2022年河北省中考数学真题卷（含答案与解析）.pdf

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1、2022年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案

2、无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共16个小题.110小题每题3 分，1116小题每题2 分，共 42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计 算/入得/,则“？”是（）A.0 B.I C.2 D.32.如图，将A A B C折叠，使A C边落在A B边上，展开后得到折痕/,则/是的（）5.如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设AABC与四边形B C D E的外角和的度数分别为a,4，则正确的是（）A.中线3.与一3,相等的是（2B.中位线）C.高线D.D.角平分线3 +-2C.-3 +-2A.-3-2B.3-24.

3、A.下 列 正 确 是（）/4 +9 =2 +3B.7 4 9 =2 x 3C.D./4 9=0.7A.a 一4=0 B.-/?0 D.无法比较a 与 的大小6 .某正方形广场的边长为4 x 1 0 2 m，其面积用科学记数法表示为（）A.4xl04m2 B.16xl04m2 C.1.6xl05m2 D.1.6xl04m27 .是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6 个小正方体构成的长方A.B.C.D.8 .依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）9 .若 x 和 y 互为倒数，则 x +的 值 是（）A.1 B.2 C.3 D.41 0 .某 款“不倒翁”（图 1）

4、的主视图是图2,PA,P 3 分 别 与 所 在 圆 相 切 于 点 A，B.若该圆半径是9 cm,Z P=4 0 ,则 A M B 的 长 是（）A.1 1-cmp一兀cmC.7 cm7D.cm21 1.要得知作业纸上两相交直线A B,CO 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如 图 1 和图2）：对于方案I、I I,说法正确的是（）方案I作一直线G H,交相，8 于点E,F;利用尺规作N?W=NCFG;测量N4EH的大小即可.方案口作一直线G H,交，IB,CD于点E,F;测量N/EH和Z CFG的大小；计算180。-N AEH-Z CFG即

5、可.A.I 可行、I I 不可行 B.I 不可行、I I 可行 C.I、I I 都可行 D.I、I I 都不可行1 2.某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需1 2 天.若，个人共同完成需天，选取6 组数对（2,），在坐标系中进行描点，则正确的是（）2O2O13.平面内，将长分别为1,5,1,I,的 线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则 d 可能是A.1B.2C.7D.814.五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10（单位：元），捐 10元的同学后来又追加了 10元.追加后的5个数据与之前的5 个数据相比，集中趋势相同的是（）A.只有平均数 B.只有中位数 C.只有众数

6、D.中位数和众数15.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3 个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为 120斤，设每块条形石的重量是x 斤，则正确的是（）A.依题意3x120=%120 B.依题意20 x+3 x l2 0 =(2 0+l)x+1 2 0C.该象的重量是5040斤 D.每块条形石的重量是260斤16.题目：“如图，N B=4 5。,B C=2,在 射 线 上 取 一 点 A,设 A C

7、=d,若对于d 的一个数值，只能作出唯一一个A B C,求 d 的取值范围.”对于其答案，甲答：d 2,乙答：4=1.6,丙答：d=6,则A.只有甲答的对 B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整二、填空题(本大题共3 个小题，每小题3 分，共 9 分.其 中 18小题第一空2 分，第二空1分；19小题每空1分)17.如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签，她 从 18 号中随机抽取一签，则抽到6 号 赛 道 的 概 率 是.18.如图是钉板示意图，每相邻4 个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A,8 的连线与钉点C,。的

8、连线交于点E,则 AB与 C)是否垂直？(填“是”或“否”)；(2)AE=.1 9 .如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.(1)甲盒中都是黑子，共 1 0 个，乙盒中都是白子，共 8 个，嘉嘉从甲盒拿出。个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2 倍，则 f l-(2)设甲盒中都是黑子，共，(，2)个，乙盒中都是白子，共 2 机个，嘉嘉从甲盒拿出。(1。加)个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多.个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回。个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有丫个黑子，则上的值为x三、解答题(本大题共7 个小题，共 69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)2

