2023年秋经济数学基础上模拟试卷.pdf

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1、厦门大学网络教育2 023-2 0 2 3学年第一学期 经济数学基础上模拟试卷(A)卷一、单项选择题(每小题3分，共18分).1 .若函数y=/(x)的定义域是 0,1 ,则/(In x)的定义域是().A.(0,+oo)B.l,+oo)C.l,e D.0,1 2.数列极限lim，一(a 0)的结果是(-1 +a1A.oo B.23.下列函数在指定的变化过程中，(A.8)C.ln(l+x),(x f 1).C.O D.与。的取值有关)是无穷小量.-s in 元/、B-，(x -8)xA/X4-1 X zD.-,(x-0)xr x s in ,x 0 ，八 一 八4.设 f(x)=x，则/(%)

2、在 工=0 处().x,x 0A.连续且可导。B.连续但不可导C.不连续但可导。D.既不连续又不可导5.设 y=e*c os x ,则*=().A.4ex c osx B.-4evc os x C.2 ex c osx D.-2 ex c osx6 .设y=/在闭区间 0,1 上满足拉格朗日中值定理，则定理中的O-x O+x O+x因此/(x)在 x =O 处连续力(O)=lim.x-0 x s in 0=lim-w x-0=lim s in ,此极限不存在x从而f：(0)不存在，故f(O)不存在5.B;6.D二、填空题(每小题3分，共18分).1.x 6 ；2.y 轴；/(x)的定义域为(一

3、8,+8),且有/(-%)2ax+ax ax+ax.一=；=/(x)2 2即/(x)是偶函数，故图形关于y 轴对称。x-s in x s in x.s in x .八 ,3.1；lim-=h m(l-)=lim 1-lim-=1 -0 =1x 8 X x oc X A oo XT8 J Q,2 x4.2 a r c t a n x d-/；l +x25.0;lim =1 1 m 理 =o,补充定义/(o)=ox-0 x.v-0 36 .-；2三、计算题(每小题9分，共5 4分).1.解：lim3 x Jl+x I.(V 3 x J 1 +x)(J 3 -x +Jl+x)x2-l _ I(x2-

4、1)(V 3 X +V T+x)lim.-产 -./u2-1)(J3TX+V1+X)=lim-,-/U+1)(73X+V1+X)1_ 2 V 2,2 .解：lim，L =lim nxr+l(Q gj)=iim 卜%+1-：-1 In x J 3(x-1)nx 0 x-1 jnx+zlx1.xnx/O 用1、ln x +1 1=lim-(-型)=lim-=.x ln x +x 1 0 1 In x+1 +1 23.解.v lim x+ax=g-lim(x3+ax2+b)=8+4 +/?=0 ,即8=一8 一 4。，12 X-2 12、7/.lim-+-Q-X-+-b=lim-/-+-Q-尸-4-

5、6-z-8=lri m rx 2 +(a +2八)x +2。a +4=4a +1s2 =o 812 x-2 12 x-2.I 3/.a=1,故 Z?=T4.4.解：两边取对数得:ln y=s in x ln xj qin x两边求导得：上y=c os x ln x +吧-y xy-xs,n (c os x ln x+.”).x5.解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即(x y)-(e)+(e)y=Yy+xy-ev+ey=0(x +e，)V =e*-yeX -v整理得 y=.x +e6 .解：y=3d 6无一9=3(x-3)(x +l),y=6x-6=6(x -1),.尤=-l,尤=3是

6、 函 数 的 可 能 极 值 点，当x =-1时,y 0,y x=3=-2 2是函数的极小值.四、证 明 题(1 0分).证 明：作 辅 助 函 数 g(x)=/(x)-X,此函数在 0,1 连 续，在(0,1)可导,g(g)=/(g)g=g 0，g(l)=/(l)-l=-loo)xC.y=l n x(%f+0)4.设函数/(x)=|si n x|,则/(此 在 =0 处A.不连续C.可导，但不连续5.已知 y=己(工+J l +%2),则 y=B.y=(8)1 1 z 八、D.y=-cos(x f0)x xB.连续，但不可导D.可导,且导数也连续)C.J 1 +。x +V 1+%2 7 1+

