线性代数同济大学第四版课后答案.pdf
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1、线性代数同济大学第四版课后答案习题一习题一 1-5 6 T o1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1 -4-1;-18 3a b c(2)b c-c)(c-ci).(4)x y x+y解 y x+y xx+y x y=.Y(xy)尹)1.计1。+(丫+)/一0V+y)L=3xy(x-y)-)-3 y-y-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1;(4)2 4 1 3;(5)1 3 (2-1)2 4 (2);(6)1 3 (2n-l)(2n)(2n-2)2.(i)解 逆 序
2、 数 为 o(2)解 逆序数为4:41,43,42,32.(3)解 逆序数为 5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1.(4)解 逆 序 数 为 3:2 1,41,43.(5)解 逆 序 数 为 吗1:3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2M-1)2,()4,(272-1)6,(%l)(2n-2)(一1 个)(6)解 逆 序 数 为 (尸1):3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(272-1)2,(272-1)4,(272-1)6,一,(27?-1)(2Z2-2)(7/-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2/2)2,(力。4,(%)6
3、,(2)(2-2)3-1 个)3.写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子 的1 23的项.解 含因子。1 1。23的项的一般形式为(-1 )%11。2 3。3外,其中“是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子。1俗23的项分别是(-1)%1 1。2/3/44=(-1)%1 1。2犷3 2。4 4二 一。1142 犷3M 44,(-1 )%11。2/3出42=(-1 )%11。2/34 处 2=。1 1。2 3。34424.计算下列各行列式:40-0720211125-114lLOo4 12 1.3 26 21T2OD 1XI72(3.-XI4+3/XG421234
4、1110-o42To202123041100o-024lx-11901;90117Q1-2+020011T1123122020242361T2OO=00-0042300016740-07024-一一-IX11-2OvA11c-1-7P-O41-o1ox7)2021411100解234110-2XJX23101T2O解(3)解11-adfbce1-11 1:Aabcdef.(4)o o l da lCTETO-4O T O O2+r4 1 10 0 1 4O 1CT11-o T o o解l+aba0|q+dqi+Qbaad二(1)(1产-1c1-1cl+cd0-1d|0-10二(-1)(-1)3
5、+2J卜加在ab+c加7在1.5.证明:(Fabb2.(1)2aa+b2b=(a-Z)3;111明证二(1产2Z1)?TP仍+1ci2ab-ci2b2-a22cib-a2b-2a100rib-ci1b2-a2b-a2b-2a=(b-ci)(b-ci)ab+a/7、312=53“为17v+Z)vciv-bzaz+bx阿+&az+bxax+by=(q3+b3)二xc/z+bxcis+bvax+bz证明cix-by ay+bz a二+bxay+bz az+bx ax+byc/z+bx ax+by ay+bz-ax ay+bz az+bxy az+bx ax+by二 ax+by ay+bz+by ay
6、-bz az+bxz az+bx ax+byx ax+by ay+bz-a2x ay+bz zy az+bx xz c/x+bv v+b2y 二 ciz+bx二 x ax+byx y ay+bz=(3)J 二 x(3)a2b2c1cP3 +1)2(7+2)2(4+3)2(3+1)2(H2)2 G)+3)2(C +1)2(C+2)2(C+3)2(4+1)2 +2)2(4+3)2证明crb2c1d2(+1)2(0+2)2(+3)2(H l)?(H 2)2 0 +3)2(c+1)2(c+2)2(C+3)20+1)2(J+2)2(4+3)2(C 4-C 3,C 3-C 2,C2-C1得)ab2c1d2
7、26 7+12Z)+12c+l%+1勿+32Z)+32c+3加+3功+52Z)+52c+52d+5(C 4-C 3,C3-C2 W)cr 2。+1b2 2Z?+1c1 2c+ld2 2+122222222=0.lb/)2/)41%/1%a-b)(r/-c)(ci-d)Q)-c)(Jb-d)(c-d)(ci+b+c+d);证明1c2c4cI。/)2/1a4f 7loo1b-ab(b-a)b2(b2-a2)1 1c-a d-ac(c-a)d(d-a)c2(c2-ci1)cP(d2-ci1)1 1 1=(b-ci)(c-ci)(d-a)bedbb+a)c.Xc+d)dd+ci)1 1 1=(b-ci
8、)(c-ci)(d-6?)0 c-b d-b0 c(c-b)(c+b+d)d(d-b)(d+b+a)二0-4)”)_)9_方)”4+1 0 外小+m=(Z)(f7-C)(7-6r)(-C)(Z?-J)(C-60(+Z)+c+67).+&_斜+为.oo.T,Y+oo-.X生o二oTJO,I.-2Vo%(5)证明用数学归纳法证明.当7尸2时.D2=x2+axx+a2,命题成立.*I假设对于(7 L 1)阶行列式命题成立,即2-1二A 4 I X 2+,+6/-2+61-,则2按第一列展开.有2=他_|+例(-1严=xD-i+(7=Yl+(7i1+.+a_jX+a.因此,对于,阶行列式命题成立.o?
