2022高考数学真题分类汇编05函数与导数含答案.pdf

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1、2022高考数学真题分类汇编五、函数与导数一、选择题1.（2 0 2 2全国甲（文T7）（理T5）函数歹=（33川）C O S X在 区 间 一 会 金 的图象大致为（）2.（2 0 2 2全国甲（文 T8）（理 T6）.当 x =l 时,A.-11B.-D.1）2C 13.（2 0 2 2全国乙（文T8）如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是（）2xcosxc.丁D.y2sinxX2+4.（2 0 2 2全国乙（理）T1 2）己知函数/（x）,g（x）的定义域均为R,且f(x)+g(2 -x)=5,g(x)/(x 4)=7.若 歹=8。)的图像关于直线 x =2

2、 对称，g(2)=4,则22 f(k)=()k=lA.-2 1 B.-2 2 C.-2 3 D.-2 45.(2 0 2 2 新高考I 卷 T 1 0)已知函数/(x)=x 3-x +l ,则()A./(x)有两个极值点 B.x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=F(x)的对称中心 D.直线y =2 x 是曲线y =/(x)的切线6.(2 0 2 2 新高考I卷 T 12)已知函数/及其导函数/(X)的定义域均为R,记 g(x)=/(X),若f -2 x ,g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.g，=0 C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)7.(2 0 2 2 新

3、高考n卷 T 8)若函数/的定义域为R,且/(%+歹)+/(%-歹)=/(x)/(y),/(l)=1,则22 f(k)=()k=A.-3 B.-2 C.0 D.1fx=-8.(2 0 2 2 北京卷T 4)己知函数 1 +2*,则对任意实数x,有()A./(-X)+/(%)=0 B./(-x)-/(x)=0C./(-x)+/(x)=l D./(X)-/(x)=；9.(2 0 2 2 北京卷T 7)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和 1 g 尸的关系，其 中 T 表示温度，单位是K

4、；P 表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是()A.当7 =2 2 0,P =1 0 2 6时，二氧化碳处于液态B.当7 =2 7 0,P =1 2 8时，二氧化碳处于气态C.当T =300,尸=9987 时，二氧化碳处于超临界状态D.当7 =36 0,尸=7 2 9时.，二氧化碳处于超临界状态1 0.（2 0 2 2 浙江卷T7）已知2 =5,l o g 83 =b,则4 -3 6=（）一 ,2 5 5A.2 5 B.5 C.D.一9 3二、填空题1.（2 0 2 2 全国乙（文 T1 6）若/（X）=l n。+1匚+6 是奇函数，则。=,b=1 X2.(2 0 2 2 全国乙(S)

5、T 16)已知x =*和x =Z分别是函数/(x)=2 a*e/(。0且的极小值点和极大值点.若须，则。的取值范围是一3.(2 0 2 2 新高考I卷 T1 5)若曲线y =(x +a)e，有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是4.(2 0 2 2 新高考H卷 T 14)写出曲线歹=l n|x|过坐标原点的切线方程：,.f(x)=+J l X5.(2 0 2 2 北京卷T il)函数 X 的定义域是.-a x+1,xa,/(x)=/_ 2 6.(2 0 2 2 北京卷T1 4)设函数 1“一)一。,若/存在最小值，则 a的 一 个 取 值 为；a的最大值为.7.（2 0 2 2 浙江卷T1

6、4）已知函数/(%)=-+2,x 1,X则小即若当x e a,b 时,l /(x)3,则b a的最大值是三、解答题1.(2 0 2 2 全国甲(文)T 20)已知函数/(%)=/%,8(%)=、2+。，曲线y =/(x)在点(再J(x j)处的切线也是曲线N =g(x)的切线.(1)若玉二-1 ,求 a；(2)求 a的取值范围.2.(2 0 2 2 全国甲(理)T 21)已知函数/(x)=_ l n x +x-a .(1)若/(x)之0,求 a 的取值范围;证 明:若/(x)有两个零点占多，则 环 中 2=/(x)和_ y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

7、6.(2 02 2 新高考口卷 T22)已知函数 x)=e .(1)当a=l 时，讨论X)的单调性;(2)当x 0 0寸，/(%)/(s)+/(f).8.(2 02 2浙江卷 T 2 2)设函数/(X)=上 +l n x(x0).2x(1)求/(x)的单调区间；(2)已知,曲线y=/(x)上不同的三点(西,/(西),卜2，/(2),(3，/(七)处的切线都经过点(a,b),证明：(i )若a e,则0 6-/(。)-1 ；2(e )2 c C L 1 1 2 c C L(i i)若0 a e,X 当，则+芳 丁 十 0,c o s x 0,所以/(x)0,排除 C.故选：A.2.【答案】B【解

