2023年陕西省高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf

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1、2023年陕西省高考文科数学压轴题总复习y2如图，椭圆C：滔+记=1(a b 0)的左、右焦点分别为E,F,点。在 C 上，ADEF一 一 S=90,EF=2,EF+ED=.(1)求 C 的标准方程；(2)若尸为O尸的中点，四边形G/S7为 C 的内接长方形，SJ_x轴，直线尸交C 于点 0,且直线0 s 交 x 轴于点U,求|。口的值.第1页 共104页2.已知函数(x)=*-“+等(a,h ER).(1)若 a b 0,证明/(a)/(/);(2)若对任意x (0,+8),be (-e,0),都有/(x)-e,求实数a 的取值范围.第 2 页 共 104页3.已知函数/(x)=mx-nxl

2、n x(jn,n/?).(I )若函数/(x)在(1,/(l)处的切线与直线x-y=O 平行，求实数的值;(I I )若=1 时，函数/G)恰有两个零点XI,X2 (0 Xl 2.第3页 共104页4.已知函数(x)=ax+lnx+.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W/恒成立，求实数。的取值范围.第4页 共104页5.在平面直角坐标系中，A,8分别为椭圆：万+y2 =i 的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y 轴不重合，且 C、。两点在y 轴右侧，C在。的上方)，直线/O 与 8c相交于点。.(1)设 的两焦点为

3、尸1、尸 2,求/尸”尸 2 的值；(2)若 6=3,且P O=*P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点0的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第5页 共104页7 F c.6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4 B两点（1 ）求椭圆的标准方程；1（II）当直线/的斜率为5时，求弦长|48|的值.（III）设M （机，0）是线段OF（O为坐标原点）上一个动点，且（而+病）1 m，求机的取值范围.第 6 页 共 1 0 4 页7.已 知 项 数 为(znCN*,m 2 2)的数列

4、“”满足如下条件：(T)an G N*(n 1,2,w)；aia2-a,n.若数列 为 满足b；=(ai+azqMam)e N*,其中=1,2,m,则称 篇 为 a”的“心灵契合数列”.(1)数 列 1,5,9,11,15是否存在 心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数列“；若不存在，请说明理由；(2)若 为 即 的“心灵契合数列”,判断数列也”的单调性,并予以证明；(3)己知数列 斯 存 在“心灵契合数列”如，且G=1,劭,=1025,求机的最大值.第 7 页 共 1 0 4 页8.设数列4：a,“2,，(2 3)的各项均为正整数，且aiWazWWa”.若对任意在 3,4,”,存在正整数

5、3 /(1 WiW/Vk)使 得 四=。汁华 则称数列/具有性质7.(I )判断数列4：1,2,4,7与数列血：1,2,3,6是否具有性质丁；(只需写出结论)(I I )若数列4具有性质T,且m =l,图=2,。=2 0 0,求的最小值；(I I I)若集合 5=1,2,3,，2 0 1 9,2 0 2 0 =SU S2 U S3 U S4 U S5 U S6，且 S C5 =0(任意3/6 1,2,6 ,i壬/).求证：存在$,使得从S中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质7的数列.第8页 共104页9.已知函数/(x)=g(x)=2ln x+2a(aR).(1)求/(x)的单调区

6、间；(2)证明：存在(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.第9页 共104页1 0.已知函数/(x)=x2-2bx-Inx.(I )讨论/(x)的单调性；(H)设 6 2 0,若/(元)在xo处有极值，求证：f (xo)方 0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（一1,（1）求椭圆C的方程；（2）设 尸（x,y）为椭圆C上的动点，F 为椭圆C的右焦点，/、8分别为椭圆C的左、右顶点，点尸 满足P P =（4-x,0）.证明：为 定 值；|P F|设。是直线/：x=4 上的动点，直线A Q、B Q分别另交椭圆C于 A f、N两点，求|四用+|询的最小值.第1 2页 共104页

7、1 3.正整数数列“”的前N项和为S”前项积7,e N*(/=!,2,H),贝|J称数列*为“Z 数列”.(I)判断下列数列是否是Z 数列，并说明理由；2,2,4,8；8,24,40,56.(H)若数列 斯 是 Z 数列，且 公=2.求 S3和乃;(I ll)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由.第1 3页 共104页1 4.函数f(x)满足：对任意a,P G R,都有/(耶)=a/-(p)+0/(a),且(2)=2,数列 斯 满足 a*=/(2 )(n N+).Q”(1)证明数列 关 为等差数列，并求数列“的通项公式；(2)记数列仍“前项和为S”且 加=迎 地，问是否存在正整数机，使 得(

