中考数学圆的认识专题复习.pdf

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1、江苏省中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）圆的认识 考点聚焦1.圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一.2.掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点.3.理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点.备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系.所以，在求解圆中相关线段

2、的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题.识记巩固1.到定点的距离等于 的点的轨迹叫做圆，其中 叫圆心，叫半径.2.圆既是_ _ _ _ _ _ _ _ 图形，又是_ _ _ _ _ _ _ 图形，圆心是任意一条直径所在的直线是_ _ _ _ _ _ _.3.垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且_ _ _ _ _ _这条弦所对的两条弧；平分的直径垂直于弦，并且平分.如图：AB为圆心；AB_LCD；CE=DE；AC=AO；B C =B D .其中，任意满足两个结论

3、，均可推出其余三个结论成立.4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，,（或）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等.5.圆圆角及定理：顶点在,角的两边都与 相交的角叫圆周角.在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于它所对的;相 等 的 圆 周 角 所 对 的 相等；所对的圆周角是直角；9 0。的圆周角所对的弦是_ _ _ _ _ _ _.识记巩固参考答案：1.定长定点定长2.轴对称中心对称对称中心对称轴3.平分平分非直径弦这条弦所对的两条弦4.两条弧两条弦弦心距5.圆上圆同弧或等弧圆心角的一半弧直径直径典例解析例 1 如图，射线用平分N 阳。为射线用上一点，以。为圆心，10为半径作。0

4、,分 别 与/破 1 两边相交于4、8 和 C、D,连结如，此时有OA/PE.(1)求证：AP=AOi(2)若弦A B=1 2,求tanNQ阳的值；(3)若以图中已标明的点(即只4、B、a D、0)构造四边形，则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为_ 或_ 或证明：（1）VPG分/E PF,:D PWNB PO,：OA/PE,:./D PB 乙 POA,:B P/POA,：.PA=OA,.2 分解（2）过 点。作。_L/少于点，则 腑 盼LAB,1分2:.P+2 0 H,.1 分PH 2设 0 t X,贝Ij P即2 x,由（1）可知 为=好1 0,:.A住PH P归2 x-0,V

5、A H2+0 H2=0 A2,：.（2X-10）2+X2=10.1 分解得%=0 （不合题意,舍去），=8 ,.月 代 6,：.A B A H=U-,1 分(3)P、力、0、C；4、B、C或 人 力、0、或凡 C、0、B.2分（写对1 个、2 个、3 个得1 分，写对4 个得2 分）例 2 如图，AB是。O 的直径，BD是。O 的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连结A C 交。O 于点F.（1）AB与 AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断4A B C 属于哪一类三角形，并说明理由.解 析（1）AB=AC,理由如下:（方法一）连结DO,则OD是4A B C 的中位线，

6、ODCA.VZODB=ZC,.*.DO=BO.*.ZOBD=ZODB,.*.ZOBD=ZACB,.,.AB=AC.（方法二）连结AD,VAB是。0 的直径,AADIBC.XV BD=CD,，AB=AC.(方 法 三)连 结DO,则OD是4A B C的中位线，/.OD=-AC,OB=OD=-AB,2 2，AB=AC.(2)连 结BF.VAB是。的直径./.ZADB=90,.*.ZBZADC=90,ZCZADB=90.AZB,N C为锐角.又.NA/B0A,要使%方与的。相似，只能使NEC户N%0,连结朋YBE为R tZ 4座斜边上的中线，:.B芹 AFBD,:./BEA=/BAO,:./BE归2

7、 ECF,CF OC：.CF/BE,：.=,BE OEV/EC44BAO、/FEC=/DEA=Rt/,CF CE：.XCEFsXAED,.二一,AD AE而/庄2 典=，2OE AE即5=-x-5-，解.得z 苞5+5J17 5-5-/17.=-,x,=-Z.ECF.，要使演尸与物0 相似，只能使的。连结 B E,得 陷,A 0=/8,ZBEA=ZBAO2匕 EC打 N BEA,：.CF/BE,.CF PCB E O E 又Y/EC六乙BAQCE CF fCEF/AED,/.-,AE AD,、.OC CE而 A22BE,、-=-,ZOE AE2x 10+x，解得再-5 +5V 17-5-5 V