8、析】【分析】根据题意可知/(1)=-2,/(1)=0即可解得。力，再根据/(X)即可解出.【详解】因为函数/(x)定义域为(0,+动，所以依题可知，f(1)=-2 ,r(i)=o,=X X2?所以b=-2,a-b=0,即。=-2力=-2,所以/”)=一嚏+,，因此函数/(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，x =l时取最大值，满足题意，即有了(2)=l +g =g.故选：B.3.【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设/(X)=三:，则/。)=0,故排除B;设/(x)=,当时，0 COS X 1,所以/z(x)=2等 班 0,故排除D.故选

9、：A.4.【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到/(x)+/(X 2)=-2 ,从而得到/+/(5)+/(2 1)=-1 0,/(4)+/(6)+.+/(2 2)=-1 0,然后根据条件得到/(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到了的值即可求解.【详解】因为_ P=g(x)的图像关于直线x =2对称，所以g(2-x)=g(x +2),因为g(x)-/、(x-4)=7,所以 g(x +2)-/(x-2)=7,即 g(x +2)=7 +/(x-2),因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得/(x)+7+/(x-2)=5,即/(x)+f(x-2)=-2

10、,所 以/(3)+/(5)+/(21)=(-2*5=-10,/(4)+/(6)+.+/(2 2)=(-2)x5=-10.因为/(x)+g(2 r)=5,所以/(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以 2)=2 /(0)=-3.因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为f(x)+g(2-x)=5,联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以歹=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6因为/(x)+g(x+2)=5,所以/(1)=5 g =7.所以22/(左)=/+/(2)+/(3)+/+/(21)+/(4)+/(6)+

11、/(22)=-1一3 10 10=24*=i故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5.【答案】A C【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合X)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由 题,f(x)=3x2-l,令 人x)0得x 且 或x _且,令/(x)0得 一 正 ,3 3所以/(x)在(-千，手)上单调递减，在(8,千)，(手,+0 0)上单调递增，所以x =也 是 极 值 点，故A正确；3因/(_今=+竽 0，/g)=l 一 竽 0，/(-2)=

12、-5 0,即函数/(x)在(等，+上无零点，综上所述，函数 X)有一个零点，故B错误；令人(x)=-X,该函数的定义域为R,/(-%)=(-x)3-(-%)=-x3+x =-/z(x),则h(x)是奇函数，(0,0)是力(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到/(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y =/(x)的对称中心，故C正确；令/(x)=3/-1 =2 ,可得x =l,又/(I)=1,当切点为(U)时，切线方程为歹=2 x l,当切点为(1,1)时，切线方程为y =2 x +3,故D错误.故选：A C6.【答案】B C【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与

13、导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因 为/(：一2二|,g(2 +x)均为偶函数，所以/|+2 即/|-+g(2 +x)=g(2-x),所以/(3 x)=/(x),g(4 x)=g(x),则/(T)=/(4),故 C 正确；3函数x),g(x)的图象分别关于直线X =,x=2对称，2又g(X)=/(X),且函数/(x)可导，所以 g(g)=0，g(3_x)=_g(x),所以g(4-x)=g(x)=-g(3 x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以=g-=0，g(-l)=g(l)=-g(2),故 B 正 确,D 错误；若函数/(X)满足题设条件，则函数/(x

14、)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(X)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.7.【答案】A【解析】【分析 1根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/。),/(2),/(6)的值，即可解出.【详解】因为/(x +y)+/(x-y)=/(x)/e),令 x=l,y=0 可得，2/(1)=/(1)/(0),所以 0)=2,令x=0可得，y)+/(-y)=2/(y),即/()=/(一 田，所以函数/(x)为偶函数，令y

15、=l得，/(x +l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x +2)+/(x)=/(x+l),从而可知f(x +2)=-f(x-),/(x l)=_/(x 4),故/(+2)=/(光 _4),即/(x)=/(x +6),所以函数/(x)的一个周期为6.因为2)=/(1)-0)=1 -2=-1,/(3)=2)-/()=一1一1 =一2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以一个周期内的/(1)+2)+6)=0.由于22除以6余4,2 2所以 /（%）=/+/（2）+/（3）+/（4）=l 1 2 1 =-3.*=i故

