2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(含详解).pdf

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1、专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】1、一元二次不等式一元二次不等式依2 +灰+。0(。w 0),其中 =2 -4 c,XVX2是方程依2 +。尢+。0(W 0)的两个根，且X ()时，二次函数图象开口向上.(2)若 (),解集为若A=0,解集为1x|xeR且若(),解集为(2)当。0,解集为 x|%c x v x j若A V 0,解集为02、分式不等式 翌 0 o/(x).g(x)()g(x)，0=/(x)g(x)0g(x)g(x)o0(4)0 of(x)-g(x)|g(x)|o /(x)2 g(x)2|/(x)|g(x)(g(x)0)o /(%)g(x)期(x)-g(x

2、);|/(x)|0)o -g(x)f(x)0的解集为（加，）（其 中 加 0）,解关于x的不等式ex2+hx+a 0 .由o r?+x+c 0的解集为（加，），得:义工尸+b +c 0的解集为（白，,），即关于x的x x n tn不等式c f+bx+q 0的解集为（_ L,）.n m已知关于x的不等式c a?+f e r+c 0的解集为（m,n）,解关于x的不等式e x?+bx+aW 0.由 一+0的解集为（相，几），得:a d）?+/+c、4 0的解集为（-c o,U +8）即关于x的不等x x n m式 +尿+。0的解集为（加，）（其中:加0）,解关于x的不等式ex2-bx+a 0,由/+

3、f e r +c 0的解集为（m，n）,得:。山2-+c 0的解集为（-L 一 工）即关于元的不等式x x m ne x?_ f e x+a 0 的解集为（,-）.m n3.已知关于X的不等式依2 +公+。0的解集为（加，“），解关于X的不等式6%2 -法+4 0.由 一 +/?X+C 0的解集为（6，n）,得：d）2 的解集为（一 8,-U -，+8）即关于X的x x m n不等式5?-bx+Q W O的解集为（-8,-U -，+0 0）,以此类推.m n4.已知关于x的一元二次不等式ax2+b x+c 0的解集为R,则一定满足卜 0 ：A 0的解集为0,则一定满足6.已知关于X的一元二次不

4、等式以2+乐+c 0的解集为R,则一定满足卜;A07.已知关于x的一元二次不等式ax2+b x+c 0的解集为（）A.x x 1 C.x|-2 xl D.R x l 例 2.（2 0 2 2 全国高三专题练习（文）己知函数/（司=优 2-5 （。0 且a w l）的图象过定点（九），则不等式V+如+1 0 的解集为（）A.（1,3）B.（-3,1）C.-3）l,4-o o）D.（-3,1）例 3.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已 知 函 数=则不等式/（x+2）0 的解集为R,则实数机的范围是（）A 26 R 2 x/3A.m -3 3C c r 2 /3 _（.2-3C.m 0 D.m

5、 -&Lm-.3 3例 5.（2 0 2 2.全国.高三专题练习）若 函 数 ）=3 国+/,则 不 等 式 x+l）之/（2 x-4）的解集为（）A.3,+c o）B.（F,2 C.2,3 D.1,5【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在X轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参数一元二次不等式的解法例 6.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）不等式“x2-（a+2）x+2 2 0（a0）的解集为（）2 J ，一B.1,a Ja2 1-0 0,U 1,4-00）D.（-o o,l ua例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）设av-1,则关于x 的不

6、等式卜。的解集为（）A.x|xaC.卜 。或无D.xx-例 8.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知定义在R上的函数/（力满足 =且当x 0,则关于x 的不等式/（混）+2 m）/+/（2 月（其中0 m v&）的解集为（）mx mxm2B.无|x 一2D.x|x 加或x 0 的解集为A,集合B=x|l x 0,其中ZdR.（1）当 变化时，试求不等式的解集4（2）对于不等式的解集A,若满足ACZ=B（其中Z 为整数集）.试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合8 中元素个数最少的人的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.例 12.（2022.全国.高三专题练习）已知关