9、Too-XO二16.设阶行列式及det(怎),把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转.依次得可。愀,。2 二“1,D3-小q.3 1 4 1证明 A=2=(1)2 D,DD.证明 因 为 Z)=d e t(z;l=/)n+lij(4以=为.;J 4解%.bnD2n=B。(按第1行展开)C1 414及c 44T 0 0 6-i+(T产勾d f i-i 0 J-io 4 的444Toqq再按最后一行展开得递推公式少 方 一。打 乩0为 2一 打02 _2,艮 口0方 一(4乩2 M 2.于是 =O G 4%)4.7=2而 4=1&=a 4-3,所以 =n(MHq).i-1(5)&d e
10、 t(a,其 中a尸 吃I;解所|z二/I,1234一一一一O3210-0/IXA11101120123OOOO二771OOO-二(尸5-)”2)222其中6/1672,一以工0.11+q1(6)2 二1 1解1 A 1 11 1 1*-1 AooO/F0003 4 01可可W可Ms/=1+ooO11OooO-TO1-1001100100110000110000100000044VH+L-8.用克莱姆法则解下列方程组:2+.0+.0+.%=53%+u+2丫3+11%=0解 因 为D=-142,=142,所以(2)5%+6.0=1%+5.0+6.0=0M+5.0+6.%=0.玉+5.%+615=
11、0+5.=1为因解=-1145,0 0 0 6 5Av110 6 5 1 011-o115 1 0 0 0二665,0 0 0 6 50 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0一一7)=1507,D2=0 0 0 60 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 0IXAv Av11一一40 0 0 6 51 o o o 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0=703,D4=0 0 0 6 50 0 6 5 11Alx6 5 1 0 0s i o o oA-22lx一一1 o o o 10 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 05
12、 1 0 0 0一一A所在I7以二1记507二11一45存广703嬴产-3谒95羽=标212.9.问兀取何值时.齐次线性方程组改A,+内.X22+.”V33=00有非玉+20+3=0零解?解系数行列式为A11D-1/1=/.12/1令D=0、得产。或石1.于是,当/u0或石1时该齐次线性方程组有非零解.4)%2y2+4q=O10.问几取何值时,齐次线性方程组2王+(31示a+/o玉+.0+(1-2)13=0有非零解?解系 数 行 列式 为1 A 2 4 I 1 A 3+2 4D=2 3-2 1 =P 2 1-A 1i i I-A|I i o i-/i=(1A)3+(i 3)4(1A)2(1 A
13、)(3 A)=(l-A)3+2(l-A)2+2-3.令 庆0,得2=0,或 在3.于是,当 及0,Q2或Q3时,该齐次线性方程组有非零解.习 题 二1.已知线性变换:xl=2yl+2y2+y3”2 =3.耳+.%+5y 3,壬=3,+2%+3 必求从变量”1.丫2,*3到变量”.丁2,”的线性变换.解 由 已 知:(2 2 1丫另)二 3 15故(3 2 3人%,%=6%+3%-7天.刈=341 +2 0 _ 4当2.已知两个线性变换X=21i+】3 人=一2乂+3%+2%,?3=例+%+5%】i二 -3二1+二23 2 二 2=1+1 3J 3 二-=2+3 二3求从二1,二2.二3至I I
14、 W,-X 3的线性变换.2 0 1Y-3(4 1 5人 01 0丫始0 1 z2-1 3大马f-6 1 3 Y-I|=12-4 9 z2(T 0 T 16人13,二 一 6=1+二 2 +3=3所以有卜2 =12=1-4二 2+9三.V3=-10Z1-Z2+16Z3(1 1 1)3.设.4=1 1 -1U-1 1J(1 2 3),B=-1-2 4求3AB LA及4 B.(0 5 1J解(3,43 24=3 11 1Y 1 2 3、1 1 1 2 4-1 1 人0 5 1Jfl 1 1)2 1 1-1U-i U8605590024 1 1 1 1 -1,一 2 13 22)-2 -17 20(
