2023年吉林省高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf

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1、2023年吉林省高考文科数学压轴题总复习，y 2 J1.已知椭圆氏 君+言=1 (490)的离心率为5,8 1 是椭圆的上顶点，以B i 及左、右焦点为，尸 2为顶点的三角形面积为旧.(1)求椭圆E的方程：(2)直线/与椭圆交于4 8两点，线 段 的 中 点 为 M(1,-1),求直线/的方程.第 1 页 共 1 0 2 页2.已知函数/(x)=a x lnx+k在(e,e)处的切线方程为2x-y -e=0.(1)求函数/(x)的解析式；(I I )当 0 V 加V义时，若函数G (x)=的 3 个极值点分别为x i，工 2，X 3(X 1 X 2 X 3)，求证：0 V 2x i X 2 1

2、 -%2-4.第 3 页 共 1 0 2 页4.已知函数f(x)=罂(。0).(1)当a=l时，证明：f(x)4号；(2)判断了(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由.第4页 共102页5.已知椭圆C：盘+，=l(a b 0)的左、右焦点分别为Q,乃，点尸在C上，但不在x轴上，当点尸在C上运动时，尸为尸2的周长为定值6,且当尸 尸|_ 1 _ 尸 1 22时，P F 1 =2-(1)求 C的方程.(2)若斜率为k(4*0)的直线/交C于点M,N,C的左顶点为X,且%M，kA N成等差数列，证明：直线/过定点.第5页 共102页2 2X v6.已知点P为抛物线f=4y的焦点，过 F且与x轴平

3、行的直线被椭圆r：/+力=14/6 1 6 0）所截得的线段长为一二，椭圆的离心率6=亍3 乙（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点4 （点Z在第一象限）作切线/,交椭圆于 8,C两点，/与x轴的交点为。，8C的中点为E,8。的垂直平分线交1轴于点K,记K E D,力。的面积分别为S 1,S 2,其中。为坐标原点，吟=工，求点/的坐标.第 6 页 共 1 0 2 页7.已知无穷数列 斯 的首项为a i，其前八项和为S“且斯+1-a”=d (6 N*),其中d 为常数且dW O.(1)设。i=d=l,求数列 金 的通项公式，并求m(l-;)的值；n-o o Un(2)设 d=2,Si=-7

4、,是否存在正整数上使得数列 中 的 项 或 成 立？若存在，求出满足条件人的所有值，若不存在，请说明理由；(3)求证：数列,中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数，且 加 分-1,使得第 7 页 共 1 0 2 页8.给定数列 尸“,若一阳,N*,且加W，PM+E,是数列 P”的项,则称数列伊”为“C数列”.记 数 列 斯 的前项和为S”且V C N,都有S尸幽押.（1）求证：数列 斯 为等差数列；（2）若数列 ”为“C数列，a i=3,a2GN 且。2 3,求。2所有的可能值；（3）若S2也是数列 而 的项，求证：数列 斯 为“C数列”.第 8 页 共 1 0 2 页19.

5、已知函数/(%)=x2-2 a x -In-.a ER.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(X)有两个极值点X|,X 2(X 1 求/(X 2)-2/(XI )的最大值.第9页 共102页1 0.已知函数/(x)=x4+1 r3-e x2-mx+lnx.(I )当=c=l,6=0时，f(x)在定义域上单调递增，求 m的取值范围；(I I )当 a=c=0,6=1时，f(x)存在两个极值点Xi，X2 求证：X I+%22.第 1 0 页 共 102页1 1.如图，已知抛物线C：y2=2x,过点（2,0）的直线/交抛物线C 于 4,3 两点，点P 是直线x=-可 上的动点，且尸。交 Z 8 于

6、点。（其中。为坐标原点）.n（1）若 直 线 的 倾 斜 角 为 力 求点P 到直线48 的距离；（2）求NS尸面积的最小值及取得最小值时直线/的方程.第1 1页 共1 0 2页y21 2.已知椭圆E：潦+金=1 (a b 0)的离心率为e,点(1,e)在椭圆E上，A (a,0),3B(0,b),三角形0/3 的面积为5.(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线/交椭圆E于 M,N 两点，若直线O M 的斜率为心，直线O N 的斜率为2,且ki k2=-1,证明三角形O W N 的面积是定值，并求此定值.第1 2页 共102页1 3.对于项数为z (?2 3,的有限数列%1 ,记该数列前i 项。1

