空间向量与立体几何压轴题汇总（选修2-1）（解析版）.pdf

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1、考点21 空间向量与立体几何压轴题汇总一、单选题(共15小题)1.(2 02 0秋秦州区校级期末)在三棱锥P-A B C中，雨，平 面A BC,N BA C=9 0,D,E,尸分别是棱A B,BC,C P的中点，A B=A C=2,P A=4,则直线必 与平面O E F所成角的正弦值为()A.B.C.立 D.5 5 5 5【分析】以A为坐标原点，以A 8为x轴，以A C为y轴，以A P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线P A与平面D E尸所成角的正弦值.【解答】解：以A为坐标原点，以4 8为x轴，以A C为y轴，以4 P为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，.用_ L平面A 8C

2、,N BA C=9 0,D,E,F分别是棱A B,BC,C尸的中点，4 8=A C=2,P A 4,(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),D(I,0,0),E(1,I,0),F(0,I,2),A A P=(0,0,4),D E=(0,1,0),D F=(-1,1,2),设 =(x,y,z)是平面D E F的一个法向量，则:？=y=0,取x=,则m=(2,0,1),n*DF=-x+y+2z=0设P A与平面O E歹所成的角为e,则直线P A与平面O E Q所成角的正弦值为：.n I 7 T s 一7 I A P pn|4 V5sin0=|c os|=-=;-=5=.=-.lA P

3、Mn l 4 V5 5故选：C.I A【知识点】直线与平面所成的角2.(2 02 1浙江模拟)在三棱锥P-A 3 C中，已知必=&，C A =S a,C B=2a,二面角尸-AB-C的大小为-“则三棱锥P-A B C的体积为（）【分析】由题意画出图形，由 已 知 求 解 三 角 形 可 得 过 点 尸 作A 3的垂线交A B的延长线于点4JTD,求 解 三 角 形 可 得 得N P O C为是二面角尸-A B-C的平面角，则/P D C=-，且证得AC_L平面P C D,再由VpTac V%-A C D V%k_pcD求解三棱锥尸-AB C的体积.【解答】解：如图，在以8中，：AB=a,M=V

4、 5 a,由余弦定理可得，cosNPBA=a：+2 a 2*2=乎,得/尸以 二 匹.2-a-V 2 a 2 4JT过点P作A 8的垂线交A 8的延长线于点力，则/P B D=-故P D=8力=“，4在AB C中，AB=a,3 c=2 a,A C=J，a,由余弦定理可得，COSNA8c=止詈?芷 制，NABC=1兀，则NDBC=等，Na/a NS o连接C D,在BC D中，由余弦定理可得C=Ja,：.BDL+CEr=BC1,故 CDJ_AD,兀又PDLAO,N PO C为是二面角P-A 8-C的平面角，则/P D C=-.O9：C D LAD,PDAD,C D C P D=D,.AO_L 平

5、面 PC。，2则SAPDC寺D-CDs i号真：9：A B=B D=a,i 1 a 2 3三棱锥P-诋 的 体 积 为：4A Be 4VP-ACD卷PCD4x|X*X 2a曦.C【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、二面角的平面角及求法3.（2 02 1 浙江模拟）已知 A BC为直角三角形，且N A BC=9 0 ,点 ,E 分别在边A B,AC 上.现在以OE 为折痕，将 A O E翻折至OE 的位置，设 8 c与 A。所成的角为仇，4。与平面A B C 所成的角为02,二面角4 -。8-7 的平面角为&，则下列结论正确 的 是（）A.01 2。2 2。3 B.仇 C.。3、。2 2&D.仇6

6、 1 2 仇【分析】根据最小角定理和结论“二面角是所有线面角中的最大角，得到仇03 02,过 点 C 作CH，平面A B D,连接H2,由线面角的定义得/C B H是直线B C 与平面A 所成角，再结合最小角定理知仇W&,由此能求出结果.【解答】解：根据最小角定理和结论“二面角是所有线面角中的最大角”，得到。田。2,。3 2。2，过点C 作 CH J _ 平面A B D,则CHLBD,连接，8,：BCDB,CHCBC=C,.3 D _ L 平面 BCH,由线面角的定义得/C 8”是直线8 c与平面4 0 8 所成角，再结合最小角定理知03 01,【知识点】二面角的平面角及求法4.（2 02 1

