2023年辽宁省本溪高中、沈阳、营口高中等高考冲刺数学模拟试题含解析.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 模 拟 试 卷 请 考 生 注 意：1.请 用 2B铅 笔 将 选 择 题 答 案 涂 填 在 答 题 纸 相 应 位 置 上，请 用 0.5毫 米 及 以 上 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 主 观 题 的 答 案 写 在 答 题 纸 相 应 的 答 题 区 内。写 在 试 题 卷、草 稿 纸 上 均 无 效。2.答 题 前，认 真 阅 读 答 题 纸 上 的 注 意 事 项，按 规 定 答 题。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目

2、要 求 的。1.已 知 命 题：“关 于 的 方 程 f 4x+a=0 有 实 根”，若，为 真 命 题 的 充 分 不 必 要 条 件 为。3加+1,则 实 数 加 的 取 值 范 围 是（）A.1,+co)B.(1,+?)C.(fl)D.S,l2.设 i为 虚 数 单 位，z为 复 数，若 目+,为 实 数 Zm,贝 J m=()A.-1 B.0 C.1D.22+3z)3.己 知 i为 虚 数 单 位，则（7 4.7 4.A.+1 B.-15 5 5 5C.4 7.+z5 5D.4 7.-15 54.已 知 函 数 x）=2sin（3x+e）-l（。0,0。乃）的 一 个 零 点 是 函

3、数 y=x）图 象 的 一 条 对 称 轴 是 T T直 线 X 二 一 一,则 当。取 得 最 小 值 时,6函 数/（x）的 单 调 递 增 区 间 是（A.3k兀 一 3 6.(左 e2:)B.3k兀 一 5乃 2 71，3攵 万-(Z e Z)3 6C.2k兀 一 2乃 兀,2k兀(左 Z)D.2k九 一 712一,2卜 兀 一 兀(k e Z)3 6 3 6_5.已 知 抛 物 线 V=4 x 的 焦 点 为 尸，P 为 抛 物 线 上 一 点，当 A必 尸 周 长 最 小 时，P尸 所 在 直 线 的 斜 率 为（）4334C.43346.已 知 向 量 同=1，K），若 0+则

4、实 数 m 的 值 为（）2百 V7.一 袋 中 装 有 5个 红 球 和 3个 黑 球（除 颜 色 外 无 区 别），任 取 3球，记 其 中 黑 球 数 为 X,则 七（X）为（）D.569 7 1A.B.-C.一 8 8 28.给 出 以 下 四 个 命 题：依 次 首 尾 相 接 的 四 条 线 段 必 共 面；过 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 点，有 且 只 有 一 个 平 面；空 间 中 如 果 一 个 角 的 两 边 与 另 一 个 角 的 两 边 分 别 平 行，那 么 这 两 个 角 必 相 等；垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 必 平 行.其 中 正

5、 确 命 题 的 个 数 是（）A.0 B.1 C.2 D.3x-l9.已 知 实 数 X，）满 足 约 束 条 件 八 八，则 2 x-3），的 最 小 值 是 x-2 y+2（）2 x-y-2 07A.-2 B.一 一 C.1 D.4210.如 图 在 一 个 6 0的 二 面 角 的 棱 有 两 个 点 A,8,线 段 A C,B D 分 别 在 这 个 二 面 角 的 两 个 半 平 面 内，且 都 垂 直 于 棱 A B,且 AB=AC=2,BO=4,则 的 长 为（）A.4 B.2亚 C.2 D.2 G11.如 图 是 来 自 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 所 研 究

6、 的 几 何 图 形，此 图 由 三 个 半 圆 构 成，三 个 半 圆 的 直 径 分 别 为 直 角 三 角 形 A8C的 斜 边 B C,直 角 边 AS,AC.已 知 以 直 角 边 AC,A8为 直 径 的 半 圆 的 面 积 之 比 为 上，记 N/山 C=a,贝！jsin 2。=()12.已 知 等 差 数 列/中，若 3%=2%,则 此 数 列 中 一 定 为。的 是（)A.a,B.%C.1 D.al0二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.已 知 圆 柱 的 两 个 底 面 的 圆 周 在 同 一 个 球 的 球 面 上，圆 柱 的 高 和