7、，。2，/中的最大项为为G=l,2,加)，记沏=m o x a i,。2，所，该数列后z -z项。汁 1，。汁 2,，所 中的最小项M(i=L 2,，m -)9记芹=加的 防+i,a 汁 2,，而,di=x i-y t(z=1,2,3,，m-1).(1)对于共有四项的数列：3,4,7,1,求出相应的力、心、由；(2)设 c 为常数，且。吐r 机 M+1=C (4=1,2,3,加)，求证：X k=a k(%=1,2,3,，w)；(3)设实数入 0,数列 a“满足a i =l,%=4 即_ 1 +耳(=2,3,，加)，若数列 如对应的小满足4+i 4 对任意的正整数i=l,2,3,，加-2 恒成立

8、，求实数入的取值范围.第 1 3 页 共 102页1 4.若有穷数列 x ：x i、1 2、X”满 足 芍 汁 3 x/0 （这 里 八 WN*,2 3,14W”-1,常数00）,则称有穷数列 曲 具有性质尸（/）.1Y!_ 1（I）已知有穷数列 X 具有性质P（f）（常数/1）,且归2 -x“+|x 3 -X2|+|x”-初一归 2 ,试求t的值；（2）设 0+1=2|&+什2|-|巾-2|（R G N*,2 3,常数 02）,判断有穷数列 所 是否具有性质P（L 2）,并说明理由：（3）若有穷数列U ：、”、则具有性质尸（1），其各项的和为2 0 0 0,将巾、”、加中的最大值记为4当 4

9、 6 N*时，求/+的最小值.第1 4页 共102页-11 5.已知函数f(x)=)工+讶好+a x,ae R.(I )求函数/(x)的单调区间；(I I )当a 4-竽 时，设/(x)的极大值点为x i，极小值点为由，求/(x i)-/(X2)的取值范围.第1 5页 共1 0 2页1 6.已知函数f(x)=x2-+萼，6 6 R).(1)若 a b 0,证明/(a)/(/)；(2)若对任意x 6 (0,+8),b&(-e,0),都有/(x)-e,求实数a的取值范围.第 1 6 页 共 102页1 7.椭圆C：荔+台=1 （a b 0）的左、右焦点分别为R,F i,F1A=2 F2A,椭圆的上

10、顶点为 8,|J S|=V 1 0,e=芋.（I）求椭圆C的方程；（n）若过点力的直线/与椭圆相交于M N两点，盛 前=春 求直线/的方程.第1 7页 共102页/y21 8.已知椭圆：/+记=1（a b 0）的右焦点坐标为（2,0）,且长轴长为短轴长的近倍，直线/交椭圆于不同的两点M 和 M（1）求椭圆的方程；（2）若直线/经过点尸（0,4）,且 O M N 的面积为2 近，求直线/的方程；（3）若直线/的方程为y=A x+f （4 片0）,点 M 关于x轴的对称点为，直线MN,MN 分别与x轴相交于P、。两点，求证：|。尸 卜|。0|为定值.第 1 8 页 共 102页1 9.已知数列 斯

11、 为等差数列，公差为力 前项和为S”.（1）若。1=0,d=2,求 S o o 的值;（2）若 幻=-1,斯 中恰有6项在区间弓，8）内，求”的取值范围;（3）若“1=1,$2=3,集合4 =斯|7 1 e N*,问能否在集合力中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 瓦,使得此新数列 与 满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.（注：数 受a+b叫作数a和数分的调和平均数）.第1 9页 共102页一 12 0.已知数列 斯 的前项和为S ，且5 s=2 -l.(1)求数列“”的通项公式；(2)设函数/(x)=(1)数列 为 满足

12、条件=/(-1),/(儿+1)=人 二_3).求数列 d 的通项公式；设 C n=供，求数列 C n 的前n项 和T.第2 0页 共1 0 2页12 1.已知函数f(x)=2 a f-x/“x+x+6 在(1,/(I)处的切线经过点(1 2).(I )若函数/(e)a+2 恒成立，求 a的取值范围；(I I )若函数/(X)的两个极值点分别是X I,X 2,求证：-+-2.第2 1页 共102页2 2.已知函数/(x)xe-2ax+2,g(x)alnx+2.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在x=0处的切线方程；(2)设力(x)=/(x)-g(x),若/z(x)在(0,+8)上有2个零点，求

