2022年中考数学专题复习：中考数学中的最值问题（有详细解析）.pdf

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1、最新中考数学专题复习：中考数学中的最值问题专题知识点概述在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。二、解决代数最值问题的方法要领1 .二次函数的最值公式二次函数 =依 2+&+。（a、b、c 为常数且a*0）其性质中有若aO当x =2h 时，y 有最小值。yAcic-bmin=；2a 4a若。0 当x =2时，y 有最大值。yna a x=

2、-lamax 4a2.一次函数的增减性.一次函数y =f cc+伙#（）的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当根4x4时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。3 .判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x 是实数，推得 2 0 ,进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4 .构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5 .利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a?+女之女，当且仅当。=8=0时，等号成立，即 2+/+人的最小值为卜。6 .零点区间讨论法.用“零点

3、区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。I7 .利用不等式与判别式求解.在不等式a中，x =a是最大值，在不等式x 2 b 中，x =A是最小值。8 .“夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。【例 题 1】如图，在边长为1 的菱形A BC。中，Z ABC=60 ,将沿射线8。方向平移，得到连接E C、GC.求 E C+G C 的 最 小 值 为.【同步练习】如图，在矩形A 8 C。中，8 c=1 0,Z A f i

4、D=3 0 ,若点M、N分别是线段0 8、AB上的两个动点,则A M+MN的最小值为.【例 题 2受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按2 5 元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x 千克,付款y元，y与 x 之间的函数关系如图所示.（1）直接写出当0 W x 5 0 时，y与 x 之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共1 0 0 千克，且甲种水果不少于4 0 千克，但又不超过6 0 千

5、克.如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w （元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为4 0 元/千克和3 6 元/千克.经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1 6 5 0 元，求 a 的最小值.2【同步练习】某水果店在两周内，将标价为1 0 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1 天算起，第 x 天（x 为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1 元/斤，设销售

6、该水果第x（天）的利润为y（元），求 y与 x（l W xV 1 5）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间（天）UV9915售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）8 0 3 x120-x储存和损耗费用（元）4 0 +3 x3?-64A-+400（3）在（2）的条件下，若要使第1 5 天的利润比（2）中最大利润最多少1 2 7.5元，则第1 5 天在第1 4 天的价格基础上最多可降多少元？【例 题 3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x 与双曲线y=交于A、B两点、,P是以点C（2,2）为圆心，半径长1 的圆上一动点，连结4P,。为 AP的中点.若线段OQ

7、长度的最大值为2,则氏的值为（）12B.A.32C.-2D.143【同步练习】如图，M N是。的直径，M N=4,/A M N=4 0 ,点B为弧A N的中点，点P是直径M N上的一个动点，则P A+P B的最小值为.【例题4】在平面直角坐标系X。)，中，关于x的二次函数y=f+p x+q的图象过点(-1,0),(2,0).(1)求这个二次函数的表达式；(2)求当-2 W x W l时，y的最大值与最小值的差；(3)一 次 函 数)=(2 -m)x+2 -?的图象与二次函数y u f+p x+q的图象交点的横坐标分别是a和6且 3 0)的图象经过点D,交B C边于点E,直线D E的解析式为y2

8、=inx+n(m2 0).(1)求反比例函数y i=5 (x 0)的解析式和直线。E 的解析式；(2)在 y 轴上找一点P,使2 )后的周长最小，求出此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，的 周 长 最 小 值 是.11.如图，菱形A B C。的边长为1,/4 B C=60 ,点 E 是边AB上任意一点(端点除外)，线 段 CE 的垂直平分线交B O，CE 分别于点F,G,AE,E F 的中点分别为M,N.(1)求证：AF=EF i(2)求 M N+N G 的最小值；(3)当点E 在 AB上运动时，/CE F 的大小是否变化？为什么？12 .如图，公 路 为 东 西 走 向，在点M 北偏东3