7、 浙江模拟）如图，梯形 4 8CC 为直角梯形，AD/BC,A D=A B=1,ADLAB,/B C ）=4 5 ,将 A BO 沿 8。折起，使点A到点P的位置，得到三棱锥P-B C D,其中点P在底面5 C O 上的射影，在8C。的内部.记直线P3与直线A8 所成的角为a,直线PQ与平面B C Q所成的角为0,二面角P-8 0-C 的平面角为丫，则（）AI)RA.p y aB.p a yC.a y PD.a p c os y,a K H,H D K H.*t a n p 0,/.p a 所以A Q 为斜线A归在平面A B C。内的射影,所以/8 4 1 0 为 4 8 与平面A B C。所

8、成的角.设正方体A BC D-A B iG G 的棱长为1,所以在4 B 0 中，A B=,。8=返，2所以 sin X.BA 10,所以 cosN8A10=Y.2故选：A.【知识点】直线与平面所成的角8.（2020春越秀区校级期中）正方体A B C Q-A B C Q i的棱长为2,点 M 为 C G 的中点，点 N 为线段上靠近功的三等分点，平面BMN交 AAi于点Q,则 AQ的 长 为（）DD.一i2A.23c-iD-i【分析】取。中点P,连结MP,AP,则 转述_ 8例，由平面交A 4|于 点 Q,得至“N Q j _ A P,从而A Q J _ P N,由此能求出A。的长.【解答】解

9、：取。功 中点尸，连结MP,A P,.正方体A8C。-A&C N i的棱长为2,点 M 为 C G 的中点，点 N 为线段。上 靠近5 的三等分点，：.A P R BM,平面8MN交 AA|于点。，：.NQ I）A P,：.A Q f l P N,:P N=P D2 2 1皿=每 一|=管.【知识点】点、线、面间的距离计算9.（2020秋市中区校级月考）在棱长为a的正方体ABC-A|BCQ i中，P为A Q i的中点，Q为上任意一点，E,尸为CO上两个动点，且E F的长为定值，则点。到平面PE尸的 距 离（）运5纥3A.等于C.等于B.和E F的长度有关系D.和点Q的位置有关【分析】由题意画出

10、图形，然后利用等体积法求点Q到平面PEF的距离得答案.【解答】解：如图，在棱长为。的正方体A 8C O-A|8|GQ中，./为 人的中点，.尸到E F的距离为定值，等于刊）=返&，2_连接4 Q,过P作PGLA。，垂足为G,则尸G为尸到平面QE尸的距离，等 于 返 球_4又A|8EP,.Q到 的 距离为&a.又E F的长为定值，设点Q到平面P E F的距离为h,VP-12EF=Q-SAQEF P G=E F&a 平 二 务 也，乂%-PEF=ySAPEF，h=f 总a EF h=*a EF-h，为，EF二 a，EF，h，得 h=Wa.12 12 5故选：A.【知识点】点、线、面间的距离计算10

11、.（2020 秋海东市月考）如图，在四面体 A2CZ）中，AB=CD=3,AC=BD=V11，AD=BC=2,/XABC的重心为O,则。0=（）4 8A.2 B.C.D.33 3【分析】画出图形，连接E尸交8 c 于 M,连接A M,则 4W 为 8 c 边的中线，4B C 的重心。为 AM靠近M 的三等分点.把长方体的对角面4EFO单独画出，如图，记 P 为 A例 和 EO 的交点.通过三角形的相似，转化求解即可.【解答】解：如图，将四面体A 8 co 还原到长方体AE8H-GCFQ中，易知四面体A B C D的棱是长方体AEBH-G C F D的面对角线，则DEA2+EB2+EC2产守己声

12、也吟连接尸交 BC于 M,连接A M,则AM为 BC边的中线，ABC的重心。为AM靠近M 的三等分点.把长方体的对角面4E/N）单独画出，如图，记 P 为 AM和 的 交 点.因为A Q Ps例“，且 当 其 冬 空 _=2，所以P 为AM靠近M 的三等分点，PE MP EM9 o即重心。与尸点重合，故OD=PD*ED吟.故选：C.【知识点】棱锥的结构特征、点、线、面间的距离计算11.(2020秋浙江月考)在正四面体ABCD中，M,N 分别为A。，8 c 的中点，P 为线段MB上的动点(包括端点)，记 PN 与 CQ所成角的最小值为a,尸 N 与平面BCD所成角的最大值为0,则()nA.a=0