7、 球 半 径 均 为 2,则 该 圆 柱 的 底 面 半 径 为.8 1,14.已 知 x,j0,且=+=1,则 x+y的 最 小 值 为 _.x y15.在 面 积 为 如 的 AABC 中，A B A C=2j3,若 点 M 是 A B 的 中 点，点 N 满 足 丽=2 祝，则 用 0 0 的 最 2大 值 是.2 x-y 016.已 知 不 等 式 组 卜-2yW0 所 表 示 的 平 面 区 域 为。，则 区 域。的 外 接 圆 的 面 积 为.x：ln(2+l)(n e N)k=j4k-1 220.(12分)如 图，在 正 四 棱 锥 P-ABCD 中，底 面 正 方 形 的 对

8、角 线 4。,8。交 于 点。且。尸=!48.2(1)求 直 线 阶 与 平 面 PC。所 成 角 的 正 弦 值;(2)求 锐 二 面 角 8-尸 一。的 大 小.21.(12分)已 知 函 数/(x)=lnx.(1)设 g(x)=/半，求 函 数 g(x)的 单 调 区 间，并 证 明 函 数 g(x)有 唯 一 零 点.X(2)若 函 数 一 次 在 区 间。+力 上 不 单 调，证 明：二 百 a.22.(10分)如 图 所 示，四 棱 柱 ABC。-A 与 G。中，底 面 A B C O 为 梯 形，AD/BC,N A D C=90。，AB=BC=BB 2,AD=1,CD=6 NAB

9、与=60。.(1)求 证：AB 1 B,C；(2)若 平 面 A8CO_L平 面 A B g A，求 二 面 角。B C 8 的 余 弦 值.参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.B【解 析】命 题 p：a 4,又 i P 为 真 命 题 的 充 分 不 必 要 条 件 为 a 3m+1,故 3加+14=机 12.B【解 析】可 设 z=a+勿 将 且+，化 简，得 至 产+人 叫 由 复 数 为 实 数，可 得 户 下 _8=0,解 方 程 即

10、z y/a2+b2可 求 解【详 解】设 2=。+勿,（0,06/?）,则 目+j=杼+6+i=J+/（；_）+.=+（：+一 郎.z a+bi a2+b2 a2+由 题 意 有 6+从 一=0=4=（）,所 以 加=0.故 选：B【点 睛】本 题 考 查 复 数 的 模 长、除 法 运 算，由 复 数 的 类 型 求 解 对 应 参 数，属 于 基 础 题 3.A【解 析】根 据 复 数 乘 除 运 算 法 则，即 可 求 解.【详 解】2+3/2+3/（2+3z）（2-z）7 4.-=-=-=-1-I（l-2/）z 2+i（2+z）（2-z）5 5 故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 复

11、 数 代 数 运 算，属 于 基 础 题 题.4.B【解 析】根 据 函 数“力 的 一 个 零 点 是 x=,得 出/g=0,再 根 据 龙=-f 是 对 称 轴，得 出 一 乡 3-=+而，k&Z,3）6 6 2求 出 W 的 最 小 值 与 对 应 的。，写 出 了（X）即 可 求 出 其 单 调 增 区 间.【详 解】依 题 意 得，f=2sin+夕-1=0,即 sin?+夕=；,3 7 V 3 J v 3）2解 得-m-o-卜（p=2_k,兀 九 或 j-n-3-卜 cp=2k?兀-5-（其 z _中.勺.，&.Z 7）、.小 3 6 3 6又 sin兀 a),-+(P=1，6;77

12、7/）7T即 一 詈+0=&乃+（其 中&e Z）.由 一 得 詈=（2匕 一 3 万 一（或 詈=（2&）%+5，2 2 2即 幻=2（2匕 一 3-或 0=2（2&2-匕）+5（其 中 占，氏 2，&Z）,因 此 切 的 最 小 值 为 2 9 6因 为 sin-+=sin-+(p=,所 以 一 工+/=工+4 4(左 e Z).k 0 J 9 J 9 22 2又 0。乃，7C 71 71所 以 0=3+2,所 以/(x)=2sin-x+|-1=2cos-x+-13 2 9 3 9 J2 n 5兀 7T令 2左 万 一 万 x+K2A%(A:G Z),则 3ATT-x 3k7r-(Z:G