8、5+1)(S”-4)+1 9 篇0 成立，若存在，求 m的最小值；若不存在，请说明理由.第1 4页 共104页11 5.已知函数/(x)=-x+aln x.(I)求/(x)在(1,/(I)处的切线方程(用含。的式子表示)(II)讨论/(x)的单调性;(III)若 x)存 在 两 个 极 值 点.证 明：然詈勺一 2.第1 5页 共104页1 6.已知函数/(x)=lnx-a x(6rGR)的最大值为-1.(I)求函数/(x)的解析式;(II)若方程/(X)=2-x/有两个实根XI，X2，且 X1X2，求证：Xl+x2l第1 6页 共104页X 2 y21 7.已知椭圆E：熊 +3=l(a b

9、0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y-2=0相切.(I)求椭圆的标准方程；()A,B,C 为椭圆E 上不同的三点，。为坐标原点，若&+办+辰=3,试问:N8C的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.第1 7页 共104页X y V 21 8.已知椭圆C：-7 +7 7 =1 Cab0）的离心率为二长轴长为4&.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）设点尸是椭圆C上的任意一点，若点尸到点（2,0）的距离与点P到定直线（r 0）的距离之比为定值入，求人与f的值；（I I I）若直线/：y kx+m*#0）与椭圆C交于不同的两点，N,且线段M

10、N的垂直平分线过定点（1,0）,求实数4的取值范围.第 1 8 页 共 1 0 4 页1 9.设S”为首项不为零等差数列 a”的前项和，已知a 4 a 5=3。9,5 5=2 0.(1)求数列 a“的通项公式；设7，为数列 人 的前项和求 公 的 最 大 值 第 1 9 页 共 1 0 4 页2 0.设数列 斯,bn 已知 a i=4,6 1=6,a +i=，b”+i=0n(C N*),(1)求数列 瓦-a 的通项公式;(2)设S”为数列 加 的前项和，对任意 N*,若夕(S“-4)Gl,3恒成立，求实数p的取值范围.第2 0页 共104页21.己知函数/(x)=2ln(x+1)+si n x

11、+l.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程;(2)证明：x +ln x；(3)证明：/(x)W(x+1)2叫第 2 1 页 共 104页1 322.已知函数/(x)=+a x (a R),g(x)=ex+x.(1)当a=-4时;求函数/(x)的极值；(2)定义：对于函数/(x),若存在x o,使/(x o)=x o成立，则称x o为函数的不动点,如果函数尸(x)=/(x)-g (x)存在不动点，求实数a的取值范围.第2 2页 共104页/y223.已知椭圆/+记=1 (a 6 0)的右焦点到右准线的距离为1,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段长为夜.(1)求椭圆

12、的标准方程；(2)若。为坐标原点，直线/与椭圆交于P,。两点，且直线/与。0：/+/=|相切，证明：O P_ L O。.第2 3页 共1 0 4页X y o2 4.已知椭圆C：葭+6=1（。方0）的左、右焦点分别为Fl，F 2,M（l,分为椭圆上一点，且|X|+|加 2尸 4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点/作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于另一点4 B,求证：直线N8 过定点，并求出定点的坐标.第2 4页 共1 0 4页25.斯 是等比数列，公比大于。，其 前 项 和 为&（叫 N*）,瓦 是等差数列.已知田=1,。3=。2+2,44=63+65，45=04+266.(I)求 “和 加 的

13、通项公式;(II)设 5=(an+D Q+i+l)数列 Cn 的前项 和 为Tn，求Tn的值.(III)设dn=bn，.其中 kN*,求di(nN*).bnClog2bn+l),n=2k 1-1第2 5页 共1 0 4页26.已知函数/(x)的定义域为。，若存在实常数入及a (a W O),对任意在。，当x+托。且x-a E D时，都有/(x+a)+/(x-a)=A/(x)成立，则称函数/(x)具有性质M(人,a),集 合=(入，a)叫做函数/(X)的性质集.(1)判断函数/(x)=/是否具有性质(入，a),并说明理由；(2)若函数g (x)=si n 2r+si n x具有性质M(入，a),