13、实数。的取值范围.第2 2页 共1 0 2页2 3.已知为、尸 2分别为椭圆r：1+/=1 的左、右焦点，M 为 上的一点.(1)若点A/的坐标为(1,/n)(m 0),求的面积：(2)若点A/的坐标为(0,1 ),且直线耳*e R)与 交于两不同点4、8,求证:而 诂为定值，并求出该定值；(3)如图，设点用的坐标为(s,f),过坐标原点。作圆M：(%-5)2+Cy-/)2=d(其中 r 为定值，0厂 1,且|s|#r)的两条切线，分别交于点尸、Q,直线OP、O 0 的斜率分别记为依、依，如果法2为定值，试问：是否存在锐角a使得2|OP|Q 0 =5 sec。？若存在，试求出。的一个值；若不存

14、在，请说明理由.第2 3页 共102页2 4.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为2(7 2-1),且椭圆的离心率为当.(1)求椭圆C 的方程；(2)过 点(1,0)作直线/交C 于 P、。两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点使 诂 丽 为 定 值？若存在，求出这个定点”的坐标；若不存在，请说明理由.第2 4页 共102页2 5.已知 a,加,前项和分别记为S ,Tn.(1)若 ,篇 都是等差数列，且满足=Tt l=4Sn,求 S 30；(2)若 斯 是等比数列，d 是等差数列，b n-an=2 n,a i =l,求为0(3)数列 斯

15、,瓦 都是等比数列，且满足W3 时,bn-an=2 n,若符合条件的数列 的唯一，则在数列 念、氏 中是否存在相等的项，即 以=加(亿/C N*),若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由.第2 5页 共102页2 6.已知定义在R上的二次函数/(x)满足：/(X)-+b x+c,且/(x)=/(1 -x).对于数列。,若 a i=O,a n+f (a n)(n N*)(1)求数列 a”是单调递减数列的充要条件；(2)求c的取值范围，使数列 a,是单调递增数列.第2 6页 共102页27.已知函数(x)=x3-x2+a.(I )若a=2x,求曲线y=/(x)的斜率为2的切线方程；(I

16、 I )若F(x)=|/(x)|在-3,3上的最大值不超过20,求a的取值范围.第2 7页 共102页2 8.已知函数/(、)=ea xco sx+a.(I )当a=l时，讨论函数/G)的单调性；(I I )设若Vx O,5，恒有a (/(x)-a)b x+f(x)成立，求 b的取值范围(注：(*)=。/).第 2 8 页 共 102页Y2 V2 V32 9.已知圆C；方=l（a b 0）的离心率为三，且经过点（0,1）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线夕=fcr+/n与椭圆C 交于4,8 两点.求|明（用实数左，机表示）；。为坐标原点，若O 4 O B=0,且 暗=彳，求0/8 的面积.I

17、C/11 乙第2 9页 共102页3 0.已知点4(1,烟 是椭圆C：联+:=l(a b 0)上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线炉=1的离心率互为倒数，斜率为四直线/交椭圆C 于 8,。两点，且，B,D 三点互不重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)若1，上分别为直线 8,4的斜率，求证：h+依为定值.第3 0页 共102页3 1.设数列 斯 的前项和S=2,e N*.(1)求数列 a“的通项公式；1 1 1 1 1(2)若存在 6 N*,使不等式-+-+-+-(7 2+2a 3 a 2a 3a 4 a 3a 4 a 5 anan+lan+2 4 /入成立，求实数人的最大值.第 3 1页 共 1

18、 0 2 页3 2.已知数列 ,与 加 均为正项数列，前项和分别为S,和刀“且对任意 6N*,a+i-4=2(b n+b n)恒成 AL.(1)若 4S=(即+1)2,b =2 a 9 求；(2)若 U n=T nf b =2.求能使即+2,b m，5-?成等比数列的所有正整数对(加,)；设 Cn=(2-/则是否存奇数厂与偶数，使 2ci，Cr，Ct成等差数列？若存在，求出,与/的值；若不存在，请说明理由.第 3 2 页 共 1 0 2 页3 3.已知函数/(x)=x3-klnx(kER).(I)求函数/(x)的最值；(II)若 g(x)=sinr-klnx(x 0),求方程 f (x)=g(

19、x)的根的个数.第3 3页 共1 0 2页3 4.已知l a W 2,函数/(x)=/-x-a,其中e=2.7 1 8 28 为自然对数的底数.(1 )证明：函数y=/(x)在(0,+8)上有唯一零点；(I I)记 x o 为函数y=/(x)在(0,+8)上的零点，证明:(i )x o b 0),经过点(1,W),且离心率为(I )求椭圆C的方程；(I I )若直线/过椭圆C的左焦点a交C于4,8两点，线段的中点为G,的中垂线与x轴、y轴分别交于。、两点，试问：是 否 存 在 直 线 使 得|6。|=同|。|(其中O是坐标原点)？若存在，求出 直 线 的 方 程；若不存在，请说明理由.第3 5

