2022年福建省中考数学试卷（解析版）.pdf

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1、2022年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1-11的相反数是（）3.5G 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变.截 止 2021年底，全 省 5G 终端用户达1397.6万 户.数 据 13976000用科学记数法表示为（）A.13976X103 B.1397.6 X104C.1.3976X107 D.0.13976X1084.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（)5.如图，数轴上的点尸表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）P1 1 1 1 ；1 1 A-2 -10 1 2 3

2、A.-V 2 B.我（Y_ 1 6 .不等式组 的解集是（l x-3 B.1 x =炉+2 _ 1 -与 x轴交于A,8两点，抛物线-与x轴交于C,。两点，其中“0.若 A =2 8 C,则”的值为.三、解答题：本题共9 小题，共 86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .计算：7 4+1 7 3 -H-2 0 2 2 .1 8 .如图，点 B,F,C,E 在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,N B=N E.求证：Z A=Z .1 2 1 1 9 .先化简，再求值：（1+，）+三二工，其中。=&+1.a a2 0 .学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极

3、参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取5 0 名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h）,并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一个月后，调查组再次随机抽取5 0 名同学，调查他们一周的课外劳动时间f （单位：力），按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中A组为B组为C 组为2 f 3,。组为3 f 4,E组为4 W f BC.(1)如 图 1,CB平分NACZ),求证：四边形ABZ)C是菱形；(2)如 图 2,将(1)中的CDE绕 点 C 逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,DE

4、的延长线相交于点凡用等式表示NACE与NEFC之间的数量关系，并证明；(3)如 图 3,将(1)中的CCE绕 点 C 顺时针旋转(旋转角小于N A B C),若NBAD=N B C D,求NAO8的度数.2 5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=o%2+bx经过月(4,0),B(1,4)两 点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.(1)求抛物线的解析式;(2)若OAB面积是PAB面积的2 倍，求点P 的坐标:(3)如图，OP 交 AB 于点 C,PDBO 交 AB 于点、D.记CP,CP8,CBO 的面S1 Sn积分别为$,S2,S 3.判 断 出 港 是 否 存 在 最 大 值.若

5、存 在，求出最大值；若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.-1 1 的相反数是（）A.-1 1 B.C.D.1 111 11【分析】应用相反数的定义进行求解即可得出答案.解：-(-1 1)=1 1.故选：D.【点评】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键.【分析】应用简单几何体的三视图判定方法进行判定即可得出答案.解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图,故选：4.【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键.3.5G 应

6、用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变.截 止 2021年底，全 省 5G 终端用户达1397.6万 户.数 据 13976000用科学记数法表示为（）A.13976X 103 B.1397.6 X104C.1.3976X 107 D.0.13976X108【分析】应用科学记数法：把一个大于10的数记成“X 10的形式，其中“是整数数位只有一位的数，”是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：4X 1 0,其中 lW a10,为正整数.】解：13976000=1.3976 X107.故选：C.【点评】本题主要考查了科学记数法-表示较大的数，熟练掌握科学记数法-表示较大的数的方法

7、进行求解是解决本题的关键.4.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.解：选项8、C、。不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形，故选：A.【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.5.如图，数轴上的点尸表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）a、-2-101

8、23A.-V2 B.&C.娓 D.n【分析】应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案.解：根据题意可得，1P2,v i 7 2 06.不等式组1 的解集是（）lx-3 B.1cx,由得：xW3,二不等式组的解集为111-T-1 i .it-i.|.-u.1i T-.1121-1-1-11-1-i iI li iii11t1IlI11|111.5f11 111liIiiiIi1iai11-1I一 T 一111-1-i-e一 T 一1-一Ii一 T 一a-11().5A1111111111tiIili1111iiIIiiiiiI11iF,Fi 尸 3 F,FB FT FB F Fin 地区A.

9、Ft B.Ft,C.Fi D.Fio 分析根据折线统计图的信息进行判定即可得出答案.解：根据题意可得，Qo地区环境空气质量综合指数约为1.9,是 10个地区中最小值.故选：D.【点评】本题主要考查了折线统计图，根据题意读取折线统计图中的信息进行求解是解决本题的关键.9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形A 8 C,其中AB=AC,ZABC=27,BC=4 4 c m,则高A。约 为（）(参考数据:sin27 g 0.45,cos27 2 0.89,tan27 比0.51)A.9.90C77?B.11.22CTO C.19.58cm D.22.44cw【分析】根据等腰三角形性质求出根据角度

10、的正切值可求出AD解：AB=AC,BC=44cm,:*BD=CD=22cm,ADLBC,：ZABC=27,An.,.tanZABC=0.51,BDZ.1 X 22=11.22cm,故选：B.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，掌握三角形函数的定义是解题关键.1 0.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中NABC=90,NC4B=60,A B=8,点 A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得ABC移动到4 4 B C ,点 A 对应直尺的刻度为0,则四边形ACC A 的面积是（）A.96 B.9 6 a C.192 D.160百【分析】根据正切的定义求出B C,证明

