线性代数课后习题答案04.pdf
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1、第四章向量组的线性相关性1.设 V.=(l,1,0)3 2=(。,1,1)“3=(3,4,0);求羽 2 及%i+2u 2f.解 力2=(1,1,。1-(0,1,1尸=(1-0,1-1,0-1/=(1,0,-1).3乃+2v 2f 3=3(1,1,0尸+2(0,1,1 1-(3,4,0)r=(3 x l+2x 0-3,3 x l+2x l-4,3 x 0+2x l-0)r=(。,1,2尸.2.设 3(。4)+23 2+0)=53 3+。),求 其 中 m=(2,5,1,3):“2=(10,1,5,10)1 a 3=(4,1,1,1)7.解 由3 3 r)+2 3 2+a)=5 Q M整理得a=
2、-(3 f Z|+2/Z9-53)=1 3(2,5,1,3)7+2(10,1,5,10y-5(4,l,-l,l)r6=(1,2,3,4尸.3 .已知向量组A:1=(0,1,2,3)7,“2=(3,0,1,2)1%=(2,3,0,l)r;B:加=(2,1,1,2尸,力2=(。,一2,1,1)1 仇=(4,4,1,3 1,证明6组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.证明由 0 3(A,B)=;3 2441302112112230144-7-9-205712TT326-803121ooOO11/11oOooO13 1 2 4、6 1 5 720 5-15 254 1 -3 54750-253
3、0-1111113640-o1oorloo知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.由2ooo1oonoo1o1/(2r7-v211oonw工844130211知R(3)=2.因为R(8)w R(3,A),所以A组不能由B组线性表示.4 .已知向量组从。1=(0,1,1尸,。2=(1,1,0)7;B:=(一1,0,l)r,岳=(1,2,1)1 仇=(3,2,-1尸,证明A组与8组等价.证 明 由(6,A)=9mHV11OO1O320120Too/mVr111111o11322122-1Oozrkx二A711o知R(B)=R(B,A)=2.显 然 在A中有二阶非零子式,故/?(A)
4、2,又R(A)R(B,A)=2,所以 E(A)=2,从而 R(A)=R(B)=R(A,B).因此 A 组与 8 组等价.5.已知 R Q,3 的)=2,R Q,3,4)=3,证明(D。1能由。2,的线性表示;(2)。4不能由即“2,4 3线性表示.证明 由R(4 2,3,。4)=3知a2,a3,a4线性无关,故a2,a3也线性无关.又由R(l,。2,。3)=2知。2,。3线性相关,故 能 由。2,。3线性表不.(2)假如田能由4 1,。2,的线性表示,则因为m能由2,的线性表示,故如能由。2,。3 线性表示,从而。2,。3,。4 线性相关,矛盾.因此。4 不能由4 1,2,。3 线性表示.6.
5、判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(-1,3,1y,(2,1,0尸,(1,4,1尸;(2)(2,3,0/,(-1,4,。),(。,0,2尸.解(D以所给向量为列向量的矩阵记为人因为210131zf(XA-272-1OOf-i 2 n0 1 1loooj所以R(A)=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为反因为151=002-14o230=22。0,所以R(B)=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关?1=(,1,l)r,“2=(1,。,-1)1的=(1,一 1,a)1.解以所给向量为列向量的矩阵记为A由=a(Q
6、 _ 1)3+1)知,当。=-1、0、1 时,R(4)=C 1-(l+c)2,CGR.9.设。1,。2线性相关,比岳也线性相关,问田+心,做+是否一定线性相关?试举例说明之.解 不 一 定.例如,当。尸(1,2)7,a2=(2,4)7,加=(一1,一 1)7,岳=(0,。)7时,有1+1=(1,2)7+岳=(0,1)7,做+岳=(2,4)7+(0,0)7=(2,4)7,而 m+多,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:若 向 量 组 ,。机是线性相关的,则 可 由“2,,厮线性表示.解 设 f 0,0,0),2=3=.一m=0,则 1,2,。机线性相关,
