《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著-课后习题解答.pdf

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1、概 率 论 与 数 理 统 计 作 业 习 题 解 答(浙 大 第 四 版)第 一 章 概 率 的 基 本 概 念 习 题 解 析 第 1、2 题 随 机 试 验、样 本 空 间、随 机 事 件 1.写 出 下 列 随 机 试 验 的 样 本 空 间：(1)记 录 一 个 小 班 一 次 数 学 考 试 的 平 均 分 数(设 以 百 分 制 记 分)。(2)生 产 产 品 直 到 有 10件 正 品 为 止，记 录 生 产 产 品 的 总 件 数。(3)对 某 工 厂 出 厂 的 产 品 进 行 检 查，合 格 的 记 上“正 品”，不 合 格 的 记 上“次 品”，如 连 续 查 出 2

2、个 次 品 就 停 止 检 查，或 检 查 4 个 产 品 就 停 止 检 查，记 录 检 查 的 结 果。(4)在 单 位 圆 内 任 意 取 一 点，记 录 它 的 坐 标。解(1)高 该 小 班 有 n 个 人，每 个 人 数 学 考 试 的 分 数 的 可 能 取 值 为 0,1,2,，100,n0 1 100/?个 人 分 数 这 和 的 可 能 取 值 为 0,1,2,，100n,平 均 分 数 的 可 能 取 值 为 一，一，,，则 n n n样 本 空 间 为 f k IS=卜=0,1,2,100 j(2)样 本 空 间 5=10,11,S 中 含 有 可 数 无 限 多 个

3、样 本 点。(3)设 1表 示 正 品，0 有 示 次 品，则 样 本 空 间 为 S=(0,0),(1,0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,0,1),(1,1,I,0),(1,1,1,1)例 如(1,1,0,0)表 示 第 一 次 与 第 二 次 检 查 到 正 品，而 第 三 次 与 第 四 次 检 查 到 次 品。(4)设 任 取 一 点 的 坐 标 为(x,y),则 样 本 空 间 为 S=(x,y)|f+y2 412.设 A,B,C 为 三 个 事 件，用 A,

4、B,C 的 运 算 关 系 表 示 下 列 事 件。(1)A 发 生，B 与 C 不 发 生；(2)A 与 B 都 发 生，而 C 不 发 生；(3)A,B,C 中 至 少 有 一 个 发 生；(4)A,B,C 都 发 生；(5)A,B,C 都 不 发 生；(6)A,B,C 中 不 多 于 一 个 发 生；(7)A,B,C 中 不 多 于 两 个 发 生；(8)A,B,C 中 至 少 有 两 个 发 生。解 此 题 关 键 词：“与，”“而”，“都”表 示 事 件 的“交”；“至 少”表 示 事 件 的“并”；“不 多 于”表 示“交”和“并”的 联 合 运 算。(1)A B C 0(2)(3

5、)A U B U Co(4)ABC=(5)A B C。(6)A,B,C 中 不 多 于 一 个 发 生 为 仅 有 一 个 发 生 或 都 不 发 生，即 A B C u A B C u A B C u A B C,A,B,C 中 不 多 于 一 个 发 生，也 表 明 A,8,C 中 至 少 有 两 个 发 生，即 A B U B C U A C U A B C。(7)A,B,C 中 不 多 于 两 个 发 生，为 仅 有 两 个 发 生 或 仅 有 一 个 发 生，或 都 不 发 生，即 表 示 为 A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U A B C

6、 U A B C而 ABC表 示 三 个 事 件 都 发 生，其 对 立 事 件 为 不 多 于 两 个 事 件 发 生，因 此 又 可 以 表 示 为 A B C=A U B U C(8)A,B,C 中 至 少 有 两 个 发 生 为 A,B,C 中 仅 有 两 个 发 生 或 都 发 生，即 为 A B C U A B C U A B C U A B C也 可 以 表 示 为 AB u BC u ACo第 3.(1，6、8、9、10题 概 率 的 定 义、概 率 的 性 质、古 典 概 型 1 13.(1)设 A,B,C 是 三 件，且 尸(A)=P(B)=P(C)=,P(A B)=P(B

7、 C)=0,P(A Q=,4 8求 A,B,C 至 少 有 一 个 生 的 概 率。解 利 用 概 率 的 加 法 公 式 3 1 5P(A U 3 U C)=尸(A)+尸(A)+P(C)-P(A B)P(B C)-P(A C)+P(A B C)=4 8 8其 中 由 P(A B)=P(BC)=0,而 A B C u A B 得 P(ABC)=0 6.在 房 间 里 有 10个 人，分 别 佩 戴 从 1 号 到 10号 的 纪 念 章，任 选 3 人 记 录 其 纪 念 章 的 号 码。求(1)最 小 号 码 为 5 的 概 率；(2)最 大 号 码 为 5 的 概 率。解 利 用 组 合