9、 0 .整式的值为P.(1)当机=2时，求 P 值；(2)若 P的取值范围如图所示，求加的负整数值.2 1 .某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为 1 0 分，成绩高者被录用.图1 是甲、乙测试成绩的条形统计图.分数二甲匚二1乙图1图2（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图 2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果.2 2 .发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.验证：如，（

10、2 +1+（2-1=1 0 为偶数，请 把 1 0 的一半表示为两个正整数的平方和.探 究：设“发现”中的两个已知正整数为机，n,请论证“发现”中的结论正确.2 3 .如图，点 P（a,3）在抛物线C y =4 （6 x）2 上，且在C 的对称轴右侧.（1）写出C 的对称轴和y的最大值，并求的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及 C 一段，分别记为，C.平移该胶片,使C所在抛物线对应的函数恰为y =-x2+6x-9.求点尸 移动的最短路程.2 4 .如图，某水渠的横断面是以A 8 为直径的半圆O,其 中 水 面 截 线 嘉 琪 在 A 处测得垂直站立于8 处的爸爸头顶C

11、的仰角为1 4。，点 M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7,.（1）求/c的大小及AB的长；（2）请在图中画出线段O H,用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：tan760取4,比7取4.1）2 5.如图，平面直角坐标系中，线段A 8的端点为A（8,19）,3（6,5）.（1）求AB所在直线的解析式；（2）某同学设计了一个动画：在函数 =/+（根H0,y 2 0）中，分别输入m和 值，使得到射线C D,其中C（c,0）.当c=2时，会 从C处弹出一个光点P,并 沿 飞 行；当c/2时:只发出射线而无光点弹出.若有光点P弹出，试推算?，应

12、满足的数量关系；当有光点尸弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数?的个数.2 6.如图，四边形 ABC。中，KD BC,N4BC=90。，Z C=30,AO=3,AB=2#）,0 H _L8C 于点，.将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使 点P与A重合，点8在P例上，其 中/。=90。,N Q P M=3 0,P M =4 6.（1）求证：P Q M Q X C H D：（2）P Q M从 图1的位置出发，先沿着B C方向向右平移（图2）,当点P到达点。后立刻绕点。逆时针旋 转（图3）,当边P M旋转50。时停止.边P Q从平移开始，到绕点。旋转

13、结束，求边P Q扫过的面积；如图2,点K在上，且8 K =9-4 6.若 右 移 的 速 度 为 每 秒1个单位长，绕点。旋转的速度为每秒5。，求点K在 PQ M区 域（含边界）内的时长；如图3.在 PQ M旋转过程中，设P。，分别交B C于点E,F,若 B E=d,直接写出C F的 长（用含d的式子表示）.参考答案一、选择题（本大题共16个小题.110小题每题3 分，1116小题每题2 分，共 42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算得/，则“？”是（）A.O B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】运用同底数基相除，底数不变，指数相减，计算即可.【详解】

14、a a =a3-l=a2,则“？”是2,故选：C.【点睛】本题考查同底数累的除法；注意优;优=一.2.如图，将A 8 C折叠，使A C边落在A 8边上，展开后得到折痕/，贝U /是a A B C的（）BA.中线 B.中位线 C.高线【答案】D【解析】【分析】根据折叠的性质可得N C4 O=ZR4。，作出选择即可.【详解】解：如图，D.角平分线 由折叠的性质可知Z CAD Z B AD,.A O是 N 8 A C 的角平分线，故选：D.【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键.3.与 3,相 等 的 是（）2A.-3-B.3-C.-3+-D.3+-2 2 2