7、于工的不等式 2_如 _山 _机 0,若该不等式在（）中有且只有一个整数解，求实数机的取值范围【方法技巧与总结】1.数形结合处理.2.含参时注意分类讨论.题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13.（2022.湖南岳阳.二模）已知关于x 的不等式（4、b 40 +2 版+4 0 的解集为 孙一，其中2 0,则=+7 的最小值为（）mJ 4a bA.-2 B.1 C.2 D.8例 14.（2022.江苏南京模拟预测）已知关于R的不等式x?4。工+3。2 0（。0B.不等式乐+c 0 的解集是x|x0D.不等式&-fcr+a0的解集为（-0o,-g）5；,+0）例 1 6.（2 0 2 2 全

8、国高三专题练习）若不等式0 +5%+”0 的解集为卜则不等式f 0的解集为.例 1 7.（2 0 2 2 全国 高三专题练习）已知不等式以2 一打-1 2 0 的解集是卜1-：4犬 4一；,则不等式X2-b x-a 2的解集为.X例 1 9.（2 0 2 2 全国高三专题练习）不等式一二 1 的解集为_.X+1例 2 0.（2 0 2 2 全国高三专题练习）写出一个解集为（0,2）的分式不等式_.例 2 L （2 0 2 2 上海高三专题练习）关于/的不等式:一二 /0”,给出如下一种解法：解析:由以2 +&+c 0 的解集（T 2）,得（-x）2+“r）+c 0 的解集为（-2,1），即关于

9、x的不等式ax2-b x+c 0的解集为（-2,1）.参考上述解法，若关于x的 不 等 式 上+包 。的 解 集 为 mn，x+a x+c 3 y ）关于X的不等式一空+”)D.U 5，+02例26.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知曲线x）=V /+以一1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数“可 能 的 取 值（）A.19 B.3 C.y10 D.9例2 7.（2 0 2 2全国高三专题练习）若一元二次方程如2-（加+口+3 =0的两个实根都大于一1,则加的取值范围例28.(2 0 2 2全国高三专题练 习)设f(x)=3 a x2+苏+c,若a+A+c =0 J

10、(0)0 J 0,求证:(I )a 0且 2 1；a（II）方程/（X）=0在（0,1）内有两个实根.【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】一、单选题1.（2 0 2 2河南南阳中学高三阶段练习（文）己知集合4 =小2-2厂8 4 0，贝 l jA=3 =（）A.1x|-2 x 2 j B.x|-4 WxW2,x*-3 C.x 3 x 4 D,3-3 c x 4 4 2.（2 0 2 2 河北模拟预测）是“玄 氏/一2彳+。0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.

11、既不充分也不必要条件3.（2 0 2 2 陕西模拟预测（理）已知集合4=卜|/-3 x-4=0 ,B =xaxr,若人口3 =0,则实数a的取值范围是（）A.（-,-1 B.4,+oo）C.(9,一1)52,4)D.-1,2 7 4,”)4.（2 0 2 2.重庆南开中学模拟预测）已知函数x）=l nx-l n（2-x）-c o s 5 x,则关于f 的不等式/+/）0 的解集为（）A.（-2,1）B.（-1,7 2）C.（0,1）D.（0,7 2）5.（2 0 2 2 山西二模（理）已知集合4 =卜。/2 D.1,2 0 7.（2 0 2 2 江苏无锡模拟预测）已知实数a,b 满足如下两个条

12、件：（1）关于x 的方程3 丁-2 x-a b =0 有两2 1个异号的实根；（2）*+：=1,若对于上述的一切实数。，h,不等式a +2 6,/+2,恒成立，则实数，”的a b取值范围是（）A.（T,2）B.（-2,4）C.（,-4 u 2,+oo）D.8.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知”-1,11,不等式J+（a-4）x+4-2 a 0 恒成立，则x 的取值范围为（）A.（,2）U（3,+8）B.（e，1）。（2,+e）C.（Y O,1）5 3,+8）D.（1,3）二、多选题9.（2 0 2 2.全国高三专题练习）若不等式s i n2 x_ a s i nx+2 N 0 对 任

13、意 的 恒 成 立，则实数。可能是A.1 B.2 C.3 D.410.（2 0 2 2 江苏 高三专题练习）已知不等式加+f e c+c 0 的解集为其中加 0,则以下选项正确的有（）A.a0C.”2+法+0 的解集为D.c f+版+0 的解集为或1 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知函数/（司=2/一如一病，则下列命题正确的有（）A.当?KO时，,f(x)0C.V x”且占 w x 2 时，D.当机 0 时，若0 为/()1 2.(2 0 2 2 重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知两个变量x,y的关系式/(x,y)=x(l-y),则以下说法正确的是()A./(1,3)=/(3,1)=0