9、 6.5 方向上，距离5千米处是学校A；在点M 北偏东4 5 方向上距离6 夜 千米处是学校B(参考数据：s i n 3 6.5 =0.6,c o s 3 6.5 =0.8,t a n 3 6.5 =0.7 5).(1)求学校4,B两点之间的距离；(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C,使得A,8两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离.北1013.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+f c r-2交x轴于4,B两点，交y轴于点C,且O A =2 O C=8 0 8.点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)PC/AB,求点P的坐标：(3)连接A C,求面积

10、的最大值及此时点P的坐标.14 .如图，抛物线y=a?+6 x+4交x轴于A (-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,AC,BC.M为线 段O B上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P,交8 c于点。.(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作PN _L 8 C,垂足为点N.设M点的坐标为M(z,0),请用含机的代数式表示线段P N的长，并求出当初为何值时P N有最大值，最大值是多少？(3)试探究点”在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.15 .已知点A (1,0)是抛物线(a,h,m为常数，“W

11、0,/0)与x轴的一个交点.(1 )当a=l,机=-3时，求该抛物线的顶点坐标；(I I)若抛物线与x轴的另一个交点为M(?，0),与y轴的交点为C,过点C作直线1平行于x轴，E是直 线1上的动点，尸是y轴上的动点，EF=2y 2.当 点E落在抛物线上(不与点C重合)，且A E=E F时，求点F的坐标；取E F的中点N,当胆为何值时，MN的最小值是了?II最新中考数学专题复习：中考数学中的最值问题参考答案专题知识点概述在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直

12、线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y =o?+以+。（a、b、c为常数且4H0）其性质中有若。0当=一 2 时，y 有最小值。一 2a 4a若a 2+%2 攵，当且仅当。=8 =0 时，等号成立，即a2+b2+k的最小值为k。6 .零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。127.利用不等式与判别式求解.在不等式x中，x=a是最大值，在不等式x 2 8中

13、，%=万是最小值。8.“夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。例题解析与对点练习【例 题 1】如图，在边长为1的菱形ABCQ中，乙4BC=60,将A8O沿射线8。方向平移，得到连接EC、G C.求EC+GC的 最 小 值 为.【答案】V3.【解析】根据菱形的性质得到A8=l,NA8/)=30,根据平移的性质得到EG=43=1,EG/AB,推出四边形EGCO是平行四边形，得到E Q=G C,于是得到EC+GC的最小值=+6。的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于3。的定直线上，作点

14、。关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于AE,解直角三角形即可得到结论.在边长为1的菱形4BCO中，ZABC=60,.B=C D=1,ZABD=30,将A8。沿射线BD的方向平移得到EGF,：.EG=AB=,EG/AB,四边形A8C。是菱形，：.AB=CD,AB/CD,：.ZBAD=20Q,：.EG=CD,EG/CD,13.四边形E G C D是平行四边形,；.ED=GC,J.EC+GC的最小值=R：+七。的最小值，.点E在过点A 且平行于B D的定直线上，作点D关于定直线的对称点M,连接C M交定直线于E,则 CM 的长度即为E C+D E的最小值，：NE 4 D=NAO8=3 0 ,AO

15、=1,Z A D M=6 0Q,D H=M H=1AD=：.DM=,：.DM=CD,:N C D M=N M D G+N C D B=90+3 0 =1 2 0 ,.,.NM=/OC M=3 0 ,：.C M=2 x -C D=V 3.【同步练习】如图，在矩形ABC。中，8 c=1 0,Z ABD=3 0 ,若点M、N 分别是线段。2、A B 上的两个动点，则 A M+M N 的最小值为.14【答案】15.【解析】作点A 关于8。的对称点4,连接M4,B A,过点A 于 H.首先证明A B A 是等边三角形，求出4 H,根据垂线段最短解决问题即可.解：作点A 关于8 的对称点A,连接MA,B

16、A,过点A 于从,：BA=BA,NABD=NDBA=30,ZABA=60,：./A B A 是等边三角形，四边形A8CD是矩形，.AO=8C=10,A H _在 RtZA8 中，AB=ta n 3 Qd=10V3,VA,HAB,:.A H=H B=5.A H=W AH=5,：AM+MN=A M+MNA H,15.MM+MNW15,.AM+MN的最小值为15.【例 题2受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按2 5元/