14、求g (x)的A/性质集；(3)已知函数尸(x)不存在零点，且当x w R时具有性质M(t+4 1)(其中4 0,rH I),若a=h()(6N*),求证：数列%为等比数列的充要条件是&=t或上=Q 1 0 1 t第2 6页 共104页27.已知函数/(x)=a/+c osx -3的图象在点(0,/(0)处的切线与直线x+=0垂直.(1)判断/(X)的零点的个数，并说明理由；(2)证明：/(x)/对 x (0,+8)恒成立.第2 7页 共104页2 8.已知函数/(x)=(x-a-1)-+(x0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)当aW2时，若/(x)无最小值，求实数a的取值范围.第2 8页

15、 共104页/y229.已知椭圆C：葭+金=1 (心 6 0)的左焦点F(-0),椭圆的两顶点分别为Z(-a,0),B(a,0),M 为椭圆上除4 8之外的任意一点，直线用4 的斜率之积为一宗(I)求椭圆C 的标准方程；(I I )若 P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k的直线/不经过P点且与椭圆C 交于E,F两点，设直线尸E,P尸的 斜 率 分 别 为 上，且左1+依=-1,试问直线/是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.第2 9页 共10 4页3 0.己知椭圆C：务哙=l（a b 0）的离心率为:，过焦点且垂直于长轴的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1,0）的直

16、线/交确圆C 于 4,8 两点，在 x 轴上是否存在定点P,使得日1 而为定值？若存在，求出点p 的坐标和届丽 的值：若不存在，请说明理由.第3 0页 共104页31.已知各项均为正数的数列“的前”项和为S”，且45.=必+2册.(I )求数列 利 的前项和为(II)求证：中何+“+后+第3 1页 共104页3 2.已知等差数列 “和等比数列 瓦 的各项均为整数，它们的前项和分别为S”Tn,且b=2a=2,6 2s3=5 4,。2+乃=11.（1）求数列 即,出 的通项公式；（2）求 跖?=。1 加+。2b2+036 3+瓦 I；（3）是否存在正整数加，使得 笔 铲 恰好是数列 斯 或也”中的

17、项？若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，说明理由.第 3 2 页 共 1 0 4 页3 3.已知函数/(X)=历 -x+Q有两个不同零点XI，X 2(X1X2).(1)求。的取值范围；11(2)证明：当0用工工时，X2X2 b 0),它的上，下顶点分别为4,B,左，右焦点分别为F i，F i,若四边形/1 8丘2为正方形，且面积为2.(I )求椭圆E的标准方程；(I I)设存在斜率不为零且平行的两条直线/I,/2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形C D M N是菱形，求出该菱形周长的最大值.第3 5页 共104页3 6.已知椭圆C：2+2 =1 （a 6 0）的离心率为万

18、，且经过点（三，2）（I ）求椭圆C的标准方程；（I I ）若直线/与椭圆C交于V、N两点，8为椭圆C的上顶点，那么椭圆C的右焦点尸是否可以成为 8 MN的垂心？若可以，求出直线/的方程；若不可以，请说明理由.（注:垂心是三角形三条高线的交点）第 3 6 页 共 1 0 4 页3 7.已知人是非零实数，数列。”的前项和为S”满足S”=l+入 斯+i，且 6=-2.(1)求。|、。3,并 判 断 4 2,。3 能否依次成等差数列，并说明理由；(2)写出数列 斯 的通项公式，并求出数列 斯 是等比数列时入的值；(3)是否存在入，使得对于任意的C N*,都 有 为 常 数)恒 成 立？若存在，则求人

19、的取值范围，并对每个人的值写出相应的的最小值加(入)；若不存在，请说明理由.第3 7页 共104页3 8.某种汽车购买时费用为1 6.9 万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9 万元，汽车的维修保养费为：第一年0.2 万元，第二年0.4 万元，第三年0.6 万元，依等差数列逐年递增.（1）求该车使用了 3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？（2）设该车使用年的总费用（包括购车费用）为/（），试写出/（）的表达式；（3）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.第 3 8 页 共 1 0 4 页39.若方程/(x)=苫有实数根xo,则称xo为函数/(x)的一个不动点.已知