20、页 共102页X v3 6.已知椭圆C：益 一 言=l(a b 0),上下两个顶点分别为8 1，员，左右焦点分别为F ,乃，四边形8 1 尸 1 历尸2是边长为2位的正方形，过 P (0,n)(M 2)作直线/交椭圆于 D E,两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：四边形。6|历 对角线交点的纵坐标与。，E两点的位置无关.第3 6页 共102页3 7.已知数列 斯 的各项均为正数，其前项和为S,”满足20局=+4(C N*).(I)证明：数列 S#为等差数列；(I I)求满足劭的最小正整数第3 7页 共102页38.设 6 N,且“2 3.对1,2,的一个排列方2%，如果当st时,有

21、i si t,则称（i s，i t）是排列万2%的一个逆序，排列川2%的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,3的一个排列2 3 1,只有两个逆序（2,1）,（3,1）,则排列2 3 1的逆序数为2.记（k）为1,2,，的的所有排列中逆序数为的全部排列的个数.（1）求 力（2）的值；（2）判断力（2）与6+1 （2）的大小，并说明理由；（3）求 方（2）（4）的表达式（用”表示）.第3 8页 共102页3 9.已知/(x)=-，+a x-3,g(x)x lnx,x E(0,+)(I )若(-8,4,证明：y(x)w2 g(x)；(I D 证明:幽 工 x e e x第3 9页 共1 0

22、 2页4 0.设函数 f(x)=a x2-1 -Inx,其中 a G R.(1)若 a=0,求 过 点(0,-1)且与曲线y=/(x)相切的直线方程;(2)若函数/(x)有两个零点XI，X2,求 a的取值范围；求证：/(x i)4/(X2)0.第 4 0 页 共 102页41.已知椭圆E：的左、右焦点分别为尸1、/2,点。在直线加：x+y=4上且不在x轴上，直线P Q与椭圆E的交点分别为4、B,直线尸尸2与椭圆E的交点分别为。、D.3 5(1)设直线P/l、尸 尸2的斜率分别为无1、左2,求丁一丁的值；k2(2)问直线机上是否存在点尸，使得直线04 O B,0 C,0。的斜率如力，ko B,k

23、o c,ko D满足ko A+ko B+ko k o D=0?若存在，求出所有满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.第4 1页 共102页42.已知圆C：x 2+f=4,点尸为圆C上的动点，过点尸作x轴的垂线，垂足为0,设。为尸0的中点，且。的轨迹为曲线(1)求曲线E的方程；(2)不过原点的直线/与曲线E交于、N两点，已知。河，直线/,O N的斜率&i，k,心成等比数列，记以。M,O N为直径的圆的面积分别为S,S2,试探就Si+S是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.第4 2页 共102页43.数列 a 满足即=1,a234=*甯5”.（1）设勾an+lan，证明：数列 儿 是

24、等差数列;设.普 竽 求 数 列 加 的 前 项 和 为 即第4 3页 共102页24 4.已知数列 (a WO)满足2 (%+/+/+禺)黑=优(/?GN*).(1)求数列 斯 的通项公式;,1 1(2)求证：一+。21 5V 2一 b 0)的离心率为三V 3，F i，尸 2 分别为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，尸1 尸 尸 2 面积的最大值为百.(1)求椭圆C的方程；(2)过点/(4,0)作关于x轴对称的两条不同直线/i,/2 分别交椭圆于M (Xi,yi)与N(X2，y2)，且 X|#X2，证明直线仞V 过定点，并求出该定点坐标.第4 7页 共102页48.已知椭圆C；捻+*l

25、(a b 0)的左、右顶点分别为/和3,离 心 率 为 且 点 7(1,|)在椭圆上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点/(1,0)作一条斜率不为0 的直线交椭圆于P,。两点，连接ZP、BQ,直线 AP与 BQ 交于点、N,探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在,请说明理由.第4 8页 共102页4 9.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（/。/）的检测数据，结果统计如表：（1）从空气质量指数属于 0,50,（50,100 的天数中任取3 天，求这3 天中空气质量AQ I0,

