2022-2023学年上海高一上学期数学同步练习(沪教新版)2-2含绝对值不等式的求解（第5课时）（解析版）.pdf

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1、2.2含绝对值不等式的求解（第 5 课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1.（2 0 2 2 上海同济大学第二附属中学高一期末）若不等式卜-4 H x-3归”对一切x s R恒成立，那么实数。的取值范围是A.a B.a C.a【答案】D【分析】由绝对值不等式解法，分类讨论去绝对值，再根据恒成立问题的解法即可求得a的取值范围.【详解】根据绝对不等式，分类讨论去绝对值，得1 x 3f（x）=-2x+l 3x4所以。之1所以选D【点睛】本题考查了绝对值不等式化简方法，恒成立问题的基本应用，属于基础题.二、填空题2.（2 0 2 L上海虹口 高一期末）不等式|x +2|+|x-1

2、区5的解集为.【答案】-3,2【分析】分x Nl,x-2,-2?x 1三种情况讨论，即可求出结果.【详解】当x Nl时，原不等式可化为2 x+l 5,解得x V 2,所以*4 2：当x 2时，原不等式可化为 2 x 1 4 5,解得3,所以x N 3；当-2?x 1时，原不等式可化为3 V 5,显然不成立；综上，原不等式的解集为-3,2 .故答案为：-3,2 .3.（2 0 2 0上海.高一单元测试）方程|x-”+|x-3|=2的解集为【答案】口，3【解析】分类讨论x的范围，最终求出答案.【详解】当x N3时，|x-l|+|x-3|=x-l +x-3 =2 x-4 =2,所以x =3；当 1

3、cx 3 时，|x-l|+|x-3|=x-l-x+3 =2 ,所以 1 cx 3；当 时，x-+x-3=-x+-x+3-2x+4-2,所以 x =l,所以综上所示:方程|x-H +|x-3|=2 的解集为口,3 .故答案为：口，3 .4.(2 0 2 2 上海虹口高一期末)不等式|x+l|+|x-3|4 6的解集为.【答案】2,4【分析】分x-l，-l x 3 讨论去绝对值解不等式即可.【详解】解：当x T时，一(x+l)(x 3)4 6,m-2 x -l,当-1 WX4 3 时，(x+1)(x 3)3 时，(x+l)+(x 3)4 6,解得3 1 的解集为_ _ _ _ _ _ _.|2 x

4、-3|【答案】x|l x 2 且x x；3【分析】不等式可转化为I 2 x-3|1 且|2X-3|R0,gp-l 2 x-3 1!2 x-3|l K|2 x-3 k O|2 x-3|故一l 2 x-3 1,且2 x 3 x 03解得：1 x 2 ,且x.3故不等式的解集为“|l x 2 且故答案为：x l x 2 且XH|6.(2 0 2 1 上海市第二中学高一期中)不等式|x +l|+|x-2 K 5 的解集为.【答案】(-2,3)【分析】讨论x的取值范围，去掉绝对值符号，解不等式组即可得出不等式的解集.【详解】当x-l 时,|x +l|+|x -2|5 0-X 1 x+2 5 ,解得-2

5、v x v-1；当一 1 工2 时，|x+l|+|x 2|v 5 =大+1 +2 5 恒成立，所以一 l x 2 时，|x+1 1+1 x 2 1 5 x +1 +x 2 5 ,解得2 x v 3.综上所述，不等式|x+l|+|x-2|5 的解集为(-2,3).故答案为：(-2,3),7.(2021.上海市复兴高级中学高一期中)关于x 的不等式|xT|+|x+2区3的解集为.【答案】-2,1【分析】根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式.【详解】x -2,无解，-2 4 x 4 1 时，不等式为l-x+x+2 4 3 恒成立，所以-24x41,x l时，不等式为x-l+x+2 4 3,