15、 2【答案】A【解析】1 7【分析】根据-3 1=-彳，分别求出各选项的值，作出选择即可.2 21 7详解】A、-3 =一一，故此选项符合题意；2 2B、3-=:，故此选项不符合题意；2 2C、-3+-=-,故此选项不符合题意；2 21 7D、3+；=：,故此选项不符合题意；2 2故选：A.【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键.4.下列正确的是（）A.V 4 +9=2 +3 B.7 4 9 =2x 3 C.屈=5 D.7 4 9=0.7【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质判断即可.【详解】解：A.V4+9=V i3 2 +3.故错误；B

16、.庆0=2 x 3,故正确；C/=后彳后，故错误；D.7 4 9 0.7 1故错误；故 选:B.【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键.5.如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设AABC与四边形8 8 E的外角和的度数分别为a,4，则正确的是（）A.6U/?=0 B.cc-/3 0 D.无法比较a与 夕 的大小【答案】A【解析】【分析】多边形的外角和为360,“BC与四边形BCDE的外角和均为3 6 0 ,作出选择即可.【详解】解：；多边形的外角和为360,.ABC与四边形5CDE的外角和a与方均为360，a-（5=0,故选：A.【点睛】本题考查多边形的外角和定理，

17、注意多边形的外角和为360。是解答本题的关键.6.某正方形广场的边长为4 x l（）2m，其面积用科学记数法表示为（）A.4xl04m2 B.16xl04m2 C.1.6xl05m2 D.1.6xl04m2【答案】C【解析】【分析】先算出面积，然后利用科学记数法表示出来即可.【详解】解:面积为：4xl02x4xl02=16xl04=1.6xl05（m2）.故选：C.【点睛】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键.7.是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）【答案】D【解析】【分析】观察图形可知，的小正方体的个

18、数分别为4,3,3,2,其中组合不能构成长方体,组合符合题意【详解】解：观察图形可知，的小正方体的个数分别为4,3,3,2,其中组合不能构成长方体，组合符合题意故选D【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键.8.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故 A 错误：一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故 B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故 C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故 D 正确：故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平

19、行四边形的判定及性质是解题的关键.9.若 x 和 y 互为倒数，则 尤+的 值 是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先将 丫 +，（2丁一工 化简，再利用互为倒数，相乘为1,算出结果，即可yxjx+-1、(2 y-yx)c 11c 1=2xy-x-1-2y-【详解】=2孙-1 +2-孙C 1 I=2xy-1-1孙和y互为倒数:.xy=1c 1 ,2xy-1-1x y=2-1+1=2故选：B【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为11 0.某 款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,PA,P B分 别 与 所 在 圆 相 切 于 点A,B.若该圆半径是9 cm,ZP=4

20、0,正面则AMB的 长 是（）图1图2A.1 1-cmB.1 17 1 cm2C.ITT cm7D.-TTcm2【答案】A【解析】【分析】如图,根据切线的性质可得N Q 4O =N P 3O =9（）。，根据四边形内角和可得N A O B的角度，进而可得AMB所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解.M图2 PA,P B分别与AMB所在圆相切于点A，B.:.ZPAOZPBO=90,ZP=40,ZAOB=36 0-9 0 9 0。一 40 =1 40。，该圆半径是9 cm,A M B=360_140乃x 9 =万。皿,1 8 0故选：A.【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题

21、的关键.1 1.要得知作业纸上两相交直线A B,C D所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如 图1和图2）：对于方案1、I I,说法正确的是（）方 案I作一直线GH,XAB,CD于点E,尸;利用尺规作Z HFN=Z CFG;测量N4叩的大小即可.方案口作一直线G 8,交 4B,8 于点E,尸；测量和Z CFG的大小；计算180-Z AEH-Z CFG即可.A.I可行、I I不可行 B.I不可行、I I可行 C.I、I I都可行 D.I、I I都不可行【答案】C【解析】【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案I和I I的结果是否等于夹角，即可判断