7、但 不 能 由。2,一厮线性表示.(2)若有不全为。的数4,而 ,瑞使丸 。1+,+%/?+为 +,+4 7?=成立,则|,-。机线性相关,成 砥,成亦线性相关.解 有不全为零的数九,爸,&使,+4/?+为 5+,+%瓦 =0)原式可化为办(a i+)+4”(。机+瓦”)=0.取 a =ex=-bXi a2=e2=-b2,am=em=-bm,其中 eh e2,e机为单位坐标向量,则上式成立,而田,。2,,和6,力2,)机均线性无关.(3)若只 有 当 汨 爸 ,“全为0时,等式丸 。1+,+尢7?+办 方 +*+4 瓦 尸0才能成立,则,即线性无关,瓦,力2,,仇”亦线性无关.解 由于只有当即
8、羽 ,却全为0时,等式由 +4时1+丸14 i+乙瓦=0成立,所以只有当只,4,&全 为0时,等式X(a.+b)4-?l 2(2+2)+,+/(+,机)=0成立.因此ci+b,敢+岳,一,。机+方机线性无关.取3R2=5。,取瓦,,瓦”为线性无关组,则它们满足以上条件,但。2,。机线性相关.(4)若 即 做,斯线性相关,阮岳,亦线性相关,则有不全为0的数,。,而 ,&使办。+,+%。产0,1+,+4”瓦 =0同时成立.解 )=(1,Of,敢=(2,0)1 加=(0,3尸,岳=(0,4尸,A (l +丸22=0丸1=一2 2 2,X b+XJ)2=0 n4i=(3/4)丸2,=办=丸2=。,与题
9、设矛盾.H.设力 1询+2,岳”“,Z 3=3+4,Z 4=4+1,证明向量组加,:2,-3,九线性相关.证明 由 已知条件得U b 12?4 2=力 2一 4 3,04,于是 a i=A i 岳+的=b-02+03-4=b j b 2+b 3 b 4+a 1,从而 力 岳+仇 力 4=0,这说明向量组多,b2,仇,儿线性相关.12.设力|-1,82=1+4 2,、仇 1+4 2+r,且向量组4 1,。2,线性无关,证明向量组,岳,一 ,瓦线性无关.证明 已知的r个等式可以写成 1 1 P(bl,b2,-,bl)=(al,a2,-,ar)0 1 1,、0 0 1,上式记为6=A K.因为的=1
10、 M,K 可逆,所以R(B)=R(A)=r,从而向量组,岳,,耳线性无关.13 .求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1)1=(1,2,-1,4 了,“2=(9,100,10,4 尸,的=(一2,-4,2,-8)r;由解9004O11112T420OOJ9-1001000/工20009292813-rlooN二八2428知 R ,“2,。3)=2.因 为 向 量 与。2的分量不成比例,故 4 1,“2线性无关,所以 i,a2是一个最大无关组.(2/=(1,2,1,3),做 小,-1,-5,-6),媪=(1,T -4,-7).解 由15004900rloO/fdl14n1Z(O95n345O
11、-T98-oO74(%,42,4 3)=1 3-5 6-7知,处,43)=夫 31,。2,。3)=2.因为向量Q1与 4 2 的分量不成比例,故线性无关,所 以 如 7是一个最大无关组.1 4.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:25 31 17 43)0 75 94 53 132.75 94 54 134(25 32 20 48)解 因 为25757531 1794 5394 5432 2043)收1 3 2 冒134 rA-rx48 J仅500I。3111117 43、2 3 1 33 5乃 一 为3 5 J4:33o172103110025000所以第1、2、3 列构成一
12、个最大无关组.m71T3T122zz2o1132 o1o41解为因25-4213011nx1111oz-11rI1 2 22 1 5-2-1-50-2 2-ii一2)fl00I。1 2 2 1)2 1 5-10-2 2-2?0 0 0 0 J所以第1、2、3 列构成一个最大无关组.1 5.设向量组(a,3,1);(2,b,3 尸,(1,2,1 尸,(2,3,1/的秩为2,求a,h.解 设“1=3,3,1)7,做=(2,b,3)1 由=(1,2,1 尸,%=(2,3,1/.因为(2,Q-)=2703Q3123116 Z 111 1 1313 1 Q1 13 0 2 a h 5)而 R Q,a2,
13、%,0=2,所以 a=2,h=5.1 6 .设 ,是一组及维向量,已知八维单位坐标向量ei,3,一,如能由它们线性表示,证明。1,敢,外线性无关.证 法 一 记 A=(即。2,”),E=(e 1,02,/).由已知条件知,存在矩 阵 K,使E=A K.两边取行列式,得l l=L 4 IIKL可见M,所以可4)=,从而 i,%,“线性无关.证法二 因为e i,e 2,品能由“I,%,为线性表示,所以R,02,一,e,R(ax,a2,一,),而 R 0,e2,-en)=n,R(ah a2,一,a)n,所以 R(ah a2,an)=n,从而 ah。2,线性无关.1 7 .设勿,。2,一-,%是一组维