17、千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克,付款y元，y与x之间的函数关系如图所示.（1）直接写出当0WxW50和x 5 0时，与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克.如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克.经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共“千克，且销售完千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值.【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可.（2）设购进

18、甲种水果为“千克，则购进乙种水果（100-a）千克，根据实际意义可以确定。的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少.（3）根 据（2）的结论列不等式解答即可.【解析】（1）当0WxW50是，设丫=丘，根据题意得5OK=15OO,解得&=30；y=30 x；当 x50 时，y=k x+h,16根据题意得，(50fc+b=1500 缶 乏 俎 f k=24l70fc+&=1980，得 tb=300 y=24x+3000._ p0 x(0 x 50)(2)设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果(100-a)千克，.40，60,当 40WaW50 时，wi

19、=30a+25(100-a)=567+2500.当 a=40 时.V V；H I=27 0 0 兀,当 50VaW60 时，叱=24。+25(100-a)=-a+2500.当 a=60 时，W min=24 4 0 元，V24401650,解得a N 117执.Z为正整数，.心 118,二4 的最小值为118.【同步练习】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1 元/斤，并17且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1 天算起，第 x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.

20、1 元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为八元），求 y与 x（lW x 1 5）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间（天）UV9915G 15售价（元/斤）第 1 次降价后的价格第 2 次降价后的价格销量（斤）8 0-3%1 20 王储存和损耗费用（元）4 0 +3 x3 7-6 4%+4 0 0（3）在（2）的条件下，若要使第1 5 天的利润比（2）中最大利润最多少1 27.5元，则第1 5 天在第1 4 天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为1 0（1 力，第二次降价后的价格为1 0（l-x）2,进

21、而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润=（售价一进价）X销量一储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设 第 1 5 天在第1 4 天的价格基础上降a 元，利用不等关系“（2）中最大利润一 （8.la 4.1）X销量一储存和损耗费用 W 1 27.5”求解.解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得：1 0（1-力 2=8.1.解方程得：xi0.1 =1 0%,a=1.9（不合题意，舍去）答：该种水果每次降价的百分率为10%.（2）第一次降价后的销售价格为：1 0 X（1 10%）=9（元/斤），当 l W x 9 时，y=（9-4.1）（80-3%）

22、-（40+3x）=-17.7x+352;18当 9 W xV 15 时，y=(8.1-4.1)(120-x)-(3/-64z+400)=-3%+60 x+80,综上，y与 x 的函数关系式为：y一17.7x+352(l x 9,x为整数),9-3%+60 x+80(9W x 15,x为整数).当 l W x 9 时，)=一 17.7x+352,.当 x=l 时，y 及 大=334.3(元)；当 9 W x 15 时，尸 一3f+60 x+80=-3(x-10)2+380,.当 x=10 时，y s 大=380(元)；334.3V 380,.在第10天时销售利润最大.(3)设 第 15天在第14

23、天的价格上最多可降a元，依题意得：380-(8.l-a-4.1)(120-15)-(3X 152-6 4 X 15+400)127.5,解得：a W O.5,则 第 15天在第14天的价格上最多可降0.5 元.所以当x=35时，最大利润为1950元。【例题3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x 与双曲线)，=(交于A、B两点，P是以点C(2,2)为圆心，半径长1 的圆上一动点，连结4 P,Q 为 AP的中点.若线段。长度的最大值为2,则表的值为()【答案】A【分析】确定OQ是 A 8P 的中位线，0 Q的最大值为2,故B P的最大值为4,则B C=B P -P C=4-1=3,19则(m-

24、2)2+(-zn -2)2=32,即可求解.【解析】点。是 A8 的中点，则。是 A 8P 的中位线,当 从 C、P三点共线时，P B 最 大,贝|JQ 2=聂?最 大，而 OQ的最大值为2,故 8 P的最大值为4,贝 I B C=B P-P C=4-1=3,设点 B(加，-/)，则(w -2)2+-2)2=32,解得：加 2=,.,.k=m(-/n)=【同步练习】如图，M N 是。的直径，M N=4,N A M N=40,点 B为弧A N 的中点，点 P是直径M N 上的一个动点，则 P A+P B 的最小值为.【答案】2 b.【解析】过 A作关于直线M N 的对称点A,连接A B,由轴对称