6、x l,无解.综上，不等式的解为-2 4 x 4 1,即解集为故答案为：-2,1.8.(2021上海市奉贤中学高一阶段练习)若关于x 的不等 式 组 1 无解，则实数。的取值范围是xa【答案】1 8，g【分析】先求得不等式|x+l|4 x-1的解集，再结合题意，即可得答案.【详解】不等式k+q 4 x-i所以(X+1)2 02解得因为不等式组卜无解xa2所以故答案为：,9.(2021 上 海 高 一 单 元 测 试)不 等 式 卜+1|1的解集是.【答案】(T，3【分析】根据零点分段法讨论x 的范围，解各个区间上的不等式，最后取并集即可求出结果.【详解】当x -l时，原不等式可化为-(2 x-

7、l)+(x+l)l,无解：当TVxvg 时，原不等式可化为一(2 x _ l)_(x+l)_ g,所以一;当时，原不等式可化为（2 x-D （X+1）1,即x 3,所 以;x 3.综上，原不等式的解集为 x|-gx。恒成立，则。的取值范围是【答案】a-5【分析】使用零点分段法求得|x+4|-|x-l|的最小值，然后可得结果.【详解】1 x 4-4 时，M|x+4|-|x-l|=-x-4+x-l =-52,-4 V x 1 时，则,+4|-卜-1|=2 犬+33 x 2 1 时，则卜+4|_ 卜-1|=5综上所述，a-5故答案为：a 51 1.（2 0 2 1.上海上外浦东附中高一期末）关于x的

8、方程|x-2|+|2 x +3|=|3 x +l|的解集是.【答案】y,-|U 2,+8）【分析】利用零点分段法，去绝对值解方程.【详解】当x N 2 时，x 2+2 x+3 =3 x+l 恒成立,当时，2 一 x+2 x+3 =3 x+l,解得：x=2 不成立，3 1 3当 5 x 4-q 时，2 x+2 x+3 =3 x 1,解得：x ,不成、工，3当5时，2 x 2 x 3 =3 x 1 恒成立，综上可知方程的解集是（9，-加3 y）.故答案为：（-8,-章39 2收）1 2.（2 0 2 1.上海格致中学高一期末）不等式上 0时，x2 1,解得xl.当x 1,无解.所以不等 式 由 3

9、；（2）2|x+l|2 x+3|；（4）|x+1|+|x 7.【答案】（1）（1）（2,+o o）；（2）-4,-3）（1,2 ；（3）（4）（2）o（5,+o o）.【分析】（1）根据绝对值不等式的定义，去掉绝对值号，即可求解；.f|x +l|2 fx+l 2 c x+l -2 把 不 等 式2 x+l区3,转化为等价不等式组 L 或一。，即可求解；1 1|x +l|3 -3 x+l 3（3）把不等式的两边平方得，得出3 d+1 0 x+8 3,可得l 2 x 3或1 2 x 3,解得x 2,所以原不等式的解集为（F，-1）D（2，）,.|x +l l 2 X+12BJU+1-2（2）由题意

10、，不等式2 x+l区3,可化为 1或“-2 ，|x +l|3 -3 x+l 3解得匕丁，即T 4 x -3或 1%W 2,-4 x2所以原不等式的解集为|2 x+3|两边平方得，（X-1）2（2X+3）2,整理得3/+14X+80,BP（X+4）（3X+2）0,解得一4 X 7,即x 5,此时，不等式的解集为x 5；当-1 4x 7 ,即5 7,始终不成立，舍去；当x 7,即x -2,此时，不等式的解集为x -2.综上所述，原不等式的解集为（，-2）U（5,+8）.r-2 11 4.（2 0 2 1 上海高一专题练习）解不等式二;一-1 0,再由W i o 得，x i o.【详解】由 惶 4卜