15、1 0).2、(3)1 (-1 2);2、解1 (-1 2)(2x(-1)2x 2)=1 x(-1)1 x 2,3x(-1)3x 2,、二-13/、/1131/3-O11114-%an C(5)(%M 03%人引解4%4丫%、(%工 2 43)生。2 2。23%(。1 3 23 33八 天)丁、=(7 i,X 1+71 2 2+1 3 3。1 2工1+。22丫 2+。23丫 3 1 3丫1+。2 K 2+。33丫 3)X15.设.4;B 4?),问:V1 3)I1-7(1).止 区4吗?(2)0+3)2=/+2 A S+*吗?(3)缶+3)(月-3)二 月 2 2 吗?(1)解 ABwBA.因
16、为月3:历1=(;,所 以.物3 4(2)解(A+B)2+1AB+B2.因为月+3=6可,(叱 仔 援 翡(工 融但小一+小储卜(羽+。嗯第所 以(/+3)2 0/2+2如+32.(3)解(4+3)-*)必 2-虎因为.4+3=6 9,AB=Q 169oO/_-/21o(4+3)0-3)二O故(/+3)C4-3)W/-3 2.6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若/2=0,则 4=0;解 取且二1,则且2=0.但 岳 0.(2)若/=4 贝口=0 或/二生解取且二缶/贝但.4工 0 且.4工 E(3)若4 事工 且,4二 0.贝 L 段F.取解则且布0.但,左V.7.设求才.1 )2A,且求
17、012o1,1OAO(A8.设月二00解 首 先 观 察2/0尤ook-70121/0200I/Ogo42-o犷龙o尤oop4 4尤6月4 =/3./二0九4中K0 0 挈szOzfoOzrk-黑-45、,产矛o矛oorzIV一一邓9 .设4 3为阶矩阵,且力为对称矩阵,证 明 也 是对称矩阵.证 明 已 知:.47 f L则(3 的?(39 4)1 3%)=3亚.从 而 配 姑 也 是 对 称 矩 阵.1 0.设4 B都是阶对称矩阵,证明.43是对称矩阵的充分必要条件是45=34证明 由已知:/&4,BT-B.充分性:4 5二 区4=4 二3,7二 二(45),即W8是对称矩阵.必 要 性:
18、(48)三必二3%丁二 二34=45.1 1.求下列矩阵的逆矩阵:解 月=q 故a t存 在.因 为解E遂竦力昨1 犯 故,7 存在.因为4*/4 1)/c o s。si n g)一6 2 4厂(sm cosOJ9所以 万二占万/c o s夕 sm。.|川 -sm u cosujfl 2-iy(3)3 4-2;(5一 4 1 J(1 2-I)解/=3 4 2.|4=2w 0,故/一1存在.因为(5-412O-26IX14-、12LJLJ124142*-34 3 J434IQ12I-1J-213/_2,-1 6JLMI以所0(W 2%W 0)q o解 A=q.,由对角矩阵的性质知0I Cln)C
19、 L X 0.4-1=o J_、6)2页空白没用的,请掠过阅读吧哈,这2页空白没用的,请掠过阅读吧哈,请掠过阅读吧,哈哈哈空白没用的,请掠过阅读吧哈这1页空白没用的,请掠过阅读吧哈空白没用的,请掠过阅读吧,这 1页空白没用的,请掠过阅读吧,空白没用的,请掠过阅读吧哈这1页空白没用的,请掠过阅读吧哈空白没用的,请掠过阅读吧,这 1页空白没用的,请掠过阅读吧,1 2.解下列矩阵方程:-ro.u解111*-1解X 二(1 4丫1 Y 21-1 V 10-11-1?)021A113o12./11o1111-4一一0263/rk1-23Toz0 1 0、(-一A01o;OOIoo_1fo1oo11oSI
