2022年八年级数学下《二次根式的加减（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf

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1、八年级数学下-专题：16.7二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义:几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：（D判断几个二次根式是否是同类二次根式,必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式是否是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式,只把系数相加减,根指

2、数和被开方数不变.（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似）特别说明：（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中.特另J 说明.（1）在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤:1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式;2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组;3）合

3、并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的;（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式C1.指石是经过化简的二次根式，且 与 也 是 同类二次根式，则 为（）A.-2 B.2 C.4 D.-4【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数，字母因式是整式;被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式

4、叫做最简二次根式）、同类二次根式的定义（把几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式）可得6-2X=2,再解方程即可得.解:由题意得：6-2X=2,解得x=2,故选:B.【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，熟记定义是解题关键.举一反三：1第1页 共1 6页【变 式1】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A.历和6 B.6和 岳 C.“3和3 D.2 6和3亚【答案】A【分析】将各项先化为最简二次根式,再根据同类二次根式的定义逐项判断即可.解:A.回=26和 百 是 同类二次根式，故该选项符合题意；B.4和 缶，不是同类二次根式,故该

5、选项不符合题意；R =3 显C.V 3 3和3，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；D.2G和3g，不是同类二次根式,故该选项不符合题意；故选A【点拨】本题考查了同类二次根式的定义:化成最简二次根式后,被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键.【变 式2】已知最简二次根式“眄 工 工 与2G可以合并成一项，则 名。的值分别为（）A.a=l,b2 B.a-1,b=0 C.a=1,6=0 D.a-1,b=2【答 案】C【分 析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组,求出方程组的解即可.解：.最简二次根式 眄 工 工 与2 0可以合并成一项，j

6、 o +b +1 =2 3a-b=3 ,，解得:a=l,b=0,故选:C.【点 拨】本题考查最简二次根式和同类二次根式,二元一次方程组的解法,掌握这些知识点是关键.【变 式3】已 知 方 程 五+3 6=脚，则此方程的正整数解的组数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【分 析】先 把 师 化为最简二次根式，由4+33=廊 可 知4,方 化 为 最 简 根 式应 与 百 为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组.解：.师=1 0石，x,y为正整数，6化为最简根式应与6为同类根式，只能有以下三种情况：6+3力=6+96=46+6 6 =7石 +3石=1。62第2页 共1 6页J

7、 X =3 x2=4 8 J x3=1 4 7.必=2 7,1%=1 2,必=3，共有三组正整数解.故选:C.【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.类型二、二次根式的加减运算C2.计算或化简下列各题 屈-四+应；石、弧_|2-丽|+（-1 产【答案】（1）0；厢+1.【分析】（1）先化简二次根式,再合并同类二次根式即可；（2）先计算二次根式乘法,绝对值化筒,乘方,再去括号,合并同类项即可.解:对-寂+应,=30-4加0f=0；解:氐阳2-州+（-1 产，=2亚-（而-2）-1=y/lO+l【点拨】本题考查二次根式混合计算,

8、最简二次根式,绝对值化简,乘方,掌握二次根式混合运算法则,绝对值化简,乘方是解题关键.举一反三：V 0 2+6 J-【变 式 1】计算：Y 3【答案】亚【分析】根据二次根式的性质化简计算即可;解:原 式5 石+2 指-2 7 6-4./-V s +2 6 2 5/6 +/55【点拨】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，准确计算是解题的关键.产 力 _蜴+冉:（二 3/4）。一说【变式2】计算：I 1【答案】4-3 收【分析】根据乘方、绝对值、负整数指数累、零指数累、最简二次根式的性质计算，即3第 3页 共 1 6 页可得到答案.(T 严力 _ 物+仕-次解：1=-1-伊-l 4 xl-2 及

9、=-1-7 2+1 +4-2 7 2=4 3A/2【点拨】本题考查了乘方、绝对值、分式、二次根式的知识;解题的关键是熟练掌握乘方、绝对值、负整数指数幕、零指数幕、最简二次根式的的性质，从而完成求解.【变式3】计算:屈+4 上 _闻+/7 +(-2 7 +-3.1 4)。【答案】5 夜争；(2)4【分析】(1)先将每项二次根式化到最简,再将被开方数相同的二次根式进行合并;(2)化简二次根式，计算0指数幕、负指数基,最后就得结果.解：屈+4 6-屈 +=3 7 2 +2 7 2-4 /3+9=5 a 得 出 脑+(卬-舟(一 外【点拨】本题考查了三次根式的化简及加减法,0 指数幕、负指数塞等知识点

