高考数学重点难点复习(20)：不等式的综合应用.pdf

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1、难点2 0高考数学重点难点复习：不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.难点磁场()设二次函数/(x)=ax2+bx+c(a0),方程/(x)x=0 的两个根修、X2 满足 0*2(1)当 xG 0,X i)时,证明(2)设函数/(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x o V/.案例探究

2、 例 1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为/2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，,j 盖子边长为。米，/(1)求。关于力的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当为何值时，V 最大？求 出 V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏0.技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理.解：设 是 正 四 棱 锥 的 斜 高，由题设可得：,1a2+4 ha=22，消出去土 乂4解加4得旦:.a=

3、1 (a、0八)、a2+-a2h 2 心+14由 丫=4 2 力=_(/20)3 3(公 +1)得：V=而+,=2、/?=23)h hh所 以 vwL 当 且 仅 当 即 =1 时取等号6h故当力=1 米时，V有最大值，V的最大值为立方米.6 例 2 已知 a,h,c 是实数，函数/(x A af+b x+c,g(x)=ax+b,当IWXW1 时贝(1)证 明:I c l W l；(2)证明:当一 1 W x W l 时,l g(x)l W 2；(3)设 a 0,有一l xWl时，g(x)的最大值为2,求小).命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分

4、析问题和解决问题的能力.属级题目.知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数次x)的单调性的深刻理解，以及对条件“一I W x W l 时火x)W l”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：I 一i Wla 土b lWla l+；而证法三则是整体处理g(x)与 共的的关系.证明:由条件当=1WXW 1时,贝 x)I Wl,取 x=0 得：I c l=/(O)I W1,

5、即这1.(2)证法一：依题设网0)忘 1 而/(0)=c,所以I c I WL 当 a0时，g(x)=a x+b 在 1,1 上是增函数，于是g(l)Wg(x)Wg(l),(I WxWl).,.舱)区1,(一1),I c I Wl,g(1 )=a+b=fi 1)-c (鼠一2)1+匕 1)-2,因此得 lgQ)lW2(-14W 1)；当 a 0 时，g(x)=a x+6 在 -1,1 上是减函数，于是 g(l)2g(x)2 g(1),(1 W x W 1),纶)I W1 (T W x W l),IcIWl.lg(x)l=|/(l)cW 附)l+lc lW2.综合以上结果，当一I WXW I时,

6、都 有 lg(x)lW2.证法二：.网一1)区 1,火1)I W1,巩O)W1,f(x)=ax2+bx+c,la b+c I Wl,b+b+c I Wl,I c Wl,因此，根据绝对值不等式性质得：匕-0 1=1(。-b+c)c lWk z 6+c l+ld 2,la+6 l=l(a+/?+c)c lWla+b+c l+lc lW2,g(x)=ax+b,I g(+1)1=1 a+H=la 8 1 W2,函数g(x)=a x+。的图象是一条直线，因此lg(x)l在-1,1 上的最大值只能在区间的端点了=-1 或 x=l处取得，于是由lg(l)I W2得lg(x)lW2,(-1 X 1 ).证法三

7、：x =(x+D-(x D-=(1)2 _(七)2,4 2 2,、,”+1、2-,/X+l X 1g(x)ax+b=a(-y)-+fe(-)r,X+1、2,/X+I、.X 1 ,7 X 1、，=a(-)+c-a()-+/?()+c 2 2 2 2=/(号)7(U当一I W x W l B 寸，有 O W 空 Wl,-1 0,g(x)在-1,1 上是增函数，当 x=l时取得最大值2,即g(1 )=a+b=fl,1)/(0)=2.*/-1 勺 如)一 2 g(a)g(b)f(b)J(a)g(a)g(b)A.B.C.D.二、填空题2 .()下列四个命题中：s i n 2 x+2 4 设x,s i n

8、*xy都是正数，若 1+2=1,贝 iJ x+y 的最小值是12若k 2 I ,l y 2 1 ,则k y l 0),设方程/(x)=x的两实数根为修，M.(1)如果X i V 2 X 2 1；(2)如果g12,lx2-X!1=2,求6的取值范围.5.(*)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即点，0 x0 时，OV/(x)Vl.(1)求证:-0)=1,且当xV O时,於)1；(2)求证：/(X)在R上单调递减；设集合 A=(x,y)飨2)/)外),集合 5=(x,y)fiax-g+2)=,R),若A C 8=0,求a的取值范围.7.(*)已知函数Hx)=2 厂