8、法 计 数 基 本 事 件 数。从 10 人 中 任 取 3 人 组 合 数 为 C；o,即 样 本 空 间 S=G；=120个 基 本 事 件。(1)令 事 件 A=最 小 号 码 为 5。最 小 号 码 为 5,意 味 着 其 余 号 码 是 从 6,7,8,9,10的 5个 号 码 中 取 出 的，有 种 取 法，故 人=。2=0个 基 本 事 件,所 求 概 率 为 c 25H!+10 1A)=三=-tfji-=T2U=T2io _3!7!(2)令 事 件 B=最 大 号 码 为 5,最 大 号 码 为 5,其 余 两 个 号 码 是 从 1,2,3,4 的 4 个 号 码 中 取 出

9、 的，有 种 取 法，即 8=。2个 基 本 事 件,则 4 4c：2物 6 1P(B)=-4-=120=.20io _3!7!8 在 1 500个 产 品 中 有 400个 次 品，1 100个 正 品。从 中 任 取 200个。求(1)恰 有 90个 次 品 的 概 率；(2)至 少 有 2 个 次 品 的 概 率。解(1)利 用 组 合 法 计 数 基 本 事 件 数。令 事 件 A=恰 有 90个 次 品,则 CI5OO(2)利 用 概 率 的 性 质。令 事 件 B=至 少 有 2 个 次 品,4,=恰 有 i个 次 品,则 所 求 概 率 为 B=A2U A3 U A200,AiA

10、i=0(z 工 j)200P(B)=P(4 U 4 U-U M20O)=Em)i=2显 然，这 种 解 法 太 麻 烦，用 对 立 事 件 求 解 就 很 简 单。令 事 件-8=恰 有 0 个 次 品 或 恰 有 1个 次 品,即 不=A U A,而 厂 200 199P(F)=尸(4 U A)=P(A)+尸(A l)生 回&4。5 便 200 200C 15()0 C1500故 P(B)=1-P(B)=C2?00 C/otG惴 200C15009 从 5 双 不 同 的 鞋 子 中 任 取 4 只，问 这 4 只 鞋 子 中 至 少 有 两 只 鞋 子 配 成 一 双 的 概 率 是 多

11、少？解 令 事 件 A=4只 鞋 子 中 至 少 有 两 只 鞋 子 配 成 一 双。用 3 种 方 法 求 P(A)o A 的 对 立 事 件 耳=4 只 鞋 子 中 至 少 有 两 只 鞋 子 配 成 一 双,从 5 又 鞋 中 任 取 4 只，即 从 10只 鞋 中 任 取 4 只，所 有 可 能 组 合 数 为 C,样 本 空 间 S=C4个 基 本 事 件,现 考 虑 有 10 10利 于 71的 基 本 事 件 数。从 5 双 鞋 中 任 取 4 双，再 从 每 双 中 任 取 一 只，有 C；24种 取 法，即 X=C；24个 基 本 事 件,则 P(A)=1-P(A)=1 01

12、21=1 _ 5义 2=210 21 4 只 鞋 是 不 放 回 的 一 只 接 一 只 的 取 出，所 有 可 能 的 排 列 数 为 A4,即 样 本 空 间 S=A410 10个 基 本 事 件。现 考 虑 有 利 于 不 的 基 本 事 件，从 1 0 只 鞋 中 任 取 一 只，与 它 配 成 双 的 一 只 不 取，从 其 余 8 只 鞋 中 任 取 一 只，与 它 配 成 双 的 一 只 不 取，依 此 类 推，则 及=10X8X6X4个 基 本 事 件。于 是 P(A)=1-P(A)=1-10 x8x6x4,10 x8x6x4,8 131=1=10 x9x8x7 21 21 利

13、 用 组 合 法 计 数 基 本 事 件 数。考 虑 有 利 于 事 件 A 的 基 本 事 件 数，任 取 的 4 只 鞋 配 成 一 双 的 取 法 有 c P 2 c 222种，能 配 成 两 双 的 取 法 有 c2c2种，于 是 A=(CC2C222+C2C2)524 5 2 5 2 4 5 2个 基 本 事 件,则 CC2C222+C2C2 130 13P(A)=5 2 4-_=_以 210 21此 题 的 第 1种 方 法 和 第 2 种 方 法 是 利 用 概 率 性 质：P(A)+P(N)=1首 先 求 P(Z),然 后 求 P(A)。第 3 种 方 法 是 直 接 求 P(