8、1 7 八，八 、-2）,半径为2,函数y=x 的图象被。P 的弦A B的长为2g,则a的值是A.2 7 3 B.2 +2 近 C.2 y/3 D.2 +6（第6题）【答案】B1.18.如图，0。的弦16=8,M是46的中点，且。%=3,则。的半径等于【答案】D19.如图，。的直径CD=5 c m,A B是。0的弦，A B1 CD,垂足为M,OM：0 D=3：5,则 A B 的长是（）A.2 c mB.3 c mC.4 c mD.2 7 1 c m【答案】c2 0 .矩形 用中，A B=8,B C =3 后,点尸在边四上，且 外=3/R如果圆是以点为圆心，如为半径的圆，那么下列判断正确的是(A

9、)点6、。均在圆户外；(B)点刀在圆户外、点。在圆月内；(C)点夕在圆内、点。在圆P外；(D)点 反。均在圆夕内.【答案】C2 1 .M (3),CD是。的弦，直径A B过CD的中点M,若NB0 C=4 0 ,则 NA BD=A.4 0 B.6 0 C.7 0 D.8 0【答案】C2 2.如图，4 4 0 3 =1 0 0。，点C在。上，且点C不与A、B聆，则4 c B的度数为()A.5 0 B.8 0 或5 0 C.1 3 0 D.5 0 或 1 3 0【答案】D2 3 .如图，四边形力优9是圆内接四边形，石是比延长线上一点，若/胡=1 0 5 ,则 的 大 小 是A.1 1 5 B.1 0

10、 5 C.1 0 0 D.95【答案】B2 4 .如图，A B 为。0的直径,C D 为弦，A BCD,如果NB0 C=7 0。，那么N A的度数为（）A.7 0 B.3 5.3 0 D.2 0 A第9题图【答案】B2 5.如图，A B为。0的直径，点C 在。0 上，Z A=3 0 ,则N B 的度数为A.1 5 B.3 0 C.4 5 D.6 0 3题图【答案】D2 6.如图，半径为1 0 的。中，弦四的长为1 6,则这条弦的弦心距为()(A)6 (B)8 (C)1 0 (D)1 2O(第6 题)【答案】A二、填空题1 .如图，居是半圆直径，半径0 C_ L 4少于点。，/平 分 交 弧 及

11、;于点，连结C D、0 D,给出以下四个结论：A C/OD,CE=OE；X OD E sX A D O，、2 C D2=CE AB.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.0（第16题）【答案】2.如图，。的两条弦力反 互相垂直，垂足为反 且 A 货C D,已知C%1,E D=3,则。的半径是.【答案】m3.如图，。的弦C D与直径A B相交，若NBA D=5 0 ,则NA CD=【答案】4 0 4.如图，在以力夕为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形C D E F,则以力。和比的长为两根的一元二次方程是.【答案】如：y-V 5A+1=0；5.如图，为与。相切，切点为4交。于点G点4是优弧

12、曲上一点，若N 股俏=32,则N 尸的度数为。6.如图，。的直径相与弦切相交于点色若A斤CD=4 ,7.如图，的外心坐标是【答案】(-2,-1)8.如图，点 小B,C,都在。上，比的度数等于84,C A 是40 C D的平分线，则十.【答案】539.如图，血是。0 的直径，点 C,都在。上，连结。，C B,D C,D B.已知/仄30,B C=3,则四的长是.(第14题图)【答案】610.如图，是半圆直径，半径0 d 方于点。，/平 分 8 分别交%于 点 ,交弧比1 于点，连结切、OD,给出以下四个结论:S.EC=2 S。；A C=2 C D；线段0D是 DE与 DA的比例中项；2 C D2

13、=C E A B .其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】11.已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1 的圆的 公 共 点 个 数 所 有 可 能 的 情 况 是.（写出符合的一种情况即可）【答案】2（符合答案即可）12.如图，0B是。0 的半径，点C、D在。0 上 ZDCB=27,则/OBD=度。【答案】6313.如 图 2,已知。是居 的 外 接 圆，且/俏 70,则/力庐.【答案】2014.如图，点为边4C上一点，点。为边居上一点，A A D Q 以 0 为圆心，如长为半径作半圆，交 2。于另一点反 交 A B 于点、F,G,连接 跖 若 N 物信2 2 ,则N

