2023年高考数学总复习第八章立体几何初步第三节空间点、直线、平面之间的位置关系.pdf

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1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 最 新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.掌握空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面).考 向预测考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点.学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记3 个知识点1.平面的基本性质示公理文字语言图形语言符号语言公 理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内/*/A e rBE/A

2、G aBG a)/UQ公理2_ 的三点，有且只有一个平面1 7A,B,C 三点不共线=有且只有一个平面a,使 AGa,BGa,CGa如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线公理3 _7PPE6/a3)an B=/,且 p e l2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类:位置关系共面直线直线：同一平面内,有且只有一个公共点；直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在内.没有公共点.(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角(3)异面直线所成的角：定

3、义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0作直线a/a,b/b,J E 与b所成的 叫做异面直线a马b所成的角(或夹角).范围：.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交三1 个平行0个在平面内/一“7无数个平面与平面平行%4 _ _,/0个相交无数个二、必明3 个常用结论1 .公理2的三个推论推 论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2 .异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.3 .唯一性定理(1)过直线外

4、一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.三、必练4类基础题(一)判断正误1 .判断下列说法是否正确(请在括号中打“J 或 X ).(1)如果两个不重合的平面a,A有一条公共直线“，就说平面a,尸相交，并记作a n 6 =a.()(2)两个平面a,4有一个公共点A,就说a,4相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面a,4有一个公共点A,就说a,夕相交于A点，并记作a n B =A.()(4)两个平面A B C与D B C相交于线段BC.()(5)

5、经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(二)教材改编2 .必修 2-P 4 3 练习T i 改编 下列说法正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则两个平面重合.A.0 B.1 C.2 D.33 .必修2 P 4 5 例 2改编 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A.空间四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形(三)易错易混4 .(界面直线的概念不清)下 列 关 于 异 面 直 线 的 说 法 正 确 的 是.(填序号)若a u a,bu B,

6、则 a与。是异面直线；若a与b异面，6与 c 异面，则”与 c 异面；若m6不同在平面a内，则a与匕异面；若a,6不同在任何一个平面内，则。与b异面.5.(忽视直线在平面内)已知直线a,6和平面。，若。6,且直线&在平面a内，则直线a与平面a的 位 置 关 系 是.(四)走进高考6.2021 全 国 乙 卷 在 正 方 体 中，P为B Q的中点，则直线PB与A。所成的角为()A.-B.-C.-D.-2 3 4 6提 升 关 键 能 力 考点突破掌握类题通法考 点 一 平 面 的 基 本 性 质I基础性例1如图，在正方体ABCD-Ai81GA中，E,F分别为D C，当分的中点,ACCBD=P,4

7、 G n E F=。.证明：(1)B,D,F,E四点共面；(2)若直线4 c与平面8OE厂的交点为R,则P,Q,R三点共线;(3)DE,BF,C G三线共点.听课笔记:反 思 感 悟 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点线共面问题的两种方法纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面a,再证其余点、线，确定平面夕，最后证明平面a,夕重合.(2)证明点共线问题的两种方法先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在一条特定直线上.(3)证明多线共点问题的步骤先证其中两条直线交于一点；再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时

8、，依据是第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明.【对 点 训 练】如图所示,正方体A8CD-万B1CQ1中,E、尸分别是AB和 A 4 的中点.求证:(1)E,C,D,F 四点共面；(2)CE,DF,D4 三线共点.考 点 二 空 间 两 直 线 的 位 置 关 系 综合性 例 2 (1)若 a,b 是异面直线，6,C是异面直线，则()A.a/cB.a,c 是异面直线C.a,c 相交D.a,c 平行或相交或异面(2)2019全国卷HI 如图，点、N为正方形ABCD的中心，/XECD为正三角形，平面ECD1.平面ABC。，M 是线段EO 的中点，则()A.BM=EN,B.BMW

9、EN,C.BM=EN,D.BM乎EN,且直线BM,且直线BM,且直线BM,且直线BM,EN是相交直线硒是相交直线EN是异面直线EN是异面直线听课笔记:反思感悟【对 点 训 练】1.若平面a和直线a,匕满足a n a =A,bu a,则a与方的位置关系是（）A.相交 B.平行C.异面 D.相交或异面2.在图中，G,N,M,H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线G”，M N是 异 面 直 线 的 图 形 有.（填上所有正确答案的序号）考 点 三 异 面 直 线 所 成 的 角 综合性 例3 （1）12022广西南宁三中高三模拟 在正方体ABCDAiBiCi。中