13、 B.a P C.a p D.a邛=1 一【分析】根据最小角定理得PN 与 CO所成最小角为CD与平面8cM 所成角，即NOCM,由最大角定理得：尸 N 与平面BCD所成最大角为二面角M-8 C-。，在正四面体中，tana=tan/O C M=返，tan。3=tanZD N M=-,由此能推导出a设平面BOG的法向量n=(x，y，Z),n D B=x+y=O -则.，取 X=l,得1 1=(1,-1,1)n-D C1=y+z=O平面BDC 的方程为x -y+z=O,过点C（0,1,0）且垂直于平面BCG的直线方程为：x=-y+1 =z,-x=-y+zt,得x=f,y=l -t,zt,代入平面方

14、程x-y+z=0,得r+L l+r=0,解得/=方，二过点C（0,1,0）且垂直于平面BOC的直线方程与平面BOG的交点为着.1），o o O9 1 9 点C关于平面8 O G对 称 点 用（多g自o o o一 119平面 A 8 C Z）的法向量ir=（0,0,1）,A M=（-方，-1）O O O设AM与平面A B C D所成角为6,2_则 sin=/=返 ,cos0=I i_ A=-、”二 3 V 9 3V9 9 9tan9-11V 2 .COS W与平面A B C D所成角的正切值为加.故选：B.【知识点】直线与平面所成的角1 3.（2 0 2 0秋尖山区校级月考）在三棱锥S-A 8

15、c中，A B=6,B C=8,A C=1 0,二面角S -A 8 -C,S-A CIT-B,S-B C-A的 大 小 均 为 一 设 三 棱 锥S-A B C的外接球的球心为。，直线S O交平面A B C于点M,4则铛的值为()0 M1QA.B.1 C.D.222【分析】由二面角S-A 8-C、S-A C-B.S-8 C-A 的大小相等，得 S 在底面射影为底面三角形ABC的内心，设为E,利用等面积法求得底面内切圆的半径，再求出底面三边的斜高，然后利用等体积法求三棱锥内切球的半径；设。是 4 c 的中点，则 D 是三角形4 8 c 的外心，由三棱锥S-A 8 C 的外接球球心为。，得 0。，平

16、面A 8 C,可得ODSE,D E=正,设三棱锥S-ABC的外接球的半径为 R,即。C=0 A=R,然后利用三角形相似列式求得凡 进一步得到答案【解答】解：如图，.,二面角S-4 B-C、S-A C-B,S-B C-A 的大小相等，.5在底面射影为底面三角形A8C的内心，设为E,；AB=6,3C=8,4 c=10,；.AB2+BC2=AC2,可得ABC是以角8 为直角的直角三角形.过E 作连接S F,则 E尸为三角形A 8C内切圆的半径，由等面积法求得：2 2(.A B+BC+A C)X E F,得 EF=2.根据角平分线性质定理可得AF=4.TT/SFE 为二面角S-A C-8 的平面角为一

17、二一.，SE=2.4设。是 AC的中点，则。是三角形A8C的外心，三棱锥S-A 8 C 的外接球球心为。，贝 IJ O C 平面 A 8 C,且 =1 2 2 +12=加设三棱锥S-A B C的外接球的半径为R,即 OC=OA=R,若。与 S 在平面A B C的同侧，由直角梯形S E D O与直角三角形OD C得：2-V R2-5 =VR2-52,R 无解；若。与 S 在平面A B C的异侧2+4 2 _ 5 2=依_ 5,解得此时0 0=4.S M _S E _1 ,至萼而 而 而，而巧.故选：C.BE、s【知识点】二面角的平面角及求法14.（2020秋T 2 月份月考）已知底面为矩形的四棱

18、锥P-A8C。每个顶点都在球。的球面上，P A L A D,P A=A B,PB=M AB,且BC=22若球O 的 体 积 为 则 棱P B的中点到平面PCD的距离为（）OA.返 B.返 C.D.2 3 2 3【分析】求出球。的半径，推出A 8=2.过 A 作 AGLP。于 G,取 棱 以 的中点F,连接E F.由等面积法可得AG,然后求解棱P B的中点到平面PC。的距离.【解答】解：PB=A/2AB.：.P A L A B,XB41AD,A D Q A B=A,：.A BC D.：底面A B C D为矩形，.I侧棱PC为球O 的直径，设球。的半径为R,则4T=丝 土,即 R=2,3 3又 R