14、 夕 1 5 .如图3 所示，若。的半径为1 3 c m,点p 是 弦 上 一 动 点，且到圆心的最短距离为5 c m,贝 I 弦A 6 的长为 c m【答案】2 41 6 .已知如图，在 圆 内 接 四 边 形 A B C D 中，Z B=3 0 ,则 Z D=-【答案】1 5 0 1 7 .如图，已知四为。的直径，/。3=3 0 ,则/=.【答案】：6 0 1 8 .如图，在a 1 中，点尸是4%?的内心，则/必 仆/心+N4 4 4二 度.B【答案】901 9 .如图，海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓 形 的 弧 是 的 一 部 分）区域内，Z A0 B=8 0

15、,为了避免触礁，轮船P与A、B的张角NAP B 的 最 大 值 为 .【答案】4 02 0.如图，A B、然都是圆。的弦，OM1 A B,ONV A C,垂足分别为强N,如果的V=3,那么比=.【答案】62 1 .如图，以原点。为圆心的圆交x 轴于点/、两点，交 y 轴的正半轴于点C,为第一象限内。上的一点，若/的后2 0 ,则/OC D-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（第 18题）【答案】6 52 2.如 图（5）,/8;内接于圆0,若N8=30.月。=/，则。的直径为。【答案】2 V 32 3.（2 0 1 1 湖南衡阳，1 6,3 分）如图，。的直径C O 过弦研的中点

16、G,N 加方4 0 ,则/也 的度数为.【答案】2 02 4 .如图，在。0中，直径C D 垂直弦AB 于点E,O B,C B,9 口。0的半径为2,AB=2 6，则NB C D=度.c（第8题）【答案】302 5 .如图，D E 是。0的直径，弦 AB J LD E,垂足为C,若 AB=6,C E=1,则0 C=,C D=答案：4,92 6 .如图，B E 是半径为6的。D的工圆周，C点是B E 上的任意一点,4AB D 是等边三角形,则四边形AB C D 的周长P的取值范围是第14题图【答案】18p18+6V227.如图7,点0为优弧ACB所在圆的圆心，NA0C=108,点D在AB的延长线

17、上，BD=BC,贝iN D=_.【答案】2728.如图，。是AABC的外接圆，CD是直径，NB=40,则NACD的 度 数 是，第12题图【答 案】50三、解答题1.如 图，射 线 用 平 分/四。为 射 线 加 上 一 点，以。为圆心，10为半径作。，分别与N 空两边相交于4夕 和C、D,连 结O A,此时有 OA/PE.(1)求证：APAO-,(2)若弦4 8=1 2,求t a n/。阳的值；(3)若以图中已标明的点(即R /、B、C,D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为_ 或_ 或_.证 明：（1）：PG分4 EPF,:./D P/B P O,：OA/PE

18、,：.4D Pg/PO A,:./B P/P O A,：.PA=OA；2 分解（2）过 点。作 例 5四 于 点 贝IJ/破 口 1分2:tan/O P斤 空=,:.P*2OH,1 分PH 2设OH=x,则 小2x,由(1)可知 用=好1 0,:.A用PH P归2 x-G,V A H2+0 H2=0 A2,：.(2 x-1 0)2+x2=1 02,.1 分解 得X=0 (不合题意，舍去)，=8,二.力於 6,：.A B=Q,A H=1 2；1 分(3)P、/、0、C；/、B、D、。或 只 月、0、或尸、。、0、B.2分(写 对1个、2个、3个 得1分，写 对4个 得2分)2.如 图，在平面直角

19、坐标系中，点/(1 0,0),以 力为直 径 在 第 一象 限 内 作 半 圆。，点4是该半圆周上的一动点，连 结OB、A B,并延长4夕至点，使D B=A B,过 点 作x轴垂线，分 别 交x轴、直 线 出 于点 反 凡 点 后 为 垂 足，连 结 成(1)当N/0 8=3O 时，求 弧 的 长；(2)当以=8时，求线段斯的长；(3)在点6运动过程中，是否存在以点氏C、尸为顶点的三角形与力仍相似，若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)连结8 c：A(1 0,0),.*.6 1 4=1 0,C A=5,V ZAOB=30,：.ZACB=2ZAOB=60a,.好 ，“6 0