14、A)。读 者 还 可 以 用 更 多 方 法 求。I)在 11张 卡 片 上 分 别 写 上 Probability这 11个 字 母，从 中 任 意 连 抽 7 张，求 其 排 列 结 果 为 ability的 概 率。解 令 事 件 A=排 列 结 果 为 ability,利 用 排 列 法 计 数 基 本 事 件 数。不 放 回 的 从 中 一 次 抽 1张 的 连 抽 7 张，要 排 成 单 词，因 此 用 排 列 法。样 本 空 间=A 1 个 基 本 事 件。排 列 结 果为 ability,实 际 收 入 字 母 b 的 卡 片 有 两 张，写 字 母 i的 卡 片 有 两 张，

15、取 b有 G 种 取 法,取 i有 C 种 取 法，其 余 字 母 都 只 有 1种 取 法，故 A=个 基 本 事 件,于 是 2 2 2p(A)=4=0,000002411x10 x9x8x 7x6x5这 是 个 小 概 率 事 件。第 14.(2);15、19、18题 条 件 概 率、概 率 的 加 法 公 式 和 乘 法 公 式 14.(2)已 知 尸(A)=L P(BA)=1,P(AB)=1,求 P(AUB)。4 3 2解 利 用 概 率 加 法 公 式 和 概 率 乘 法 公 式。P(A U 8)=尸(A)+P(B)-P(AB)解 此 题 的 关 键 是 求 P(3)和 P(AB)

16、。由 概 率 乘 法 公 式，得 P(AB)=P(A)P(BA)=L X，=_L4 3 12又 P(AB)=又 3)P(A 又,解 得 于 是 所 求 概 率 为 P(A U 8)二 1=_4 6 12 3此 题 的 关 键 是 利 用 P(A)P(B A)卜 P P(A 8)I，求 出 P(AB)和 P，再 求 P(A U 8)就 迎 刃 而 解 了。15.掷 两 颗 骰 子，已 知 两 颗 骰 子 点 数 和 为 7,求 其 中 有 一 颗 为 1点 的 概 率(用 两 种 方 法)。解 令 事 件 A=两 颗 骰 子 点 数 之 和 为 7,4 有 一 颗 为 1点。此 题 是 求 条

17、件 概 率 P(B A|)o 两 种 方 法 如 下：考 虑 整 个 样 本 空 间。随 机 试 验：掷 两 颗 骰 子，每 颗 骰 子 可 能 出 现 的 点 数 都 是 6 个，即 样 本 空 间 S=6?个 基 本 事 件。事 件 AB=两 颗 骰 子 点 数 之 间 和 为 7,且 有 一 颗 为 1 点,两 颗 骰 子 点 数 之 和 为 7 的 可 能 结 果 为 6个，即A=(1,6),(2,5),(3,4),(6,1),(5,2),(4,3)而 AB=(1,6),(6,1)由 条 件 概 率 公 式，得 P(AB)2 2 1P(B A)=-=J 0=_=一 P(A)6 6 3J

18、o 己 知 事 件 A 发 生 后，将 A 作 为 样 本 空 间，其 中 有 两 个 结 果（1,6）和（6,1）只 有 一 颗 骰 子 出 现 I点，则 在 缩 减 的 样 本 空 间 中 求 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率 为 P(平)=3=1318.某 人 忘 记 了 电 话 号 码 的 最 后 一 个 数，因 而 他 随 意 地 拨 号。求 他 拨 号 不 超 过 三 次 而 接 通 所 需 电 话 的 概 率。若 已 知 最 后 一 个 数 字 是 奇 数，那 么 此 概 率 是 多 少？解 利 用 概 率 性 质（有 限 可 加 性）和 概 率 乘 法 公 式。令 事 件

19、 4=第 i次 拨 通 电 话，“至 噪 i次 拨 通 电 话”这 个 事 件 为 4 4 4 n（i=i,2,3）。事 件 B=不 超 过 三 次 而 拨 通 电 话，则 B=A U AtA 2U A A2A3该 事 件 表 示 第 一 次 拨 通 电 话，或 者 第 一 次 未 拨 通，第 二 拨 通 电 话（到 第 二 次 拨 通 电 话），或 者 第 一、二 次 未 拨 通，第 三 次 拨 通 电 话（到 第 三 次 拨 通 电 话）。右 端 是 互 不 相 容 事 件 的 并 事 件，所 以 用 有 限 可 加 性 计 算，得 P（B）=P（AA 2 UA14A3）=P（A,）+P（