9、:+c(。0)的值域是 1,3,x+1求。、C的值；(2)判断函数R x)=lg/(x),当-1,1时的单调性，并证明你的结论；(3)若 fG R,求证：Ig q W C lL tL V+tD W lg .科普美文数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在 自然辩证法一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质，产生了实

10、数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察一归纳一猜想一证明的思路，以数学

11、归纳法完成证明.另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用体现了一

12、定的综合性，灵活多样性.等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？参考答案难点磁场解：（1）令网公力工）一X,因为修，是方程/U）X=0的根，所以尸（X）=Q（X X ）（X X 2）.当X（0，X 1）时，由于1 V x 2,得（X 九 1）（X 工2）0,又 0,得 F（x）=a（x x 1）（x X 2）0,即 xJx）X

13、 fx)=X x+F(x)=一犬+。但一x)(x 1 2)=(乃x)l+a(xX2)lV 0 X X 1 X 2 0,1+Q(X 冗2)=1+。尢。1 2 1 -。工2 0，Z U）0，由此得/U）V x i.（2）依题意：Xo=,因为1、必是方程於）一X=0的两根，即1 1，元2是方2a程 a f+3 1 ）x+c=0 的根.b X1+戈2二-a,_b _ aX(X +)-1 _ 附+a x2-1Q-=-=-2a 2a 2a.出 吧=泡2a 2歼灭难点训练因为a x 2 V 1，一、1.解析：由题意7(a)=g(a)0,K b)=g(b)0,且/(a)S)，g(a)g(b)-/(b)f(a)

14、=fib)+f(a)=g(a)+g(b)而 g(a)g(b)=g(a)g(b)g(a)+g(b)g(a)g(b)J=2g(b)0,-f(b)f(a)g(a)g(b)同理可证：J(a)f(h)g(b)g(a)答案：A二、2.解析：不满足均值不等式的使用 条 件“正、定、等”.式：kI=l(x2)(2)ll(x2)(y 2)llx 2I+I,_2I0.VX I2X24,/.(xi 2)(%2 2)0,即 xiX2(X+X2)(11+)+22a 2 a a 2 2 2=(Xj+%2)+2 (2+4)+2=1(2)解：由方程 gO A af+sl)x+l=0 可知 0,所以 x”%2 同号a1 若 0

15、 xi2,A g(2)0,即 4+2/?1 0)代入式得，2个(b _ 1)2 +V3 2b 解得42 若 一2为 0,贝ij 汹二一2+R V 2A g(-2)0,即 4-2H3 VO 又24+1=：3-1尸+1 ,代入式得2y/(b-l)2+l 2bl 解得4综上，当 0Vxi2 时 一，b -.445.解：(1)由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：P（l+“元、（1 一 卡）元、pz元，因而npz=p（l+n（l-z=J （10+x）（10-在 的条件下,名=焉 一ax-5(1-4)2+100+25(1 -a)-.由于 则。l,解得 0 V x0

16、,0 得：角 加)式0).求W O,.,./(0)=1MX m=m,n=m,(z n 得犬0)/小)/(一小)-1,Vw0,(2)证明：任取 Xi，X 2 R,则./(XI)/(X2)三f(X i)/。2修)+修4 X1)-A X|)y(xi)$xD 1 /(x2Xl),V/(X1)O,1 X-V 2-X|)0,.函数/U)在R上为单调减函数.由(一+?2)”1)得卜2+产 1 ,由题意此不等式组无解，数形结f(ax _ y+2)=1 =/(0)ax y+2=0合得：解得.2 3G 百，V 3 7.(1)解：设 y=2*:,贝|。2)小26 x+yc=0 x+1.h G R,.的判别式 4 2

17、 0,即 6 24。-2)。一0)20,即 4 y2-4(2+c)y+8 c+匕20由条件知，不等式的解集是1,3 二 1,3 是方程 4 y24(2+c)y+8 c+/=0 的两根l+3=2+cXl，则 X2X|0,且(x2 X1)(1 X1X2)O,2X21 +x22T-舒=2氏 一 七）（1 _用）（1+匹2）（+/2）凡 心）刁（尤1）,1钟a2）1钟（制），即尸（X2）R XI）.尸（X）为增函数.（3）记“=lf 1 1一）+1,1“国 ,）一（1 +!）1=,，6 6 6 6 3即一 _ L 根 据F（x）的单调性知3 3“一_ L）wu）.i g Z w H i 一 建+）对任意实数 t3 3 5 6 6 5成立.