20、函数/(X)=小+(a+1)x-alnx(e为自然对数的底数)aER.(1)当 时 是 否 存 在 不 动 点？并证明你的结论；(2)若a=-e,求证/(x)有唯一不动点.第3 9页 共104页4 0.已知函数/(x)(I )求/(x)的单调区间：(I I)过点P(1,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由;(I I I)若/(x)G-1)对任意xC R恒成立，求实数的取值范围.第4 0页 共104页%2/y24 1.在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆。：+)=1 C 2：+=1 设直线/与椭圆。切于点M,交椭圆C 2 于点/，B,设直线/1 平行于/,且与椭圆C 2 切于点

21、N.(1)求证：直 线 恒 过 原 点。；(2)若点”为线段ON上一点，求四边形。/N 8 的面积.第4 1页 共104页4 2.已知/8C 的三边长B C、AC,48 成等差数列，且 8、C的坐标分别为力(-3,0)、C(3,0).(1)求顶点8 的轨迹的方程；(2)求曲线E的内接矩形的面积的最大值.第4 2页 共104页4 3.已知首项相等的两个数列 斯,垢(与H 0,n 6 N*)满足anbnu-an+y bn+2bn+bn0.(I )求证：数列 普 是等差数列；Jn(I I)若与=2f 求 斯 的前 项和S；(I I I)在(H)的条件下，数列 S”是否存在不同三项构成等比数列？如果存

22、在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.第 4 3 页 共 104页4 4.已知等比数列 a 前项和为SJ,T=m=2,数列 6 的各项为正，且满足S3+3 a3bn+2-b/=至 塔 a1=aib.（1）求数列 和 瓦 的通项公式；1 1 1 6 V3 1（2）若 5=硒（2+诟短前）求证：WFW5+C2+C3+Cn0时，f(x)g (x)恒成立，求。的最大值.第 4 5 页 共 104页4 6.已知函数/(x)=aln x(a W O)与y =/好的图象在它们的交点p(5,t)处具有相同的切线.(1)求/(x)的解析式；(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点

23、xi，X 2，且xi b 0)过 点(1,万)，离心率为万，A,8 分别是椭圆 C的左，右顶点，过右焦点尸且斜率为A (A 0)的直线/与椭圆相交于，N两点.(7)求椭圆C的标准方程；(2)记 8F N 的面积分别为Si，S2，若 自，求女的值；(3)记直线/M、8 N的斜率分别为k”ki,求1的值.第4 7页 共104页/y2 pj4 8.已知椭圆C：滔 +记=1 (“6 0)经过点(1,下)，且短轴长为2.(I )求椭圆C的标准方程；(I I )若直线/与椭圆C交于P,0两点，且。尸，0。，求A O P 0面积的取值范围.第4 8页 共10 4页4 9.己知函数/(x)=ln(1+x)+a

24、x e x.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在 点(0,/(O)处的切线方程；(2)若/(x)在 区 间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.第 4 9 页 共 104页50.某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有人(依N*,左 2)份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验左次；方案二：混合检验，将左份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则无份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定上份血液中的阳性血液样本，则对份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a(a 0)元，且左

25、份血液样本混合检验一次需要额外收：a元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(0pl).(1)若A aeN*,%22)份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X,求X分布列及数学期望；(2)若k=5,0p 6 0)的左、右焦点分别为 R 点。在。上，Z D E FT T 5=9 0 ,EF =2f|F F+E D|=|.(1)求。的标准方程；(2)若尸为。尸的中点，四边形G H S T 为。的内接长方形，H S J _ x 轴，直线”尸交C于点 0,且直线Q S 交 x轴于点U,求|。5的值.解：(1)由题意可得

26、c=l,所以E (-1,0),F(1,0),力 2设 D(x o，/)(则0),则 x o=-1,得 y o =W，-*q-c -由|E F+E D|=,得|D 尸|=又|幽=2,Z DEF=90 ,人 2 Q则 以 1=-=|,V =3由1%2，解得=2,b=M,QN=从+CL 6 0,证明/()/(6)；(2)若对任意在(0,+8),bE(-e,0),都有/(%)-e,求实数。的取值范围.证明：(1)要证/(a)f kb),_ bln a 今需证-P -ab+ln b,ar.I n a I n b即证-b Q+,a b门 丁 I n a,I n b即证 丁 发+年,设 g(x)=+等，需证