13、Z).3 9 3 657r 7i因 此，当 0 取 得 最 小 值 时，/(X)的 单 调 递 增 区 间 是 3k7i-,3k7i-(Z w Z).故 选：B【点 睛】此 题 考 查 三 角 函 数 的 对 称 轴 和 对 称 点，在 对 称 轴 处 取 得 最 值，对 称 点 处 函 数 值 为 零，属 于 较 易 题 目.5.A【解 析】本 道 题 绘 图 发 现 三 角 形 周 长 最 小 时 A,P位 于 同 一 水 平 线 上，计 算 点 P的 坐 标，计 算 斜 率，即 可.【详 解】结 合 题 意，绘 制 图 像要 计 算 三 角 形 PAF周 长 最 小 值，即 计 算 PA

14、+PF最 小 值，结 合 抛 物 线 性 质 可 知，PF=PN,所 以 P F+PA=P A+P N N A N N A G,故 当 点 P 运 动 到 M 点 处，三 角 形 周 长 最 小，故 此 时 M 的 坐 标 为；,1），所 以 斜,1-0 4k _ 率 为 1 3,故 选 A.4【点 睛】本 道 题 考 查 了 抛 物 线 的 基 本 性 质，难 度 中 等.6.D【解 析】由 两 向 量 垂 直 可 得（+可-6）=0,整 理 后 可 知 同 2-忸（=0,将 已 知 条 件 代 入 后 即 可 求 出 实 数 的 值.【详 解】解：.（+=即，一 件=0,将 忖=1和 恸

15、2=（）+加 2代 入，得 出 m 2=5，所 以 加=士 亭.故 选:D.【点 睛】本 题 考 查 了 向 量 的 数 量 积，考 查 了 向 量 的 坐 标 运 算.对 于 向 量 问 题，若 已 知 垂 直，通 常 可 得 到 两 个 向 量 的 数 量 积 为 0,继 而 结 合 条 件 进 行 化 简、整 理.7.A【解 析】由 题 意 可 知，随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 有 0、1、2、3,计 算 出 随 机 变 量 X 在 不 同 取 值 下 的 概 率，进 而 可 求 得 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 值.【详 解】由 题 意 可 知，随 机 变 量 X

16、的 可 能 取 值 有 0、1、2、3,贝 3=。）=曰=堞，尸（X=D=警=卷，P=2）=等=|，P（X=3）=|=.Cg 2）0 30 5 2）0因 此，随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 为 E（x）=O x%l x 型+2x 工+3，.56 56 56 56 8故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 随 机 变 量 数 学 期 望 的 计 算，考 查 计 算 能 力，属 于 基 础 题.8.B【解 析】用 空 间 四 边 形 对 进 行 判 断；根 据 公 理 2对 进 行 判 断；根 据 空 间 角 的 定 义 对 进 行 判 断；根 据 空 间 直 线 位 置 关 系 对 进 行

17、 判 断.【详 解】中，空 间 四 边 形 的 四 条 线 段 不 共 面，故 错 误.中，由 公 理 2知 道，过 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 点，有 且 只 有 一 个 平 面，故 正 确.中，由 空 间 角 的 定 义 知 道，空 间 中 如 果 一 个 角 的 两 边 与 另 一 个 角 的 两 边 分 别 平 行，那 么 这 两 个 角 相 等 或 互 补，故 错 误.中，空 间 中，垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 可 相 交，可 平 行，可 异 面，故 错 误.故 选：B【点 睛】本 小 题 考 查 空 间 点，线，面 的 位 置 关 系 及 其 相 关

18、 公 理，定 理 及 其 推 论 的 理 解 和 认 识；考 查 空 间 想 象 能 力，推 理 论 证 能 力，考 查 数 形 结 合 思 想，化 归 与 转 化 思 想.9.B【解 析】作 出 该 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域，如 下 图 中 阴 影 部 分 所 示，2 1 7 1设 z=2 x-3 y,则 丁=x-一 z,易 知 当 直 线 y=x z经 过 点。时，z取 得 最 小 值，3 3 3 3fx=-l x-j 7由 丫 八 一。C 解 得 1 所 以。(-1，3)，所 以 ZmM=2x(T)-3xw=-3 故 选 B.x-2 y+2=U y=2 2 210.A【