19、应零避耳口解得48=2.过 A 作 AGLPO于 G,取棱 外 的 中 点 凡 连接E f易证CQ_L平面A P D,则 C_LAG,从而AG _L平面P C D.,：EF/A B/C D,C.EF/C D,由等面积法可得AG/；子工娓则 F 到平面PCD的距离为工2则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离,故棱P8的中点到平面PCD的距离为 逅.3故选：B.【知识点】点、线、面间的距离计算1 5.（2 0 2 0秋椒江区校级期中）设A A B C为等腰三角形，A B=A C=2,NA*-，4。为8 c边上的高，将 A O C沿 翻 折 成 4 O C,若四面体A B C O的外接球半径

20、为YG,则线段B C的长度为（）2A.2亚 B.76 C.75 D.73【分析】由题意画出图形，结合已知求出三角形B O C 的外接圆的半径，再由正弦定理求解得答案.【解答】解：如图，设等腰三角形8力C的外心为G,四面体4 8C。的外接球的球心为O,连接G O,则。G _L平面,由已知求得AD=,又四面体AB CD的外接球半径为_ 2.=亭）2 _（_1）2=,即等腰三角形8 O C 的外接圆的半径为1,又由已知可得8 O=OC=,由正弦定理可得，一 一=2，sinZ_DBC得 s i n/D BC=零，可得N O BC=N O C 8=6 0 ,则 8C =A/3.故选：D.【知识点】点、线

21、、面间的距离计算二、填 空 题（共 9小题）1 6.（2 0 2 0秋辽阳期末）已知底面为矩形的四棱锥P-A 8 C D的每个顶点都在球。的球面上，P A A D,P A=AB,PB=4QA B,且 8 c=2 M.若球。的 体 积 为 巧 二 则48=,棱 PB的中点到平面PC。的O距离为.【分析】由题意画出图形，可证侧棱PC为球。的直径，由球。的体积求得A C,再由长方体的对角线长与棱长的关系列式求解4B；过 4 作A G L P D于 G,取 棱P A的中点F,P B的中点E,连接E F,把问题转化为求F 到平面P C D的距离，然后利用等面积法求解.【解答】解：如图，_：PA=AB,C

22、.PALAB,又 以 JL4。，A D Q A B=A,%J_平面 A8CO,.底面A B C D为矩形，侧棱P C为球0 的直径.设球。的半径为R,则 等 1 用 工，即 R=2,又 R=7AB2+AD2+AP2 V8+2AB2,解得4B=2.过 A 作 AGLPD于 G,取棱必的中点F,P 8的中点,连接EF,可得C）_L平面P A D,则 CD_L4G,从而AG J_平面PCD,由等面积法可得，A G=ZS 驾 23寻，则 F 到平面PC。的距离为工AG3.2V3 3 2 3JEF/AB,AB/CD,J.EF/CD,则 到平面PCQ的距离等于F 到平面PC。的距离,故棱P B的中点到平面

23、P C D的距离为故答案为：2；返3【知识点】点、线、面间的距离计算、球的体积和表面积17.（2021浙江模拟）如图，在三棱锥A-BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC=,BF=如，若二面角4-C O-B 的余弦值为一上，M 为 BO的中点，则 C=_,直线AO与直线CM所15成角的余弦值为.H.4)DB如)E(A)【分析】将三棱锥A-8C的直观图还原，取 8中点N,连接AM B N,可知AN8为二面角A-C-B的平面角，设CD=a(0 2),根据题意由余弦定理建立关于“的方程，解出即可求得CO的值，取AB的中点0,连 接OM,0 C,则/0 M C为直线A 0与直线CM所成的角

24、或其补角，求出相关边的长度，利用余弦定理直接求解即可._【解答】解：将三棱锥A-8 c o的直观图还原，则8c=8C=AC=AC=1,ABf回,取CO中点M连接AM B N,则AN_LCD,BN L C D,故NAN8为二面角A-CO-8的平面角，2a设 C D=a(0a45=20,B C=1 5,沿对角线AC将ABC折起，使得3。=4 M，则二面角8-A C-。的大小是.【分析】作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角为a,表示出B,3 两点坐标，根据距离公式列方程解出a.【解答】解：在矩形ABC。中，作 O E L4C 于点O,交 4 5 于点E,作4 c 于点F,VAB=20,5 c

25、=15,.,.A C=J202+152=2 51：.D O=BF=-）-=12,A O=C F=1 52_1 22=9,：.OF=25-9X 2=7,在翻折后，以。为原点，以 OE,OC所在直线为无轴，y 轴建立空间直角坐标系。-孙z,则/DOE为二面角8-A C-D 的平面角，设/。OE=a(0 a ,Z),则-n-E-B-=-y=0,n,ED1=-x-y+z=0取y=l,得n=(0.1,1),.点8到平面 EC的距离：I EBn|_ 1 V2Ini 逅丁.故答案为：返.2【知识点】点、线、面间的距离计算2 0.(2 0 2 0秋成都月考)在三棱锥P-A B C中，出_ L平面4B C,A