27、g(%)在(0，+8)上单调递增,g(X)=1+1 ln x x2+l Znx，设 h(x)=x2+l -I n x,则当x E当x E(x)=2%_=2x久 1,令(x)=0,得 x=芋,V 2(0,)时，h (x)0 h(x)单调递增.,.h(x)M i n=九(苧)=理 磐 0,即 g(x)0 在(0,+8)上恒成立,A g (x)在(0,+8)上单调递增，故原问题得证;解：(2)由./.Gz)X +,e=/2 Q x +,Ybln+x e.、o八 ,得/日 1？，=bln x +.V x 0,.,.bln x .e Q Vxd/-F-.第 5 2 页 共 1 0 4 页、八 l /、,

28、bln x ,e设 产(x)=%+方 +亍，i m i s /,b(l-2Znx)e x2-e,b(l-2/nx)贝 U F(X)=1 +o -7 =n +5x5 xL xz x5 bVO,当 尤(0,V e)时,Ff(x)0,F(x)单调递增.工尸(%)m i n=F(付=2V e +品a V 2又 a 2 声+义对任意b W (-e,0)都成立，*.a 2y e 即实数a的取值范围是(-8,2y e .3.已知函数/(%)=ln x(m,n G /?).(I)若函数/G)在(1,/(l)处的切线与直线x-y=0 平行，求实数的值;(I I)若=1 时，函 数/(X)恰有两个零点X I，X2

29、(0 X l 2.解：(I )因为=3 且切线与直线x-y=0 平行，可得/(1)n-1 =1,所以=2；1(I I )证明：当 n 时，f(x)=m-I n x,由题意知m -I n x i=0 X1m -ln x2=0 .x2一得：加 2-丽=蜻,立 一 1即 庐=J(3)X2令1=孑，则 12=a 1，且，1,X1又因为x i+x 2=x i+/x i=(l+f)x i，由知：I n t=所 以 修=导 1),要证 X I+X22,只需证(1+t)需2,第 5 3 页 共 1 0 4 页产一1即证-2ln tftiBp t 2/nt0,令h =-2/nt(tl),则八 付=0,C L所以

30、人(f)在(1,+8)上单调递增且(1)=0,所以当 r e (1,+8)时，h(?)0,即 X l+X 22.4 .已知函数/(x)=ax+ln x+.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)对任意的x 0,不等式/(x)W/恒成立，求实数。的取值范围.解：(1)定义域为(0,+8),/(吟=。+=号1,若则/(x)0,/(%)在(0,+8)递增，若。0,则/7 乃=史 亨，/(x)在(0，-：)递增，在(一,+8)递减，综上知。20,/(%)在(0,+8)递增，a o,则g 3 =(j答+34X1令(x)=(x -1)/+/办，x 0,h x)=x ex+-0.所以(x)在(0,+8)单调递

31、增，而(1)=0,所以工E (0,1)时，h(x)0,即 g，(x)0,即 g(x)0,y=g(x)单调递增.所以在=1处y=g (x)取得最小值g(1)=e-1,所以a W e-1,即实数a的 取 值 范 围 是-1.x25.在平面直角坐标系中，4、8分别为椭圆r：万+y 2=i的上、下顶点，若动直线/过点尸(0,b)(Z1),且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且 C、。两点在y轴右侧，C在。的上方)，直线NO与 8c相交于点0.(1)设 r的两焦点为尸1、尸 2,求N F M F 2 的值；第5 4页 共104页T 4 T(2)若 6=3,且P O =P C，求点。的横

32、坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点。的纵坐标恒为彳 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)由椭圆 r 的方程知，F l(-1,0),F l(1,0),A(0,1),则/O 4 尸 2=4 5 ,/.Z F AF 2=90；(2)若 6=3,设 C、。的两点坐标为 C C xi，y i),D(x2.”)，9：PD3-=2 P C,3 3 3 3 (&，2-3)=2(/，y i-3),即 2=1%：y2=2y ix2而 C (xi,y i),D(%2 2)均在万+/=i 上，代入得x +2y =2xi2+f(y i -2,解得乃7可 分别代入解得1=5,X2=p,直线3 c