16、选：A.8.【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.1 1 2V 1【详解】/(x)+/(x)=一+一=+!=1，故A错误，C正确;八 八1 +2-1 +2*1 +2、1 +2-(3台1 2*1 2-1,21 +2*-1+2*1 +2、-2、+1-2、+1不是常数，故BD错误;故选：C.9 .【答案】D【解析】【分析】根据T与1g尸的关系图可得正确的选项.【详解】当7=2 2 0,尸=1026时，lgP3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当7=2 7 0,尸=128时，2lgP3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当7=3 0 0,尸=9 9 87时，1g尸与4非常接近，故

17、此时二氧化碳处于固态，另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.当7=3 6 0,尸=729时，因2 lg P 3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D10.【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，豚的运算性质以及对数的运算性质即可解出.【详解】因为2“=5，6=log83=1log23,即23/=3,所以40一3 6259故选：C.二、填空题1.【答案】.5；.In2.【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出.【详解】因为函数/(x)=lna+J+6为奇函数，所以其定义域关于原点对称.L-X由4+一。0可得，(1 x)(a+l ax)#O,所以x=L 1,

18、解得：a=-,即函数的定义域为1-xa2(8,l)u(l,l)u(l,+8),再由/(o)=o可得，b=n 2.即/(x)=ln-L +l n 2 =l n.2 1 x 1 x在定义域内满足/(-x)=-/(x),符合题意.故答案为：L；ln2.22.【答案】【解析】【分析】由和七分别是函数/=2/e/的极小值点和极大值点，可得x e(8,X1)u(X2，+s)时，/、(x)0,再分a l和01 两种情况讨论，方程21nad-2ex=0 的两个根为占户2,即函数y=lna优与函数歹=ex的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=Ina七、，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：/

19、,(x)=21na-av-2ex,因为社匕分别是函数/(x)=2优-e x2的极小值点和极大值点，所以函数/(X)在(-00,王)和(2，+00)上递减，在(玉,X2)上递增，所以当xe(-oo,X|)D(X2，+oo)时，/(x)1时,当x 0,2ex 0,与前面矛盾，故 不 符 合 题 意，若0 Q 1时，则方程2 1 1 1。优-2%=0的两个根为七,%2，即方程I n a.优二e x的两个根为万6 2，即函数y =I n a s 与函数V =e x的图象有两个不同的交点,令g(x)=I n a 优，则 g (x)=I n2 a-aO a I n a则切线的斜率为因为函数歹=与函数，=e

20、 x的图象有两个不同的交点,所以e l n 2 QV e，解得 0,解得a -4或a0,的取值范围是(力,4)U(0,+力)，故答案为：(一力,4)D(0,+8)4.【答案】.y=-x .y -xe e【解析】【分析】分x0和x 0时设切点为(xoJnx。)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出,即可求出切线方程，当x0时丁=l n x,设切点为（X o，l n x o）,由 丁 =，所以 1=%=，所以切线方程为x /y-l n x0=(x-x0),又切线过坐标原点，所以一 l n x（,=-!-（X o）,解得玉）=e,所以切线方程为y l e

21、）,即_ y =1x；%o e e当x 0【详解】解：因为/（切=一 +，1一%，所以 c ，解得x 4 1且XH 0,、x x O故函数的定义域为（3,0）5。；故答案为:（一8,0）。（0,16.【答案】0（答案不唯一）（2）.1【解析】【分析】根据分段函数中的函数y =-a x +1的单调性进行分类讨论，可知，。=0符合条件，a 0时函数V =-ax+1没有最小值，故/(x)的最小值只能取、=(工-2)2的最小值，根据定义域讨论可知M+I NO或一/+12(”2解得 0 al.1 ,x 0若40时，当x 0时，当时，/(x)=-ax+l 单调递减，x)/(a)=,一 0(0a a时，/(

22、x)min=(a-2)(a 2)-。2+12 0或 。2+1之(。2)2,解得0 a 1,综上可得0 a W 1 ；故答案为：0(答案不唯一)，1377.【答案】.一 .3+V3#-s/3+328【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出。的最小值力的最大值即可.【详解】由已知心=一 出+2=1,/(Z)=Z+1-1=|Z,当 时，由 l/(x)3 可得 14一 刀2 +2 4 3,所以一IWXWI,当xl 时，由 14/(x)V3 可得 lx+,l3,所以 1XK2+6,X14/(x)4 3等价于 14x42+6,所 以 以0三 一 1,2+6 ,所以6 的最大值为3+6.故答