20、 x x 5 5%，八.弧4 5的长=-=；.4分1 8 0 3(2)连 结。.而是。直径，./倒=9 0 ,又,：A5 BD,仍 是4的垂直平分线，：.OD=OA=Q,在R t Z XQ%中，O E=4OD2-D E2=7 1 02-82=6,：.AE=AO-OE=Q-&=,由/4 0庐N4 9田9 0 -NOAB,NOE广乙DEA,得QEFsXDEA,.止3；.4 分(3)设 OE=x,当 交 点 在。，之间时，由 以 点 氏C,尸为顶点的三角形与力如相似，飞4EC24BOA或ZECaNOAB,当/a玲/她 时，此时况尸为等腰三角形，点 为中点，即。后*,2.(2,o)；2当/比 伫/%8

21、时，有 分=5-x,4 5=1 0 r,J.CF/AB,有 CI-AB,2：/ECF 4B0A,要 使 孑 与 物。相似，只能使/比户N%0,连 结 阳:BE为Rt 力 庞斜边上的中线，：.4BE后乙 BAO,：.Z.BEA=AECFr：.CF/BEf：.BEOC0EY/E C 2/BAO,/F E U N D E A-R t/,CF CE CEFs/AED,-,AD AE=OC CE而 ADBky -=-,W E AE口 5 x 5.5 +5yli7 5 5A/1 7 .x即 一=-，解得玉=-,x2=-/ECF.要使发尸与物0相似，只能使胡。连结班1,得 8左、AD=4B,NBEA:/BA

22、O2:.NEC六 N BEA,：.CF/BE,.CF PCB EOE又.：ZECINBAO,NFEC=NDEA=RtN,CE CF CXTs/?,.，.-=-,AE AD工 OC CE而 AD=ZBE,-=-,W E AE2x 10+x，解得项-5 +5V17-5-5 V 1 7 八，-a,若 是 奇 异 三 角 形，求 a：b：c；(3)如图，四是。的直径，。是上一点(不与点力、重合，是半圆力物的中点，在直径4 5 的两侧，若在。内存在点使得力=A D,C B=C E.求证：是奇异三角形；当/四是直角三角形时，求N/小 的度数.【答案】解(1)真命题(2)在。中 4+6 2=1,c ba02

23、c a2+b,2a c+b2.若 Rt%是奇异三角形，一定有2Z/=c 2+4：.2b2=a2+(，+/)：.6=2舌得：b=yiac i+a 2=3a 2c=乖 a.,.a：b：c=l：A/2：y3(3)0 VA B 是。0 的直径 A C B A D B=9 0。在 Rt 月 夕。中，ACBC=AS在 R t 如中，AF+B?=A点 D是半圆小物的中点俞=筋：.AD=BD:.AE=AI+B廿=2AD：.AC-C=2AX VC B=C E,A E=A D:.AC=CE=2Aa.月龙是奇异三角形由可得z U 2是奇异三角形:.AC=CF=2AE当 月或是直角三角形时由(2)可 得4c AE-.

24、CE=1：/：镉 或4c AE-.2=镜：也：1(I)当 AC：AE：CE=k A/2：镉 时AC：CE=1：镜 即 4a CB=：镉,：ZACB=9Q：.ZABC=3Q：.ZA0C=2ZABC=QQ(H)当 4G AE：CE=yJi：也：1 时AC：CE=m：1 即 AC：CB=y3：1,：ZACB=9Q：.ZABC=6Q：.ZAOC=2ZABC=120：.ZA0C=2ZABC=1204 r的 度 数 为6 0 或1207.(2011浙江丽水，21,8分)如 图，射 线 加 平 分/日 叼。为射线/石上一 点，以。为圆心，10为半径作。，分别与N平两边相交于A.夕 和a D,连 结OA,此

25、时 有OA/PE.(1)求证：AP=AO；(2)若弦48=12,求ta n/。阳的值；(3)若以图中已标明的点(即尸、/、B、a D、。构造四边形，则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为_ 或 _ 或ED,【解】（1）*：PG平 分4EPF,.ADPOABPO,：OA/PE,：./D P g/P O A,:./B P g/P O A,：.PA=OA；（2）过 点。作 近 四 于 点 ，则 册 的.3 庐 12,.册6,由（1）可知用=/=10,:.P由 PA+A*6,以510-62=8,OH 1tanZ O P蜡二万门；(3)P、A.0、C；4 B、D、。或只 4、0、D 或 P、C