33、的方程为歹=2x-1,直线力。的方程为=-X+1,联立H，解得 I，_ 2二。点的横坐标为(3)假设存在这样的点尸，设 直 线/的 方 程 为(%V0,61),点 C,。的坐标为 C (xi,y i),D(X 2,”)，联立0 2=1。，得(2必+1)Akbx+lb2-2=0,由=16后房-8(2+1)(62-1)(xz+2y =2 0,得卜2。1,第 5 5 页 共 10 4 页(,4kbX1 +x2=_ 2k2+1 1-b2由，2 b2_2，可得卜 小 工2=F-(X 1 +X 2)，lX1X2=2F+1 直线B C的方程为y =-1,直 线 的 方 程 为y =工x+1,X1x2-0=号

34、 4 T ,而 x y 2=kx mbx x ,x i y =kx mbx i,联 立 ”一 ，得 y =卜=2-X i)=2k xi X 2+b(X i+%2)+(X 2-X l)=(勺+%2)+6(、2-久 1)=1=13丫1一巧、2)+。1+打)一 b(x2-x1)+(x1+x2)-b2(x2-X i)+/(X i+x2)-5 一则6=3 1,因此，存在点尸(0,3),使得点0的纵坐标恒为g.6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为(0,1),离心率e =等，过椭圆的右焦点尸的直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于4,5两点(I )求椭圆的标准方程；(I I)当直线/的斜率为手寸，求弦长|4 8

35、|的值.(I I I)设加(加，0)是线段OF (。为坐标原点)上一个动点，S.(MA+MB)1 A B,求m的取值范围.解：(I )由题意可得 b=l,e=竽，c2=a2-b2,解得：2=5,x2所以椭圆的标准方程为：y(H)由(I )可得：右焦点尸(2,0),由题意设直线/的方程：y (x-2),即x=2尸2,设4 (xi，y i),B(X 2,”)，(x =2y +2联立直线与椭圆的方程：卜2+丫2 _ 整理可得：9+8-1=0,y +y i=-y y=-所以弦长|/4|=h 22d(y i +%)2-4 y ly 2=后J需+等=当亘，即弦长|力8|的值与2(I I I)由(I)的右焦

36、点厂(2,0),由题意可得0 W M 4+M B=(xi -w y i)+(X 2-m,y i (xi+x2-2m,y i 2),A B=(x2-xi,y2-y 因为(易+诂)4k所 以(X 1+X 2-2加)(X 2 xi)+(y i+2)(-y i)=0,整理可得：(去！一 2?)百 言=0，fWO，所以可得产=q 一 5 0,解 得:m l，所以可得：0 机 冷，所以加的取值范围(0,1).7.已知项数为加(mN*,m 2 2)的数列 斯 满足如下条件:0a WN*(=1,2,?)；ai a2-b i.bm./bi -/E N*,bi -hJj=?TH:i.N*,：.h -h,n=黑 耳

37、=:b*L hn=a午=kN*工an-an.2 mm i 7 7 11 m L-1.第57页 共1 0 4页又 dm a （am-Q I-1）+（am-1 -Clm-2y +.+（。2 一）+1 2 （加-1）+（？-1 ）+.+（7 7?-1 ）=（加-1 ）2.0 口 10 24*:.（？-1）2 4 1 0 2 4,即机6.25,4 3 3.125,.数列各项均为正整数，；.a 3=4,二数列前三项为1,2,4.:数 列/具 有 性 质T,。4 只可能为4,5,6,8 之一，而又,8。心 6.2 5,，。4=8,同理，有 45=16,0 63 2,。7=6 4,。8=128,此时数列为

38、1,2,4,8,16,32,64,128,20 0.但数列中 存 在i 4 j 9,使得20 0=0+伙该数列不具有性质，.N210.当”=10 时,取 4：1,2,4,8,16,32,36,64,10 0,20 0 （构造数列不唯一），A：1,2,4,8,16,32,36,64,10 0,20 0,经验证，此数列具有性质T,二的最小值为10.第 58页 共 1 0 4 页(I l l)假设结论不成立，即对任意S (i=l,2,，6)都有：若正整数a,bESb a b,则b-a生 Si，否则，当 ab-a时，b-a,a,h是一个具有性质T的数列；当 Q=b -时，a,a,h是一个具有性质T的函