20、C?OOIloozr73To70-21111zrLA7OOIlooo1o-X解loor o1AoOOI1 3.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+20+3.0=1(1)2、+20+5.0=2;3.X1+5.Y2+.X3=3解方程组可表示为解故故有方程组可表示为1 4.设f=O(才为正整数),证明(2月)-1二 月+月 七42+.士/7.证 明 因 为.#=O.所 以-,#=又因为E-E-A)(E+A -W-1),所 以(/)(+月 2+-1)二旦由 定 理2推论知(后月)可逆.且(-/4)-1二月旬旬2+.”-1.1 5.设方阵且满足f 且 桀=0,证明.4及.4+2月都可逆,并求才1及(5+2E
21、)T.证 明 由/2_/_2=。得1-A=2E,即,(/-及)=2及或 A*-K)=E,由定理2 推论知4 可逆,且/T =t(4 项.由,2_/_2及。得f-A-6E=-4E,艮口+2与(月-3与 二 一 4月,或(/+2 4(3 5-,)=4由定理2 推论知(月+2后可逆,且(,+2)-二(3月-4)1 6.设“为 3 阶矩阵,|月 J 求|(24尸-5.4*|.解因为此#*,所以KW1-5X*H-1-5MM-II=I|-I-4-IIA r t二|-24一+(-2)3|4一 1|二-8以 1=-8乂 2=-16.1 7.设矩阵月可逆,证明其伴随阵*也可逆.且*)-1(r)*.证明 由此*,
22、得,4*=|4 4 工 所以当且可逆时.有|4*|=0|4 一 乍|4 广:0,从则N*也可逆.因为*二母,所以*尸二以尸4又且二击产-1)*二|(且-1)*,所以*尸二以】/二 以 1 阳(月-1)*=7)*.1 8.设阶矩阵/的伴随矩阵为月*,证明:若H l=o,贝皿*卜0;证明 用反证法证明.假设H*归 0,则 有,*(*尸 二 由此得/二月4*)一 1=以 0*)7=0,所以月*=O,这与以牛0矛盾,故当以1=0 时.有*1=0.(2)即二国?证明由于月一匚高月*,贝1 J4 T K H 凤取行列式得到H IH*刑.若琳如,则|4 牛 闺 T;若以上 0.由(1)知以*|=0,此时命题
23、也成立.因此以华用7.(0 3 3)1 9.设月二1 1 0 一如=4+2 艮 求 81-1 2 3 J解 由4 S=/+2 E 可得(/-2 与3=4 故-2 33=(4-2 与一/二 1 -1 _ 11 -?、,3O11330321ot11一一303312O1-1/C71020302012 1.设,4=dia g(l.-2.1),/*8 4=2 见-8 瓦 求 8解 由 A*3A=2BA-8 得(A*-2E)R4=-8,B=-8(A*-2E)=-8 及 4*-2 期-1=-8(41*-14)-1=-8(4 因-24)T=-8(-2-2A)-1=4(+A)j=4diag(2,-l,2)=4d
24、iag(i,-l,y)=2diag(l,-2,1).2 2.已知矩阵/的伴随阵,4*二且,4A4T=A+3 .求 A0008oo1oo10-31111解 由 田 目41二&得 隆z由9月 一 匚 历+3 得AS=3+34,B=3(A-E)A=3 /(月 一1)U=3(E-/*尸=6(2月_ /*尸 1 0 0-6.0 1 0-1 0 1v0 3 0-6,、0 3 0 1,oooooo00606060623.设产加二A.其中尸二仁|一;,求,4”.解 由产卬三A,得 月 二 尸A/尸,所以/=/=尸A L.住3,产=().片 中 二.1o-/:l-/021zrr_oI一一1XN而1A-A-121
25、-11-v11fi2 4.设,”二P A.其中尸二11故求欢4)二 月8(5斤64七4、解 穴 A)二屋(5-6八+相)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l,1,25)=cliag(1,1,5 8)diag(12,0,0)=12diag(l,0,0).a 4)二 尸穴A)L书P*(A).OT-一-4=-231_VI|003ooOloo2 5.设矩阵/、3及A+B都可逆.证明/-“歹】也可逆,并求其逆阵.证 明 因 为月%+3 7+月 -1+3-1,而/-1(5+3)3一1是三个可逆矩阵的乘积,所以月一(4+5 -1可逆,即4 7+3 可逆.
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