14、B.对任意实数。，都有成立C.若对任意实数x,不等式/。-。6)4-4 +4 恒成立，则实数“的取值范围是-5,3 D.若对任意正实数”，不等式/(x-a,x)4-a +4 恒成立，则实数x的取值范围是(，,()三、填空题1 3.(2 0 2 2.全国高三专题练习)不等式分2+1 +。0 的解集为 x|-2 x l,则函数y =向 至 的 单 调a递增区间是1 4.(2 0 2 2 浙江高三专题练习)若不等式(3 x-6)2 0 恰 有 1 个正整数解，则。的取值范围是.1 6.(2 0 2 2.全国高三专题练习)设。，b ,ce R ,对任意满足|4,1 的实数x ,都有辰?+bx+c 1,

15、则时+网+同的最大可能值为四、解答题1 7.(2 0 2 2 北京,高三学业考试)已知函数Ax)+皿+1 (旭是常数)的图象过点(1,2).(1)求/。)的解析式；求不等式/(x)+c=0,/(0)/(1)0,求证：方程x)=0 有实数根；h(2)-2 -0 的解集是 x|-3 x 0；（2）6 为何值时，6 2+法+3*0 的解集为R.2 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）解关于x的不等式：a r2+（l-a）x-l 0（a 0；对任意xeR,都有0 V/（x）-x M 5（x-1）.若存在，求 出 的 值，若不存在，请说明理由.专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】

16、1、一元二次不等式一元二次不等式依2 +灰+。0(。w 0),其中 =2 -4 c,XVX2是方程依2 +。尢+。0(W 0)的两个根，且X()时，二次函数图象开口向上.(2)若(),解集为若A=0,解集为1x|xeR且若 (),解集为(2)当。0,解集为 x|%c x v x j若A V 0,解集为02、分式不等式 翌 0 o/(x).g(x)()g(x)，0=/(x)g(x)0g(x)g(x)o0(4)0 of(x)-g(x)|g(x)|o /(x)2 g(x)2|/(x)|g(x)(g(x)0)o /(%)g(x)期(x)-g(x);|/(x)|0)o -g(x)f(x)0的解集为（加，

17、）（其 中 加 0）,解关于x的不等式ex2+hx+a 0 .由or?+x +c 0的解集为（加，），得:义工尸+b +c 0的解集为（白，,），即关于x的x x n tn不等式c f+b x +q 0的解集为（_L,）.n m已知关于x的不等式c a?+f e r+c 0的解集为（m,n）,解关于x的不等式e x?+b x +aW 0.由 一+0的解集为（相，几），得:a d）?+/+c、4 0的解集为（-c o,U +8）即关于x的不等x x n m式 +尿+。0的解集为（加，）（其中:加0）,解关于x的不等式ex2-bx+a 0,由/+f e r +c 0的解集为（m，n）,得:。山2-

18、+c 0的解集为（-L 一 工）即关于元的不等式x x m ne x?_f e x +a 0 的解集为（,-）.m n3.已知关于X的不等式依2+公+。0的解集为（加，“），解关于X的不等式6%2-法+40.由 一 +/?X+C 0的解集为（6，n）,得：d）2 的解集为（一 8,-U -，+8）即关于X的x x m n不等式5?-b x+QW O的解集为（-8,-U -，+00）,以此类推.m n4.已知关于x的一元二次不等式ax2+b x+c 0的解集为R,则一定满足卜 0：A 0的解集为0,则一定满足6.已知关于X的一元二次不等式以2+乐+c 0的解集为R,则一定满足卜 ;A07.已知关