26、、0、B.8.(20 11广东广州市，25,14分)如图7,。中招是直径，。是。上一点，ZA B t=45,等腰直角三角 形 旌 中 是 直 角，点在线段上.(1)证明：B、a少三点共线；(2)若M是线段B E的中点，N是线段A D 的中点，证明：M N=/0 M；(3)将4D C E绕点C 逆时针旋转a (0 a NBOA.要使1与胡。相似，只能使NECQ NM。,连结第,:BE为Rt/龙斜边上的中线，:.B4AB=BD,：.Z.BEA=ABAO,BE2/ECF,5/A.CF 0C.CF/BE,*：4EC用/BAO,/F E O/D E A=R t/,CF CE CEFs AED,/.万一大

27、而/介2跖.荻 正即5 x52x 10V1at&5+5诟 55历、解得 小=j-,%2=黄一 ZECF 要使勿不与刃。相似，只能使NEC产N为连 结 班 得 对 力 介 8ZBBA=ZBAO,：.4EC产 NBEA,：.CF/BE,.CF_OC BE oe又EC打/BAO,/FE8/D EA=RtZ,CE CF:、XCEFSMAED、：.版 篇而力分2豳%发 布 白 晋，解得刘音反，师0.2x 10+x 4 4.点 在“轴负半轴上，.笈（匕日历，0）,综上所述：存在以点及C、尸为顶点的三角形与祖应相似，此时点 坐标为:/5 、z1 0 、,5+5 7 1 7 、,5-5 7 1 7 、Ex（-

28、,0）、（彳，0）、后（,0）、EZ A,Z B C O Z D.二.要使a DA C 与B O C 相似，只能N DC A=N B C 0=9 0 .此时，Z B 0 C=6 0 ,Z B 0 D=12 0 ,.,.Z DA C=6 0o.,.DA C A B O C.VZ B C 0=9 0 ,即 O C L A B,.A C=1A B=V3.213.（2 0 11江苏苏州，2 7,8 分）已知四边形A B C D是边长为4的正方形，以A B 为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B 重合）,连接 P A、P B、P C、P D.（1）如图，当P A 的长度等于 时，Z P

29、A B=6 0 ；当P A 的长度等于 时，4 P A D是等腰三角形；（2）如图，以A B 边所在的直线为x 轴，A D边所在的直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系（点 A即为原点0）,把a P A D、A P A B P B C 的面积分别记为S,S2 S3.设 P点坐标为（a,b）,试求2 S,S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解(1)2；2 啦 或 手.(2)如图，过点P分别作P E L A B,P F 1A D,垂足分别为E、F,延长F P 交 B C 于点 G,则 P G _L B C.P 点坐标为(a,b),.P E=b,P F=a,P G=4-a.在a P

30、A D、A P A B 及 A P B C 中，Si=2 a,S2=2 b,S3=8-2 a,A B 是直径，.,.Z A P B=9 0 .A P E2=A E -B E,即 b2=a (4-a).,.2 S1S3-S22=4 a (8-2 a)-4 b2=-4 a2+16 a=-4 (a-2)2+16.14.（2 0 11江苏泰州，2 6,10 分）如图,以点。为圆心的两个同心圆中，矩形4 扭力的边比为大圆的弦，边 4 与小圆相切于点必，。7 的延长线与交相交于点N.(1)点N是线段比的中点吗？为什么？(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6 c m,A B=5c m,上 10 c m,求【

31、答案】解：(1)N 是B C 的中点。原因：:A D 与小圆相切于点M,.*.O M A D,又A DB C,.O N L B C,.在大圆0中,由垂径定理可得N是 B C 的中点.连接0 B,设小圆半径为r,则有O N=r+5,0 B=r+6,B N=5 c m,在 Rt Z O B N 中，由勾股定理得 O B JBW+O N：即：(r+6)2=(r+5)2+52,解得r=7 c m.小圆的半径为7c m.15.(2 0 11四川成都，2 7,1 0分)已知：如图，以 矩 形 的 对 角 线的中点0 为圆心，如长为半径作。0,。经过反两点，过点方作 即 L/C,垂足为 建 D 作.D H