10、,属于基础计算题.类型三、二次根式的混合运算0 3.计算或化简：+7 2 7-(7 3 -1)(亚-3 亚哥乎 4 3-1 ；,3 .【答案】(1)4、；3-2 7。【分析】(1)原式第一项进行分母有理化，第二项化简二次根式，第三项运用零指数幕法则化筒后再进行加减运算即可得解；(2)原式先化简二次根式,再进行除法运算即可.4第4页 共1 6页-3+V 27-(A/3-1)解:4 3-1原式=6+1 +3 6-1=4也.(屈-3原式=(J 3a 9 a43a)十a=3-2 7。【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:与有理数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘

11、除,最后加减,有括号的先算括号里面的.在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”.举一反三：【变 式 1】计算:(1)2 屈 X V12-V24.(2)回 +百-2 x V 1 2 +V 2 4【答案】（1）1 痣；（2）4 +而【分析】（1）先利用二次根式的性质化简,然后根据二次根式的混合计算法则求解即可;（2）先利用二次根式的性质化筒,然后根据二次根式的混合计算法则求解即可.解:2 5/1 8 x/2 -/2 4=6 7 2 x2 7 3-2 7 6=1 2 后-2 遍=1 0 /6 .V 4 8-V 3-J-xV i 2 +V 2 4 心=4凤

12、百 一旦x2&2 m2=4-卡+2 卡=4 +V 6【点拨】本题主,要考查了利用二次根式的化简和二次根式的混合运算,熟练掌握相关计算法则是解题的关键.5第 5页 共 1 6 页【变式2】计算：炳+（2-乃）。-石+卜-四（1 0/-6 a+47+逐【答案】（1）4&-2；15&【分析】（1）先计算零次篝及去绝对值符号,将根式化为最简根式,然后依次进行加减运算即可；（2）先将根式化为最简根式,然后在括号内进行加减计算,接着进行除法运算,最后将根式化为最简即可解:炳+（2 _）_+闽=3 忘+1-2+&-1=4/-2 .（,）0面-6 a+4月 指=（4 0 V3-1 8 V3+8A/3-V63

13、0-=7 F305/3xV6瓜x屈=15亚【点拨】题目主要考查二次根式的混合运算,0次幕的运算,去绝对值等,熟练掌握各个运算法则是解题关键.【变式3】如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点旦点/所表示的数 为-近，设点8所表示的数为m.（1）求的值；求-11+（2-4）（4-4的值.【答案】（1）加=2-&；（2）3+1【分析】（1）根据一只蚂蚊从点/沿数轴向右爬行2个单位长度到达点内可得48=2,再由点力表示的数为一及，点6表示的数为0,即可得到加一 及A2,由此求解即可；（2）根据（1）求出的结果，代入川的值，根据实数的混合计算法则求解即可.解：由题意得：裾=2,点A表 示

14、的 数 为，点6表示的数为m,6第 6 页 共 1 6 页.m -5/2 ）=2 ，二加=2 -&:（2）V w=2-V 2pn l|+（2 /2 （4-7）=|2-V 2-l|+（2-/2）（4-2 +A/2）=A/2-1 +（2-V 2）+/2）=夜-1+4-2=2+1【点拨】本做主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出机=2-血.类型四、分母有理化4.分母有理化：2用a =_.R-1【答案】丁【分析】分母中含有根号,则需分子分母同时乘以分母的有理化因式：&的有理化因式是它本身，右 士指 的 有 理化因式 是 五 干血.亚 _ /-夜）=2-2 =V

15、 6-1解 2 7 3 +72（2石 +之*g-&）1 2-2 5a-1故 答 案 为5 .【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化,注意有理化的过程不改变原式大小是解决本题的关键.【变 式1）化简：五 三-1=y/x-3+1【答案】x-4 9 U【分析】把分子分母都乘以（JK+1）,然后利用平方差公式计算.1 fx-3+1解.dx-3-1 （J x-3 -3 +1）_ A/X-3+1x-3-17第7页 共1 6页lx 3+1x-4y/x 3+1故答案为：x-4.【点拨】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键.【变 式2】不 等 式

16、上X 岳-1的解集是.【答 案】一6-&#【分 析】利用解不等式的方法与步骤求得解集,进一步化简即可.解:V3x /2x-1/3x-.x -1x -A/3-V2故答案为:x fxyy _ 2y解:原 式3-6+6)(f i+6*-6)x-y x-y x-yo2x-=些=0=2x=-1 1 x-y 1 1fy=J-当 2.4 时，原式 2 4.【点拨】本题考查了二次根式的化简求值,熟练掌握该知识点是解题关键.举一反三:(1+-)-【变 式 1】先化简代数式 1 T,然后当。=4 时，求代数式的值.【答案】&+1,3【分析】利用分母有理化及平方差公式先将原式化简，再代入求值即可.解:i+4aa-V