25、的性质可知A B即为P A+P B 的最小值，由对称的性质可知众=厂 X，再由圆周角定理可求出N A O N 的度数，再由勾股定理即可求解.过A作关于直线M N 的对称点A,连接A B,由轴对称的性质可知A B即为P A+P B 的最小值，20连接 O B,O A ,A A ,A A 关于直线 M N 对称，.A i r A N，V ZA M N=40,：.Z h 0N=80,ZB 0N=40,A Z A/0B=120,过 0 作 O Q _ LA B 于 Q,在 R t Zk A O Q 中，O A =2,:.A B=2AZ Q=2心即 P A+P B 的最小值2瓜【例题4】在平面直角坐标系

26、xO），中，关于x 的二次函数y=7+p x+q 的图象过点（-1,0）,（2,0）.（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当-2 W x W l 时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数=（2-机）x+2-m的图象与二次函数_ y=f+p x+q 的图象交点的横坐标分别是a和 6,且 a3 0,把 x=3 代 入(2-m)x+2-/nx2-x-2,解得?V【解析】(1)由二次函数y=/+p x+q的图象经过(-1,0)和(2,0)两点，此二次函 数 的 表 达 式-x-2;(2):抛物线开口向上，对 称 轴 为 直 线 户 二 尹 另，.在-2 W x W l范围内，当x=-2,函数有最大

27、值为：y=4+2-2=4；当x=是函数有最小值：y=i-i-2=-l的最大值与最小值的差为：4-(一=竽；(3)；y=(2-?)x+2-m与二次函数y=/-x-2图象交点的横坐标为。和江/.x2-x-2=(2-m)x+2-加，整理得/+(7/2-3)x+m-4=09：a 3 0，?W 5当 x=3 时，(2-m)x+2-mj?-x-2,22把 x=3 代 入(2-/n)x+2-mx2-x-2,解得，V【同步练习】如图，已知抛物线y=a f+如5经过4(-5,0),8(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为G顶点为。,连结.(1)求该抛物线的表达式；(2)点尸为该抛物线上一动点(与点从。不重合)

28、，设点尸的横坐标为t.当点在直线加的下方运动时，求 的 面 积 的 最 大 值；该抛物线上是否存在点只使得若存在,求出所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析。【解析】(1)将 点 从6坐标代入二次函数表达式，即可求解;23(2)S*LPG x j,即可求解；分点户在直线比下方、上方两种情况，分别求解即可.2解：(1)将点/、6坐标代入二次函数表达式得：5a-5b+5=0,解得：1a=l,|16a-4b+5=-3 I b=6故抛物线的表达式为：尸 V+6 户5，令 y=0,贝!x=-1 或-5,即点 C (-1,0)；(2)如图1,过点。作 y轴的平行线交比 于点、G,将 点 从

29、的坐标代入一次函数表达式并解得：直线优的表达式为：旷=广1，设点 f+1),则点(3 r2+6 t+5),SZ GLPG (X L X，=&(i+1-t2-6 f-5)=-a d-正 一 6,2 2 2 2：一工0,.必做有最大值，当 匕=-至 时，其最大值为 空：2 2 8设直线即与切交于点H,24y当点尸在直线比下方时，/4P B g A BCD,，点在6 c的中垂线上，线段比的中点坐标为（-旦，-2）,2 2过该点与外垂直的直线的“值 为-1,设比中垂线的表达式为：y=-x+m,将 点（-5,-2）代入上式并解得:2 2直线比中垂线的表达式为：y=-x-4，同理直线 的表达式为：y=2产

30、2，联立并解得：x=-2,即点（-2,-2）,同理可得直线 的表达式为：y=Lx-l，2联立并解得：x=-W或-4 （舍去-4）,2故点（-W,-工）；2 4当点（户）在直线於上方时，:/PBC=/BCD,:.BP/CD,25则直线B P的表达式为：y=2户s,将 点6坐标代入上式并解得：s=5,即直线储的表达式为：y=2 x+5，联立并解得：x=0或-4 （舍去-4）,故点户（0,5）；故 点 的 坐 标 为-二，-工）或（0,5）.2 4【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2）,要主要分类求解，避免遗漏.【例 题5】如图，线段4 7