20、AIA2）+P（AIA2A3）=P（A,）+P（A1）P（A2 AJ+P（A）尸（4 A|）P（4 A,A2）_ 1+9 1 9 8 1 310 10 9 10 9 8 10拨 号 是 从 0,1,2,，9 的 10个 数 字 中 任 取 一 个，有 10种 取 法，第 一 次 拨 通 的 概 率 是 1-；109第 一 次 未 拨 通 的 概 率 为 一，第 二 次 拨 号 时，是 从 其 余 9 个 数 字 中 任 取 一 个，所 以 拨 通 的 概 10率 为 1,到 第 二 次 拨 通 的 概 率 为-X-=:依 此 询，到 第 n 次 拨 通 电 话 的 概 率 都 是 9 10 9

21、 10 10与 顺 序 无 关。己 知 最 后 一 个 数 字 是 奇 数 时，令 事 件 C=拨 号 不 超 过 三 次 而 接 通 电 话。拨 号 是 从 1,3,5,7,9 的 五 个 数 字 中 任 取 一 个，有 5 种 取 法，第 一 次 拨 通 的 概 率 为 L,到 第 二 次 拨 通 54 1 I 4 3 1 1的 概 率 为 _ x _=_,到 第 三 次 拨 通 的 概 率 为 二 乂 xj=，与 上 述 分 析 方 法 和 用 的 概 率 公 5 4 5 5 4 3 5式 相 同，所 以 5 5 4 5 4 3 5第 21、22、35、38题 全 概 率 公 式、贝 叶

22、 斯 公 式、事 件 的 独 立 性 21.已 知 男 人 中 有 5%是 色 盲 患 者，女 人 中 有 0.25。（）是 色 盲 患 者。今 从 男 女 人 数 相 等 的 人 群 中 随 机 地 挑 选 一 人，恰 好 是 色 盲 患 者，问 此 人 是 男 性 的 概 率 是 多 少？解 令 事 件 A=随 机 地 选 一 人 是 女 性,对 立 事 件 A=随 机 地 选 一 人 是 男 性。因 为 人 群 中 男 女 人 数 相 等，所 以 P(4)=P(A)=1,且 A,A 是 样 本 空 间 的 一 个 划 分。事 件 C=随 机 2地 挑 选 一 人 恰 好 是 色 盲。已

23、知 P(C/D=O5,P(CA)=5_100 100由 全 概 率 公 式，得 P(C)=P(A)P(C A)+P(A)P(C A)=x%+xJ_=0.026252 100 2 100由 贝 叶 斯 公 式，得 P(A C)尸(7)P(CA)-xP(A C)=-=2 100=0,9524P(O P(C)0.0262522.一 学 生 接 连 参 加 同 一 课 程 的 两 次 考 试。第 一 次 及 格 的 概 率 为 P,若 第 一 次 及 格 则 第 二 次 及 格 的 概 率 也 为 P;若 第 一 次 不 及 格 则 第 二 次 及 格 的 概 率 为 P/。（1）若 至 少 有 一

24、次 及 格 则 他 能 取 得 某 种 资 格，求 他 取 得 该 资 格 的 概 率。（2）若 已 知 他 第 二 次 已 经 及 格，求 他 第 一 次 及 格 的 概 率。解 令 事 件 Ai=一 学 生 第 i次 考 试 及 格（i=l,2）,已 知 P（A）=P,P（7t）=1-|A）P（A A）=1 I 2 1 I 2 1（1）由 概 率 加 法 公 式，得 p（a u&）=P（4）+P（A2）尸（a 4）=P（A）+P（4）-P（4）P（4 M）利 用 对 立 事 件 求 概 率P(A,U A2)=1P(Ai U 4)=1-P(A1A2)=1-P(4)P(A2A)=1-P(A1)

25、1-P(A2 Al)p 3 I=1-(1-P)(l-)=P-P22 2 2显 然 用 后 者 求 解 简 单。(2)利 用 条 件 概 率 公 式。(令)=产 4 4 2)=尸(A)尸(4 A)尸(A)P(A)“2 2IP尸+P(1-P+1如 果 一 危 险 情 况 C 发 生 时，一 电 路 闭 合 并 发 出 警 报，我 们 可 以 借 用 两 个 或 多 个 开 关 并 联 以 改 善 可 靠 性，在 C 发 生 时 这 些 开 关 每 一 个 都 应 闭 合，且 若 至 少 一 个 开 关 闭 合 了，警 报 就 发 出。如 果 两 个 这 样 的 开 关 联 联 接，它 们 每 个