19、解 析】由 丽=D 5+而+丽，两 边 平 方 后 展 开 整 理，即 可 求 得 前。则。的 长 可 求.【详 解】解：C D=C A+A B+B D，CD=CA+AB+BD+2CA.AB+2CABD+2A B.B D，C A rA B,BD1ABCA.AB=O,BD.AB=O,C4.Bj=|C4|BZ5|cosl20o=-x 2 x 4=-4.2CD=4+4+16-2x4=16，:.C D|=4,故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 向 量 的 多 边 形 法 则、数 量 积 的 运 算 性 质、向 量 垂 直 与 数 量 积 的 关 系，考 查 了 空 间 想 象 能 力，考 查 了

20、 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.11.D【解 析】A r 1由 半 圆 面 积 之 比，可 求 出 两 个 直 角 边 A B,A C 的 长 度 之 比，从 而 可 知 ta n a=一=3；,结 合 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 AB 2系，即 可 求 出 s i n a,c o s a,由 二 倍 角 公 式 即 可 求 出 sin 2 a.【详 解】解：由 题 意 知 aw 0,彳，以 4 3 为 直 径 的 半 圆 面 积 5=上 万 I 2；1 2 2 1（公 C 1 1以 A C 为 直 径 的 半 圆 面 积 S2二 上 万 丝，则 常=7，

21、即 ta n a=W=7 2 2 I 2 J 百 AB 4 AB 2sin2 a+cos2 a=1由，sin a 1tan a-=cos a 2.7 5sin a=5275cos a=-5得 所 以 sin 2a=2 sin a cos a=2 x x 2近=5 5 5故 选:D.【点 睛】本 题 考 查 了 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系，考 查 了 二 倍 角 公 式.本 题 的 关 键 是 由 面 积 比 求 出 角 的 正 切 值.12.A【解 析】将 已 知 条 件 转 化 为 4,d 的 形 式，由 此 确 定 数 列 为 0 的 项.【详 解】由 于 等 差 数 列

22、4 中 3%=2%，所 以 3（q+4 d）=2（q+6 d）,化 简 得 q=0,所 以 为 0.故 选：A【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 基 本 量 计 算，属 于 基 础 题.二、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分。13.垂）【解 析】由 圆 柱 外 接 球 的 性 质，即 可 求 得 结 果.【详 解】解：由 于 圆 柱 的 高 和 球 半 径 均 为 2,则 球 心 到 圆 柱 底 面 的 距 离 为 1,设 圆 柱 底 面 半 径 为 广，由 已 知 有 产+F=2 2，r=A/3 即 圆 柱 的 底 面 半 径 为 故 答 案

23、 为：瓜【点 睛】本 题 考 查 由 圆 柱 的 外 接 球 的 性 质 求 圆 柱 底 面 半 径，属 于 基 础 题.14.1【解 析】8 1 8 x处 理 变 形 x+y=x（+-）+y=+V结 合 均 值 不 等 式 求 解 最 值.x y x y【详 解】8 1 x,j 0,且 一+=1,x y则 x+y=x（8+-1）+y=8+x+yN3oV3/o8=1,x y x y8 x当 且 仅 当 一 二=y 时 取 等 号，此 时 x=4,y=2,取 得 最 小 值 Lx y故 答 案 为：i【点 睛】此 题 考 查 利 用 均 值 不 等 式 求 解 最 值，关 键 在 于 熟 练 掌

24、 握 均 值 不 等 式 的 适 用 条 件，注 意 考 虑 等 号 成 立 的 条 件.15.述 3【解 析】由 任 意 三 角 形 面 积 公 式 与 通.*=2 6 构 建 关 系 表 示 H 切 IACI，再 由 已 知 与 平 面 向 量 的 线 性 运 算、平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 转 化 丽.西，最 后 由 重 要 不 等 式 求 得 最 值.【详 解】由 A B C 的 面 积 为 立 得|AB|AC|sinNBAC=46,2 2 2所 以|48|AC|sinN氏 4C=J,又 通.*=2 6,即 HWnCIcosNR4c=2 6,由 与 的 平 方 和 得：依