19、于x的一元二次不等式ax2+b x+c 0的解集为()A.x|x l C.x|-2 x l D.R x l【答案】D【解析】【分析】结合元二次不等式的解法求得正确答案即可.【详解】由(x+2)(x-l)0解得x l,所以不等式(x+2)(x-l)0的解集为 H x l ,故选：D.例 2.(2022全国高三专题练习(文)已知函数力=优-2-5(。0 且”1)的图象过定点(见)，则不等式x?+,n r +l 0 的解集为()A.(1,3)B.(-3,-1)C.(-o o,-3)o(l,+o o)D.(3,1)【答案】D【解析】【分析】根据指数型函数的定点求解犯，代入后再求解一元二次不等式.【详解

20、】当 x=2 时，/(2)=4-2-5=。-5=1-5=-4,故加=2,=T,所以不等式为 丁+2 _ 3 0,解得一 3 x 0-2X2,X0则不等式 x+2)/(x2+2x)的解集是()A.(-2,1)B.(0,1)C.(-o o,-2)U (1,+o o)D.(1,+o o)【答案】C【解析】【分析】根据.”X)解析式，可 得 的 单 调 性，根据条件，可得x+2/+2r,根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】函数fl)/：?)：。，可 得.0,f(x)递增;当x-3心 正 或m一 组3 3所以/(X)在R上递增，不等式 f(x+2)/(d +2x),可化为 x+2 0,解得 x

21、l 或 x 0的解集为R,则实数，的范围是()A.m 0 D.【答案】B【解析】【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.【详解】当加=0时，该不等式为-2 x+l 0,解集为x 0当，片0时，由不等式的解集为R,得L /、2 ,/,、八，=(机+2)-4/zz(/n+l)2叵，3故选：B.例5.(2022.全国.高三专题练习)若函数)=再+/，则不等式/(x+l)N2x-4)的解集为()A.3,y)B.(-a),2 C.2,3 D.1,5【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性定义可知 X)为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定“X)的单调性，从而将所求不等式转化为|x+l|2|2

22、x-4|,解不等式可求得结果.【详解】v/(x)定义域为 R,/()=3问+(-X)2=3H+X2=/(X),/(X)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称；当x 2 0时，f(x)=3*+/,又y=3*,y=*2在0,+8)上均为增函数,/(X)在 0,+8)上为增函数，则/(X)在(-00,0 上为减函数；由/(x+l)N/(2x_4)可得：|x+l|可2x 4|,即(X+1)2N(2X_4，解得：1WXW5,即不等式/(x+l)N/(2x-4)的解集为 1,5.故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在X轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参

23、数一元二次不等式的解法例 6.(2022浙江高三专题练习)不等式江-(a+2)x+2(a 0)的解集为()C.-00,-u l,+oo)D.(7,1 。,+00I a L J【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：(x-1)(-2)2 0,22当时，可知(x)(x-l)0,对应的方程的两根为1,a a根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：A,”.a故选：A.例 7.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)设 则 关 于 x 的不等式a(x-a)卜-：)0 的解集为()A.x|x 1 B.x|xaC.或D.【答案】A【解析】【

24、分析】当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.【详解】因为,所以a(x-a)x-，0 等价于A.jx|mx 又因为当a-l时，所以不等式（x-a）（x-：）0的解集为：xxa或x：.故选：A.【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8.（2022全国高三专题练习）已知定义在R上的函数/（%）满足x-y）=x）-F（y）,且当x0时,/（x）0,则关于x的不等式/（如2）+/（2回 /（加、）+2月（其中0小&）的解集为（）2B.xxm xmC.x xm D.xxtnxm J m【答案】A【解析】【分析】先判断函数/（力 单调递减，再利用已知条

25、件和函数的单调性得（如-2）（x-间 0,解不等式即得解.【详解】任 取 由 已 知 得“与一天）0,即/（芭）一/5）0,所以函数/（力单调递减.由 f（如2）+/（2nz）/（4 x）+/（2x）可得 ftwc2）-/（2x）/（m2x）-/（2m）,即 fnvr-2x）f （nrx-lrn,所以）wc 2x nrx2m,B P nvC 一（H/+2）x+26 0,即（以一2乂%-间0,又因为0 v机 2,所以2 相，此时原不等式解集为m故选：A【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.例9.（2022全国高三专题练习）