23、案为：,3+3 四、解答题1.【答案】(1)3(2)-1,+)【解析】【分析】(1)先由“X)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出。即可；(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由/和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出。，构造函数,求导求出函数值域，即可求得。的取值范围.【小问1 详解】由题意知，/(-1)=-1-(-1)=。，八 _1)=3-1=2,则 =/(幻 在点(一 1,0)处的切线方程为歹=2(x+1),即歹=2x +2,设该切线与g(x)切于点(2里(2)，g (x)=2 x,则 g (X2)=2 2=2 ,解得 2=1，则g(

24、l)=l +a =2+2,解得。=3；【小问2 详解】/,(X)=3X2-1,贝仃=f(x)在点(x J(x J)处的切线方程为丁一卜：x j =(3x：_ 1)(%一玉)，整理得y=(3x；-l)x-,设该切线与g(X)切于点(X2，g(X2),g(X)=2X,则g X2)=2X2,贝！I 切线方程为一(x；+力=2%2(一 2)，整理得y =2X2X-%2+，贝o整理得”3倍、21 )3 9 4 c 3 3 2 1-2x、=-Xj -2X|Xj +-,a 3 i令/z(x)=-2/一/一,则/(x)=9d-6%2 一3%=31(3%+i)(x 一 1),令/。，解得x l,3令/(x)0,

25、解得或0 cx1,则1 变化时，(x),(x)的变化情况如下表：则h（x）的值域为 1,+8）,故a的取值范围为 1,+8）.X2-3卜 则0（0）1(1,+8)A (%)0+00+h(x)527_4-12.【答案】（1）（-o o,e +l（2）证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解;（2）利用分析法,【小问1 详解】1X/（X）的定义域为（0,+8）,再利用导数即可得证.令 x)=0,得 x =l当 x e (0,1),fx)0,/(x)单调递增/(x)/(l)=e +l-a ,若/（%）20,则0+14 2 0,即4 4 6 +1所以”的取值范围为（-8,

26、e +l【小问2 详解】由题知,/（x）一个零点小于1,一个零点大于1不妨设/1要证xtx2 1,即证玉/、e I即证-l n x+x-x ev-I n x-0,x G(1,4-O O)xxe -即证-x er-2x下面证明X1时,e 一八 i 1(1|A、e设 g(x)=-xex 9x 1,x则 g (x)=X1Xx-l(ex_ex+x e”41e e-ex7X设*(%)=J(x l)，d(x)=-x 1 *A-ex 0 x-2eXxx 7所以夕(工)奴1)=,而/g(D =0,所以 J x铲 0X令1、(x)=l n x-L x-,x 12x jhr(x)=x-ll+2X-X2-1-(X-

27、1)22x22x2 021X2所以(x)在(L+O)单调递减即/z(x)/z(l)=0,所以 I n x -g 0,所以玉X2 1 .x2 x)【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式人(x)=l n x ；(x 这个函数经常出现，需要掌握3.【答案】(1)-1(2)(0,+o o)【解析】【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；(2)求导得,按照aWO、0 。1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1 详解】当”=0 时，/(x)=-l-l n x,x 0,则/(x)=4 L=字，X X X X当x e(0,l)时，/明0,

28、“X)单调递增；当x e(l,+8)时，f(x)0,则=a+=,X XX X当“4 0 时，ax-l 0,/(x)单调递增;当 X(l,+o o)时,f(x)0,/(x)单调递减；所以/(x)m,x=/(l)=a -l0,此时函数无零点，不合题意;所以/(x)仅在(工当0 a 1,在(0,1),仕,+8)上，fx)0 ,/(x)单调递增；a a)在U上，.欢x)o,/(X)单调递减；又/当x趋近正无穷大时，/(x)趋近于正无穷大，、,+8有唯一零点，符合题意；/当 4 =1 时，20,所以/(X)单调递增，又/(1)=4-1 =0,所以/(X)有唯一零点，符合题意；当 a l 时，/o,/(x