25、8|依。=3五，又 点 M 是 A 8 的 中 点，点 N 满 足 丽=2 配,所 以 丽.西=(fiA+A/V)-(CA+A M)=f-AB+|=i A B A C-A-A B3 3 2=迪 二 科 启 还 一 2*/2,宿=迪 一 2太,3 3 2 3 V3 2 3当 且 仅 当 g 恁 2=g 福 2 n l 福 卜 半|时，取 等 号,即 丽.雨 的 最 大 值 是 为 空-26故 答 案 为：更-2 63【点 睛】本 题 考 查 平 面 向 量 中 由 线 性 运 算 表 示 未 知 向 量，进 而 由 重 要 不 等 式 求 最 值，属 于 中 档 题.16.%4【解 析】先 作

26、可 行 域，根 据 解 三 角 形 得 外 接 圆 半 径，最 后 根 据 圆 面 积 公 式 得 结 果.【详 解】由 题 意 作 出 区 域。，如 图 中 阴 影 部 分 所 示，5 3 3易 知 tan/MON=%故 s i n/M O N=又 M N=3,设 AO M N 的 外 接 圆 的 半 径 为 R,则 由 正 弦 定 理 1+2x1 4 52M N 5 M V 25得=2 R，即 R=W，故 所 求 外 接 圆 的 面 积 为 乃 X 三=J.s m/M O N 2 4【点 睛】线 性 规 划 问 题，首 先 明 确 可 行 域 对 应 的 是 封 闭 区 域 还 是 开 放

27、 区 域、分 界 线 是 实 线 还 是 虚 线，其 次 确 定 目 标 函 数 的 几 何 意 义，是 求 直 线 的 截 距、两 点 间 距 离 的 平 方、直 线 的 斜 率、还 是 点 到 直 线 的 距 离、可 行 域 面 积、可 行 域 外 接 圆 等 等，最 后 结 合 图 形 确 定 目 标 函 数 最 值 取 法、值 域 范 围.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)单 调 递 减 区 间 为(0,V2+D.单 调 递 增 区 间 为(、叵+1，+oo)(2)(3,2e【解 析】(1)当。=2 时，求

28、出 了(X),求 解/(x)0,/(x)0,即 可 得 出 结 论；3,（2）函 数 8（%）=/（犬）+5*2+1=2x2 一 改+1-In x 在 1 Inx 1上 有 两 个 零 点 等 价 于。=2x+-在 一,e上 有 两 x x e1/n r I解，构 造 函 数/7(X)=2X+-,XG,e,利 用 导 数，可 分 析 求 得 实 数 a 的 取 值 范 围.x x _e【详 解】1,(1)当 a=2 时，/(%)=5%2-21一 111%定 义 域 为(0,+8),则 尸(x)=x 2=二 2七 I 令(x)=0,X X解 得 x=0+L 或 x=-J+l(舍 去)，所 以 当

29、 x e(0,后+1)时，fx)0,/(x)单 调 递 增；故 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为(0,V 2+1),单 调 递 增 区 间 为(x/2+l,+oo),(2)设 g(x)=/(犬)+。k2+1=2/一 双+l-nx,函 数 g(x)在-,e 上 有 两 个 零 点 等 价 于。=2*+,一 也 在-,e 上 有 两 解 _e J x x _e _A”、,1 Inx 1 1、2x2-2+Inx令/Z(X)=2XH-9 工 一,e 9 贝!(x)=-z-,x x _e J xA 2 1-令 心)=2/2+lnx,XG _,e,_e显 然，x)在 区 间-,e 上 单 调 递 增

30、，又 1)=0,_e所 以 当 xe f J 时，有 f(x)0,即(x)0,BP hx)0,所 以(x)在 区 间 j l 上 单 调 递 减，在 区 间(1,4上 单 调 递 增，.X=l时，/z(x)取 得 极 小 值，也 是 最 小 值，1 2即(x)min=以 1)=3,A(-)=2e+,h(e)=2e,e e由 方 程 a=2x+”在-,e 上 有 两 解 及(3(e),x x e e可 得 实 数 a 的 取 值 范 围 是(3,2e.【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 极 值 与 最 值、等 价 转 化 思 想 以 及 数 形 结 合