26、在关于x的不等式炉-（4+1次+。0的解集中至多包含2个整数，则。的取值范围是A.（-3,5）B.（-2,4）C.-3,5 D.-2,4 口2.m【答案】D【解析】【详解】因为关于x 的不等式犬-（+1+”0 可化为（x-l）（x-a）1时，不等式的解集为l x a,当。1时，不等式的解集为a x 0 的解集为A,集合8=x l x 2,满足A c 8 0,求实数。的取值范围.【答案】（-8,-2（2,+8）【解析】【分析】由题意a w O,求出方程2a=O的两根，讨论。的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.【详解】解：由题意a#（）,令以2-2x-2

27、a =0,解得两根为舌=-=十+小2+1,由此可知演0,当a 0 时，解集A=XX X 2,因为所以A c 3 w 0 的充要条件是电 2,即-+.2+-2；当a0时，解集A=x|X1 尢 /,因为王0,%1，即L+二1,解得a 0,其中发6R.（1）当变化时，试求不等式的解集4（2）对于不等式的解集A,若满足ACZ=8（其中Z 为整数集）.试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合8 中元素个数最少的A的所有取值，并用列举法表示集合8；若不能，请说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）能；k=-2,B=-3,-2,-1,0,1,2,3）【解析】【分析】(1)对女进行分类讨论，结合一元二次

28、不等式的解法求得不等式的解集A .(2)结 合(1)的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.(1)4当 2=0 时，A=x|%0 且上2 时，A =x k 一 +&；k4当 Z=2 时，4 =x#l ；当 k 0 时，A =x|+-x 4 .k(2)由(1)知：当行0时，集合B中的元素的个数有无限个；当 k 0 时，集合8 中的元素的个数有限，此时集合 8 为有限集.44因为+=(灯+去 归 4,当且仅当k=-2时取等号，k所以当人=一2时，集合8 中的元素个数最少，此时 4=川-4 4 0,若该不等式在(a )中有且只有一个整数解，求实数M 的取值范围【答案】J，2詈 4 3【解析

29、】【分析】将不等式转化为例，构造函数/(x)=5 7畔，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于X的不等式*2-a-1展-加 之笔，22(x +1)令/)二x2-2 1i i r2(x +l)x 0,则 r*)=x3+2x2-2x-2+2xnx2X(X+1)2令 (x)=x3+2x2-2 x-2 +2xnx,w*(x)=3x2+4x +2 1n x 在(0,+oo)上单调递增,因此存在与w(0，l),使得存/)=3考+气+2 1i=0,2 叫=-3片-气,“(X。)二 片 +2 片一2%-2 +2 x0l i u-0=x1+2 片 -2 Ao-2 +/(一3片-4x0)=一 2 片-

30、2 片-2x0-2=-2(x0+l)(x；+1)0 ,u(1)=-1 0.因此存在益(1,2),使得(%)=0,因此函数/在(0,%.)内单调递减，在。，+动 单调递增.f（1）=；,f（2）4 3.关于x的不等式g d _ 如 _ 1n x一 阳 0 ,该不等式在（4 力）中有且只有一个整数解，实数用的取值范围是（JF铲.4 3【方法技巧与总结】1.数形结合处理.2 .含参时注意分类讨论.题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式（4 A b 4例 13.（2 0 2 2 湖南岳阳二模）已知关于x的不等式以2+2 以+4 0 的解集为 见 一，其中机（）,则7 +:V m）4a b的最小值为（

31、）A.-2 B.1 C.2 D.8【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数。=1，确定6 22,然后结合基本不等式得最小值.【详解】以2+2 +4 4,即力之 2,+=+2 ,当且仅当 Z?=4 时m a tn-m 4 a b 4 b取“=”，故选：C.例 14.（2 0 2 2 江苏南京模拟预测）已知关于x的不等式/-4 4 X +3/0（。0）的解集为（与 x2）,则%+%+/-的最大值是（）XjX2A 指 R 2G 46 n 4 G33 3 3【答案】D【解析】【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出为+=4*X,X2=32,再用基本

32、不等式求出最值【详解】2-4依+3。2 0（a 0）的解集为（与，X2）,则%,*2 是方程V-4奴+34=0的两个根，故%+=4，书=3心故i2+太=痴+5因为 0 的解集为（7,-2）5 3,+oo）,贝 IJ（）A.a 0B.不等式Z?x+c 0的解集是 x|x 0D.不等式e x?-/?x +a 0的解集判断出0,结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断B CD 选项的正确性.【详解】关于x的不等式办2+区+0 0 的解集为（_ 8,_ 2）=（3,+8）,;.。0,人选项正确；-2 +3 =-且一2和 3是关于x的方程如2+法+0=0 的两根，由韦达定理得“，c c C-2 x 3