26、具 有 0.9 6 的 可 靠 性(即 在 情 况 C 发 生 时 闭 合 的 概 率)，问 这 时 系 统 的 可 靠 性(即 电 路 闭 合 的 概 率)，是 多 少？如 果 需 要 有 一 个 可 靠 性 至 少 为 0.9 9 9 9的 系 统,则 至 少 需 要 用 多 少 只 开 关 并 联?设 各 开 关 闭 合 与 否 是 相 互 独 立 的。解 利 用 事 件 的 独 立 性。令 事 件 4=第 i只 开 关 闭 合。已 知 P(A)=P(a)=0.96 令 事 件 B=电 路 闭 合。两 只 开 关 并 联 联 接，则 8=A U 4,即 至 少 有 一 只 开 关 闭 合

27、，电 路 就 闭 合。而 A与 4 相 互 独 立，所 以 电 路 闭 合 的 概 率 为 P(B)=P(AIU A2)=P(A,)+P(A2)-P(A1A2)=P(A I)+P(A2)P(AJP(A2)=0.96+0.96-(0.96)2=0.9984这 种 解 题 思 路 是 读 者 容 易 想 到 的.另 一 种 解 法 是 利 用 对 立 事 件，计 算 此 较 简 单.P(3)=P(A U A?)=1 P(A U A2)=1-P(A42)=1-P(Z)P l)=1-0.042=0.9984 设 需 要 n只 开 关 并 联,才 保 证 系 统 可 靠 性 为 0.9999o令 事 件

28、 4=第 i 只 开 关 闭 合(i=l，2,n)。令 事 件 C=电 路 闭 合,=A UA2U-4 如 果 用 概 率 加 法 公 式 表 示 P=(C)将 是 相 当 麻 烦 的，不 妨 表 示 为P(C)=P(4 U&U A)n n=EP(4)-Ep(44)+E P(A4A)+-“+(i)Tp(CAj)f=l 1/-j,n l/-jkn b=l=0.96n-d(0.96)2+C?,(0.96)3+(-1)(0.96)n已 知 尸(C)=0.9999,解 n 实 际 上 是 很 难 办 到 的。如 果 用 对 立 事 件 表 示 P(C),显 然 比 较 简 单，即 P(C)=1 P(A

29、,U A2 U-U A”)=1 P(Ai Ai-A”)=1-P(Ai)P(A2)-P(A”)=l-(0.04)f l已 知 1-0.04 2 0.9999,即 1-0.04 4 0.0001,两 边 取 以 e为 底 的 对 数，得 nl(0.04)-=-2.861(0.04)-3.2189故 至 少 需 要 3 只 开 关 并 联 联 接。此 题 表 明 对 立 事 件 及 德 莫 根 律 对 解 决 实 际 问 题 有 多 么 重 要。36 三 人 独 立 地 去 破 译 一 份 密 码，已 知 各 人 能 译 出 的 概 率 分 别 为 1 5,1 3,1 4。问 三 人 中 至 少 有

30、 一 人 能 将 此 密 码 译 出 的 概 率 是 多 少？1 1 1解 令 事 件 Ai=第 i人 能 译 出 密 码(i=l,2,3),且 P(A)=5,尸(42)=3,P(A3)=4，B=三 人 中 至 少 有 一 人 能 译 出 密 码)与 事 件“密 码 被 译 出”是 相 等 事 件。又 A”4 A 3相 互 独 立。利 用 概 率 的 加 法 公 式 和 事 件 的 独 立 性。P(5)=P(AU A2U A3)=P(A)+P(A2)+P(&)P(44)P(44)-P(&)+P(AA24)=+-x-x-x+x x=0.65 3 4 5 3 5 4 3 4 5 3 4 利 用 对

31、 立 事 件 和 事 件 的 独 立 性。P(B)=P(&U&U&)=1 P(A,U A2 U A3)=1-P Q 4 7 m 3)=1-204|)巴 4)汽 4)1 1 1 3=1-(1-)x(1-)x(1-)=0.65 3 4 538.袋 中 装 m 只 正 品 硬 币、n 只 次 品 硬 币(次 品 硬 币 的 两 面 均 印 有 国 徽)。在 袋 中 任 取 一 只,将 它 投 掷 r 次，已 知 每 次 都 得 到 国 徽。问 这 只 硬 币 是 正 品 的 概 率 为 多 少？解 令 事 件 A=任 取 一 只 硬 币 是 正 品，对 立 事 件 A=任 取 一 只 硬 币 是 次