26、50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272510至少有2 天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关0,9 x 100220,100 x 250,假设该企业所在地7 月与8 月每天空气质量为优、1480,250 x 6 0)的 离 心 率 为 8 1 是椭圆的上顶点，以B i 及左、右焦点尸1,乃为顶点的三角形面积为次.(I)求椭圆E的方程；(2)直线/与椭圆交于4B两 点,线段48的中点为v(1,-1),求直线/的方程.f _ _ 1.解

27、：(1).依 题 意 可 得 2 ,又修=必+。2,(S =2 .2 c b =V 3a =2 2 v2解 得 力=遍，故椭圆E的方程为：丁+-=1.l c =1(2)设 Z (x i，y i),B(X 2,丁 2)，由中点坐标公式可得X I+X2=2,y +y i=2,X i2 y12 x22 y?2 X i2%72 Vl2 y?2-+-=1,+=1,两式相减可得-+;=0,4 3 4 3 4 3整理可得刀 2./打+%23-4:*kA B=丫1一及34,2直线/的方程为：y-(-1)=J(x-1),即 3 x-4 y-7=0 为所求，2.已知函数/(x)=ax/x+k 在(e,e)处的切线

28、方程为2 x-y -e=0.(/)求函数/(x)的解析式；(I I)当 0 加 /时，若函数G G)=4|?史 的 3 个极值点分别为无m，X 3(xi 乙 八町X 2 X 3)，求证：0 V2 xi Vx2 Vl VX 3.解：(I )由 2 x-y -e=0,可得左切=2,f(x)=a x X -a lnx=a+a lnx9所以左切=/(e)=a+a lne=2 a,所以2 a=2,解得a=l,又 因 为(e,e)在曲线上，所以 e=e lne+k,解得 k=0,所以函数f(x)的解析式为：/(x)=x lnx.第5 1页 共102页f T T.r(、x(x-2 m)2 _ x(x-2 m

29、)2 _(x-2 m)2(11)G =-=赤=而 ,2 (%2 m)lnx-(x-2 m)2(x-2 m)(2 lnx ：(x-2 m)G(%)=(1)2 =(t o)2 令 h(x)=2 lnx (x -2 m)=2/z?x4-1,J I/x 2 x-2 mh(x)=-n-,xL所以/?(x)在(0,m)上单调递减，在(m,+8)上单调递增，所以 6(X)mi n=h(加)=2历?+1,因为函数G (%)有3个极值点，所以2/加+1V0,所以所以当0加V时，1h(m)2 lnt n+.+2 ln=1-/4 0,2h(1)=2 m-l 0,从而函数G (x)的3个极值点中，有一个为2机，有一个

30、小于川，有一个大于1,又 X 1 X 2 X 3,所以 0 X l 1 即 O Vxi V号，x 2 2 m x 3,故 0 2 xi X 2 l -%2-4.解：(1)函数/(x)=(x-1)0 2+2)/-2%的导数为/(x)=(4+2 x2)可得曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线斜率为=-2,切 点 为(0,-2),则曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程为y=-2 x-2；(2)证明：要证/(x)-S-4,即 证(x-1)(一+2)F 2 x-4,设 g (x)=(x-1)(+2)g (x)=x2(x+2)当 x -2 时，g1(x)0 g(x)递增；当 x -2

31、时，g1(x)-3,可得 G -1)(X2+2)/2 x-/-4 恒成立,则/(x)-x2-4.4.已知函数/(x)=黑(a0).(1)当 a=l 时，证明：/(x)W 宁；(2)判断/(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由.解：(1)函数/(x)的定义域是(0,+8),证明：当。=1时，/(x)=空，欲证/(x)2,_ _ Inx x1即证-，x+1 2即证 2lnx-x2+l 0.令 h(x)=2 历 x-f+l,7|11/_ 2 o _ _2(X1)(%+1)V iy h X)-2x,X X当x 变化时，h(x),h(x)变化情况如下表:X(0,1)1(1,+8)H(x)+0-h(x

32、)/极大值所以函数(x)的最大值为人(1)=0,故(x)W0.所以/(X)W%1；(2)函数/(x)在定义域内不是单调函数.理由如下：令 g(X)=-历 x+1,因 为 区(x)=-1-=-0.1且 g(/+l)=-/+1+1=(77-1)0,从而/(x)0,第5 3页 共1 0 2页所以函数/(X)在(0,?)上单调递增；当 xC Cm,+8)时，g(x)0,从而/(x)b 0)的左、右焦点分别为乃，尸 2，点尸在C 上，但不在x轴上，当点尸在C 上运动时，尸乃乃的周长为定值6,且当尸尸|，山2 2 时，仍%|=|.(1)求 C 的方程.(2)若 斜 率 为 的 直 线/交 C 于点/，N,