31、的长为4,。为18上一动点，分别以4G比1为斜边在4?的同侧作等腰直角儿力和 等 腰 直 角 仇 芯 那 么 助 长 的 最 小 值 是.【答案】4【解析】设力小必BO -x,根据等腰直角三角形性质，得 出。f-x,Cf f =（4-A）,2 2根据勾股定理然后用配方法即可求解.解：设力BG=4 -x,：4 ABC,及万均为等腰直角三角形,V2 一 逝 CD-x,C D-（4 -%）,2 2V ZJ6 Z 4 5 ,/BCD=4 5 ，/华9 0 ,：.D=a f+C=-x+-(4 -x)2=x-4户8=(x-2)2+4,2 226 .根据二次函数的最值，.当x取2时，龙取最小值，最小值为：4

32、.【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.【同步练习】如图，在 麻 脑 中，ZJ=9 0 .AB=3 c m,AC=&c m,若动点从6出发，沿线段掰运动到点力为止(不考虑与6,重合的情况)，运动速度为2 c H 5,过点作理比交1于点,连接跖,设动点运动的时间为x (s),的长为了(颂).(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，网应的面积S有最大值？最大值为多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键.(1)由 平 行 线 得

33、/根据相似形的性质得关系式.动点运动x秒后，BQ2x.又,：AB=8,；g 8-2 x.：DE/BC,A D A E A B Tc ,p 6(8-2 x)c 3,A B=-g-二y关于x的函数关系式为y=X+6(0XAE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解.28觎4BDA E=x 2x（今+6）=多2+6乂当 x=-=2时，SAW：最 大,最大值为6cvz/.2X(/【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键.专题点对点强化训练一、填空题1.如图，在E1ABC。中，NB=60,AB=10,B C=8,点 E 为边AB上的一个动点，连接

34、EO并延长至点F,使得以EC、EF为邻边构造团EFGC,连接E G,则 EG的最小值为4【答案】9V3.【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到8力和E尸的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决.作 CHLA3于点H,在EIA8co 中，ZB=60,8 c=8,:.CH=4小.西边形E C G F是平行四边形，28J.EF/CG,:EODSGOC,.EO DO EDGO OC GC1；DF=DE,4,DE 4 ,EF 5eED 4GC 5.EO 4 =一,GO 5/.当 EO取得最小值时，EG 即可取得最小值,当 EOJ_C 时，E 0 取得最小值，:.CH=

35、EO,：.EO=4-/3,；.G 0=5 百，EG的最小值是9 g，2.如图，矩形ABC。中，AD=2,AB=8,E 是 AB上一点，且 E B=3,尸 是 BC上一动点，若将AEB尸沿 对 折 后，点 B 落在点P 处，则点P 到点D 的 最 短 距 离 为.29D【答案】1 0.【解析】先根据勾股定理计算E O的长，当E、P、。共线时，D P 最 小,即最短距离是此时P。的长.如图，连接P C,DE,四边形A B C。是矩形，/.ZA=90,V A B=8,BE=3,：.AE=5,：A O=1 2,/.D E=V 52+1 22=1 3,由折叠得：EB=EP=3,:EP+DPED,.当E、

36、P、。共线时，。尸最小，E P=1 3 -3 =1 03.如图，在直角坐标系中，点A (1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1,且C A=C B,在y轴上取一点 ,连接A C,BC,AD,8 D,使得四边形A C B O的周长最小，这个最小周长30的值为_ _ _ _ _ _ _【答案】4+2信【分析】根据平行线的性质得到NBAC=45,得到NC=90,求得A C=B C=2,作 8 关于)，轴的对称点E,连接AE交)，轴于Q,则此时，四边形AC8O的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE,过 E 作 EF_LAC交 CA的延长线于F,根据勾股定理即可得到结论