29、)单调递增；在，,1)上，户 小)0,当x e (-l,0),g(x)=ev+t z(l-x2)0，即/(x)0所以/(x)在(-1,0)上单调递增,/(x)g(0)=1 +a.0,即f(x)0所以/(x)在(0,+8)上单调递增,/(x)/(0)=0故f M在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若 0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增g(0)=1 +a 0所以存在m e (0,1)，使得g(加)=0,即/=0当 X (0,w),/(X)O,/(X)单调递增所以当x e(O,加),/()+0 0所以/(x)在(八+8)上有唯一零点又(0,加)没有零点，即f M在(0,+8)上有唯一零点(2

30、)当 x e (-1,0),g(x)=e*+a (1 -x 2)设 h(x)=g (x)=e r-2axA (x)=ex-2a 0所以g (x)在(-1,0)单调递增，/1 .g(-l)=-+2 a 0e所以存在 G(-1,0)，使得g ()=0当 x E(-l,n),g (x)0,g(x)单调递增 g(x)g(0)=1 +a oe所以存在 f e ，使得 g(z)=0,即 f(t)=0当x e (-l,/),/(x)单调递增，当x e (/,0),/(x)单调递减有Xf-8而/(0)=0,所以当 X (z,O),/(x)0所以/(X)在(-1,0上 有 唯 一 零 点0)上无零点即/(x)在

31、(一1,0)上有唯一零点所 以 符 合 题 意所以若 X）在区间（1,0）,（0,+8）各恰有一个零点，求。的取值范围为（一叫一1）【点睛】方法点睛：本题的关键是对。的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.5.【答案】(1)a=(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当6 1时，d-x =b的解的个数、x l n x =6的解的个数均为2,构建新函数/z(x)=e +l n x-2 x ,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关

32、系，根据存在直线y =b与曲线y =/(x)、_ y =g(x)有三个不同的交点可得6的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】/(外=一 的 定 义 域 为&,而/(x)=e a,若a 40,则/(x)0,此时/(x)无最小值，故a0.8(%)=一足的定义域为(0,+8),而g (x)=a-L =4 1 _ LX X当x l n a时，f(x)l n a时，/()0,故/(*)在(1 1 1。,+0 0)上为增函数，故/(x)mi n =/(l n a)=a a l n a.当0 x ，时，g，(x)0 ,故g(x)在 上 为 增 函 数,a a)故 g(x)mi

33、n =g g|=l T n;因为/(x)=e X-G和g(x)=Q X-l n x有相同的最小值，1a-1故 l-l n =a-。In。，整理得到-=lna f 其中 q 0,a 1 +a.n_ 1 ./2 1 _a_ 1设g(a)=；-l n a,a 0,则g(6 f)=-=-7-0,1 +a (1 +a)a Q(1 +a)故g(a)为(0,+8)上的减函数，而g (1)=0,故g(a)=0的唯一解为a =l,故 匕3 =l n a的解为a =l.1 +a综上，a=.【小问2详解】由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-l n x的 最 小 值 为=当b l时，考虑砂x =b的解的个数

34、、x-l n x =b的解的个数.设S(x)=e-x-b,S 1x)=e-1,当x 0时，S (x)0时，S (x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S(x)mS(O)=0,s =$-2b,设“(b)=e -2 6,其中6 1,则 (b)=e -2 0,故”(b)在(1,+8)上为增函数，故”(b)=e-20,故S伍)0,故5%)=d x b有两个不同的零点，即炉x =b的解的个数为2.设T(x)=x-l n x-b,=-,X当 0 x l 时，T(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数,所以 T(xL=T=1 60,T(e)=

35、e%-2 b 0,T(x)=x l n x-b有两个不同的零点即x l n x =b的解的个数为2.当6 =1,由(1)讨论可得x-l n x =b、e-x =6仅有一个零点，当6 l.设/z(x)=e*+l n x-2 x ,其中x0,故。(x)=e+-2 ,X设s(x)=e*-x-l,%0 ,则s(x)=ev-l 0,故s(x)在(0,+o o)上为增函数，故s(x)s(O)=O即 e x +l，所以1(X)X+L 1N2 1 0,所以/(x)在(0,+8)上为增函数，X而以l)=e-2 0,A(4)=e7-3-4e-3-4 故A(x)在(0,+8)上有且只有一个零点看,1 /1且：e当0