31、思 想，考 查 逻 辑 推 理、数 学 计 算 能 力,属 于 中 档 题.1 4*18.(1)x|x 0 或 x，1；(2)【解 析】(1)使 用 零 点 分 段 法，讨 论 分 段 的 取 值 范 围，然 后 取 它 们 的 并 集，可 得 结 果.(2)利 用 等 价 转 化 的 思 想，可 得 不 等 式|3 x-l|+|x-在 I，1 恒 成 立，然 后 解 出 解 集，根 据 集 合 间 的 包 含 关 系，可 得 结 果.【详 解】(1)当。=2 时，原 不 等 式 可 化 为|3X-1|+|X-2|2 3.当 时，则 一 3x+l+2 xN3=x 0,所 以 xKO；当 1 c

32、 x 2时，3则 3%1 2+xN 3=x N l,所 以 lW x 2；当 x N 2时，_ 3则 3x 1 2+x 2 3n x 之 一，所 以 1 之 2.2综 上 所 述：当。=2时，不 等 式 的 解 集 为 x|x 0或 x21.(2)由|x-g|+/(x)W x,则 1 3 x-l|+|x-a 3 x,由 题 可 知：|3 x-+。区 3x 在 恒 成 立，所 以 3%1+|x 4 区 3%,即|x-a|K l,即 a-x a+l,1a-i.3 1 4所 以 a 21 4故 所 求 实 数”的 取 值 范 围 是 一 万,【点 睛】本 题 考 查 零 点 分 段 求 解 含 绝

33、对 值 不 等 式，熟 练 使 用 分 类 讨 论 的 方 法，以 及 知 识 的 交 叉 应 用，同 时 掌 握 等 价 转 化 的 思 想,属 中 档 题.19.(1)“X)在 区 间(),+e)单 调 递 增；(3)证 明 见 解 析.【解 析】(1)求 出 尸(力,在 定 义 域 内，再 次 求 导，可 得 在 区 间(0,+。)/(%)0恒 成 立，从 而 可 得 结 论；由 g(X)=0,可 得 X；-2xolnXo-a=O,由 g(/)=2可 得 片/(inx。)？一 2x()+a=0,联 立 解 方 程 组 可 得 结 果；(3)由(1)知 一(力 二 2-2xlnx在 区 间

34、(0,+力)单 调 递 增，可 证 明 4 一 十 lnx,取 1=2k+1,*_.；,kwN,可 得 2k12k+1 2k-1.,.,./-:ln(2Zs+1)-ln(2k-1)2k-l 2左+1,利 用 裂 项 相 消 法，结 合 放 缩 法 可 得 结 果.【详 解】(1)由 已 知 可 得 函 数/(x)的 定 义 域 为(0,+),且/(x)=2x-21nx-2,令(x)=/x),则 有/z(x)=2(1),由(x)=0,可 得 x=l,可 知 当 x 变 化 时，(x),(x)的 变 化 情 况 如 下 表:X(0,1)1(1，+8)(x)-0+(x)极 小 值/.-./z(x)/

35、z(l)=o,即/(X)i(),可 得/(x)在 区 间(0,+8)单 调 递 增；(2)由 已 知 可 得 函 数 g(x)的 定 义 域 为(0,+力)，且 g(x)=l-平，由 已 知 得 g(x)=0,即 焉 一 2x()lnXo-a=O,由 g(%)=2可 得,XQ(inx0)2/+。=0,联 立，消 去。，可 得 2%一(111%)2-2111%-2=0,A/、-八、,-e-21nx 2 2(x lnx-1)令，(x)=2 x-(ln x)-2 1 n x-2,贝!J(x)=2-=-,X X X由(1)知，x-l n x-l 0,故 f(x O,.(%)在 区 间(0,+8)单 调