32、KB,ZW 分别与4 久A B、O G及 C B的延长线相交于点反F、G、H.(1)求证：A E=C K；GCB如果 氏L(a为大于零的常数)，求打的长；3(3)若分是比的中点，且庞=6,求。的半径和切的长.【答案】解(1)：DH/KB,BKA.AC,：.DE1,AC,四边形四切是矩形，：.AD/BC,A庐BC,：./EAA/KCB,:.RtXADERtXCBK,C.AlCK.(2)在 A Y 居。中，A氏 a,AD-BO-a,3AC=ylAB2+BC2=+(g a)2 =粤1,S A A B t=-AB X BO-AC X BK,：.(3)连线 O G,4；是。的直接，限6,X 1X11-：

33、.DE=EG=6,又,：EeFG,.上3；V RtAAD曜 RtXCBK,:,际 BK=6,A芹 CK,在力傲中，E产3,BH6,EFBK,：.EF是AABK的中位线，：,A六BF,A方EK=KC；在/施1 G中，设ORr,则峪工A C=L x2 r=L,E仔 毛,6 6 3OE2+EG2 OG2,/.(-r)2+62=r2,r=迪.3 2在.RtAAD乂RtABHF 中,止BF,：ADBC,BF/CD,：.HFDF,:FUEF,:.HKFG=DF E F,:.晔D咛6.16.(2 01 1四川宜宾,2 3,1 0分)已知：在A A B C中，以A C边为直径的。交B C于点D,在劣弧京上到一

34、点E使N E B C=N D E C,延长B E依次交A C于G,交。于H.(1)求证：A C1 B H；(2)若N A B C=4 5 ,。的直径等于1 0,B D=8,求C E的长.(23题图)【答案】证明：连接A DZD A C=ZD E C ZE B C=ZD E C二.ZD A C=ZE B C又A C是。0的直径/.ZA D C=9 0.ZD CA+ZD A C=9 0.*.ZE B C+ZD CA=9 0.*.ZB G C=1 8 0o-(ZE B C+ZD CA)=1 8 0 -9 0=9 0.*.A CB H(2)V ZB D A=1 8 00-ZA D C=9 0 ZA B

35、 C=4 5/.ZB A D=4 5/.B D=A DVB D-8.A D=8X VZA D C=9 0 A C=1 0（第2 3题解答图）.,由勾股定理，得。c =Jac?-A。？=Ji o,-8=6.,.B C=B D+D C=8+6=1 4又 ZB G C=ZA D C=9 0 ZB CG=ZA CD/.B CG A A CD C G B C -D C A C.C G 1 4 .”4 26 1 0 5连接A E,V A C是直径I ZA E C=9 0X V E G X A C：.C EGAC AE=：.C E2=A C C G =X 1 O=8 4A C C E5.C E =V8 4

36、=2 V2 T.1 7.（2 01 1江西南昌，2 1,8分）如图，已知。的半径为2,弦B C的长为2百，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B,C两点除外）。求N B A C的度数;求4 A B C面积的最大值.(参考数据：sin60。哼，cos30。哼，tan30。哼.)【答案】(1)过点。作切_ L 比 于点D,连接见.因 为 好 2 6，所以3=B C=6.2又 0 0 2,所以si n N Z)O C=0,B P si n ZD OC =,OC 2所以N彼60 .又 0D _ L B C,所以N班e NR/60 .(2)因为A A B C 中的边比的长不变，所以底边上的高最大时，2BC面

37、积的最大值，即点A是BAC的中点时，力;面积的最大值.因为/物年60 ,所以/比是等边三角形，在 中，A(=2,屐 G,所以4户 A D C?=2 回-觉=3.所以力比1 面积的最大值为2 6 X 3 X ,=3 6.21 8.(2 01 1 上海，2 1,1 0分)如图，点心分别在扇形4 出的半径如、如的延长线上，且 2=3,力。=2,平行于4 5,并与弧/方相交于点、N.(1)求线段切的长；(2)若t an/C=，求弦砌V的长.2【答案】(1)V CD/AB,：.A OAB=A C,/OBA=/D.：OA=OB,：.ZOAB=ZOBA.：.Z O Z D.：.O C=O D.=3,AC=2

38、,：.0(=5.：.O庐5.(2)过点。作应1JL，E 为垂足，连接切/.在 Rt比F 中，妗 5,tan/C=L设 出 x,则 2 x.由勾股定2理得+（2x）2 =5?,解得小=0，莅=-石（舍去）.修百.在 血中，加 a=3,M氏 JOM2 。6 =出一（右）2 =2。:2M芹4.19.（2011湖北黄冈，22,8 分）在圆内接四边形ABCD中，CD为NBCA外角的平分线，F为弧A D上一点，B C=A F,延长D F与B A的延长线交于E.求证A A B D为等腰三角形.求证ACAF=DFFE【答案】由圆的性质知NMCD=NDAB、Z D C A=Z D B A,而NMCD=Z D C