36、 c x/时，/z(x)0即 ev-x x l n x 即x)与 时，7(x)。即 e*x x l n x 即/(x)g(x),因此若存在直线y =b与曲线y =/(x)、y=g(x)有三个不同的交点,故 6 =/优)=8(/)1,此时e“x =b有两个不同的零点玉,与(玉。工0)，此时x l n x =b有两个不同的零点/4(0 玉)1 1,故 x0=x.-b,即 X+x4=2x0.X-x0-b【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论,而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.6.【答案】(1)/(X)的减区间为(8,0

37、),增区间为(0,+00).(2)a；时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论(X)符号，最后就a 0结合放缩法讨论(x)的范围后可得参数的取值范围.由可得对任意的经1恒成立，从而可得I n(+1)-I n”1/2 对任意的n w N*恒7 n+n成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当 a=l 时，=则/(x)=x e当x0时,/幻：)0时,/0(x)0,故/(x)的减区间为(-0,0),增区间为(0,+8).【小问2详解】设g)=混小，则(0)=0,又 ()=(1+6)产 e”,设g(x)=(l +o x)e x e”，则/(1)=(2 +八)/-1,若a；,则g (0)

38、=2。一 1 0,因为g (x)为连续不间断函数，故存在 与 e(O,+8),使得 V x e(O,Xo),总有 g C(x)0,故g(x)在(0,兀)为增函数，故g(x)g(O)=O,故力 在(O,x 0)为增函数，故/7(力 刈0)=-1,与题设矛盾.若 0 0,总有l n(l +x)x成立，1 _ y证明：设S(x)=l n(l +x)-x,故S x)=-1 =-0,故S(x)在(0,+s)上为减函数，故S(x)5(0)=0即l n(l +x)x成立.由上述不等式有 eO T+l n(l+ai)-eA e+-e*=e2 av-eA 0，故 (x)W 0总成立，即(x)在(0,+o o)上

39、为减函数，所以人(工)(0)=-1.当a 4 0时，有(x)=e e*+ax eK 1-1 +0=0,所以(x)在(0,+8)上为减函数,所以(力0,总有加卜 成立，2x e e 十 i I,/2=eA,x =2 I n /,故2 n f _1即2 1n f l恒成立.整理得到：l n(+l)-l n所以对任意的 e N*,有2 1n1+一 厂 1 H-F/1 I n 2 -I n 1 +I n 3 -I n 2 H-F I n (+1)-I n =l n(n +l),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨

40、论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.7.【答案】(1)夕=*(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令z(x)=/(x +f)-/(x),(x,t 0),即证加(x)?(0),由第二问结论可知m(x)在 0,+8)上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为/(x)=e ln(l+x),所以/(0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x)=e (ln(l+x)+J-),切线斜率左=/(0)

41、=1.切线方程为：y=x【小问2详解】解:因为 g(x)=/(x)=e*(ln(l+x)+-),1 +x2 1所以 g(x)=ev(ln(l+x)+-J-),1 +x (1 +x)令 h(x)=ln(l+x)H-1 +x1(1 +X)2.,.1 2 2 x?+1则 h(x)=-+-Z-=-r1 +x (1 +x)2(1 +x)3(1 +x)3 0,.(x)在 0,+8)上单调递增，h(x)A(0)=l 08。)0在0,+8)上恒成立,g(x)在 0,物)上单调递增.【小问3详解】解:原不等式等价于/(s+f)-/(s)/I-f(0),令m(x)=/(x +f)-/(x),(x,f 0),即证

42、w i(x)m(0),m(x)=f(x+t)f(x)-e v+,ln(l+x +/)-er ln(l+x),ex+,exm(x)=ex+ln(l+X+/)H-ex ln(l+x)-=g(x+t)g(x),1+x+f 1+x由(2)知g(x)=/(x)=e X(ln(l+x)+占)在 0,+8)上单调递增，g(x +，)g(x),:.m (x)0.加(X)在(0,+8)上单调递增，又因为x 0,加(x)加(0),所以命题得证.8.【答案】（1）/（X）的 减 区 间 为 增 区 间 为（2）（i ）见解析；（ii）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）

43、（i ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ii）k=,西a2（加一 1 3）（小一次+1 2）加=1,则 题 设 不 等 式 可 转 化 为-2-L-L 结合零点满足的方程进一步em 3 6 加宿+g）（加一1）（加一1 3）（加2 一加+1 2）转化为也加+-0,利用导数可证该不等式成立.7 2（加 +1）【小问1详解】，（计息+A第，当 0 x ,f（x）,严（x）0,故/（x）的减区间为（0,/（%）的 增 区 间 为+8）【小问2详解】（i ）因为过（。乃）有三条不同的切线，设切点为（4/（七）=1,2,3,故了（毛）-6 =/（为）（3一。），