14、向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一 n维向量都可由它们线性表示.证明 必要性:设a为任一 n维向量.因为西生,一,“线性无关,而即敢,是+1个维向量,是线性相关的,所以a能由、猴线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一场维向量都可由。1,。2,一-,。线性表示,故单位坐标向量组0 1,3,如能由线性表示,于是有n=R(e i,e2,e)7?(i,a2,af l)n,即R(h,a2,an)=n,所以ah a2,an线性无关.1 8.设向量组。1,色,即线性相关,且。芹0,证明存在某个向量以(2 4 4,使为能由 i,2,ak-线性表示.证明 因 为 即。2,即线性相关,所以存在不全
15、为零的数九,爸 ,&,使九 a 1+4 2 a 2+,+丸 尸0,而且爸丸3,一,&不全为零.这是因为,如若不然,则2 1。1=0,由。芹0知%=0,矛盾.因此存在人(2必 帽),使/UwO,2A-+i=/l+2=%”=0,于是九。+丸2。2+*,+为aK=0,欧=(1/4)(为 a 1+4/2+一即以能由 1,2,一,线 性 表 示.1 9.设向量组B:bi,也能由向量组A:勿,4线性表示为,一,4)=(,as)K,其中K为sx r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明 令 B=0,瓦),A=(“i,见),则有 B=A K.必要性:设向量组8线性无
16、关.由向量组3线性无关及矩阵秩的性质,有r=R(B)=R(A K)min 7?(A),R(K)R(K),及 R(K)min r,5 r.因此 R(K)=r.充分性:因为Rg f 所以存在可逆矩阵C,使K C=g j为K的标准形.于是(,,br)C=(O K C=(a i,).因为C可逆,所以R(b、,瓦)=R 3,ar)=r,从而bh,瓦线性无关.2 0.设B=%+。3+%以=四+。3+%0“=a+%+。3+区证明向量组即a2,为与向量组外限 ,其等价.证明将已知关系写成f 0I电,夕2,月)=Q,%,)1.n-1-111o1o11111-O J将上式记为6=A K.因为K=(所以K 可逆,故
17、有A=B K,由3=4 长和4=3 及-1 可知向量组即。2,一、名与向量组力1,尼,可 相 互 线 性 表 示.因 此 向 量 组 2,2与向量组 居,,月等价.2 1 .已知3阶矩阵A 与 3维列向量x满足A3X=3AX-A2X,且向量组x,Ax,A2X线性无关.记?=(x,Ax,屋 求 3阶 矩 阵 用 使 AP=P 3;解 因 为AP=A(x,Ax,A2X)=(Ax,A2X,A3X)=(Ax,A2X,3AX-A2X)所以8=o1=(x,Ax,A-x)oOOIim703TOOIo1o037(2)求 2 1.解 A3X=3AX-A2X,得 4 3%-人%-4工)=0 因为工Ax,K*线性无
18、关,3X-AX-A2X,即方程Ar=O 有非零解,所以R(A)3,=0.2 2 .求下列齐次线性方程组的基础解系:X 8%2 +1 0%3 +2%4 =0 2%+4%2+5%3-%4=;3 玉+g+6X3-2X4=0解对系数矩阵进行初等行变换,有4 0 )-3/4 -1/40 011Ozf1OoIO、,2122-10568-4I8123z/mkA得是于百=-4 七 x2=(3/4)X3+(1/4)X4,取(%3,%4 1=(4,0 尸,得(修,2 1=(一 1 6,3 1;取a 4)T=(0,4)1 得(修,2 尸=(0,因此方程组的基础解系为介(-1 6,3,4,0/,2=(0,1,0,4/
19、.2 玉-3X2-2X3+X4=03 X1 +5%2+4 毛-2X4=0.8 +7X2+6X3-3X4=0解对系数矩阵进行初等行变换,有(2-3A=3 5(8 7于是得f l 0 2/1 9-1/1 9)0 1 1 4/1 9-7/1 9(0 0 0 0 J24 6-3J=-(2/19)X3+(1/19)X4=(1 4/1 9)七+(7/1 9)%JW3,4)r=(1 9,0);得(巩处)7 1 4 次取%4)T=(0,1 9)7,得(%,%2 =。7)7.因此方程组的基础解系为备=(-2,1 4,1 9,0工=(1,7,0,1 9)7.(3)n xi+(n-l)%2+一+2 x _|+x=0
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