26、B1BC,P A=A B,AC=M.三棱锥P-A B C的所有顶点都在球。的表面上，则球。的半径为；若点例、N分别是4B C与以C的重心，直线MN与球。表面相交于。、E两点，则线段。E长度为.【分析】将三棱锥P-ABC放入一个棱长为1的正方体中，利用正方体的外接球即为三棱锥的外接球即可求得半径；建立空间直角坐标系，求出所需点M,N,球 心。的坐标，利用向量的坐标运算，得 出 O N,M N,然后再利用圆的弦长公式进行求解即可.【解答】解：因为三棱锥P-A 8 C 中，平面A B C,A BL BC,P A=A B=,4 C=圾，所以将三棱锥尸-A B C 放入一个棱长为1 的正方体中，则正方体

27、的外接球即为三棱锥的外接球，因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，所以外接球的半径为R=/p c平：以点8为坐标原点，BC,B A,过点B的侧棱所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有0），N（y,1）,球心04,-y ）,#1 1 1 、一,1 1所以N 0 =（w，r 丁），M N=（O -y -y ）bob 3 3所以而而5=0,则有 O NJ L MN,所以O N 房,则根据圆的弦长公式可得DE=2,R2 N 2 =2 逅3【知识点】点、线、面间的距离计算2 1.（2 0 2 0 秋会昌县月考）已知等边AABC的边长为2,过点A的直线/与过BC的平面a交于点。，

28、将平面 a绕 BC转 动（不与平面A 8 C 重合），且三条直线/,A B,AC与平面a所成的角始终相等.当三棱锥A-38体积最大时，直线/与平面a所成角的正弦值为.【分析】过点A作A O _ L平面8 C ,连结。8,OC,0 D,利用三角形全等，得到。点为 8 O C的外接圆圆心，分 析 当 平 面A 8 C时，三棱锥的体积最大，通过计算得出 8 D C的外接圆半径，再利用线面角的计算公式求解即可得到答案.【解答】解：过点A作A O J _平面B C D,垂足为O,连结。8,OC,OD,因为直线/,AB,A C与平面a所成的角始终相等，即/。8 A =N O C 4=N O D 4,则 R

29、 tA O B A R tA O C A R tA O D/i,则 A D=A B=A C=B C=2,所以 O B=O C=O D,所以点。为 B D C的外接圆圆心，要三棱锥4-B C D的体积最大，则 必 有 平 面ABC,所以 B D=C D=2 a,则点力到8 c的距离h=(2 )之-1 =又 SADBC=f x 2 x V 7=V 7 蒋 X(2 V 2)2 x s i n/B D C，所以 s i n/B D C =-，49 1 4则 B D C的外接圆的半径为r F-定 的2 s i n ZB D C V 7 V 7 T _依-(J 2则直线/与平面a所成角的正弦值为s i n

30、/O D A罟5 _=4 1.故答案为：返1.7【知识点】直线与平面所成的角2 2.(2 0 2 0秋余姚市校级月考)如图所示，在四棱锥P -A 8 c o中，侧面抬。，底面A B C Q,侧棱P A=P D=后,P A 1 P D,底面A B C Z)为直角梯形，其中8 C 4 D,ABAD,A 2=8 C=1,。为AD的中点.(1)则直线P B与平面尸O C所 成 角 的 余 弦 值 为；(2)则B点到平面P C D的距离为.【分析】(1)推导出，POAD,O C 1AD,0 C=,从 而O C _ L平 面B 4 D,以。为原点，0C为x轴，0 D为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用

31、向量法能求出P 8与平面P O C所成角的余弦值.(2)求 出 面=(1,-1,-1),平面尸C。的法向量7=(1,1,1),由此能求出8点到平面P C D的距离.【解答】解：(1).侧棱P A=P D=亚，PAA.PD,。为AD的中点，/.A D=V 2+2=2,POAD,底面 A 8 C O 为直角梯形，其中 8 C 4 D,ABLAD,AB=BC=,.：.OC1.AD,O C=1,侧面 底面 A B C D,侧面物0n底面 AHCD=AD,.,.0。_1 _平面 PAD,以。为原点，0C为x轴，0。为)，轴，0 P为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,-I,0),P(0,0,1),P B=