39、数.(/)由题意可知，这 6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于3 3 7 个，不妨设此集合为S i,从 S i 中 取 出 3 3 7 个数，记 为a,&2，。337 且的37，令集合 M=缶337 -丽=1，2,，3 3 6 由假设，对任意 i=L 2,336,。337 -a/S i，A M C S 2U S 3U S 4U S 5 U 5 6，(n)在S 2,S 3,S 4,S5,S 6 中至少有一个集合包含M 中的至少68个元素，不妨设这个集合为Sz,从 S 2 G N 1 中 取 出 6 8 个数，记 为b,历，b68,且h 0 时，由 +2ax-a 0,得-a +a 或3 V a

40、 V a2+a,由 x 1-2ax-a 0,得 a V a2+a 0 时，/(x)的单调递增区间为(一 8,一 a -7d2+Q),(-a 4-V a2 4-a，+8),单调递减区间为(a /小+或 a),(a,a +V a2 4-a).(2)令h(x)=f(x)g(x)=x+q 2ln x 2a(x 1),则当 a e (0,1)时，/1G)=(*+2a)A(与阴妙A(1+E).(x+a)zx令 h (x)=0,则 x=1+V l T a,.当 1XV 1+JFK时，h (x)0,:.h(%)在(i,1+ATG)上单调递减，在(i +VFK,+8)上单调递增，Kar n i n =1(1+V

41、 T T a),又 h(1)=1-2 a,当 0 V 4时，h(x)0,即 R (e2)0,又 h(x)在(1+“+a,+8)上单调递增，h(x)m n=f t(l 4-V 1+a)0,由零点存在性定理知，h(x)在(1+VFK,+8)上存在唯一的零点，.,.当a 2 时，方程(x)=0在(1,+o o)上有唯一解，第6 0页 共104页即存在“e (0,1),方程/(x)=g (x)在(1,+8)上有唯一解.10 .已知函数/(x)X2-2bx -I n x.(I )讨论/(x)的单调性；(II)设 6 N 0,若/(x)在 x o 处有极值，求证：/(x o)0,得喈必由，(x)O,所以2

42、就 1N 0,可得x o N保，所以/(x o)=XQ 2bx o+/x o=XQ (2%o 1)-ln x o=-XQ 加XO+1,令函数 g (x)=-x2-ln x+,停，+8),则 g (x)=-2x!V O,y/2所以函数g (x)在1，+8)上单调递减，所以 g (x)W g (亨)=一4-/亨+1=4+，2,因此/(x o)0,即户+加0,设 Z (%),y ),B(X 2，y2)，则 yi+”=4f,y y i 4/n,由N Z O8=90 ,所以办 茄=0,即 x i x 2+yi y2=0，又 X 2=22.所以故yi”=-16,所以-4?=-16,即m=4,因 此 直 线

43、 的 方 程 为x=W+4,该直线恒过定点(4,0)；(2)(/)因 为 过 定 点(2,1),所 以 由(1)可得2=什加，即，=2-f,=16理+16m=16(?-t+2)0 恒成立，y i+y 2=4t,y i y 2=-4m=4t-8,小丽以葡徂“产i+*2力+丫2、(y i+y z)2月+、2、由题思 可得 A/(-,-),C (-,-),Z Z l o L所以/+%2 _ 8 1+为)2 _ +初2 _。1+及)2 _(当一、2)2所以IC M -2 16-2 16-一 -16-，所以 5 1=百。心1 -y 2|=&y i -”F，因为历-/|=5(%+丫2)2 4yl y2=J

44、 l 6t 2-4(4t 8)=4V t2-t +2 2y 7,此时仁 J时，等号成立.所以 S=*yi-”/2 9(2V 7)3=Z Z,7V 7 1 3当S取得最小值7-时，t=讶，?=2，直线A B的方程为x=分+会 即2x -y -3=0；(z 7)由题意可得Si=4|C M a1-”1，Sz=%尸网$八-%，由(2)(/)可得|。=也 青 巳(此 处 历 可 以 理 解 为4 8两点处的纵向高度差)，同理可得|P N =(力 出)=看廿1 -、2，第6 2页 共104页由(i)可得$1=,1-加3,(此处W-”1 可以理解为4,8 两点的纵向高度差),1 1由题意同理可得S 2=(#