32、 品，且 片 I/7P(A)=,P(A)=,B=把 硬 币 投 掷 r 次，每 次 都 得 到 国 徽 面,令 事 件 B=把 m+匕 加+硬 币 投 掷 i次，有 i次 得 到 国 徽(i=l，2,r)o如 果 硬 币 是 正 品，则 投 掷 一 次 出 现 任 何 一 面 的 概 率 都 是 1;如 果 硬 币 是 次 品，则 投 掷 一 次 出 现 国 徽 面 的 概 率 是 lo于 是 2尸(坊)=P(A)P(与 A)+P P(BA)=x+xlm 十 几 2 m+nP(B2)=P(A)P(B2A)+P(A)P(B2A)m x 1 x 1+n i i=X X 十 xlxlm-n 2 2

33、m 4-HP(BJ=m x：+xlm+2 m+n则 P(B)=P(Br)=上 X+m+几 m+n 2m 1 n二,X+加+m+n 2所 求 概 率 为-，/?)=P(/B)=P(A)P(Bk)P(A)P(B)m 1-x 一 _ m+n 2 _ mm 1 a+2T 机+-x-m+n 2!第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布 习 题 解 析 第 2.(1).3、6.7.12.17题 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 2.(1)一 袋 中 装 有 5 只 球，编 号 为 L 2,3,4,5o在 袋 中 同 时 取 3 只，以 X 表 示 取 出 的 3只 球 中 的 最 大 号 码，

34、现 实 性 出 随 机 变 量 X 的 分 布 律。解 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 3,4,5,求 取 各 个 值 的 概 率 用 古 典 概 型。C；1 1PX=3)=一=c3-105 _3!2!C2 2%!3PX=4=_|_=卅 5 _3!2!C2 2%3PX=55 _3!2!则 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 X 3 4 5pk1 3 310 10 5如 果 用 概 率 函 数 表 示，则 为 P X=k=3C 5a=3,4,5)3.设 在 1 5 只 同 类 型 的 零 件 中 有 2 只 是 次 品，在 其 中 取 3 次，每 次 任 取 1 只，作

35、不 放 回 抽 样。以 X 表 示 取 出 的 次 品 的 只 数。（1）求 X 的 分 布 律；（2）画 出 分 布 律 的 图 型。解 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 值 为 0,1,2,求 取 各 个 值 的 概 率 用 古 典 概 型。（1）X 取 各 个 值 的 概 率 分 别 为 PX=0=咎=15M i 223!12!PX=1=2x 13!2!iir1215:35PX=2=2 b153!12!13 _ 1T 5 T-53!12!则 X 的 分 布 律 为 X 0 1 2pk22 12 1，35 35 35因 为 Z 七|,所 以 只 要 求 出 PX=0,PX=1则 PX

36、=2=1-尸 X=0PX=1。X 的 分 布 律 用 概 率 函 数 表 示 为 P X=k=k(A=0,1,2)0 1 56 一 大 楼 装 有 5 个 同 类 型 的 供 水 设 备。调 查 表 明 在 任 一 时 刻 t 每 个 设 备 被 使 用 的 概 率 为 0.1,问 在 同 一 时 刻(1)恰 有 2 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？(2)至 少 有 3 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？(3)至 多 有 3 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？(4)至 多 有 1 个 设 备 被 使 用 的 概 率 是 多 少？解 5 个 同 类 型

37、 的 供 水 设 备，在 任 一 时 刻 是 否 被 使 用 相 互 独 立，而 在 同 一 时 刻 被 使 用 的 个 数 X 服 从 二 项 分 布 b(5,0,1),故 用 二 项 分 布 求 解 X 取 各 个 值，或 在 某 个 范 围 内 取 值 的 概 率。(1)因 为 X服 从 二 项 分 布 b(5,0,1),分 布 律 为 PX=Z=Q(0.1)10.9)J(k=0,1,2,3,4,5)于 是 尸 X=2=(0.1 了(0.9)5-2=10 x 0.01x0.729=0.0729(2)5PX2 3=Z C：(0.1)*(0.9 产=3=C(0.1)3(0.9 产+(0.1)