32、(I,-1,-1),平面P O C的法向量三=(1,0,0),设直线P B与平面P O C所成角为0,则 s i n 9=-5?”0一二-.,c o s 0=J 2i P B l-l n l V 3 W g 3；.P B与平面尸O C所成角的余弦值为_3故答案为：逅.3(2)C (1,0,0),D(0,I,0),P B=(1.-1,-1).P C=(1.0.-1),P D=(0,1,1),设平面P C D的法向量i r=(x,y,z),则 t F=x-z=0,取 尸 ,得(i,i,i),m*P D=y-z=0：.B点到平面P C D的距离为=1PB =返.Im l V 3 3故答案为：返.3【

33、知识点】点、线、面间的距离计算、直线与平面所成的角23.（2020秋湖北月考）已知底面为矩形的四棱锥尸-A2C。的每个顶点都在球。的球面上，P A L A D,P A=A B,PB=AB,且 B C=2 .若球。的 体 积 为 二，则棱P 8 的中点到平面PC。的 距 离 为.【分析】求出球。的半径，推出A 8=2.过 A 作 AGLP。于 G,取 棱 用的中点F,连接E F.由等面积法可得A G,然后求解棱P 8 的中点到平面PCO的距离.【解答】解：PB=A/2AB,：.P A A B,又依 1.4。，A D Q A B=A,平面48co.底面A B C D为矩形，二侧棱PC为球。的直径，

34、设球。的半径为R，则 空 其 一=券 匕，得 R=2,3 3又 嬴；.A2=2.过 A 作 AGJ_PC于 G,取棱以的中点F,连接EF.可得CO_L平面A PD,则C D A.A G,从而AG_L平 面P C D.由等面积法可得AG=2 部=2 逅,2 a 3则 F 到平面PCD的距离为/A G=Y 5，：EF/A B/C D,：.EF/C D,则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，故棱P 8 的中点到平面PCD的距离 为 逅_3故答案为：逅.3【知识点】点、线、面间的距离计算24.（2020秋辽宁月考）某公园有一个面积为8,川的三角形雕塑A8C（厚度不计），该雕塑所在平面与地面垂

35、直.在太阳光的照射下，该雕塑在地面上的影子为B C D 己知在某时刻，测得BC。的面积为4疗，且此时太阳光线与地面所成的角为兀号.则该时刻太阳光线与雕塑所在平面所成的角的余弦值为一.【分析】根据题意作出示意图，先利用面面垂直的性质定理找出太阳光线与地面所成的角，再结合线面角的定义找出太阳光线与雕塑所在平面所成的角.【解答】解：过 A 作于点O,过。作8 c 于点F,连接OO,AF,：.AO=2DF,设 D F=/?,则 AO=2/i,平面A B C 1平面B C D,平面A8CC平面BCD=BC,AOu平面ABC,，AO_L平面 BCD,.ODu 平面 BCD,：.AO.LOD,K n,太阳光

36、线与地面所成的角为W，/4。=二天，在 RlZAOO 中，AO=A0s i n/ADO2hn=s in ry4 hV3X D F L B C,平面 A8CJ_平面 8C）,平面 A8CC 平面 8CD=BC,OFu平面 BCD,，）凡L平面ABC,.Z F A D即为该时刻太阳光线与雕塑所在平面所成的角，在 R tZXA D尸中，s i n ZM DDF=_ h _ =V3A D 4 j T.c o L=，_si /F A D =莘，该时刻太阳光线与雕塑所在平面所成的角的余弦值 为 逗._4故答案为：运.4【知识点】直线与平面所成的角三、解答题(共9 小题)2 5.(2 0 2 0秋和平区期末

37、)如图，四棱锥P-A B C D中，A 8 C Z)为正方形，P _ L平面A 8 C Z),P D=D C=2,E是P C的中点.(1)证明：附 平面B D E；(2)求平面8 O E与平面。C的夹角的余弦值.【分析】(1)连接A C,交B O于点O,连接O E,推导出OE玄，由此能证明出平面(2)以。为原点，O A为x轴，0 c为y轴，O P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面B D E与平面D E C的夹角的余弦值.【解答】解：(1)证明：连接A C,交BD 丁点O,连接OE,：A 8 C 为正方形，是A C的中点，是 P C 的中点，：.OE/PA,BDE,OEu平面 8