45、1 仅 1-丫 2|3所以=W=8,32x 8所以察=8.$2x Va12.己知椭圆C：葭+$=1(。6 0)的长轴长是焦距的2 倍，且过点(一 1,1).(1)求椭圆C的方程；(2)设尸G,y)为椭圆C上的动点，尸为椭圆C的右焦点，A,8 分别为椭圆C的左、右顶点，点 P 满足P P=(4-x,0).证明：磔 为 定 值；PF 设。是直线/：x=4上的动点，直线AQ.BQ分别另交椭圆C 于 朋 两 点，求|W|+|N F|的最小值.1 9解：(1)由题意可得 Q=2C,/+0 7=1，a2=b2+c2t解得：a24,b23,所以椭圆的方程为：3=1;(2)由(1)可得4 (-2,0),B(2

46、,0),F(1,0),t%2 V2因为P (x,y)为椭圆C 上的动点，点 P满足P P =(4-x,0),所以丁+=1；4 3所以|P P =|4-x|第6 3页 共104页|P F|=J（x -1）2+y 2=J（x -1）2 4-3（1 _ 当=-2x +4 =1 V（X-4）2=会-4|，所以:PP|4-x|_ 1 PF 5|4 一 工|所 以 可 证 号 为 定 值 2.PP由题意设。(4,f),所 以 跖 尸 击=看 所以直线力。的方程为：y=l(x+2),联立直线A Q与椭圆的方程：卜=触+2)整理可得：(27+力/+4 +4 於-108,3x2+4 y 2-12=0所 以-2*

47、x,w=4 t2-10827+t2所以x 片-2t2+5 427+t2同 理 不 多 =!，所以直线5。的方程：y=1(x -2),Iy =2（x-2）整理可得：（3+P）/一 4 f2+4 尸-12=0,3x2+4 y2-12=0所 以2XN=4；+七；2,所 以X N=当+能,因为x=4为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率e=*,可得:MF y NF =*（4 -X M）+/（4 -X N）=-（8-XM-X N）=4 标“N=_4A-石4跖8 才4-南4 8用=3,当且仅当一=8 1,即/=3 时取等号.-t2+27 t2-3=4 -（；2+-_227+t2 3+/所以

48、|尸|+|人用的最小值为3.13.正整数数列 a”的前项和为S”前“项 积 T”，若f eN*册=1,2,)，则称数第6 4页 共1 0 4页列“为 Z 数列”.(1)判断下列数列是否是Z 数列，并说明理由；2,2,4,8；8,24,40,56.(II)若数列 斯 是 Z 数列，且 怂=2.求 S3和乃;(III)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由.解：（I）由题意可知 Si=2,8=4,8=8,$4=16,T i=2,乃=4,乃=1 6,2=1 2 8,i =2,1=8,所以是Z 数列；由题意可知 Si=8,S=3 2,8=7 2,S4=128,TI=8,乃=192,73=7680,74

49、=430 0 80,所以3=1,等=6,*V10 6.67CN*,S1 S3所以不是z 数列；(I D 数列“”是 Z 数列，且 2=2.2al-=AEN*,B P 2ai=kai+2k,。1+27/z所 以（2 7）41=2上 即 m=-E N*,所以左=1,则 1=2,L-K贝哈=段3*,则一各N*,口，2,3,所以当f=l 时，显然不成立,当 f=2 时，0 3=4,成立,当，=3 时，4 3=1 2,成立,所以当。3=4,S3=8,73=16；当 内=12,$3=1 6,乃=48；(III)假设存在等差数列 反 为是Z 数列，a ab abc由等差数列的定义可得至少存在三项a,b,c成

50、等差数列，即有一=1,-6N*,=a a+b a+b+cacAac由a+c=2h,可得y N*,可得a,c中至少有一个为3 的倍数，abc 3b Q可设 a=3,则一;=c N*,只要一-=3-j5-GN*,可得 b=6,c=9,即 3,6,9a+b+c 3+b。十 J成等差数列，且为z 数列；若。=6,则 a?c=2CC N*,只要更？=6 jl法 N*,可得 6=6,c=6,即 6,6,6 成a+b+c 6+b o+o等差数列，且为Z 数列;第6 5页 共104页或 b=12,c=1 8,即 6,12,18成等差数列，且为Z 数列；或 6=30,c=5 4,即 6,30,54成等差数列，且