7、X2I1D.-7=T 0 +/2)2 彳x+yj+x 2A/1+X6.在 区 间 上，下列函数满足罗尔中值定理的是)A.=B.x)=2；+j C./(X)=A/?D./(X)=1-3X2+2X二、填空题(每小题3 分，共 1 8 分).1 .已知-1)=/+1,则/(x)的定义域为.2 .极限l i m x si n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 X3.已知二/(丁)=1,则/，(幻=.ax x4.设 f(x)=si n 2%,则 /&)=.5.为使/(x)=,l n(l +x e*)在x =0处连续，则需补充定义/(0)=.X6

8、.y-x4-8x2+2(-1 x 3)在x =处取得最大值.三、计算题(每小题9 分，共 54分).I .求极限l i m色一3尸(3 1 2)3 .2 .求极限l i m 出 口.98(X +3 )in 043.求极限l i mxf+8 ar c cot x4.设 y=si n x1 4-cosx5.已知y是由方程x l n y+yl n x =l所拟定的函数，求dy.6.设y=3 f+/、d x dx2四、证明题（1 0分）.设证明：n h (a-b)an-hn 8 AT8 2 k+1 .7 1 f 8 Xn xnnji+”2故不选D.答案:C4.B；解：l i m f(x)=l i m

9、x =0,l i m f(x)=l i m x si n =0,/(0)=0A-0-X-0-A-0+X T。-X因此/(x)在 x =0 处连续力 二 嗯”署x si n-0 =l i m-=l i m s i n-,此极限不存在X T。-X-0 X f 0+X从而力(0)不存在，故 尸(0)不存在5.A;6.B二、填空题(每小题3 分，共 18分).1 .(-1,-K);令 ex-=u,贝 I x =l n(l +“)，./()=I n 2(1 +“)+1,即/(x)=l n2(l +x)+l,.故 f(x)的定义域为(-1,-KO)。2.0；由于当x r 0时，x是无穷小量，si n，是有

10、界变量.X故当x-0 时，尤 si n 4仍 然 是 无 穷 小 量.所 以 l i m x si n =0 .X 3 X3 .；.廿)=f(x3)-3X2=,f(x3)=；,即 r(x)=；.3x ax x 3x 3x4.4-cos 2 x-cos 2(si n 2 x)；5.1;6.3,1 1 .三、计算题(每小题9 分，共 5 4 分).1.解:l i m(2 x-3 y(3 x+2 y(5x+l 严220230550%+3 42.解:l i mA,00 x x +3x+2 M ,l i m J +3XT8 I=l i mXT8x-1 (x +3)2=-4,x +2 (x +2)x lx

11、+31 1 0 1 1 x2l n(l +)Q 1 +一3 .解：l i m-=l i m-arc cot x 工-_ l +x2l i mX-+0 01 +x2比(x +l),_ cosx(l +cosx)-si n x(-si n x)fu i m j y )(l +cosx)1 +cosx _ 1(1 +CO S X)2 1+cosx所 以 呜)=;一G1 +cos3235.解：l n y+y,l n x =0y x(2 +I n x)y=(上+I n y)y x+I n y 2 i整理得 y=_ _ =2+l n尤厂+孙心y,y2+x yl n ydy=一 -:-drx+xynx6 .