33、 =-a贝|匕=一 ,。二 一 6。，则a+/?+c =-6a 0 即为一ax-6a 0,解得工 一 6,B 选项1 卜：确；不等式e x?法+。0 即为一 6ov2+or +4 0 解 彳 导 彳；,D选项正确.故选：ABD.例 1 6.（2 02 2 全国高三专题练习）若不等式加+5x +”0 的解集为则不等式 生:02 3 J x-3的解集为.【答案】32 3【解 析】【分 析】由不等式a r 2+5x +l V0的解集为可得参数”的值，则不等 式 手0也具体化了，按分式不等式解之即可.【详 解】由不等式ox?+5x +1 4 0的解集为,可 知 方 程or?+5x+l=0有 两 根X

34、=-g，%2=一故。=6,3 Y a 3 x -6则不等式士一 0即 0等 价 于3(x-2)(x-3)0,x-3 x-3不 等 式3(x 2)(x 3)0 的解集为 x|2 x 3 ,则不等式 在;0的解集为3 2 v x 3 ,x-3故答案为：x|2 x 3 .例1 7.(2 02 2.全国.高三专题练 习)已 知 不 等 式 以2-灰 _ 后0的解集是卜则不等式x2-b x-a 0的解集是.【答 案】x|2 x 3【解 析】【分 析】根据给定的解集求出。，人的值，再代入解不等式即可作答.【详 解】因此，不等式 X?-b x-a 0 为：x2-5x+6 解得 2 c x 3,所以不等式V-

35、法“。的解集是 x|2 x 3 .故答案为：U|2 x 2的解集为.X【答案】（o g）【解析】【分析】由,2 可得工-2 0,结合分式不等式的解法即可求解.X X【详解】由一 2可得：一 2 0,整理可得：0,则（2 x l）x0,解可得：0 x 2的解集为：（0,；故答案为：（0，；例 19.（2 02 2 全国高三专题练习）不等式一二1 的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.X+1【答案】（1,0）【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解.【详解】1 1 Y X1 =-0 n 0=0 n Tx0,X+l X+l X+1 X+1故答案为：（1,0）.例 20.（2 02

36、2.全国.高三专题练习）写出一个解集为（0,2）的分式不等式.【答案】一 二 ox-2【解析】【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论.【详解】一个解集为（0,2）的分式不等式可以是=/5-产（）的解集为【答案】4,5)【解析】【分析】x-4 0通过f-3 x+3 0 恒成,工，石二0 恒成立，将不等式最终转化为r-x。，解出即可.X +1 H0【详解】解：对于X2 3X+3，WA=32-3X4 0 恒成立，又j 5-x W 0 恒成立,一Qz空 _ 2 0=.(x+l)(x2-3x+3)-Jx，-3X-4)3x+5-x 0N O 乂。2 _ 3 工_ 4)3 (X_ 4)3(X+)3x+

37、1 x+1，-3 x-4);ox+1 一 ，5-x0(x2-3 x-4)3 =(x-4)3(x +1)3，”x-4 05-x 0 解得不等式的解集为 4,5).x +l x O故答案为：4,5).【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题.例 22.(20 22四川德阳三模(文)对于问题:“已知关于x的 不 等 式 加+笈+c 0 的解集为(T2),解关于x的不等式依2_ 法+0 0”,给出如下一种解法：解析:由加+法+c 0 的解集(T 2),得a(-x)2+b(-x)+c 0 的解集为(-2,1),即关于x的不等式加一法+c 0 的解集为(

38、-2,1).参考上述解法，若关于x的不等式-+土 也 0 的解集为x+a x+c 3 J 2)关于X 的不等式!+史 二 0的 解 集 为 一.0 X4-1 5+1【答案】(-3,-1川。,2).【解析】【分析】关于x的不等式+”0 可看成前者不等式中的x 用工代入可得不等式结+”0的解集.ax+cx+x ax+cx+l【详解】若关于X的不等 式 上+统0的解集为则关于X的不等式结+”0及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数”的取值范围.【详解】因为关于X的方程62-2or+l=0有两个不同的正根，a w 0所以 =4/-4。0,解得。1,故实数。的取值范围是（L+8）.-0a故选：C例24