17、-l+l a-J a-l yfaa-V a-1+1)y/aa+1 .把。=4 代入可得,原式=+l=3【点拨】题目主要考查二次根式的化简求值,掌握二次根式的化简是解题关键.x=【变式2已知21 +百，求/+x+l 的值.【答案】4一 6【分析】先将根式进行分母有理化,然后代入原式求值即可.x=-j=G 1解：1 +。3X2 4-X+1=(73-11+73-1+1=3+l-2 +V3-l+l9第 9 页 共 1 6 页=4 /3【点拨】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，掌握二次根式化简是解题的关键.厂 J 18X2【变式3已 知 力+1,求代数式丫1-2+/的 值.3叵x 答案 x-1;

18、372+V6I 18x2 _ 3V2|x|【分析】利用二次根式的性质化简“-2 十 一|1-X|1然后根据x 值化简绝对值,最后代入求出答案.I 18x2 l2x9x2 372|x|解:原式化简为:l-2 x +“2 d(l)2|1|,；x=6+l,x 1 ，l-x 035/2|x|3x/2x原式=N T -I ,巫当卫立3五+指把 k 4 3+i,代 入 x l 得：V3+1-1【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值,正确化简二次根式是解题关键,考查学生的计算能力.类型六、已知条件化简求值6.已知。+。=5，=2 求 E+总的值.5【答案】2【分析】根据分式的性质将原式化简，然后代入求值即

19、可.a b解:原式石 a+b=5、ab=2a+b 5 5原式=0 茄=4=5.【点拨】本题考查了分式加法，二次根式的性质，二次根式的混合运算,熟练掌握运算法10第 1 0 页 共 1 6 页则，运用整体的思想解题是关键.举一反三：【变 式 1 已 知 实 数 满 足|x-6+1|+炉 工=0 求 x,y 的值；求代数式N+2x-3y的值.【答案】产 6-1,2;(2)-4【分析】(1)根据非负数的性质得出关于x,y 的方程,再求得 y 的值即可；(2)把 y 的值代入,即可得出答案.解：；x-6+i +J-2=o,:.x-6+1=0,y-2=0,解得杆 上-1,尸2;把 产 力-1,尸2 代入

20、/+2 x-3尸(百-1/+2(后-1)-6=4-2 百+2 6-2-6=-4.【点拨】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键.【变式 2】已知 V T +(y-2)2+1z+3|=,求x+2.y-3z的值.【答案】16解:解析:因为二次根式、平方数与绝对值均为非负数，根据几个非负数的和为零,得它们分别为零可求出/z 的值，代入代数式求值即可.答案.解.：Jx 3 2 0(J 2)20|z+31 0.Jx-3 +(y-2)+|z+3|=0 x-3 =0,卜=3,”、=”或【答案】【分析】将两数相减,再判断结果的符号即可.II第 1 1 页 共 1 6 页V5-2 1解：3 627

21、5-4 1=6 62遥-5二 6A/20/5-50，75-2 1即 3%0,V5-2 1-二3 6,故答案为:.【点拨】本题考查了二次根式的大小比较以及无理数的估算,掌握作差法是解题的关键.举一反三：1 _ 1【变 式1试 比 较 后.与 喜-旧 的 大 小.1 _ _ 1 答案V6-2 即可.1 _=V6+2=76+1解:2 2.1 V 8+V6 国 V 6-7=-7=-.=72-/8 v6 2 2怎 一 也+1)=6一1 ,A/8 v6 A/6 2 2 2，72 1.&_lo,1 _ _ 1_即任 一 2 v V 8-V6.【点拨】本题考查了无理数的比较大小，以及二次根式的分母有理化，解题

22、的关键是将1 _ 1屈-2与 瓜-娓进行分母有理化,再进行作差运算比较大小.12第1 2页 共1 6页【变式2】通过估算，比较6与 2.5的大小.【答案】娓 云7 6.25 6AV625 /65即 指 2.5故答案 为&25【点拨】此题考查了二次根式比较大小，涉及了二次根式的性质,解题的关键是掌握二次根式的大小比较方法.亚加【变式3】请比较耳和亍的大小.之姮【答案】2 3【分析】先将两数通分,然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论.75 _ 375 _ V45解:；2 6 6 (V1T 2VH 744姬 巫又6 6金 叵2 3【点拨】本题主要冷查了实数大小的比