38、2 3 4(0.9)5-4+C(0.5)5(0.9 产=10 x 0.00lx 0.81+5x 0.000lx 0.9+0.00001=0.00856(3)3PXW3=Z 女(0.if(0.9)”=。(0.1)(0.9)5+C(0.1)(0.9)4+C；(0.1)2(0.9)3+G(0.1)3(0.9)2=0.59049+032805+0.0729+0.0081=0.99954或 用 对 立 事 件 求 解。PX 3=1-PX45=l-gd(O.l)to.9)ST=1-C54(0.1)4(0.9)5+(0.1)5(0.9)=1-5X 0.14X 0.9+0.15=l-0.00045+0.000

39、1=0.99954后 者 计 算 比 前 者 简 单。5(4)PX21=Z C 01)0-9)5T，显 然 计 算 过 程 比 较 麻 烦，但 用 对 立 事 件 求 解 相 当 4=1简 单。PX 1=1-PX3=yd(0.3)0.7)I=点(0.3)3(0.7)2+或(0 3)4(0.7)+管(0.3)5=10 x 0.027 x 0.49+5x 0.008lx 0.7+0.00243=0.16308(2)事 件 A 在 7次 重 复 独 立 试 验 中 发 生 的 次 数 Y 服 从 二 项 分 布 b(7,0,3),则 PYN3=1 Y 3=1尸 丫 2=l-dJ(0.3)(0.7)7

40、+C7(0.3)(0.7)6+c(03)2(0.7)5=1-0.77+7 x 0.3x 0.76+21X 0.32 X 0,75=0.35312.一 电 话 交 换 台 每 分 钟 收 到 呼 唤 的 次 数 服 从 参 数 为 4 的 泊 松 分 布。求(1)某 一 分 钟 恰 有 8 次 呼 唤 的 概 率；(2)某 一 分 钟 的 呼 唤 次 数 大 于 3 的 概 率。解 一 电 话 交 换 台 某 一 分 钟 收 到 呼 唤 的 次 数 X服 从 泊 松 分 布 兀(4),其 分 布 律 为PX=A=U-(k=0,1,2,)k!0748 1200.33371(1)PX=8=0.029

41、778!403208 0-4 4出(2)px3=px4=y-rr=i-3 e-4 平=0.566517.(1)设 X 服 从(0-1)分 布，其 分 布 律 为 PX=A=P*(1 P)-K,攵=0,i,求 x 的 分 布 函 数，并 作 出 其 图 形；(2)求 第 1 题 中 的 随 机 变 量 的 分 布 函 数。解(1)X 的 分 布 函 数 为/(X)=PX W X=Z P 1 P)Kx Y 01,(2)第 1 题 中 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 X 3 4 5pk1 3 310 10 5X 的 分 布 函 数 为 F(x)=PXx,求 法 如 下。当 x Y 3 时，则

42、 尸(x)=PXWx=0当 3xY 4 时，则 F(x)=PXx=PX=3)=0.1当 4 4x Y 5 时，则 f(x)=PX4x=PX=3+尸 X=4=0.1+0.3=04当 x N 5 时，则 尸(x)=PXWx=PX=3+PX=4+PX=5=1综 合 表 示 为F(X)=3 410 10 10 x Y 3第 19、21、27、34、35、36题 随 机 变 量 的 分 布 函 数、连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 19.以 X 表 示 某 商 店 从 早 晨 开 始 营 业 起 直 到 第 一 个 顾 客 到 达 的 等 待 时 间（以 分 计），X 的 分 布 函 数

43、是 求 下 述 概 率：(1)P至 多 3分 钟;(2)P至 少 4分 钟;(3)P3分 钟 至 4分 钟 之 间;(4)P至 多 3分 钟 或 至 少 4分 钟;(5)P恰 好 2.5分 钟。解(1)PX M3=1 e44、3=i_e-L2=0 6988(2)PX 4=1-PX 4)=1-(4)=e4x4=0.2019(3)P3X4=PX4-PX3=F(4)-F(3)=1-产 4_ 14x3)X X=0.0993(4)PX4=l-e-4x3+(l-4x4)=0.6988+0.2019=0.9007(5)PX=0.25=0。21.设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 x,0 xl(2

44、)f(x)=2-x,1 x20,其 它求 X 的 分 布 函 数 F(x),并 画 出(2)中 的/)及/。)的 图 形。解(1)当 x 1 时，F(x)=0；当 1 Wx 2 时，则 1 t2/(X)=fx/力=x 1 v/.p。力+f 2(1-)at2J加 一 产)力=2。+升=2x+3 4X当 x N 2 时，F(x)=1。综 合 表 示 为 当 1W x 2 时，则 F。)=/没 J-0 00 1 x=J 0力+力+j(2-1)力=)山+(2-。力=l+(2r-J_r2VJo Ji 2 2=_L+2X-2 X2-2+A=-A X2+2 X-12 2 2 2当 光 2 2 时，F(x)=