33、C 的左顶点为Z,且心M，一上，kA N成等差数列，证明：直线/过定点.=|伊=2 解：由题意知J么+幺=6，所 以。=1，X2 V2所以椭圆C的方程为二+T=1,4 3(2)证明：由题意知I,4(-2,0).设直线/：y=k x+m,与椭圆C 方程联立，整 理 得(3+4 乒)x2+Skmx+4m2-12=0.设 M(xi，y i),N(X 2，拄)，则-8km与+”2=帝 记4 m2-12 、】久 2 =韦 正 二t如M+A,/I N=赤y i +,中72=-+kx2+-m=2 忆 +(巾一2 幻X1+X2+4X1X2+2(X1+X2)+4m 2 k-k x 2,所以k=2 m,所以/：y

34、=2 m x+m=m(2 x+l),恒过点(一,0).x2 y26.已知点厂为抛物线/=4y的焦点，过/且 与 x 轴平行的直线被椭圆：君+金=1(b 0)所截得的线段长为丁，椭圆的离心率8=(1)求椭圆r的标准方程；(2)过抛物线上一点Z(点/在第一象限)作切线/,交椭圆于 8,C 两点，/与x 轴的交点为。，8 c 的中点为E,8 c 的垂直平分线交X轴于点K,记KE D,力。的面积分别为S i,S 2,其中。为坐标原点，.求点/的坐标.第5 4页 共102页解：(1)由抛物线的方程抛物线f=4 y 可得焦点F(0,1),过尸且与x 轴平行的直线被椭圆：2x2+刍y2=1(Q Q 0)所截

35、得的线段长为4一厂/6,aL bL 3所 以 点(一 ,1)在椭圆上，所以热？+记=匕 又因为椭圆的离心率6=今 而 e=,=4,而/二 户 城 ，由可得：。2=4,P =3,x2 y2所以椭圆的标准方程：了+5=1；4 32 2(2)设 1(x o,于)，(x o O),则 切 线/的 方 程 为 尸 尧-%,令y=0,则 XD=罢，则 52=y-,=772 2 2 4 16设 8(xi,y)9 C(如，yi联立可得:守一驾，整理可得：(3+/)，+乎-2=。，(*)内+如=x0昕3，%04-48RX2=可 豆 彳 y所以由空=看”张 一 等3424(3+42)，所以直线磔的方程房二T 一

36、和 一 遥 引即尸一枭+高两令金品那3 3X02 _ 9X03(4+X02)SL 引如|X 仙2 x 2 8(3+X0 2)X 的百-64(3+沏2)2，附、田 9 久()3(4+-2)16 9(4+32)18S2 6 4(3+XQ2)2 XQ3 4(3+阳)2)2 49,化简，整理可得(XO2-4)(8XO2+3 I)=0,所以xo=2(x o=-2 舍去)，当 xo=2 时，方 程(*)为 7x2-8 x-8=0,此时=(-8)2-4X7X(-8)0,满足题意，所以点/的 坐 标(2,1).7.已知无穷数列 a“的首项为m，其前 项和为S”且即+i-坂=d (N*),其中“为常数且dO.第

37、 5 5 页 共 102页(1)设 Q l=d=l,求数列。的通项公式，并求山(1 一;)的 值；n-oo dn(2)设 d=2,S 7=-7,是否存在正整数4 使得数列 中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值，若不存在，请说明理由；(3)求证：数列 斯 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数机且机-1,使得1=机”.解：(1)由得数列 的 是 以 1 为首项1 为公差的等差数列，故wGN /ini(1-)m(l-)1 ；n-*oo C L f i n 8 T l(2)因为 斯 是等差数列,Si=la 4=-7,解得Q 4=-l,又因为 d=2,所以 a i=-7,故 S

38、n=n2+-)n =n2-8n,所以S n=n3 8n2,w 6 N*,贝!j 左 S =k3 8/c2=k2(f c 8)V 2,当/=1,2,3,4,5,6,7,8 时，kS k 0 五 衲,不等式都不成立，所以满足条件的所有的人的值为1,2,3,4,5,6,7,8；(3)先证必要性：任取等差数列 斯 中不同的两项小，a t,(s N f),存在 k 使得 ct s+ci=a k,则 2 a i+(s+Z -2)d=Q i+(%-1)d,得 a i=(.k-s-f+1)d,故存在用使得?=左-s -什1,使得a i =?d,加6Z,再整加2-1：反证法证明：假设当d W。时，加2-1 不成