36、 递 增,注 意 到 1)=0,所 以 方 程 有 唯 一 解 毛=1,代 入，可 得 a=l,J Q j=1,6 Z-1(3)证 明：由 知/(力=%2-2xlnx在 区 间(0,+8)单 调 递 增，故 当 xw(l,4w)时，/(x)/(l)=l,g=3 二 2*曰=0，X X可 得 g(x)在 区 间(1,”)单 调 递 增，因 此，当 X1 时，g(x)g(l)=2,即 x+g(lnx)2 2,亦 即 白(lnx)2,这 时 0,Inx 0,故 可 得 方 l n x,取 x=,/c w N*,J x J x 2 k-k=l 一 1 M X/7 ln(2x+1)(e N*).X J4

37、k2-1 2【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 以 及 不 等 式 的 证 明，属 于 难 题.不 等 式 证 明 问 题 是 近 年 高 考 命 题 的 热 点，利 用 导 数 证 明 不 等 主 要 方 法 有 两 个，一 是 比 较 简 单 的 不 等 式 证 明，不 等 式 两 边 作 差 构 造 函 数，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性,求 出 函 数 的 最 值 即 可；二 是 较 为 综 合 的 不 等 式 证 明，要 观 察 不 等 式 特 点，结 合 已 解 答 的 问 题 把 要 证 的 不 等 式 变 形，并 运

38、 用 已 证 结 论 先 行 放 缩，然 后 再 化 简 或 者 进 一 步 利 用 导 数 证 明.20.(1)逅；(2)60.3【解 析】(1)以 OE,OF,。尸 分 别 为 X轴,y轴,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 底 面 正 方 形 边 长 为 2,再 求 解 丽 与 平 面 PC。的 法向 量,继 而 求 得 直 线 肝 与 平 面 P C D 所 成 角 的 正 弦 值 即 可.(2)分 别 求 解 平 面 B P D 与 平 面 P D C 的 法 向 量，再 求 二 面 角 的 余 弦 值 判 断 二 面 角 大 小 即 可.【详 解】解：(1)在 正 四 棱

39、 锥 P-A B C D 中,底 面 正 方 形 的 对 角 线 AC,B D 交 于 点 0,所 以 OP_L平 面 ABCD,取 A B 的 中 点 E,B C 的 中 点 F,所 以。P,OE,。尸 两 两 垂 直，故 以 点。为 坐 标 原 点，以。瓦 OF,0 P 分 别 为 K 轴,轴,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系.设 底 面 正 方 形 边 长 为 2,因 为 民 所 以 OP=L所 以 3(1,1,O),C(-1,1,O),0(-1,-1,0),尸(0,0,1),所 以 丽=(-1,-1,1),设 平 面 P C O 的 法 向 量 是=(x,y,z),因 为 丽=

40、(0,-2,0),而 所 以 C D n=-2y=0,CP=x-y+z=0,取 x=l,贝 i J,y=0,z=-1,所 以 3=(1,0,1)BP H 瓜 所 以 牝 心-丽=彳 所 以 直 线 BP 与 平 面 PC。所 成 角 的 正 弦 值 为 逅.(2)设 平 面 3 P D 的 法 向 量 是=(x,y,z),因 为 丽=(-1,-1,1),而=(2-2,1),所 以 8 P n=-x-y+z=0,B D-n=2x-2y=0,取 x=l,则 y=T,z=O,所 以 3=(1,1,0),由(1)知 平 面 PC。的 法 向 量 是 3=(1,0,l),7-、m-n 1所 以。5=同

41、同=耳 所 以 V 2,n=6 0,所 以 锐 二 面 角 B-P D-。的 大 小 为 60.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 求 解 线 面 夹 角 以 及 二 面 角 的 问 题，属 于 中 档 题.21.(1)x w仅，五)为 增 区 间；x w(&,+)为 减 区 间.见 解 析(2)见 解 析【解 析】(1)先 求 得 g(x)的 定 义 域，然 后 利 用 导 数 求 得 g(x)的 单 调 区 间，结 合 零 点 存 在 性 定 理 判 断 出 g(x)有 唯 一 零 点.(2)求 得(x)的 导 函 数(x),结 合(x)在 区 间(1