45、lo综 合 表 示 为 0,/=国-x2+2x-12，x 00 x 11 x 227.某 地 区 18岁 女 青 年 的 血 压(收 缩 压，以 mmHg计)服 从 N(110,122)在 该 地 区 任 选-18岁 的 女 青 年，测 量 她 的 血 压 X。(1)求 PX 105,P100X 120；(2)确 定 最 小 的 x,使 PXx 0.05 o解 设 女 青 年 的 血 压 为 X,则 X N(110,122),由 此 得 X-11012 N(0)(1)PX 105=P-X-10 U)5 1Q=D(_fj=1一(J j12 12=1-0(0.4167)=1-0.6628=0.33

46、72 P100X 120)=100-110X-110尸 V 2 n DZ5 X 1 1 0/5=P(xK 0.05,用 对 立 事 件 得 l-PX x 0.05,PX0.95X-110 x 110P 0.9512 12x 110查 表 得-1.645，解 出 xN 129.74,则 x12120-110-V 2 的 最 小 值 为 1.74o第 33、题 随 机 变 量 的 函 数 分 布 3 3.设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为 X-2-1 0 1 3pk1 1 1 1 1 15 6 5 15 30求 y=x?的 分 布 律。解 y=X?的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,4,

47、9,取 各 个 值 的 概 率 分 别 为2 1Py=O=P X2=O=PX=O=5P Y=P X2=l=P X=-+P X=1=1 1 7 6 15 30尸 y=4=P X?=4=尸 X=-2+P X=1=P X=-2=15P Y=9=P X2=9=PX=-3+P X=3=PX=3=30于 是 Y 的 分 布 律 为 Y 0 1 4 9pk1 7 1 1 15 30 5 30此 题 Y 与 X 不-对 应，X 取 值 为-1,1 对 应 Y 取 值 为 1,这 时 口 丫=1等 于 PX=1与 PX=1之 和。用 表 格 表 示 Y 在 的 分 布 律 时，通 常 Y 取 值 从 小 到 大

48、 排 序，看 起 来 比 较 整 齐。3 4.设 随 机 变 量 X 在(0,1)上 服 人 均 匀 分 布。(1)求 卜=/的 概 率 密 度;(2)求 丫=-21 X的 概 率 密 度。解 X 的 概 率 密 度 为 正)”,fo,0 x)为 Y 的 分 布 函 数，的)为 Y 的 概 率 密 度。当 yl时，F“y)=0；当 lye 时，贝 Uny(y)=PY y=ex y=PX ny=f dx _ny当 y N e 时，Fr(y)=lo综 合 表 示 为1,1 y e于 是 Y 的 概 率 密 度 为 丽(卜)f(y)=ydy1 y e o,其 它(2)当 y Y O 时,Fy(y)=

49、O；当 yio 时，则 FY(y)=PY y=P-21nX e2 上=d x=-e2综 合 表 示 为 0,j(y)邙 y-e-于 是 Y 的 概 率 密 度 为 y 0/(y)=Y肛(y)dyIfl-2_ e 2I。，y0y0由 此 可 见，Y 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布。2直 接 求 Y 的 概 率 密 度 FY(y)o(1)因 为 丫=/对 应 的 函 数 y=，是 严 格 单 调 增 加 函 数，可 以 应 用 教 材 中 的 定 理 求 解。dx 1y=e”的 反 函 数 为 x=,又=，当 Icy e 时，则 dy yf(y)=f(i y)dx=_x dy y综 合

50、 表 示 为 力(y)=y限 1 y e其 它 随 机 变 量 Y 的 取 值 范 围 根 据 X 的 取 值 范 围(0 x 1)和 函 数 y=,来 确 定。当 a y 0,则 a=mine,e=1,。=maxe,e=e o(2)因 为 y=-21 X 对 应 的 函 数 y=-21加 是 严 格 单 调 减 少 函 数，其 反 函 数 X=e 又 X=_L，2,则 dy 2|1 f 1 1-Jc-e 2 一,=e2,依)=2 y 20,y 0y 03 5.设 X N(0,1)。(1)求 丫=*的 概 率 密 度；(2)求 y=2X?+l 的 概 率 密 度；(3)y=X|的 概 率 密