39、.（20 22全国高三专题练习）已知函数/。）=卜3 +、x+l在（-8,0）,（3,+8）上为增函数，在（1,2）上为减函数，则实数 的取值范围为（）A.S,T B.5 5 C.o广 4 0/(2)4 0 八3)20即，l01 +2 +1 04 +4。+1 0 9 +6 a +120解 得-a -5534所 以 实 数a的取值范围为故选：B【点 睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.1JT例25.(20 22全国高三专题练 习)若 函 数f(x)=QC O s2x +3 a(sinx +c osx)+(2a -l)x在0,上单

40、调递减,则实数。的取值范围为A.B.C.-00,U 1,4-00)D.(-0 0,-1 u ，+8【答 案】A【解 析】化简函数/（X）,根据/（X）在 区 间0,1上单调递减，/（x）W 0恒 成 立，由此解不等式求出a的取值范围.【详 解】由函数/(x)=/c os 2x +3(sinx +c os x)+(2a-l)x,且 在 区 间0,y上单调递减,，在 区 间0,hf(x)=-sin2x+3a(cosx-sinx)+2a-1 0 f s MCAL,二 设 1 =cosx-sinx=2sinx-7T冗 式 冗 冗 当 0,y 时,JG -1,1,即 一 I gC O S LS 讥在 1

41、,令 一2A=1-尸 0 ,原式等价于1+3。/+2。-2 式），当/一 1,1 时恒成立，令 g=户+3 3+2。-2,-1只需满足 2 或J 2 一 或 g =5。一 1(0g =5 a-l W。g(-1)=-1 W 0 (-1)=。，r A0 22-4X2X（-3）0则 即。-3 c ，m-w2 0 -0解得：374,所以。的取值可能为1?9 ，1当0.2 6 3故选：A C.【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例 2 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）若一元二次方程蛆2-（，+1）+3 =0 的两个实根都大于-1,则机的取值范围【答案】加 -1，、r2m

42、 解得：机/.A 0,矿(-1)0故答案为：机 0 J 0 ,求证:（I ）0 J L-2 0J 0,所以c 0,3 a +力+c 0.由条件a+0+c =0，消去力，得a c 0；由条件a+8+c =0,消 去 得 +。0.(H)函数/(x)=3#+2bx+c的顶点坐标为(上 3“c-%的两边乘以二，得?3a 3a a 3 3 3a 3又因为/(o)0J(l)0,而/(-A)=_ a-+c-ac 0,3a 3a又因为/(x)=3ax2+2 +c 在(0,-二)上单调递减，在(二 )上单调递增，3a 3a所以方程/(X)=0 在区间(0,-3)与(-3,1)内分别各有一实根.【方法技巧与总结】

43、解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】一、单选题1.(2022河南南阳中学高三阶段练习(文)已知集合4=卜,2-2 乂_ 8 4 0,B=王 当。1，则4 口8=1x|-2 x 2|x|3x4).r|-4 x 2,x-3|x|-3x4j【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合A B,然后根据并集的定义即可求解.【详解】解:因为集合4=#2-2 -840=3-2 4 44,B=(x-2)(x+3)0 x+3w 0=jx|-3jc21,所以 A uB =x|-3 x44,故选

44、：D.2.(2022河北模拟预测)“1 1”是“m xeR,x2-2x+a 0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】3xe R,x2-2%+0,列出不等式，求出”1,从而判断出答案.【详解】3X GR,X2-2X+0,解得：a,因为 11刃 1,但。故“a 11 是“Hr e R,x2-2 x +a vO”的必要不充分条件.故选：B3.（2022陕西模拟预测（理）已知集合 4=月 产-3x-4=0,B =xax（r ,若人口8=0,则实数a的取值范围是（）A.（-oo,-l B.4,+co）C.（-oo,-l）J（2,4