38、QE,.附平面BDE.(2)以。为原点，D 4为x轴，CC为y轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标系，则 8 (2,2,0),D(0,0,0),E(0,1,1),C(0,2,0),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1),设平面B D E的法向量1 1=(x,y,z),f npDB=2x+2y=0，八则,，设 x=l,则口=(1,-1,1),n*DE=y+z=O平面。E C的法向量1=(1,0,0),设平面B D E与平面D E C的夹角为0,则 c s 0=善辿=3=返,I m I *I n I V3 3平面B D E与平面D E C的夹角的余弦值为 返.3【知识点】直线与平面平行、二面角的平

39、面角及求法2 6.(2 02 0秋香坊区校级期末)在四棱锥尸-4 8 C。中，底面四边形4 8 c o 为直角梯形，侧面以O 为等边三角形，例、N 分别为 A。、P。的中点，P MJ _平面 A B C。，AB/CD,AD1,AB,P D=C D=2,4 8=1.(1)求证：胡 平面M N C；(2)求 AN 与平面M N C所成角的正弦值.【分析】(1)推 导 出 附，由此能证 明 以 平面MNC.(2)以M为原点，M A为x轴，过M作A 8的平行线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A N与平面M N C所成角的正弦值.【解答】解：(1)证明：N分别为A。、P O的中点，公

40、，C平面 MNC,M N u平面MNC,；.周平面MNC.(2).在四棱锥P-4 8 C O中，底面四边形4 8 C D为直角梯形，侧面以。为等边三角形，M、N 分别为 A。、P。的中点，P MJ _平面 A B C。，AB/CD,AD1AB,P D=C D=2,A B=1.以M为原点，M A为x轴，过M作A 8的平行线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,则 4 (1,0,0),N (二，0,退)，M(0,0,0),C (-1,2,0),2 2而=(-1,0,返)，诬=(-1,0,返)，元=ACE=V-MD-求解点D 到平面4C E 的距离.【解答】（1）证明：如图所示，取 AC的中点0,连接

41、5。，0D,ABC是等边三角形，：.OBLAC,A8/）与C8O 中，AB=BD=BC,NABD=/CBD,:.A B g A C B D,：.AD=CD,是直角三角形，；.AC是斜边，.NAQCng。，DO=A C -,-DO2+BO2=AB2=BD2,：.ZBOD=90,0B 10D又 OOAAC=O,.OB，平面 4 co.又 OBu平面A B C,二平面ACD_L平面48c.（2）设 E 是 8。的中点，ABC是等边三角形，边长为1,2 V 2co s/A D B=TT=7，2 X 4 X 1 4A EH4-2x4xixv4A E=C E=A E=-,A C =1 o返X迎，SAACE

42、 2 X 2 X 2 4VD-ACE=VE-ACD，f XJXh4、兴 乂，点。到平面ACE的距离 返.4【知识点】点、线、面间的距离计算、平面与平面垂直28.(2020秋泰州期末)在三棱柱ABC-中，底面是边长为 的等边三角形ABC,4 4=2,点 4在底面上的射影是aABC的中心O.(1)求证：平面AAO_L平面BCGBi；(2)求二面角G-48-C 的余弦值.【分析】(1)易知AQJ_平面A 8 C,从而有4 0 J _ 8 C,由等边三角形的性质知，AOJ_BC,再结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证；(2)取 A 8 的中点M,取 3 c 靠近点B 的三等分点N,连接OM

43、,O N,以。为原点，建立空间直角坐标系，由&。_1 _ 平面A 8 C,知平面ABC的一个法向量为二:求出平面ABG的法向量_ _ OAi pnn后，由cos =-=i-产即可得解.1 lO A j-lnl【解答】(1)证明：点A 在底面上的射影是O,，平面 ABC,：.AOLBC,为等边A8C的中心，：.AOLBC,又AQ CAO=。，A。、AOu平面4A 0,，8CJ平面 AA。，平面 B C C B，平面 AI40_L平面 BCCiBi.(2)解：取 4 8 的中点M,取 BC靠近点B 的三等分点M连接OM,O N,则0 M 工ON,以。为原点，OM，ON,0A 所在的直线分别为x,z

44、 轴,则 A(,0),B(,返，0),C(-1,0,0),_ 2 2 2 2小，A AB=(0,y，0),(-2,弧,),建立如图所示的空间直角坐标系，A,(0,0,),C,(卫，返,2 2；40_L 平面 ABC,.平面A 8 c的一个法向量 为 西=(0,0,),设平面A 8G的法向量为n=(x,y,z),则n*A B=0n A C j =0即f V 3 y=oI -2 x+V 3 y+3 z=0令 z=2,则 x=,y=0,n=(V3 0,2),.cosVoA，nA ,n _ 2 _ 2 /7I西|-|n|V 3 XV 3+4由图可知，二面角Ci-A 8-C 为锐角，故二面角Q-A B-