11、四边形ACC A，为平行四边形，根据平移的性质求出A4=1 2,根据平行四边形的面积公式计算，得到答案.解：在 RtZABC 中，/C 4B=60,A3=8,则 3c=A BtanNC4B=8百，由平移的性质可知：AC=A C ,AC/A1 C ,.四边形ACC A 为平行四边形，.点A 对应直尺的刻度为1 2,点 4 对应直尺的刻度为0,.A 4,=12,S 四 边 形 4C(?/V =12X 8-/3=963，故选：B.【点评】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出四边形ACU A 为平行四边形是解题的关键.二、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，共 24分

12、。11.四边形的外角和度数是 360。.【分析】根据多边形的外角和都是360。即可得出答案.解：四边形的外角和度数是360。，故答案为：360.【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和都是3 6 0 是解题的关键.12.如图，在AABC中，D,E 分别是AB,AC的 中 点.若 8 c=1 2,则 D E的长为 6.A D B【分析】直接利用三角形中位线定理求解.解：E 分别是4B,4 c 的中点，.为ABC的中位线，.,.DE=BC=X 12=6.2 2故答案为：6.【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.13.一个不透明的袋中装

13、有3 个红球和2 个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 4 .一5一【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案.解：根据题意可得，P(A)=.5故答案为：菅.【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解决本题的关键.1 4 .已知反比例函数y=K的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的 值 可 以 是-3(答x案 不 唯 一).(只需写出一个符合条件的实数)【分析】根据图象经过第二、四象限，易知火0,写一个负数即可.解：该反比例图象经过第二、四象限，取值不唯一，可 取-3,故答案为：-3(答案不唯一).

14、【点评】本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找 到k的范围即可.1 5 .推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0，并证明如下：设任意一个实数为X,令*=1,等式两边都乘以x,得r=尔.等式两边都减m2,得 -tn2.等式两边分别分解因式，得(x+，)(x -m)=m(x -m).等式两边都除以x-机，得等式两边都减机，得x=0.所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是.【分析】根据等式的基本性质和分解因式判断每一步的依据，再进行判断即可.解：设任意一个实数为x,令x

15、=tn,等式两边都乘以x,得r=机工 依据为等式的基本性质2；等 式 两 边 都 减 得r-加=以-,2.依据为等式的基本性质1；等式两边分别分解因式，得(x+机)(%-/)=m (x-m).依据为分解因式;等式两边都除以x-?，得 依 据 为 等 式 的 基 本 性 质2；但是用法出错，当x-,”=0时，不能直接除，而题干中给出的条件是x=，此处不能直接除.故答案为：.【点评】本题主要考查等式的基本性质，推理与论证，掌握等式的基本性质是解题关键.1 6.已知抛物线y=f+2x-与x轴交于A,8两点，抛物线y=/-2%-与无轴交于C,。两点，其中 0.若AD=2BC,则制的值为 8.【分析】先

16、判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD,B C,进而建立方程，求解即可求出答案.解：针对于抛物线y=W+2x-，令 y=0,贝iJ/+2x-=0,.x=-l Vn+l，针对于抛物线y=/-2 x-nf令y=0,则/-级-“二。，*x=1 土 7 n+l，*/廿 由 物 线 y=x2+2x-n=(x+1)2-n-1,抛物线y=f+2x-的顶点坐标为(-1,-72-1),抛物线 y=/-2 r-=(x-1)抛物线y=x2-2x-n的顶点坐标为(1,-1),工抛物线y=x2+2x-n与抛物线y=x2-lx -n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，:,AB=CD,9：AD

17、=2BC,；抛物线、=炉+1-与大轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y=/-2x-与x轴的交点C在左侧，。在右侧，A(-1 -0),B(-1+Vn+l 0),C(1-0),。(，0),AD=1+Vn+l-(-1 -Vn+1)=2+2,n+1，BC=-1+Vn+l-Vn+1)=-2+24 n+L I 2+2.n+l=2(-2+2.n+),孔=8,故答案为：8.【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x 轴交点的求法，表示出点4 B,C,。的坐标是解本题的关键.三、解答题：本题共9 小题，共 86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .计算：7 4+1 7 3 -I I -2 0

18、 2 2 .【分析】应用零指数基，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案.解：原式=2+百-1 -1=-7 3.【点评】本题主要考查了零指数幕，绝对值，算术平方根，熟练掌握零指数幕，绝对值,算术平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键.1 8 .如 图，点 B,F,C,E 在同一条直线上，B F=EC,A B=DE,N B=N E.求证：Z A=ZD.【分析】利用S A S 证明 A 8 C 会ADEF,根据全等三角形的性质即可得解.【解答】证明：；B F=E C,：.B F+CF=EC+CF,即 B C=EF,在 A B C 和；尸中，A B=D E ZB=ZE，B C=E F:.