44、故方程，一b=/、（x）（x-a）有3个不同的根，则）4一 力+卜 卜5）（讨.艰二-e）（x -Q）,当0 c x a时，g(x)0 ；当e x 0 ,故g(x)在(O,e),(a,+8)上为减函数,在(e,a)上为增函数,因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,a p整理得到：6+lna=f(a),2 e 2a v 3 e设=-I na,则/(a 2 2Q e-2 a.)=r 0,2a23 e故”(a)为(e,+o o)上的减函数，故(4)一 -lne =0,故 0 b-/(a)；(ii)当0 a e时，同(i )中讨论可得:故g(x)在(0,a),(e,+o。)上为减函数，在(a,e

45、)上为增函数,不妨设X j x2 x3,则0 玉 Q e 工3，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,整理得到：+1 +I n 7,2 e 2 e因为 x,x2 x3,故 0%a e 1t3 2 aa,e要证:2 Q-a 1 1 2 e-a i-i -e 6 e%x2 a 6 e口 r-c e-a 2 e即证 2 H-f +&-6 e -a1 3-加62 4 +3 -即证:m 6（加-1 3）（苏-加+1 2）3 6 加&+.2即证：f +A -2 04-3 72即证：（左 +1）卜3（1 3儿 八，+1 2）:0.k-7 2记9（左）=（+ln晨i，则夕）=J（左 一 1向 0,，k-

46、（左一1）1人 J 2 2 2设“无）=后-2 1 n%,则/（%）=l +r _-=0 即”（左）0,k k k k k故夕（左）在（1,+8）上为增函数，故夕（左）夕（/）,而旧（左+l）ln左（加一 13乂加 一次+12）+1）lnm（w-1 3）2-m +12 jk-1 72 m-72z、（加一1）（加一 13）（加之 一加+12）i269（m）=In m-；-,0 m -J 0,72加（加+1）72m（m+1）所以M?）在（0,1）为增函数，故 （/）0 1）=0,（w-l）（w-13）（w2-w +12）（w+l）lnw（W-1 3）（W2-/M+1 2）故 In 加+-；-5的图

47、象大致为（）【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令/（X）=（3*3-*）c o sx,xe -y,y ,则/（-x）=（3-*_ 3*）c o s（-x）=-（3，-3 T）c o sx=-/（x）,所以/（X）为奇函数，排 除BD；又当 时，3=3-、0,c o sx0 ,所以/（x）0,排除 C.故选：A.2.（2 0 2 2全国甲（文T8）（理T6）.当X=1时，函数/（X）=。I n x+2取得最大值一2 ,则X八 2）=（）1IA.-1 B.一 一 C.-D.122【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/(1)=-2,/=0即 可 解

48、 得 再 根 据/(x)即可解出.【详解】因为函数/(x)定义域为(0,+功，所以依题可知，f(1)=-2 ,/(1)=0,而/)=巴 一 旦,所以6 =2,4 6 =0 ,即a =_ 2,6 =-2,所 以/(x)=_ 2 +义，因X X X X此函数/(X)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有/（2）=-1 +-=-故选：B.3.(2 0 2 2全国乙(文T 8)如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是()3 m2 xc o sx【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设/(x)=3

49、言，则/(1)=0,故排除B;设Z z(x)=,当时，0 c o sx l,所以MX)=2X：O S X 0,故排除D-故选：A.4.(2022全国 乙(理)T12)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x -4)=7.若 y=g(x)的图像关于直线 x=2 对称，22g=4,则 /(左)=()Jl=lA.-21 B,-22 C.-23 D.-24【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到 幻+/。-2)=-2,从而得到/(3)+/(5)+/(21)=10,/(4)+/(6)+.+/(22)=-10,然后根据条件得到,/(2)的值，再由题

50、意得到g(3)=6从而得到/(1)的值即可求解.【详解】因为丁=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(x+2),因为g(x)-/(x-4)=7,所以 g(x+2)-/(x-2)=7,即 g(x+2)=7+/(x-2),因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得/(%)+7+/(x-2)=5,即/(x)+Jx-2)=2,所以/(3)+/(5)+/(21)=(-2)x5=-10,/(4)+/(6)+.+/(22)=(-2)x5=-10.因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以/(2)=-2-/(0)=-3,因为g