45、C的余弦值 为 空.7【知识点】二面角的平面角及求法、平面与平面垂直29.(2021郑州一模)如图，四面体ABC。中，ZABC是正三角形，AC。是直角三角形，Z A B D=Z C B D,AB=BD.(1)证明：平面4CD_L平面ABC；(2)若 血=2而，求二面角。-A E-C 的余弦值.D【分析】(1)取 AC的中点。连接80,OD.0BAC,0 B 1 0 D,从而08_L平面A C D,由此能证明平面ACD_L 平面 ABC.(2)点 E 是 8。的三等分点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角O-A E-C 的余弦值.【解答】(1)证明：如图所示，取 AC的中点。连接8。，0

46、D.A8C是等边三角形，J.0BVAC,A8。与C8。中，A B=B D=B C,N A B D=N C B D,：./ABD/CBD,：.AD=CD,.AC。是直角三角形，.,.AC是斜边，：.ZADC=90 ,VD 0=yA C-：.D Cr+BdAB1=B Di,：.ZBOD90 ,J.0BL0D,又 OOAAC=O,平面 4co.又 OBu平面A B C,二平面ACO_L平面ABC.(2)解：由题知，点 E 是 8。的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系._不妨取 4 8=2,则 0(0,0,0),4(1,0,0),C(-I,0,0),D(0,0,0),B(0,遍,0),E(0,返，

47、).3 3 _AD=(-1,0,1),AE=(-1,返，g,AC=(-2,0,0),3 3设平面AQE的法向量为ir=(x,y,z),m AD=-x+z=O _ _贝!b _ 2，取 x=3,得 ir=(3,遍，3).n.AE=-x+-75-y+YZ=0同理可得：平面ACE的法向量为三=(0,1,-返).2Acosmwnmn1T二面角D-A E-C的余弦值为寺【知识点】二 面角的平面角及求法、平面与平面垂直30.（2020秋皇姑区校级期末）如图，在四棱锥P-A 5C D 中，布 J_平面ABC，A B/C D,且 CD=2,AB=1,BC=2最,PA=,AB1BC,N 为尸。的中点.（1）求证

48、：AN平面PBC；（2）在直线PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面P8C所成角的余弦值为主运，若存在，求2 6出碧的值；若不存在，说明理由.DP【分析】（1）取 PC的中点E,连 接 BE,N E,先证四边形48硒为平行四边形，可得8E4M 再由线面平行的判定定理，得证；（2）取 CD的中点凡 连接A F,证得后，以A 为原点建立空间直角坐标系，设 而=入DP，求得平面P8C的法向量7，由J i Y 至 祟）2=|cos而，例得关于人的方程，解之即可.【解答】（1）证明：取 PC的中点E,连接BE,NE,为 PD 的中点，J.NE/CD/AB,N E=LD=AB,2四边形A8EN为平行四边

49、形，：.BE/AN,又 8Eu平面PBC,ANC平面PBC,.AV平面 PBC.(2)解：取 C。的 中 点 凡 连 接 4 F,则 A8CF,AB=-CD=CF,四边形A5CF为平行四边形，又AB_L8C,二四边形A8C尸为矩形，即48J_AR平面A8CZ),：.PAAB,PALAF,故以4 为原点，AF,AB,4P 所在直线分别为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),B(0,1,0),C(2&,1,0),D(2圾，-1,0),设 而=入而，则 例(2圾-2 b入，A-1,入)，(-2 加入，A-2,入)，PB=(0,I,-1),PC=(272，I,-I),(/设平面

50、P8C的法向量为n=(x,y,z),贝 M 二n MPB=0，即1|v-z；=0，n-PC=0 12V2x4y-z=0令 y=L 则 x=0,z 1,n=(0,1,1),VCM 与平面PBC所成角的余弦值为宣 密，26.磬)2=|期 就 一口g 1尸 /2 7+j 2 小V 26 I C M I -I n I 血 入 2+(入-2)2+入 2 x加化简得，21入 2-50入+24=0,解得入=-或O I直线PD上存在点M 满足题意，且*=日 或 孚U i o 【知识点】直线与平面所成的角、直线与平面平行31.(2020秋河北区期末)如图，四棱柱ABCQ-4 8|中，底面A 8 8,底面ABCQ