39、立，则m 3,所以k=7n+n+-y l,V G N*,且23,所以42-3=1或 3,所以42=4或 6.(3)S2也是数列 斯 的项,不妨设S2=a(A加 N*),即 2。1+3=内，V阳，E N*,且加W 有m+“=2。1+(m+n-2)d=2ai+d+(加+-3)da(?+-3)d=a(+m+n-3,:t+m+n-3 0,于是am+cin是数列 斯 的项，故数列 为“。数列”.9.已知函数/(汽)=x2-2ax-InK ER.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(X)有两个极值点XI，X2(X10,令y=2,-2ax+l,第 5 7 页 共 102页当=4 2-8 W 0,即一夜时，

40、y N 0,此吐/（x）在（0,+）上单调递增;当 a V-近 时，Z-Z ax+l：。有两个负根，此时f （x）在（0,+=）上单调递增；当。、泛时，2?-2 然+1=0 有两个正根，分别为x尸 纥 呼 之，X2=计 吁2此时/（X）在（0,X I）,（X 2,+8）上单调递增，在（X I,X 2）上单调递减.综上可得：aw 企 时，/（x）在（0,+8）上单调递增,-a-Q a2 2 a+J a2 2a 近 时，/(x)在(0,-),(-,在（ayJa222a+J a2 2）上单调递减.+8）上单调递增,(2)由(1)可得xi+x2=，x*X2=21 a a,2ax=2x+1,27X 2=

41、2X22+1.a V2 dV2,V2 V2.xiG(0,),X 2E(,+8),f (%2)(xi)=%22-2ax2+lnx2-2(x12 2ax+lnx)=-x22+2%/+/X 2-2/wxi+l=%22+2(2-)2+/X 2+2/-4-l=%22+2 n x22+1+2历2,i令t=乂 声,则,A,1 3g(/)=-，+五+引+1+2 2,g=i 1,3 _-2 t2+3 t-l _-(2 t-l)(t-l)1 一#十 五=2t2-=2f2，1当时，g，）；当 1 时，g 2.（I）解：易知函数/（X）的定义域为（0,+8）,第 5 8 页 共 102页由题意知函数f(x)=/d -

42、x2-mx+lnx,所以/(x)=x3-2 x -m-V 0(0,+)上恒成立，即m W x3-2x+在(0,+8)上恒成立，令函数 g (x)=x3-2x 4-(x 0),贝U g(x)=3/_ 2 _或=3x4*2-1=(3 x 2+3-1),所以当xl时，g (x)0,函数g G)在(1,+8)上单调递增;当 O V x V l 时，g (x)0),令/(x)=吴-?+i=0,得 m=r2+p设函数(x)=#+(x 。)，则人(x i)=h(刈)，且函数/?(x)在(,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减,不妨设 X|X 2，所以 O X 1V 1V X 2,令函数(x)=h(x)-

43、h(2-x),x G (0,1),则H 1=2-2%24X+4=2 Q 1)2K xl)2 3X2(2-X)2-(2xx2)2所以函数”(x)在(0,1)上单调递减,又“(1)=0,故，(x)/(1)=0 恒成立,则(x)h (2-x)对 x C (0,1)恒成立，因为 所以(X 1)h(2-x i),即力(X 2)h(2-x i),又X 2 1,2-网 1且函数(x)在(1,+8)上单调递增，所以 X 2 2-X 1，即 X l+X 2 2.11.如图，已知抛物线C：j?=2x,过点M(2,0)的直线/交抛物线C于 4,5两点，点P是直线x=-5 上的动点，且交于点。(其中。为坐标原点).(

44、1)若直线AB的倾斜角为f,求点尸到直线AB的距离；(2)求AABP面积的最小值及取得最小值时直线/的方程.第5 9页 共1 0 2页解：（1）因为直线4 8的倾斜角为f,且 过 点（2,0）,4所以直线AB的方程为y=x-2,又POUB,所以直线P O的方程为=-x,o 2 2因为P是直线x=量 上的动点，所以P（1-）,2 2所以P到直线AB的距离为d=匕 普3 =V 2 5（2）当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,此时|/8|=4,|P0|=*所以/B P的面积为S&ABP=x4x 1=竽：当直线/的斜率存在时，易得直线/的斜率不为0,可 设 直 线/的 方 程 为（x-2）（