22、正误【详解】方 案1：如下图，N 6叨 即 为 所要测量的角,/4 HEN=NCFG/.MN/PD/.ZAEM=4 BPD故方案I可行方案n：如下图，/BP。即为所要测量的角在.EPF 中：ZBPD+ZPEF+NPFE=180则：ZBPD=180-ZAEH-ZCFG故方案n可行故选：c【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明1 2.某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天.若加个人共同完成需天，选取6组数对（，,“），在坐标系中进行描点，则正确的是（）【答案】C【解析】12【分析】根据题意建立函数模型可得，加=1 2,即

23、=一,符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解.【详解】解：依题意，mn=1m n-12,n=一,机,w 0且为整数.m故选C.【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键.1 3.平面内，将长分别为1,5,1,1,4的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）5A.1 B.2 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】如 图（见解析），设 这 个 凸 五 边 形 为 连 接A C,CE,并设A C=a,CE =Z?,先在A BC和中，根据三角形的三边关系定理可得46,Qb2,从而可得4。+人 8,2a-h6,再在AACE中，根据三角形的三边关系定理

24、可得。一人 d a+h,从而可得2 d 8,由此即可得出答案.【详解】解：如图，设这个凸五边形为Z 1BCDE,连接A C,C,并设A C=a,CE =8,在A 8 C中，5 1。1+5,即4 a 6,在C。石中，1一1（人 1+1,即0。2,所以4 a+Z?8,2a-b6在AACE中，a-bda+b所以2 d 2,乙答：4=1.6,丙答：d=6,则正确的是（）MA.只有甲答的对C.甲、乙答案合在一起才完整【答案】BB.甲、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整【解析】【分析】过点C作 C 4 _ L 3 M 于 A ,在 A M 上取A A =8 4，发现若有两个三角形，两三角形的A

25、C边关于AC对称，分情况分析即可【详解】过点C作 CA _ L 于 A,在A M上取=BAV Z B=4 5,BC=2,C A B M/.V B 4 C 是等腰直角三角形AC=BA=y2V2,/AA=B A；A C=，AA2+C42=2若对于d 的一个数值，只能作出唯一一个aABC通过观察得知：点A 在 4 点时，只能作出唯一一个ABC（点 A 在对称轴上），此时=a,即丙的答案；点 A 在 射 线 上 时，只能作出唯一一个ABC（关于A C 对称的AC不存在），此时d N 2,即甲的答案，点 A在 B A 线 段（不包括A 点和A点）上时，有两个ABC（二者的AC边关于A C 对称）；故选：

26、B【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于 A C 对称二、填空题（本大题共3 个小题，每小题3 分，共 9 分.其 中 18小题第一空2 分，第二空1分；19小题每空1分）17.如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签，她 从 18 号中随机抽取一签，则抽到6 号赛道的概率是一【答案】|O【解析】【分析】直接根据概率公式计算，即可求解.【详解】解：根据题意得：抽到6 号赛道的概率是8故答案为：-8【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件4 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数：P（必然事件

27、）=1;P（不可能事件）=0是解题的关键.18.如图是钉板示意图，每相邻4 个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点4,8 的连线与钉点C,。的连线交于点,则（1）AB与 C。是否垂直？（填“是或 否）；（2）A E=cEB D【答案】.是 .逑#2不5 5【解析】【分析】(1)证明4ACG名 CF。，推出NC4G=NF C,证明NCE 4=90。，即可得到结论；(2)利用勾股定理求得AB的长，证明 AE CszX BE。，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.【详解】解：(1)如图：AC=CF=2,CG=DF=1,ZACG=ZCFD=90,：.A A C G q ACFD,：Z C A

28、G=4 F C D,ZACE+ZFCD=90,NACE+NCAG=90。，/.Z CE A=90,A 8与CD是垂直的，故答案为：是；(2)AB=V 22+42=2N/5，:A C H B D、：.AAECs/XBED,.AC AE H2 AEBD BE 3 BE-E_ 2 一 ,BE 5“2 4石.AE=BE-.5 5故答案为：生叵.5【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.1 9.如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.（1）甲盒中都是黑子，共 1 0 个，乙盒中都是白子，共 8 个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒

29、棋子总数是甲盒所剩棋子数的2 倍，则。=_ _ _ _ _ _；（2）设甲盒中都是黑子，共，（根 2）个，乙盒中都是白子，共 2 根个，嘉嘉从甲盒拿出。（1。加）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多_ _ _ _ _ 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回。个棋子放到甲盒，其中含有x（O x a）个白子，此时乙盒中有y 个黑子，则上 值为_ _ _ _ _ _.x【答案】.4 .m+2a.1【解析】【分析】用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可用列表的方式，分别写出甲乙每次变化

30、后的数量，算出移动的a 个棋子中有x 个白子，（“-X）个黑子,再根据要求算出乃 即可【详解】答题空1：依题意：8 +a =2 x（1 0 a）原甲：1 0原乙：8现 甲:1 0-4现乙：8+a解得：a =4故答案为：4答题空2：原甲：机原乙：2m现 甲 1 ：tn-a现 乙 1：2m+a第一次变化后，乙比甲多：2机+4-（/71-。）=2 m+a-m +a=m +2a故答案为：777+2。答题空3:则：y=a-(a-x)=a a+x=x原甲：根黑原乙：2 m白现 甲 1：根黑-4黑现 乙 1:2 m白+a 黑现甲2：加黑-黑混合现乙2：2 m白+黑 混 合第二次变化，变化的个棋子q 口有X

31、个白子，（a-X）个黑子X X故答案为：1【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法三、解答题（本大题共7 个小题，共 69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.整式3（；一机）的值为P.0 1 7（1）当 m=2 时，求 P 的值；（2）若产的取值范围如图所示，求巾的负整数值.【答案】（1）5（2）-2,-1【解析】【分析】Q）将，=2 代入代数式求解即可，（2）根据题意P 4 7,根据不等式，然后求不等式的负整数解.【小 问 1 详解】=-5 ；【小问2 详解】P=3 m13由数轴可知PW 7,解得m 2,二？的负整数值为【点睛】本题考查了代数式求

32、值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键.21.某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成 绩 高 者 被 录 用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图.匚 二 甲匚二！乙经验 项目学历 等零（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会 改 变（1）的录用结果.【答案】（1）甲（2）乙【解析】【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可；（2）根 据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可.【小 问1详解

33、】解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；乙三项成绩之和为：8+9+5=22；录取规则是分高者录取，所以会录用甲.【小 问2详解】“学历”所占比例为:3600 3“经 验”所占比例为：-36 0 0 6 ”能 力”、“学 历”、甲三项成绩加权平均为:乙三项成绩加权平均为:所以会录用乙.“经 验”比 为3：2：1；3 x 9+2 x 5+1 x 9 23-6 -T；3x 8+2x 9+l x 5 47-6-6【点 睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键.22.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个 正 整 数

34、的 平 方 和.验 证：如，(2+1/+(2-1)2=1 0为偶数，请 把1 0的一半表示为两个正整数的平方和.探 究：设“发 现”中的两个已知正整数为机，n,请 论 证“发 现”中的结论正确.【答 案】验 证：22+12=5：论证见解析【解 析】【分 析】通 过 观 察 分 析 验 证1 0的 一 半 为5,22+12=5;将，和代入发现中验证即可证明.【详 解】证 明：验 证：1 0的一 半 为5,22+12=5：设“发 现”中的两个已知正整数为?，n,=2(M ,其中 2(加2 +2)为偶数，且其 一 半m2+n2正 好 是 两 个 正 整 数 相 和”的平方和，二“发 现”中的结论正确