37、.解：；点 A(1,I),点 C 的纵坐标为1,：.AC/x*,.NBAC=45,：CA=CB,.NA8c=N8AC=45,.,.NC=90,:B(3,3)：.C(3,1),A C B C 2,作 8 关于)，轴的对称点E,连接AE交 y 轴 于D,则此时，四边形AC8。的周长最小，这个最小周长的值=AC+8C+AE,过 E 作E F L A C交C A的延长线于F,31则 EF=BC=2,4尸=6-2=4,AE=!EF2+AF2=V22+42=2V5,最小周长的值=AC+8C+AE=4+2正4.如 图，菱形4?切 中，乙4=60,心 3,。从。占的半径分别为2 和 1,P、E、尸分别是边修、

38、。/1和。6 上的动点，则阳郎的最小值是.【答案】3【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P 与重合时必+的最小值，进而求出即可.由题意可得出：当 一与重合时，点在/，上，尸在班上，此 时 阳 房 最 小，连 接 做菱形4比。中，/片 60,：.AB=AD,则/劭是等边三角形，:.BAA方AD=3,V QA.0 8 的半径分别为2 和 1,.眸1,雁 2,件的最小值是3.32【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出点位置是解题关键.5.不等边三角形A 48c的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为33【答案】5【解析】设a、b、

39、c三边上高分别为4、12、h因为2sA48c=4a=T2b=ch,所以a=3Z?又因为cv a+6=4 b,代入12b=ch得12b v 4帅,所以/z3又因为c a-b=2b,代入12b=ch得 12b 2 b h,所以/z6所以3h-1b-当 a 4-0,6-1 =(),即 a=0,/?=1 时，2上式等号成立。故所求的最小值为一1。二、解答题7.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表:原 进 价（元/张）零 售 价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a3 8 09 40餐椅a -1 401 6 0已知用6 0 0 元购进的餐椅数量与用1 3 0 0 元购进的餐桌数量相同.（

40、1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多2 0 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过2 0 0 张.若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】见解析。【分析】（1）根据数量=总价+单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5A+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过2 0 0 张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y 元，根据销售方式及总利润=单件（单套）利润X 销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用

41、次函数的性质即可解决最值问题.【解析】（1）根据题意得：.a-1 40 a解得a=2 6 0,经检验，“=2 6 0 是原分式方程的解.答：表中a的值为2 6 0.（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5 x+2 0）张,根据题意得：x+5 x+2 0 W 2 0 0,34解得：x W 3 0.设销售利润为y元，根据题意得：y=9 40 -2 6 0 -4X(2 6 0 -1 40)x 1.r+(3 8 0 -2 6 0)x|x+1 6 0 -(2 6 0 -1 40)X(5 x+2 0 -4x%)=2 8 0 X+8 0 0,：Z=2 8 0 0,.当x=3()时，y取最大值,最大值为：2 8

42、0 X3 0+8 0 0=9 2 0 0.答：当购进餐桌3 0 张、餐 椅 1 70 张时，才能获得最大利润，最大利润是9 2 0 0 元.8.某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共3 0 件.其中甲种奖品每件3 0 元，乙种奖品每件2 0 元.(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费8 0 0 元，那么这两种奖品分别购买了多少件？(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3 倍.如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？【答案】见解析。【分析】(1)设甲种奖品购买了 x件，乙种奖品购买了(3 0-x)件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了 8 0 0元列方程3 0 x+2 0

43、 (3 0-x)=8 0 0,然后解方程求出x,再计算3 0-x即可；(2)设甲种奖品购买了 x件，乙种奖品购买了(3 0-x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价=单价X 数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题.【解析】(I)设甲种奖品购买了 x件，乙种奖品购买了(3 0-x)件，根据题意得 3 0 X+2 0 (3 0-x)=8 0 0,解得x=2 0,则 3 0-x=1 0,答：甲种奖品购买了 2 0 件，乙种奖品购买了 1 0 件；35（2）设甲种奖品