11、。4得，|斗看看4所以凶1 0,解得不1 0.故原不等式的解集为（F,-1 O）U（1 O,”）.【能力提升】一、填空题1.（2 0 2 0 上海市实验学校高一期中）不等式国 4-卜+1|的解集是【答案中羽【解析】本题可分为x 0、-IWXWO、x -l 三种情况进行讨论，通过去绝对值并计算即可得出结果.【详解】不等式 0 时，不等式为x 4-（x+l）,解得0 y；当IWXWO时，不等式为-x 0,恒成立；当x -l 时，不等式为-x 4+（x+l）,解得综上所述，不等式国3；（2）求证：/（x）2,并求出f（x）=2 时对应的 与x的取值.【答案】（1）；（力 4=1，【分析】（1）分x

12、l,X4 T三种情况，分别解不等式，即可求出结果;（2）利用绝对值三角不等式，先得到/（刈*。+工，再结合基本不等式，即可证明结论成立，从而可求出af（x）=2时对应的。与x的取值.【详解】（1）由 =1,不等式x +3可化为|x+3 ；当x N l时，不等式可化为x +1+x-1 3,解得x|,此时不等式的解集为（I，+8当时，不等式可化为x+1 x+l 3,即2 3,显然无解;当1时，不等式可化为-x-l-x+l 3,解 得 此 时 不 等 式 的 解 集为18,-|综上，原不等式的解集为卜巴-（卜 停+8）；因 为/（x）=x +R。+一ax-a x +a当且仅当卜+：）x-a）40时，

13、等号成立；又当a 0时，a+2.lax =2,当且仅当。=！，即。=1时，等号成立;a a a当 a 2,即f（x）N a +22,当且仅当。=1时，等号成立,a a又（x+：）（x-a）4 0,所以一 1 4x 41；即 f（x）=2 时对应的=1,x e-l,l .3.（2 0 2 1上海高一专题练习）解下列不等式:(1)|x 5|2 x+3|1 ;(2)24X 4-1 X2(3)l +x+1 ;(4)2|2 x+3|4.【答案】S)呜,+8)；(2)-|,0 ;(3)(-2,0)；(4)【分析】（1）利用零点分段法求解不等式;(2)原不等式可化为 142x+11,即Y +1,即可得解：X

14、+IX,八-1(3)原不等式可化为-11+工+土 1,即 2 即可得解:21 +X+2,即q2+23 4 或9(2x+。3+-23 4 即可得解.【详解】(1)当后5 时，原不等式化为x-5-2x-3l,即Q-9;3 1当5时，原不等式化为5*2/3 1,即A：；3当xv-时，原不等式化为5-x+2x+3l,即x-7；2综上所述，原不等式的解集为(-8,-7)七,5)3 5，+8)=(-8,-7)4,+82x4-1(2)原不等式可化为-I wR1,X+1-2 所以，原不等式的解集为-,0.(3)原不等式可化为-11+1+占2主3 ox+1，解得，2或T 3-l x-17z,解得-2 x 0,1

15、+X+2,即(2x，+3。2,，或2x，+3.-2,|2x+3|4-42x+34-4x解 得7 2 或7 2 x x2x-；(2)若关于x 的不等 式 恒 成 立，求。的取值范围.【答案】(1)(-0 0,1 ；(2)ae y】.【解析】(I)根据题意得到|x-Z+|x-l|N 2 x-l,分x 41,l x 2,x N 2三种情况讨论，即可得出结果;(2)先由关于x的不等式x)W x-l恒成立，得到k-2|+k-a|2 x T恒成立，代入特殊值可知/(2)3,从而有a 3；令F(x)=/(x)-x+1,分类讨论a 3时F(x)的最小值，使得F(x)而/仑0,可求出a的取值范围.【详解】(1)

16、当”=1 时，/(x)42 x-l 即为|x 2|+|x 当x W l时，-x+2-x+l 2 x-l,解得x 41；当l x 2 x-,解得x解集为空集，综上，原不等式的解集为(-8/；(2)关于x的 不 等 式 恒 成 立，即为k 2|+|x a但x l恒成立，因为7(2)2 1成立，即|2-相,解 得 右1或 破3,设函数F(x)=f(x)-x+l,则 尸(x)N)恒成立，x-a,xa若 N 3,则/(无)=-x+a-l,2xa f-3x+3+a,x2若 则/(x)-x+3-a,a x 2t-3x+3+a,xa由此尸(x)相加=1 -定0恒成立，符 合/(x)K)恒成立的要求，综上，。的