45、）D.-1,2J4,+O O）【答案】D【解析】【分析】由题知A=T,4,进而分B=0 和8 工0 空集两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知 A=X|X2-3X-4 =0=-1,4,因为人口8 =0,所以，当 8=xa x a2,解得0 4 a 1,a2 4当 8=x a x a I综上，实数的取值范围是T,2 u 4,y）.故选：D4.（2022重庆南开中学模拟预测）已知函数 x）=ln x-ln（2-x）-c o s/x,则关于，的不等式/+/（产）0 的解集为（）A.（-2,1）B.卜1,及）C.（0,1）D.（0,72）【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式判断函数关于点（1,0

46、）成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.7T JT【详解】*.*f（x）+f（2-x）=ln x-ln（2-x）-cosx+ln（2-x）-ln x-co s（7 t-x）=0,/（x）图象关于点（1，。）成中心对称,JT又“x)=ln x-ln(2-x)-c o s5 x 的定义域为(0,2),山 y=lnx,y=-ln(2-x),y=-c o s x 在(。,2)上单调递增知,JT/(x)=ln x-ln(2-x)-co s Xi：E(0,2)上递增,即/(尸)/(2 _),:.t2 2-t,解得一2 f l,又0 r 2 _0 产 2 解得所以0f 1.故选

47、：C5.（2022山西二模（理）已知集合A=z|x2 3j,JB=#x a +!,若 AAB有 2 个元素，则实数。的取值范围是（)A.I-1B.I0C.一|,o 卜(1,田)D.-32?-T?【答案】D【解析】【分析】由题知A=-1,0/,进而根据题意求解即可.【详解】解：因为4=卜2,3 =_1,0,1,B =a x a+32a-3 或0 +-l2若A n e 有 2 个元素，则3 1，解得-或-!4 2 22所以，实数”的取值范围是卜|，-1）=卜；，。）.2故选：D.Jr 57r6.（2022重庆高三阶段练习）若关于x 的不等式sin x|sin x-k|4 2 对任意xe 恒成立，则

48、实数我的6 6取值范围为（）A.-1,3B.7 5C.-1,2A/2 D.1,272【答案】A【解析】【分析】令，=sinx,f，,l ,贝 I 一 Z区2.对k 进行讨论，即可求出答案.【详解】4=sinx,/G,1,贝 ij”/-&|4 2.(1)当时，贝 卜(r-k)4 2 n 产一 h-2 V 0,令g=*_ -2 ,g 的=g=-l A:-l.故-2(2)当21 时,则“&-f)4 2 n/一切+220,令 g(f)=*一 比 +2k当5 1 时，2 川%l 2,则 g(x)mi=g(l)=l&+2 0 n%V 3 n 2 4&4 3故 1“加2+2加恒成立，则实数加的a h取值范围

49、是()A.(-4,2)B.(-2,4)C.(-00,-4 M 2,+8)D.(-oo,-2u4,+oo)【答案】A【解析】【分析】首先判断a 0,6 0,再化简a +2 =(+2 3(：+|=4 +,/，利用基本不等式求解.【详解】解：设方程次-2尸“6 =0的两个异号的实根分别为A，巧，则再&=-弓 0.2 1又一+=1,.*.0,b 0,a b则“+=(+2 3(2+_ 1 =4 +q+丝+竺=8 (当且仅当a =4,6 =2时取=”),a b)b a b a由不等式+2+2,管恒成立，得加N+2加 8,解得4 v z 0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)U(3,+8)B.(-0 0

50、,1)U(2,+oo)C.y,1)5 3,+8)D.(1,3)【答案】C【解析】【分析】把不等式看作是关于。的一元一次不等式，然后构造函数了(乃二。-？)。*X2-4x+4,由不等式在T,1 恒成立，得 到:八 八，求解关于。的不等式组得x得取值范围./(I)0【详解】解：令/(a)=(x-2)a+x2-4X+4,则不等式/+s-4)x+4-2 a 0恒成立转化为/(a)0在a 上恒成立.f/(-l)0 f-(x-2)+x2-4x+4 0/(I)0 x-2+x2-4x+4 0整.理mz得ra：【八x2-5x+6,0。解得：x 3.x的取值范围为(r,1)=(3,内).故选：C.二、多选题9.(