B.因为七1=以5,所以Z O J 物.因为84 =8 0,所以又 V E c E B =E,所以ZOJ平面因为K B u 平面产砧，所以/D K B.(2)假设在棱8 c上存在一点/,使得-C_ L 平面a。.因为N Du平面4。，所以A D Y V C又A D U B ,y B

30、c 1 C =V ,所以4。，平 面“C.因为8 C u平 面 j/BC,所以AD IB C在平面N8CZ）中，因为A D 1 B C,所以EB BC,与 E B C B C=B 矛盾.所以在棱H C 上不存在点P,使得 W平面P/D2 0.中国共产党第二十次全国代表大会将于2 0 2 2 年下半年在北京召开.某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间5 0,1 0 0 ,从中随机抽取了 4 0 名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中。的值，并估计这4 0 名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点

31、值代替）；（2）利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80 分的学生中抽取7人组成党代会知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1 人测试成绩位于区间9 /的概率.a =0.0 3；平均数为7 4.5,中位数为7 5.1 1 2 1【分析】（1）通过频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1 求出a,进而可求得平均数及中位数；(2)列出7 人中随机抽取2 人的21种情况，确定至少有1 人测试成绩位于区间I%，I。有n种,即可得解.【详解】(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以 10 x(0.015+0.02+4+0.025+0.0 1)=1,解得”。心所以样本中4

32、0名学生的测试成绩的平均数x=55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.5.设这4 0 名学生的测试成绩的中位数为x,由于前2 组频率之和为0.35,前 3 组频率之和为0.6 5,故中位数落在第3 组，于是有(X-7少 0,0 3 +0-3 5=0 5,解得*=7 5 .即这40名学生的测试成绩的中位数为75.(2)由分层随机抽样可知，在区间R O。应抽取5 人，记为q,b,c,d,e,在区间 90,100 应抽取2 人,记 为B,从中任取2 人的所有可能结果为：(a,b)(a,c)(a,e)(a,A)(a,5)0,c),(b,d),(b,e),0,4)

33、,(b,B),(c,d),(c,e),(c,4),(c,B)(d,e)(d,Z),0 8),3 ),(e,8),(4 3),共 21 种.其中至少有一人测试成绩位于区间及 ，1 0 内有：(a,A)(a,5)(b,A)(b,B)(c,A)(c,B)4),B),(e,A)f&B),(/1),共 种11所以，至少有一人的测试成绩位于区间 91 内的概率为五.2 1.甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响.2(1)若甲、乙比赛时，甲每

34、局获胜的概率为3,求甲获得本场比赛胜利的概率；12 3(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为万，3,4,试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大.2 0 力丁【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解;（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.【详解】（1）解：设甲在第i 局获胜为事件4（二 1 2 3）,事件8=”甲获得本场比赛胜利”则 8 =44 u（4 44 卜1（444）所以232 02 7（2）若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.=x此时，甲恰好连胜两场的概率 2若甲在第二场与丙比赛，则甲胜

35、丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.此时，甲恰好连胜两场的概率 3 L、I 勺 J；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场.此时，甲恰好连胜两场的概率X24因 为 勺 6,所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大.2 2.如图，在三棱柱 O P-8 C Q 中，侧 面 为 矩 形.设 A 1 为 中 点，点 N在线段PC 上且N C =2PN,求证：尸 M 平面8 I W；（2）若二面角0 一 的大小为e,8嗯-，且 4D=|cose|叫求直线即和平面Q C B所成角的正弦值的取值范围.（1）证明见解析：【分析】（1）连接交8。于 E,由题可

36、得尸例柩，然后利用线面平行的判定定理即得;（2）过点C 作射线C F _L8C,可得Z D C F 为二面角Q-8C-D 的平面角,过点。作D G V F C ,可得3 G,平面B C Q,设直线8。和 平 面 所 成 角 为 a,结合条件可得.sin。sin a=/=川+cos2e,然后利用余弦函数的性质即得.【详解】连接 C 交 8。于 E,连接NE,因为侧面/8C O 为矩形，所以/C8 C,又 M 为A D 中点,EC BC.-2所以EM D M ,又因为NC=2PN,C N CE 2所 以 诉 一 说 一.所以P M N E ,又P M e 平面NBD,NEU平面NBD,所以PV 平

37、面8W.（2）在平面。BC中，过点C 作射线C FL8C,因为底面N8CD为矩形，所以8cLeZ）,所以a DC户为二面角Q-8 C-O 的平面角，且 NOC尸=夕.又C F c C D =C,所以8CJ平面c。凡在平面。C尸中，过点。作 3G J尸C,垂足为G,因为8 c L 平面。e r,O G u 平面。CF,所以。G 1 8 C,又 B C c F C =C,8 C u 平面 Be。，F C u 平面 CQ,所以O G,平面8C0,于是D G为点D到平面B C Q的距离，且QG=DCsin夕，设直线B D和平面P A D所成角为。，D G AB s in 6 sin。贝|J BD ZAB2+A D2 Vi+cos26 -万 5万 n r 73 72O w cosOe,co由4 6 ，可得 L 2 2 J.1+cos28 1cm 1 +菠6 T 7 1 2 0 e三 三V 1 +cos2 0,1 4 6,31S20G 0,-L 4j1所以直线B D和平面P A D所成角的正弦值的取值范围是