19、A B CQXDEF(S A S),：.ZA =ZD.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用S A S 证明 A B C g A O E 尸是解题的关键.1 2 1 1 9.先化简，再求值：(1+工)+且 二 工，其中a a【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把。的值代入计算即可求出值.解：原 式=史3+上山上11a aa+L _a_a（a+1）（a-1）_ 1一 I T当-加+】时,原式=曷丁冬【点评】此题考查了分式的化简求值，平方差公式，因式分解-运用公式法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键

20、.20.学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h）,并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间单位：/?）,按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中A组为8组为C组为2W f 3,。组为3f4,E组为4W fB C交于点。，DF AB交 B C 于点、E,交。O于点、F,连接4 F,CF.(1)求证：A C=A F；(2)若。

21、0的半径为3,N C 4 F=3 0 ,求前的长(结果保留n).【分析】(1)根据已知条件可证明四边形A B C。是平行四边形，由平行四边形的性质可得N B=/D,等量代换可得N A F C=/A C F,即可得出答案；(2)连接A O,C O,由(1)中结论可计算出N A F C的度数，根据圆周角定理可计算出/4 O C的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案.【解答】证明：(1),JAD/BC,DF/AB,四边形A B C D是平行四边形，:.N B=N D,：Z A F C=ZB,Z A C F=Z D,：.N A F C=ZACF,：.AC=AF.(2)连接A O,CO,由(1)得

22、N A F C=N A C F,V Z A F C=_ =7 5 ,2：.ZAOC=2ZAFC=i50,.质的长/=150X 兀 X 3=12LAL 180 2【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养.2 2.在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八 年 级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共4 6盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.（1）采购组计划将预算经费3 9 0元全部用于购买绿萝和吊兰，

23、问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比3 9 0元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.【分析】（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，利用总价=单价X数量，结合购进两种绿植4 6盆共花费3 9 0元，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买绿萝机盆，则购买吊兰（4 6-机）盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，即可得出关于，的一元一次不等式，解之即可得出，的取值范围，设购买两种绿植的总费用为w元，利用总价=单价X数量，即可得出卬关于，”的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，依题意得：f4 y=4

24、6,l9x+6y=390解得：（X=38.I y=87 8 X2=1 6,1 6 0,随机的增大而增大，又：力学,且，为整数，当机=3 1 时，卬取得最小值，最小值=3 X3 1+2 7 6=3 6 9.答：购买两种绿植总费用的最小值为3 6 9 元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于相的函数关系式.2 3.如图，BQ是矩形A B C O 的对角线.（1）求作。A,使得O A与 8。相 切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下

25、，设 8。与O A相切于点E,CFA.BD,垂足为 若直线C 尸与0A相切于点G,求tanZADB的值.【分析】（1）以A为圆心A8长为半径画弧交8。与 M,作 的 垂 直 平 分 线，交.BD与 M以A为圆心AN为半径画圆即为所求；（2）设/A B=a,O A的半径为r,证四边形A E F G 是正方形，根据A 4 S 证C D F,得出B E=O F=，“t a na,OE nOF+E F u L t a na+r,根据等量关系列出关系式求出t a na的值即可.解：（1）根据题意作图如下：8。与0 A 相切于点E,CF与OA相切于点G,：.AE1.BD,AG1.CG,即 NAE尸=N4G

26、F=90,：CFBD,:.NEFG=90,四边形AEFG是矩形，又 AE=AG=r,四边形AEFG是正方形，：.EF=AE=r,在 和 RtZVMB 中，ZBAE+ZABD=90,ZADB+ZABD=90,：.ZBAE=ZADB=a,RF在 RtZA8E 中，tanZBAE=,AE/.B E=retana,丁四边形ABC。是矩形，：.AB/CD,AB=CD,：.NABE=/C D F,又NAEB=NCFD=90,LABE出LCDF,BE=DF=r*tana,DE=DF+EF=ftana+r,AR在 RtZvtDE 中，tanZADE=,DE即 DElma=AE,.r*tana+r=r,B|J

27、tan2a+tana-1=0,V tana0,；tana=y 5,2 _即 lan/A O B的值为近二1.2【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化.2 4.已知ABCg/XQEC,AB=AC,ABBC.(1)如 图 1,C 8平分N 4 C D,求证：四边形ABOC是菱形；(2)如 图 2,将(1)中的 绕 点 C 逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,DE的延长线相交于点F,