39、 A,所以N D B A=N D A B,故4 A B D为等腰三角形.：ZDBA=ZDAB.弧AD书瓜BD又,.，BC=AF.弧 BC=M A F、ZCDB=ZFDA.,.弧 C D W D F.CD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知NAFE=NDBA=NDCA，ZFAE=ZBDEZ C D A=Z C D B+Z B D A=Z F D A+/BD A=N BD E=N FAE由得D CAAFAEA A C：FE=CD：AF.ACAF=CDFE而 CD=DF,.ACAF=DFFE20.(2011广东茂名，24,8分)如图，。尸与y轴相切于坐标原点0(0,0),与x轴相交于点力

40、(5,0),过点4的直线月6与y轴的正半轴交于点反 与。户交于点(1)已知4。=3,求点夕的坐标；(4分)(2)若然=%是。夕的中点.问：点。、P、a 四点是否在同一圆上？请说明理由.如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为。函数y=&的图象经过点求人的值(用含。的X代数式表示).(4分)【答案】解：（1）解法一：连接oc,.是。的直径，.况 工A B,在位4%中，OC=JOA2心=逝5-9=4在 RtX A OC 和 RtA B O 中，V Z C A O=Z OA BJRtX A OC sRtX A B O,。A C =A O,日区n 3-=5,C O OB 4 OB.0 8 3”(O,学解

41、法二：连 接 0 C,因 为 力 是。的直径，.N/C 0=9 0 在以中，力。=5,AC=3,：.0C=4,过 C作 磔 工 小 于 点 与，则：-OA C E -CA OC,2 2即：-x5 xC =-x3 x4,CE=,2 2 5.，.OE=4OC2-C E2=42-(y)2=y /.C(y,y),设 经 过 4、。两点的直线解析式为：y=kx+b.把 点 4(5,0)、C(q，5)代入上式得：r 45k+b=0 k=,1 6 1 2，解 得：:，5 5 ,=可.4 2 0 .占 w e 2 0、3 3 3 点。、p、a 四点在同一个圆上，理由如下：连接 b、CD、DP,：OCLAB,为

42、 加 上 的 中 点，CD=-OB=OD,2.N3=N4,XV O P=C P,=.*.Z1+Z3=Z2+Z4=9 0 ,C.PC LC D,又,：D OLOP,.放如。和放尸。是同以切为斜边的直角三角形，外上的中点到点。、P、C、四点的距离相等，.点。、P、C、在以分为直径的同一个圆上；由上可知，经过点。、P、a 的圆心a是 的 中 点，圆心。耳 怨)，2 2由知：RtX A OC sRtX A B O,.，.生=生，求得：A B=,在OA A B aRtA A B O 中，-7TF 525-a2 n n 1 i 5,2 5-/0 A 5OBAB2-OA=-,0D=-OB-,0P=一a 2

43、2a 2 2.a 25J252,点a在函数),=内的图象上，4 4a x.5,2 5-/4k.2 5 4 2 5-/-=,k,=-4。5 16。21.(2011广东肇庆，24,1 0分)已知：如图，/a 内接于。，A B为直径，N烟的平分线交4。于点E交。于点，D E 工A B 于点E,且交力。于点R连结(1)求证：ZD A C=ZD B A；(2)求证：P是线段力6的中点；(3)若。的半径为5,AF=-,求 环 的 值.2【答案】(1),:B D 平外/C B A,:./C B D=/D B A N%。与N C 都是弧切所对的圆周角，/D A C=/C B D，ADAC=ADBA(2):力夕

44、为直径，.乙4如=9 0 又,：DE LAB 于点、E,:./DEB=90:./ADE+/EDB=/ABD/EDB=9 0，/AD E=/ABD=/D AP：.PD=PA又：/DFA+/DAC=4 ADE+/PDF=9。且 NADE=/DAC：.APDF=APFD：.PD=PF：.PA=PF即尸是线段1的中点(3)：4DAF=/DBA,/ADB=/FDA=QG二.物 s/庞 .-A-D=-A-F-DB AB1 5，在 RtAABD 中，tanZABD=竺=2=3 ,即 tanAABF=-DB AB 1 0 4 42 2.(2 0 1 1内蒙古乌兰察布，2 1,1 0分)如图，在R tZ A B