17、取值范围为(-8,1.【点睛】方法点睛：(1)含绝对值的不等式的解法，通常需要用到分类讨论的思想，去掉绝对值求解；(2)含绝对值不等式的恒成立有解问题，可以通过做图像数形结合的方法求参，也可以通过含参讨论去绝对值求参.5.(2 0 2 1 上海市控江中学高一期末)设函数/a)=|2 x-|,g(x)=x +2.(1)当4=1时，求不等式x)4g(x)的解集；求证：中至少有一个不小于卜【答案】-g，3 ；(2)证明见解析.【分析】(1)利用绝对值的意义,分类讨论,即可求不等式/(x)M g(x)的解集;(2)利用反证法证明即可.【详解】(1)当。=1时，|2xl|r+2,L1 L x化简可得 一

18、2 或2-2xx+2 2 x-l x+2解得 x x3综上，不等式的解集为)卜-冷 斗 证 明:假 设/(3(3也)都小于泉1 ,1 a+b2 2l/lij-a-h -,前两式相加得一；。；与第三式;矛盾.2 2 z z z.21 1 一一2 2因此假设不成立，故 面 /卜 U中至少有一个不小于【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设,正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.6.(2021上海高一专题练习)已知函数_y(x)=|x-l|+|2x+m|(m eH).(1)若机=2 时，解不等式/(x)M 3；(2)若关于x 的不等式f(x)W|2x

19、-3|在x e O,1 上有解，求实数加的取值范围.4【答案】(1)x-I4 x 0；(2)3W/nW2.【详解】试题分析：当 机=2 时，不等式为卜-1|+|2彳+2归3,根据分类讨论解不等式即可.由题意可得当xw 0,l 时,|2犬+同4 2-x 有 解，即一x-2 4 m 2-3 x 在x e 。上 有解，故 只 需(一 x-Z*”4 m(2 3力,恤，由此可得结论.试题解析：(1)当m=2 时，不等式为|x-l|+|2x+2归 3,4 4若xK 1,则原不等式可化为一x+1 -2工 一 24 3,角军得所以一4X 4一 1；若一1 X 1,则原不等式可彳上为1 x+2x+2 4 3,解

20、彳导所以一1 XWO：?若X 2 1,贝 IJ原不等式可化为x 1 +2X+2 K 3,解得x W ,所以x e 中.4综上不等式的解集为xI 4 x 4 0.（2）当xe0,l时，由/（X）02%-3|,得l-x+|2 x+同 3-2xB|J lx+rr2-x x-2 2 x+m.2-x,解得一 x-2 4/n K 2-3 x,又由题意知（x 2）而,/（2-3%）_ ,所以一 3 4 m 4 2.故实数m 的取值范围为-3,2.7.（2020 上海 古美高中高一期中）（1）解不等式：f t 2 x 3 o 的解集厂+X+2020Y kx+1（2）若关于X的不等式2 的解集为心 求人的取值范

21、围.X+X+I【答案】（1）（一 3,1）；2020-0,X：；：当;0=r+2一 3 0。（工+3）（光-1）0 0 3 光 1所以不等式的解集为（一 3,1）了 2 -Ky I 1（2）因为不等式“，乩：4 2 的解集为R,x-+x+2 I-I x2-kx+l 0 W 回+归上恒成立，咋心叫一上二屋屋”为 在 杜 恒 成 立，A1=（*+2）-4 生”0所以人的取值范围是T,0A2=（2-Jt）-36O Q-4 3 2 4 0 -4kS【点睛】思路点睛：本题考查了解分式不等式，及利用不等式恒成立求参数问题，解题时要将分式不等式及绝对值不等式转化为二次不等式，再利用二次函数的性质解题即可，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.