44、购买了 x件，乙种奖品购买了（3 0-x）件，设购买两种奖品的总费用为“，元，根据题意得3 0-x W 3 x,解得x 2 7.5,w=3 0 x+2 0 （3 0-x）=1 0 x+6 0 0,V 1 0 0,；.卬随x的增大而减小，x=8 时，w 有最小值为：w=1 0 X8+6 0 0=6 8 0.答：当购买甲种奖品8 件、乙种奖品2 2 件时，总花费最小，最小费用为6 8 0 元.9.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数）=-品 的 图象并探究该函数的性质.x -4-3 -2 -1 0 1 2 3

45、4 y,，,_ 2 a -2 -4 b-4-2 _ 1 2 _ 2 -3-TT-3（1）列表，写出表中”，的值：,b=；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相位置正确的用“作答，错误的用X”作答）：函数y=品 的 图 象 关 于 y轴对称；当 x=0 时，函数）=一 三 有 最 小 值，最小值为-6；在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.己 知 函 数 尸-|x-竽的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直 接 写 出 不 等 式-品 V|x-学的解集.36【答案】见解析。【分析】（1）将x=-3,

46、0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可.【解析】（l）x=-3、0分别代入）=一提，得。=一 器=一 音，6=-系=-6,故答案为一专，6；画出函数的图象如图：故答案为一专，-6；（2）根据函数图象:37函数）=-冷 的 图 象 关 于y轴对称，说法正确;当x=0时，函数y=有最小值，最小值为-6,说法正确；在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误.（3）由图象可知：不 等 式 一 墨 V奈一学的解集为x V-4或-2V x V l.10.如图，在矩形O A 8 C中，A 8=2,8 c=4,

47、点。是边A B的中点，反比例函数y i=号（x 0）的图象经过点）,交8 c边于点E,直线D E的解析式为”=蛆+（,片0）.（1）求反比例函数y i=（x 0）的解析式和直线。E的解析式；（2）在y轴上找一点P,使?的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，的 周 长 最 小 值 是.【答案】见解析。【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到。（I,4）,解方程和方程组即可得到结论；（2）作点。关于y轴的对称点。，连接。E交y轴于尸，连 接P D,此时，的周长最小，求得直线。E的解析式为y=-|x+学，于是得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论.【解析】（1）,点。是边

48、A 8的中点，4 8=2,38 AO=1,四边形0A8C是矩形，8c=4,：.D(1,4),.反比例函数y i=(x 0)的图象经过点O,：.k=4,.反比例函数的解析式为y=(x0),当 x=2 时，y=2,：.E(2,2),把 Q (1,4)和 E(2,2)代入y2=ir+”(mW O)得，f?+=2,Im+n=4.1=r，In=6二直线DE的解析式为y=-2x+6：(2)作点。关于y 轴的对称点O,连接。E 交 y 轴于P,连接P4,此时，?)的周长最小，点的坐标为(1,4),：.D 的坐标为(-1,4),设直线O E 的解析式为y=ox+。，工二解得=e=手/.直线D E 的解析式为y

49、=-1x+学，令x=0,得 尸 孚39.点P的坐标为(0,);(3),:D(1,4),E(2,2),：.BE=2,8/)=1,DE=V l2+22=V 5,由(2)知，D 的坐 标 为(-1,4),：.BD=3,：.D E=V 22+32=V 13,MP D E 的周长最小值=O E+。E=V 5+V 13,1 1.如图，菱形A B C。的边长为1,N A B C=60,点E是边A B上任意一点(端点除外)，线 段C E的垂直平分线交B ,C E分别于点F,G,AE,E F的中点分别为M,N.(1)求证：AF=EF-,(2)求M N+N G的最小值；(3)当点E在A B上运动时，/C E F的

50、大小是否变化？为什么？40D，C【答案】见解析。【分析】（1）连接C F,根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到C F=E F和C F=4/即可得证；（2）连接A C,根据菱形对称性得到A/+C尸最小值为A C,再根据中位线的性质得到M N+N G的最小值为A C的一半，即可求解；（3）延长E F,交DC于H,利用外角的性质证明N A F C=N F C E+/E E C+N阳E+/F E A,再由A F=C F=E F,得到N A E F=N E A凡 N F E C=N F C E,从而推断出N A F/）=/次 +/4 8尸=N/E+N C E F,从而可求出/A 8 F=N C E F