23、较，二次根式的性质.将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关犍.类型八、二次根式的应用P=(a+h+cV 8.设一个三角形的三边长分别为a、b、c,2、：则有下列面积公式：S=/P(P-a)(P-b)(P-c)(海伦公式)(1)一个三角形边长依次为5、6、7,利用海伦公式求这个三角形的面积；(2)一个三角形边长依次为2、而、3,利用海伦公式求这个三角形的面积.-795【答案】(1)6 ；(2)丁.【分析】(1)把 a、b、c 的长代入求出进一步代入求得S 即可得解；(2)把 a、b、c 的长代入求出A 进一步代入求得S 即可得解.1 3第 1 3 页 共 1 6 页 _

24、解：（1）片5 X （5+6+7）=9,S=J 尸（尸 一）（尸一 Z）（P-c）=7 9 x 4 x 3x 2 =6指.（2）片5 X （2+痛+3）=&+）为+&2 =如直）ra-4 乙 ,万 企;（5 +&后=gg_F L；6+#3=；GI+C）所以,9=；。+n 3（1+布 ；6-n ；6|+）$6+碰-指爪+汩+矿=（2 5-6）（6-1）9 5=16(9 5 7 9 5所以，夕 由 6-4 .【点拨】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用平方差公式计算.举一反三：【变 式 1】将一组数G,而，3,2 6，炉，历，3 向按下面的方式进行排列:瓜瓜3,2 屈V 1 5,3 夜

25、，后,2瓜 3瓜 国,按这样的方式进行下去,将岳所在的位置记为0，5),26所在的位置记为0，3),那么(1)向所在的位置应记为；(2)在(4/)的位置上的数是，6 正所在的位置应记为；(3)这组数中最大的有理数所在的位置应记为.【答案】(1)(2,5)；(2)4 右，(5,4);(3)(6,2)【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将 3 0 个数按题干方式排列后,依据题意表示即可：(1)依据同 在 第 二行第五列即可得出结论；14第 1 4 页 共 1 6 页(2)每个被开方数都是3的倍数,因此第四行第一列的数字为；6及=反 依 据每行有5个数，找出规律，位置即可确

26、定；(3)由于最大得有理数为商=9,依据每行有5个数,找出规律，位置即可确定.解：(1)；A 在第二行第五列，二 回 所 在 的位置应记为：(2 6)，故答案为：(2,5)；(2)由题意得,每个被开方数都是3的倍数,因此第四行第一列的数字为4 6，二(4,I)位置上的数是46；6夜=阮72+3=24每行有5个数，二4 6所在的位置记为4),故答案为：4后，(5,4);(3)这组数中最大的有理数 是 加=%它所在的位置记为第6行第2歹,这组数中最大的有理数所在的位置应记为：(6,2),故答案为：(6,2).【点拨】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定,理解题意,确定被开方数存在的规律是解题

27、的关键.【变式2】在一个边长为(3+26)cm的正方形的内部挖去一个长为(3+6)cm,宽为(4-石)cm的长方形,求剩余部分的面积.(33+23V3)m2【答案】I 7cm【分析】用大正方形面积减去长方形面积即可求出剩余部分的面积.解:大正方形的面积：G及+2病 =42+24后(co?),长方形的面积：(3+扬(4-扬=9+8(加)，剩余部分面积：42+246-(9+6)=33+23百(cm2)(答:剩余部分的面积为33+236(cm2).【点拨】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键.3 2.求代数式”+或2-2+1的值,其中。=-2 2 0.如图是小亮和小芳的

28、解答过程.15第1 5页 共1 6页（1）的解法是错误的;求代数式4+24 2 -6a+9 的值，其 中 一 2019.【答案】（1）小芳；（2）2025【分析】（D a 是小于零的数，而算术平方根开出来的数为非负数,小芳开出来小1 是个负数,是不可能存在的.（2）首先把根号内的式子凑成完全平方,再开算术平方根得到正数，所以得到6-a,再代入炉-2019即可.解：（1）小芳；因为小芳开出来的z l 是个小于零的数,这是不可能的.ci+2,-6a+9=。+2 4 3）2,a=-2019,a-3 0，.原弋=a+2（3-a）=a+6 2a=6-o =6-（-2019）=6+2019=2025即代数式。+2 2-6a+9 的值是2025.【点拨】本题考查带有二次根式的代数式的计算，注意算术平方根开出来的是正数，掌握这点是本题解题关键.16第 1 6 页 共 1 6 页