42、,1+e-)上 不 单 调，证 得 1-ea na a 9 通 过 证 明+l+e-Ina,证 得 a 成 立.a a+a a+【详 解】(1)函 数 g(x)的 定 义 域 为(。,+8),由 8(幻=匕 詈 0,解 得 为 增 区 间；由 g(x)=匕|”。解 得 x(,+8)为 减 区 间.下 面 证 明 函 数 只 有 一 个 零 点：V g g)=-/0,所 以 函 数 在 区 间(0,五)内 有 零 点，；x f+o o,g(x)f 0,函 数 在 区 间(右,+8)上 没 有 零 点，故 函 数 只 有 一 个 零 点.(2)证 明：函 数 人(x)=-q f(x-l)=e*-a

43、 ln(x-l),则x 1 x 1当 时，(x)0,不 符 合 题 意;当。()时，令 加()=ex(x-l)-a,x l,则 加(x)=xe 0,所 以 加(x)在(l,+o。)上 单 调 增 函 数，而，(1)网)=0,即 a两 边 取 自 然 对 数，得 1 a+Q I n.即 1+e一 Ina a,要 证 _ L+L a,即 证，+_ L i+e-“-n a,a a+1 a a+1先 证 明：X 4-l(X 0),令(%)=-1,贝!J(X)=-1 0:.在(0,+x)上 单 调 递 增，B P n(x)n(0)=0,:.ex x+l(x 0)在 中 令 x=a,ea a+nea ln

44、-+l,即 一 ln+l n l-ln aa a a a a即-H 1+e In a,i-a a+1 a a a+1【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 区 间 和 零 点，考 查 利 用 导 数 证 明 不 等 式，考 查 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 方 法，考 查 化 归 与 转 化 的 数 学 思 想 方 法，属 于 难 题.22.(1)证 明 见 解 析(2)一 边 叵 35【解 析】(1)取 A B 中 点 为。，连 接。C,。用，AC,A S 1,根 据 线 段 关 系 可 证 明 A A 8C为 等 边 三 角 形，即 可 得

45、A B _LO C；由 4 为 等 边 三 角 形，可 得 A B J.O 4,从 而 由 线 面 垂 直 判 断 定 理 可 证 明 4 8,平 面。用。，即 可 证 明 A B J.B C.(2)以。为 原 点，O B-OB,O C 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，写 出 各 个 点 的 坐 标，并 求 得 平 面 8 B C和 平 面 B D 的 法 向 量，即 可 由 法 向 量 法 求 得 二 面 角 D-B.C-B 的 余 弦 值.【详 解】(1)证 明：取 AB中 点 为。，连 接 0 C,。耳，A C,如 下 图 所 示:因 为 A=1,CD=6 ZADC

46、=90,所 以 AC=2,故 AABC为 等 边 三 角 形，则 ABJ_OC.连 接 AB1，因 为 AB=BB=2,ZABBi=60,所 以 A 484为 等 边 三 角 形，则 A B _ L O Bt.又。C n O 4=。，所 以 平 面。4 c.因 为 C u 平 面。8 0,所 以 A 3,4 c.(2)由(1)知 ABLOC,因 为 平 面 ABCDA平 面 AB4A=AB,O C u平 面 ABCD,所 以。C_L平 面 A B 8 4，以。为 原 点，。耳，OB,OC为 x,y,z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,易 求 OC=O B=6 则 3(

47、0,1,0),(7 3,0,0),c(o,o,G),DI 2 2)则 前=(0,-1,6),麻=卜 6,0,百)，CD=0，_|，一 当 设 平 面 BB。的 法 向 量 4=(x,，x，z j,则 黑 I二 加 ry+v 3rz.=0,1 令 玉=1,则 y=g,Z|=1,J?%+v3Zj 0,设 平 面 C O 的 法 向 量 后=（%,月，Z2），则%CD 0,2 一 则 n2 BC=0,3 V3 n 2y2一 _-Z2-0,令 X)=1,贝!y,=-,22=1,故 23 3 J由 图 可 知，二 面 角。-g 8 为 钝 二 面 角 角,所 以 二 面 角。-4 C-8 的 余 弦 值 为 一 巫.35【点 睛】本 题 考 查 线 面 垂 直 的 判 定，由 线 面 垂 直 判 定 线 线 垂 直，由 空 间 向 量 法 求 平 面 与 平 面 形 成 二 面 角 的 大 小，属 于 中 档 题.