45、 C中，N A C B =9 0 ,D是A B边上的一点，以B D为直径的。0与边A C相切于点E,D E并延长，与B C的延长线交于点F.(1)求证：B D=B F;(2)若 B C=1 2,A D=8,求 B F 的长.【答案】连结。,则 OEAC,所以力切二%,NAED=NCEF,NACB=90NCEF+NF=90NAED+N0ED=90NOED=NF又因为OD=OE所以 NOE D=NOD EZOD E=ZFB D=B F(2)RtA A B C RtA A OE ,4 是公共角所以 RtA A B C RtA A OE =,设。的半径是r,则有二=餐BC AB 12 8+2r求出尸8

46、,所以B F=B A 1 623.(2 0 1 1湖北鄂州，22,8分)在圆内接四边形ABCD中，C D为NBCA外角的平分线，F为弧AD上一点，B C=A F,延长D F与B A的延长线交于E.求证4 A B D为等腰三角形.求证ACAF=DFFE砧 C C【答案】由圆的性质知NMCD=NDAB、Z D C A=Z D B A,而NMCD=Z D C A,所以N D B A=N D A B,故a A B D为等腰三角形.(2)V ZDBA=ZDAB.弧AD书瓜BDX V B C=A F.弧 BC=M A F、Z C D B=Z F D A,.弧 CD=M DF/.CD=DF再由“圆的内接四边

47、形外角等于它的内对角”知NAFE=NDBA=NDCA，ZFAE=ZBDE二.Z C D A=Z C D B+Z B D A=Z F D A+NBDA=NBDE=NFAE由得D CAAFAEA A C：FE=CD：AF二 ACAF=CDFE而 CD=DF,.A CAF=DFFE24.（2010湖北孝感，23,1 0分）如图，等边4 A B C内接于。0,P是A 8上任一点（点P不与点A、B重合）.连AP、B P,过点C作CMBP交P A的延长线于点M.（1）填空：N A P C=度，N BPC旗；（2 分）（2）求 证:A A C M A B C P；（4 分）（3）若PA=1,P B=2,求梯

48、形PBCM的面积.（4分）【答案】解：（1）6 0,6 0；(2)V C M/B P,A Z B P M+Z M=1 8 0 ,N P C M=N B P C=6 0.*.Z M=1 8 0 -Z B P M=1 8 0-(Z A P C+Z B P C)=1 8 0 -1 2 0 =6 0 .A Z M=Z B P C=6 0 .(3)V A C M B C P,.C M=C P,A M=B P.又N M=6 0 ,.P C M 为等边三角形.C M=C P=P M=l+2=3.作 P H J _ C M 于 H.在 R tZ kP M H 中，Z M P H=3 0 .A P H=-V 3

49、.2*,S 梯 形 PBCM=(PB+CM)x PH=(2+3)x V 3=V 3.2 2 2 42 5.(2 0 1 1 湖北宜昌，2 1,8分)如 图 D是a A B C 的边B C 的中点，过 A D 延长线上的点E作A D 的垂线E F,E为垂足，E F 与 A B 的延长线相交于点F,点 0在 A D 上，A O=C O,B C/E F.(1)证明:A B=A C；(2)证明：点 0是 A A B C 的外接圆的圆心；(3)当 A B=5,B C=6 时，连接 B E 若/A B E=9 0 ，求 A E 的长.(第2 1 题图)【答案】解：(1)A E L E F,E F/7 B

50、C,A A D I B C.(1 分)在A A B D和4ACD 中,VBD=CD,NADB=NADC,AD=AD,.A ABDgZACD.（或者：又；BD=CD,*AE是BC的中垂线.）（2分），AB=AC.（3分）（2）连BO,：AD是BC的中垂线，.，.130=0）.（或者：证全等也可得到 BO=CO.）X A 0=C 0,.*.AO=BO=CO.（4 分）.点 0 是4ABC 夕 卜接圆的圆心.（5分）（3）解法 1：V ZABE=ZADB=90，：.ZABD+ZBAD=ZAEB+ZBAE=90,.ZABD=ZAEB.又：NBAD=NEAB,AAABDAAEB.（6 分）在 RtAAB