28、用等式表示/A C E 与/E F C 之间的数量关系，并证明；(3)如图3,将(1)中的(7绕 点 C 顺时针旋转(旋转角小于N A B C),若NBAD=Z B C D,求/4 O B 的度数.【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AC=DC,根据角平分线的定义得到N O C B=Z A C B,证明四边形A 5 C。为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；(2)根据全等三角形的性质得到N ABC=N O C,根据三角形内角和定理证明即可；(3)在AO上取点M,使AM=BC,连 接BM,证明得到8M=8。，NABM=/CD B,根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案.【解答

29、】(1)证明：V A A B C A D E C,：.AC=DC,9：AB=AC,：.ZABC=ZACB,AB=DC,T C B 平分/A C。，:DCB=NACB,：.NABC=NDCB,：.AB/CD,.四边形ABDC为平行四边形，UAB=AC9 平行四边形A B D C为菱形；(2)解：ZACE+ZEFC=18 0 ,理由如下：V A A B C A D E C,ZABC=/DEC,：.NACB=/DEC,V ZACB+ZACF=ZDEC+ZCEF=ISO,:NCEF=N A C/，V ZCEF+ZECF+ZEFC=18 0 ，：.ZACF+ZECF+ZEFC=180,；NACE+NEF

30、C=180；(3)解：如图3,在 AO上取点M,使 A M=8 C,连接8M,在AM3和C3O 中，M=B C ZB A M=ZD C B，A B=C D丝CB。(S A S),：BM=BD,NABM=NCDB,:/B M D=/B D M,NBMD=N8AO+NMB4,/A D B=N B C A/B D C,设/B C D=/B A D=a,/B D C=B，则NAO5=a+0,U：CA=CD,：.Z CAD=Z CDA=a+20,：.ZB A C=ZC A D-N8AD=20,：.ZA C B=X(180-20)=90-0,ZACD=90-p+a,V ZACD+ZCAD+ZCDA=180

31、,.90。-p+a+a+2p+a+2p=180,/.a+p=30,即/AOB=30.【点评】本题考查的是旋转变换、菱形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，证明AMB四CBO是解题的关键.2 5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线丫=以2+反经过A(4,0),8(1,4)两 点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.(1)求抛物线的解析式；(2)若0 4 8 面积是PAB面积的2 倍，求点尸的坐标；(3)如图，OP 交 AB 于点、C,PDBO 交 AB 于点、D.记C OP,ACPB,C 8 0 的面S|Sn积分别为Si,52,S3.判断廿+廿是否存在最大值.若存在，求出最大值

32、；若不存在,请说明理由.【分析】(1)将点A,B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；(2)利用待定系数法求出直线A B的解析式，过点P作P M L x轴于点M,与A B交于点N,过点B作B E L P M于点E,可分别表达 OA B和PA B的面积，根据题意列出方程求出P N的长，设出点P的坐标，表达P N的长，求出点P的坐标即可；(3)由三角形面积的“背靠背模型”可 得 篡+绘=黑+票.S 2 S 3 C B C D解：(1)将 A (4,0),B (1,4)代入 丫=以2+以,(16a+4b=0Ia+b=4解得416T抛物线的解析式为:b-(2)设直线A B的解析式为：yk

33、x+t,将 A (4,0),8 (1,4)代入4k+t=0lk+t=4解得(4,0),B(1,4),SOAB 4 X 4=8,:SM)AB=2S&PAB=8 ,B P SAPA=4,过 点 尸 作 轴 于 点M,P M与A B交于点M 过点8作B E L P M于点E,如图,设点。的横坐标为机,:.P(t n,-加+-m)(1 /n 4)3 3.PPANZ_=-4-w2zj+_ -1-6 m-z(-4-m+,16 x)3 3 3 3z (4 工 16、,N km,-,=8.31解得m=2或 机=3；：.P(2,争或(3,4).(3)*：PDOB,NDPC=NBOC,NPDC=NOBC,：./D

34、PC/BOC,:.CP：CO=CD-.CB=PD-OB,.J_=C D CD=C P.S2_C B 瓦 一 时.S1 1 s2 2 PDS 2 Sg OB设直线A 8交y轴于点 尸.则 尸(0,竽)，O过点尸作P H L x轴，垂足为H,P H交A B于点G,如图,：4 P D C=/O B C,：.Z P D G=Z O B F,u：PG/OF,:./P G D=/O F B,:.N D G AO BF,：.PD：O B=P G：O F9设 P(，-rr+-n)(l n 4),3 3由(2)可知，P G=-/+型 丑-西，3 3 3,S1 ,s2 2 PD 2 PG 3 1,5 .9S2 s 3 OB OF 8 2 2 8Vl n 4,C S i So Q.当时，廿+好的最大值为蒋.2 3 2 s 3 8【点评】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养.