12、解:由已知得:以 包/心/=r+，dx dt/dt 2 t J=A()=A(3 fl+A=A(3 fl+A J.=3(4+1)1=3(-I)dx2 dx dx dx 2v )dt 2 1t J dx 2 广 2 t 4rdt四、证明题(10分).证明：设y=x ,=,则y=x 在b,a连续，在S,a)可导，由拉格朗日中值定理知I,存在e (b,a),使得了(4)=色 一也),即a-ban-bn=nn-a-b)b a/.nhn(a-b)an-hn 0,。工1）是 （）ax+1A.奇函数 B.偶函数C.既奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数x22.己知l i m（-ax-h）=0,其中a,匕 是常数

13、，则 （）i s x +iA.=1,Z?=1,B.a=-1,/?=1C.a=1,b=-1D.a=-l,b=-13.下列极限中，对的的是)A.l i mX-oosi n x D.1 ,_ .si n x-=1 B.l i m x si n -=1 C .l i m-=1xXT8 Xio 2 xD.,1si n l i m-.so 1X=14.函数/(x)-l-J l +2 x 八-丫 w()X 在x =0处连续，则=k,x=0)A.-2B.-1C.1D.25.由方程s iny +x/=O所拟定的曲线y=y（九）在（0,0）点处的切线斜率为（)A.-1B.1C-ID-46.若 /(-x)=/(幻(

14、一 8 x 0,f x)o,ru)o,rwoc.ru)o,ru)oD.r(x)o二、填空题（每小题3 分，共 18分）.1.若 f(x2-1*)=X4+3X2-5，则/(x)1)在X =1处连续，则。+8=a(x=1)6.函数/（x）=f +1在区间 0,1 上满足拉格朗日定理条件的J三、计算题（每小题9 分，共 54分）.2.3n+2/1 4l im-8 2 n-6/1 +13.l imXT8X4.设 y =x(x-1 X -2).(九一二),则 y(+D5.假如/(%)=co2.求 极 限l i m双，%2+1一%）3.求极限li m T?吧.1 0 t an x-)x4.求函数y =的单

15、调区间和极值.1 +x5.设 y =s in(x+y),求包dx dx _i_6 .设/(幻=1 ，x O,x w l,求/(x)的间断点，并说明间断点的所属类型.l n(l +x),l x 0四、证明题(10分).设函数/(幻 在 0,1 上可导，且0 /(x)8 Too 2 2/z+l 22.解：lim x(lx2+-x)=lim xX +0 0 X H-C O-x)(lx2+l+X)Jf+1+x=lim/-=lim -X T+8旧+i211 -T=o rx-ar c s inx r x-ar c s inx.J l-%23.角 车：lim-=hm-=lim-：x 0 t an x x x

16、-o 3 厂iN-(1-x2)2(-2 x)=l im-二6x 6Y4.解：函数y =-的定义域是(一o o,1)U(-1,+8)1 +x2X(1 +X)-X2 _ x(2 +x)(1 +x)2(1 +x)2,x(2+x)令y(l +x)20,得驻点%)=-2,x2=0(-8,-2)-2(-2,-l)U(-l,0)0(0,+8)八 X)4-00+/f(x)极大值极小值故函数的单调增长区间是(8,2)和(0,+00),单调减少区间是(2,1)及(-1,0),当x=-2时，极大值/(-2)=-4；当x=0时，极小值，(0)=0.5 .解：y=cosa+y)(l+y)y=-2-l-cos(x+y)y

17、n=-sin(x+y)(1+yr)2+cos(x+y)y,y =SME)=_Z 2 _.1 一 cos(x+y)f 1-cos(x+y)5i i6.解:f(尤)在(一 1,0),(0,1),(1,+oo)内连续,lim ex=oo,lim exl=0,/(0)=0,x-i+x-ri因 此x=l是/(x)的第 二 类(无穷涧断点；lim/Q)=lim e=1=eLlim/(x)=lim ln(l+x)=0,因此x=0是/(x)的第一类(跳跃)间断点.x-0-x-0四、证 明 题(1 0分).证 明：设尸(x)=f(x)-x,F(0)=/(0)0,F(l)=/(0)-10,由零点定理，得/(x)在0,1上至少有一个零点.假 设 口(x)在0,1上存在两个零点q,C2，即/(q)=口(。2)=，.cc2c 0,1,由Ro e定理可得至少有4e(q,C2),使 尸(7)=0即 r(G-i=o n r(G=i,与 题 设 矛 盾，故 在(0,1)内有且只有一个X,使/(x)=x.