35、.【点 睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键.23 .如图，点P(a,3)在 抛 物 线C：y =4 (6-力2上，且 在C的对称轴右侧.(1)写 出C的对称轴和y的最大值，并 求“的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并 在 胶 片上描画出点尸及C的一段，分 别 记 为P ,C.平移该胶片，使C所在抛物线对应的函数恰为y =-/+6 x-9.求 点P 移动的最短路程.【答 案】(1)对 称 轴 为 直 线x =6,y的 最 大 值 为4,a=7(2)5【解析】【分析 1(1)由y=a(x-y+Z的性质得开口方向，对称轴和最值，把P(a,3)代入y=4(6-力2中即可得

36、出a的值；(2)由 y=-x?+6尤 一9=-(x-3)2,得出抛物线 y=-Y+6 x-9 是由抛物线 C：y=(x-6 y+4 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点尸 移动的最短路程.【小 问1详解】y=4-(6-%)=-(X-6)2+4,对称轴为直线x=6，V-l G M 算出。G,利用四O G T 算出G T,最后利用算出s in/G a T,发现sinNG”T=,从而得到28,8 度数，求出旋转角，最后用旋转角2角度计算所用时间即可；分两种情况：当旋转角/3.CH=6 D H =6ZDHC=NQ=90J ZC =NQPM=30CD=PM=473 C HD /P Q M

37、（AAS）；【小问2 详解】过点Q作 Q S_LAM 于 S由(1)得：A Q =C H =6在 RfaAQS 中，Z Q A S=30AS=与A Q=3 6平移扫过面积：工=ADAS=3 x 3 g =9 65 0 5 0旋转扫过面积：S2=-7C-P Q2=-TT-62=5TT2 3600 360故边PQ扫过的面积：S=E+S 2=9G+5 4运动分两个阶段：平移和旋转平移阶段：K H =B H-B K =3-(9-4 5 =4 6-6=(4A/3-6)Sv旋转阶段：由线段长度得：P M =2 D M取刚开始旋转状态，以尸M为直径作圆，则”为圆心，延长。K与圆相交于点G,连接GH,G M,

38、过点G作 GT _L于 T设NKE归=夕，则NG”M=28在汝 O K/7中：K/=B _B K =3-（9-4 相=4 6 _ 6 =2氐（2一道）DK=yjDH2+KH2=J（2 2+百一 6）2=4 g x,2-6设f=j 2-5 则K”=2百 尸，0K =4 4，DH=26tan =Z2,sin6=W=，cos，DH DK 2DH 1DK 2t为直径ZDGM 90在 必DGM 中：DG=DM cos=4V3x =2t t在/DGT中：GT=DG sin0=x i =V3t 2在中：sin28=0 里 一,GH 2x/3 2：.20=30,8=15尸。转过的角度：30-15=1515 c

39、6=-=3s2 5总时间：r=4+f2=4 6 6+3=（4 6 3）s设 CF=m,则 EF=BC-BE-CF=9-d-m,CE=9-d,当旋转角E在。”的左侧，如图：V ZEDF=30,ZC=30,：.ZEDF=ZC,又，：2DEF=NCED,:ADEF ACED,-D-E=-E-F-,即an-D-E-=-9-d-m-CE DE 9-d DEr.DE2=（9-J）2-W（9-DHL B C于点H.将 P Q M 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与 A重合，点 2在 PM上，其中N Q=9 0。,NQPM=30,P M =45/3 .（1）求证：W Q M m ACHD；（2）尸Q

40、M从 图 1 的位置出发，先沿着B C方向向右平移（图 2）,当点尸到达点。后立刻绕点。逆时针旋 转（图 3）,当边PM旋转5 0。时停止.边尸Q从平移开始，到绕点。旋转结束，求边PQ扫过的面积;如图2,点 K 在 BH上，且 8 K=9-46.若 PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点。旋转的速度为每秒5。，求点K 在 PQW区 域（含边界）内的时长；如图3.在 PQM旋转过程中，设 P。，PM分别交BC于点E,F,若 B E=d,直接写出CF 的 长（用含”的式子表示）.【答案】（1）见详解 9 6 +5 万；（4 百-3）s：CF =60一 ”9-d【解析】【分析】（1）先 证 明 四