45、2 0）,与抛物线的方程f=2 x联立，可得三v2-（4乒+2）X+4F=0,则/=（43+2）2-4庐 4乒=4+16必 0,设 力（x i，y i）,B（必”），2贝 X l+X 2 =4+”，X 1 X 2 =4,所以|Z8|=V l+fc2|xi-X2|=+42+冷）2 4%逐2V1+fc2*-2；,-V4+16/C2+忌）16=y/1 +k2-2,因为尸O _LN 8,所以直线尸。的方程为了=一因为是直线x=J2 上的动点，所以（一2|,藐2）,所以尸到直线/的距离公|母 一1一2kl 2.|1+43_ 可 IfclVl+fc21 1,-T 14+16-2|1+4/C2|2 1、W

46、16所以&=/*d=2 v i”5三加前=+后）丁第 60页 共 1 0 2 页综上可得，SAABPN至，故尸的面积的最小值为弓，此时直线I的方程为x=2./y21 2.已知椭圆E：/+金=1 （a b 0）的离心率为e,点（1,e）在椭圆E上，A（a,0）,3B（0,b）,三角形。/8的面积为5.（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线/交椭圆E于 M,N 两点，若直线。河 的斜率为1,直线ON 的斜率为依，且k#2=_/，证明三角形OWN 的面积是定值，并求此定值.Ce =a1 ,=3解：（1）由题意可得 2 -2 可得“2=9,=,运+京-1 0,贝!I X l+X 2=-1 8km9 m2

47、 9申 岸,X|X 2=W，k ki=(依 1 +ni)(k%2 +m)-9 f c2+m2X1 X21-9所以 1+9 F=2/M2,满足(),第6 1页 共1 0 2页I.n m b 2 I 6ll+k2/9k2 m2+lVI+fc2|xi-X2|=-，又原点0到直线/的距离d=Jl+k2所以三角形OMN的面积S=5 x X d_ 1 6+1249/2一加+1|m|F 1T9F X7TTF_ 3 m y/2 m2 m2二 W3=2，3所以三角形OMN的面积为定值5,3综上可证，三角形OMN的面积是定值了1 3.对于项数为7 (?23,znGN)的有限数列 斯卜 记该数列前i 项1,2，加中

48、的最大项为为(i=1，2,，m),记内42，访,该数列后2 -Z 项。汁 1，访+2,，府中的最小项y(i=l,2,m-1),记勿=加 的+1,访+2，丽,di=X i -y i(z=1,2,3,，m-1 ).(1)对于共有四项的数列：3,4,7,1,求出相应的力、心、由；(2)设 c 为常数，且四+X*A+I=C(4=1,2,3,/W),求证：X k=a k(%=1,2,3,，m)；(3)设实数入0,数列?满足m=l,册=4即_ 1 +耳(=2,3,，加)，若数列 对应的力满足a+1 匕对任意的正整数i=l,2,3,，m-2 恒成立，求实数人的取值范围.解：(1)由题意可得制=3,X2=4,

49、X 3 =7,巾=歹2=歹 3=1，所以 di=2,2=3,6/3 =6；(2)证明：显然汨+12为，对任意7=1,2,，加-1 成立，又Q%=C-%+I，所以翘式四+1对任意的攵=1,2,加-1成立，这样必=加办。1，。2,，a k)=a k;(3)这是个迭代的套路，主要计算0=入外+|得到入=4，所以0入 上时数列递减，入 号时数列递增，下面给出解答：9若入=1，则。=。-|+可，。为递增数列；第 6 2 页 共 102页若入岩，则劭=1,斯 为常数列；122 2若入W1且人工5，则斯=九7 -1+?，即有J 1 =入（即.I+J 1 ）,3 A 1 4 12记 方=即+与，则 瓦 是以人

50、为公比的等比数列，且首项为U，4 ，A 11当 加（0,-）时，数列 仇 首项为正，公 比 在（0,1）内，所以 6“递减；当 入 e （1,1）时，数列 为 首项为负，公 比 在（0,1）内，所以 a 递增；当 入 6（1,+8）时，数列 加 首项为正，公 比 在（1,+8）内，所以 加 递增.注意到 6 与S 单调性相同，1所以入e （0,-）时，念 递减，所以为=ai =1,y i=am,di=1-am不满足题意；入=,时，“”为常数列，所以x 尸芹=1,4=0 不满足题意；1入 6+8）时，“”递增，X i=ci i,y i=c i i+f dj=a i -a t+=a i（1 -入）