10、，。是底面ABCC的中心，E为C G的中点，那么异面直线OE与A 所成角的余弦值等于（）（2）四面体ABC。中，E,F分别是AB,CZ）的中点，若 BD,AC所成的角为60。，且3。=A C=1,则E尸的长为.听课笔记：反思感悟用几何法求异面直线所成角的具体步骤:【对点训练】1.直三棱柱ABC-A山C i中，若NBAC=90。，A 8=A C=A 4i,则异面直线B A 与 AG所成的角等于（）A.30 B.45C.60 D.902.2022黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考 三棱锥P-A8C所有棱长都为2,E,F分别为尸C,4 8 的中点，则异面直线BE,P F 所成角的余弦值为（）*3 _

11、4第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系积累必备知识I.过不在一条直线上一条2.（1）相 交 平 行 任 何 一 个 平 面（2）平 行 相 等 或 互 补 锐 角（或直角）（0,13.an a=A a/a au a a/p an P=Z-、1.答案：（1）J（2）X（3）X（4）X（5）V2.解析：中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面可能相交，正确.答案：C3.解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形.:E,F 分别为45,BC的中点，：.EF/AC.又 FG/BD,.NEFG或其补角为AC与 8 3 所成的角.而 AC与 8 0 所成的角为90。，二N

12、EFG=90。,故四边形EFGH为矩形.答案：B4.解析：中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知正确.答案：5.解析：如图，直线，人和平面G,若 儿 且直线6 在平面。内，则与。的位置关系是a/a 或 au n平面ABC D=C D,所以E0J_平面A8CD设正方形ABCD的边长为 2,则 E 0=g,0 N=l,所以 町=02+0乃=4,得 EN=2.过M 作 CQ 的垂线，垂足为 P,连接 B P,则 M P#,C P=|,所以 BM=M p2+8p2=（?）2+（|）2+22=7,得 8M=夕，所以BMWEN.连接BD,B E,因为四边形ABC。为正方形，所以N 为 B O

13、 的中点，即 EN,均在平面BZJE内，所以直线8M,EN是相交直线，选 B.答案：（1）D（2）B对点训练1.解析：当AC匕时，a 与匕相交，当时，。与。异面.答案：D2.解析：图中，直线G”仞V；图中，G,H,N 三点共面，但 M在平面G H M 因此直线G H 与 MN异面；图中，连接MG,G M/H N,因此G 与 MN共面；图中，G,M,N 三点共面，但“在平面G M N,因此G 4 与 异 面，所以图中G”与 MN异面.答案：考点三例 3解析：取 8 C 的中点尸，连接EF,OF,BCi,GD,Ai如图所示，为 C G 的中点，E F/B Q/A D I,故/O E F 即为异面直

14、线O E与A。所成角，设正方体 ABCD-ABCD 的棱长为 2,则在OEF 中，EF=五,O E=3,故 cos ZOEF_EF_V6-OE-3(2)如图，取 BC的中点O,连接OE,OF,因为E,尸分别是AB,C 的中点，所以 OEAC,OF/BD,所以OE与 O F所成的锐角(或直角)即为AC与 BO所成的角，而 AC,BO所成角为60。，所以 NEOF=60或 NEO尸=120。，当 NE。尸=60时，E尸=O E=O 尸当 NEOF=120时,取 EF 的中点 M,连接 O M,则 OM_LEF,EF=2EM=2X隼=。答案：(1)B(2弓或弓对点训练1.解析：如图，将三棱柱补成一个

15、正方体，由正方体的性质可知，A C/B D i,所以直线与A G 所成的角为NAiBd.又易知AIB OI为正三角形，所以N 48)=60。，即 8 4与A G 成 60。的角.答案：C2.解析：连接C尸，取 C F 的中点O,连接EO,BO,I E 是 PC 的中点,：.EO/PF,./8 E 0(或其补角)是异面直线8 E 与 P尸所成的角.设三棱锥P-ABC的所有棱长为2,则 P F=BE=CF=J22-1=V3,则 EO=PF=-=FO=CF,则 B0=UBF2+F02=在/B E。中，由余弦定理得cos N B E OBE24-EO2-BO22BEEO3 73+；_ 22xV5x亨 3.异面直线B E与P F所成角的余弦值为|.答案：D