41、边 形 是 矩 形，再根据府D HC 算出C。长度，即可证明；（2）平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；运动分两个阶段：平移阶段：r=；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以尸M 为直径作圆，为圆v心，延长OK与圆相交于点G,连接GH,G M,过点G 作 G T，）A/于 T；谡4 KDH=B,利用&O K77算出ta n 6，sin。，cos。，利用R rA D G M 算出Q G,利用心/XO G T算出G 7,最后利用R tA H G T 算出sin N G H T,发现s in/G T =，从而得到2 8,。度数，求出旋转角，最后用旋转角2角度计算所用时间即

42、可；分两种情况：当旋转角 30时，OE 在。H的左侧，当旋转角3 0 时，OE 在 QH上或右侧，证明 D E FAC E D,结合勾股定理，可得。6 2=（2 6 了+（3-1）2 =（9 4）2-根（9 一），即可得c尸与的关系.【小 问 1详解】V A D/B C,D H L B CD H L A D则在四边形ABH。中ZABH=ZBHD=ZHDA=90故 四 边 形 为 矩 形DH=AB=2。BH=AD=3在 R tAD H C 中,Z C =30:.C D =2 DH=4 5 CH=yfiD H =6NDHC=NQ=90 IZC =ZQPM=30CD=PM=4 64 c H D A

43、P Q M(A A S)；【小问2详解】过点Q作。SJ_AM于S由(1)得：A Q -C H -6在 RfZSAQS 中，NQ4S=30，AS=AQ =3百平移扫过面积：S、=A D.A S =3x30S5 0 5 0旋转扫过面积：S2=-7r P Q2-62=5-2 3600 360故边PQ扫过的面积：S=S,+S2=973+5-运动分两个阶段：平移和旋转平移阶段：K4=8 -BK=3-(9-4 折=4 百-6A =(4A/3 6)sv旋转阶段：由线段长度得：P M =2 D M取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则“为圆心，延长。K与圆相交于点G,连接G”，G M,过点G作 G T LZ

44、M/于 TD(P)G设乙KDH=e,则 NG”M=28在 RtADKH 中:K”=8”-6K=3-(9-4拘=4 6-6=2辰(2-拘DK=yjDH2+KH2=7(2V3)2+(4V 3-6)2=4指 X 1 2-6设f=,2-耳则 K”=2 G/，0K=4 ,DH=2出tan=W=/，sin6=W=，cos6=DH DK 2DH 1DK2t为直径ZDGM=90在 刘 GM 中：DG=DM cosB=4 6 J=2t t在/OGT中：GT=D GSEB=卤 J=6t 2h i在RfAHGT 中:sin26=一,一 一GH 2 G 2.26=30,8=15P。转过的角度：30-15=1515 c

45、=-=JS2 5总时间：t=tx+t2=4 g 6+3=(4W 3)s设 CF=m,贝ij EF=BC-BE-CF=9-d-m,CE=9-d,当旋转角30时，QE在。”的左侧，如图：；/尸=30,NC=30,：.ZEDF=ZC,又；NDEF=NCED,：ADEF ACED，：.DE=EF，n即r,-D-E-=-9-d-m-CE DE 9-d DE：.DE2=(9-J)2-/?J(9-J),:在 ADHE 中,0 2 =“2+E”2=(2百+(3 d)2,(9-1 J -加(9-d)=(2?+(3-d J ,CF-m-60 1249 d当旋转角2 3 0 时.，DE在。上或右侧，如图：C F=m,则 E尸=BC-BE-CF=9-d-?，C E=9-d,同理:可得。/二加二60-12d9 d综上所述:CF=6012。9-d【点睛】本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注 意 第（2）问第小题以PM为直径作圆算出s in 2 是难点，第（2）问第小题用到相似三角形的判定和性质.