2021-2022学年山东省淄博市高一（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、202L2022学年山东省淄博市高一（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.（）分）1.sinl70cosl30+sin730cos770=（）A.更 B.J C.更 D.-J2 2 2 22.下列命题中正确的是（）A.OA-OB=AB B.AB+BA=0C.0-AB=0 D.AB+BC+C D =AD3.已知W（l+2i）=2-i,则复数z=（）A.1 B.i C.i D.2+i4.在 三 角 形 中，下列各式正确的是（）A.7=B.asinC=csinBb sinAC.c2=a2 4-h2-2abcosA+8）D.asinA+B）=csinA5.要得到函数y=4s讥。+8

2、5（X +*）图象，只需把函数y=2s历2x的图象（）A.向左平移g个单位 B.向左平移?个单位5 OC.向右平移弓个单位 D.向右平移?个单位-5 O6.在 ABC中，已知。是山5边上的一点，若 下=：不+4正，贝IJ/L等于（）A.1 B.|C.|D.：7.设a,b是两条不同的直线，a是平面且b u a,那 么“ab”是“aa”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.所有棱长都是3的直三棱柱A B C-4&G的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.127r B.187r C.217r D.397r二、多 选 题（本大题共4小题，共20

3、.0分）9.在中，如下判断正确的是（）A.若s讥24=sin2B,则 ABC为等腰三角形B.若4 B,则sinA sinBC.若 4BC为锐角三角形，则sirM cosBD.若sin4 s in B,则A B10.已知平面a n平面/?=c,直线a u a,a/c,直线b u 0,且b与c相交，则a 和b的位置关系不正确的是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能11.下列命题正确的是（）A.复数Zi，Z2的模相等，则Zi，Z2互为共辗复数B.Z1，Z2都是复数，若Z1+Z2是虚数，则Z1不是Z2的共辗复数C.复数z是实数的充要条件是z=2（5是z的共辅复数）D.已知复数Z=-1 +

4、2i,z2=1-i,Z3=3-2i（i是虚数单位）,它们对应的点分别为A,B,C,。为坐标原点，若 比=+y 而（x,y e R）,则x+y=51 2.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形4BCD为正方形，E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（）A.平面EFGH平面4BCDB.直线P4平面BDGC.直线EF平面PBCD.直线EF平面8DG三、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）13.已知I初=|K|=3，E是与向量方方向相同的单位向量，向量3在向量石上的投影向量 为:落 则 五 与 方 的 夹 角 为.14.如图，4B=1,

5、4C=3,4 4=90。,备=2而，则 而 而=.C iM15.一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。方向，另一灯塔在船的南偏西75。方向，则 这 只 船 的 速 度 是.第 2 页，共 14页1 6 .在力B C 中，a,b,c 分别是角4,B,C 的对边，若a =百，b +c =3,向量记=(2 c o s 2 A +3,2),n=(_2 cosA,1),且记冗则 4 B C 的面积是.四、解答题(本大题共6小题，共 70.0 分)1 7.已知落石,H 是同一平面内的三个向量，其中1 =(1,2),b =

6、(-2,4).c=(-2,m).(1)若不_ L3 +?求|引；(2)若k 1十酒 2 乙-秧 线，求k 的值.1 8 .(1)已知关于x 的实系数方程x 2+?n x +n =0,若1 +是方程M+m x +n =0 的一个复数根，求出z n,n 的值；(2)复数|z/=l,z2=2 +2 i,-Z 2 1 的最大和最小值各是多少？(此小题只写出结果)1 9 .已知f(x)=2 s 皿 3 x +9)(3 0,勿0)的最小正周期为2 兀，八功图象关于直线x =等对称.(1)求函数/(X)的解析式；(2)将人乃的图象上所有点向左平移卷个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的三纵坐

7、标不变)，得到函数y =g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间.2 0 .已知向量访=(s in x V 5 cos x,1)，n =(2 sinx,4cos2x),函数/(%)=沅五.若 X G -p TT,求函数/(X)的减区间；(2)若x e 0,g,方程f(x)=a有唯一解，求a的取值范围.2 1 .如图所示，正四棱锥P-4 B C D 的各棱长均为1 3,M 为P A 上的点，且PM：M A=5：8.(1)在线段8 D 上是否存在一点N,使直线MN平面P B C?,如果存在，求出B N：N D 的值，如果不存在,请说明理由；(2)假设存在满足条件(1)的N点，求线段MN的长.4 B

8、 C 的内角4,B,C 所对边分别为a,b,c.已知as in-丁=bs in(8 +C).求 B；(2)若 A B C 为锐角三角形，且c=2,求力8 C 面积的取值范围.答案和解析1 .【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得式子的值.本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于基础题.【解答】解：s in l7 0 cos l3 +sin7 3cos7 7 0=sinl7 0cosl30+cosl7 0sinl30=s in(1 7+1 3 ),故选：B.2 .【答案】D【解析】解：对于4 利用向量的减法，可得用-布=瓦?，即4 不正确；对于B,结果应该是6，

9、即B 不正确：对于C,结果是0,即C 不正确；对于D,利用向量的加法法则，可知正确故选：D.对于4,利用向量的减法，可 得 函-布=瓦?；对于B,结果应该是G；对于C,结果是0；对于D,利用向量的加法法则，可得结论.本题考查平面向量中的基本概念，考查学生对概念的理解，属于基础题.3 .【答案】C【解析】解：z(l+2 i)=2 -i,.-(2 T)(l-2 i)_Z -l+2i-(l+2 i)(l-2 i)-h z=i,故选：C.直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共扰复数的概念得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共辗复数的概念，是基础题.第4页，共14页4.【答案】D【解

10、析】解：由 正 弦 定 理 有 号=号=三，故三=警，故选项A错误；sinA sinB sinC b sinB因为=故asinC=csin4 故选项3错误；sinA sinC由于cos(4+B)=cosC,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,得c2=a2+b2+2 abcos(A +B),故选项C错误;由正弦定理可得自=肃，再根据诱导公式可得就=就 丽，即asin(4+B)=csinA,故选项O正确.故选：D.由正弦定理，余弦定理分析各个选项即可求解.本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.5.【答案】B【解析】解：，.,函数y=4sin(x+)cos(x+=2

11、sin2(x+，),要得到函数y=4sinQ+cos(x+的图象，只需把函数y=2sin2x的图象向左平移今个单位.故选：B.根据三角恒等变换与平移法则，先化筒函数y,再判断平移过程.本题考查了三角恒等变换与图象平移的应用问题，是基础题目.6.【答案】B【解析】解：?1、B、D、三点共线，CD=1 C A +A CB,4 +4=1,：A =-.3故选：B.由题意可得 +2=1,从而即可求出4的值.本题考查平面向量基本定理，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：由a a推不出ab,由(1 8也推不出火/a,如a在a内，故。优 是“a b”既不充分也不必耍条件，故

12、选：D.根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可.本题考查了充分必要条件，考查线面关系，是一道基础题.8.【答案】C【解析】【分析】正三棱柱的上下底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积.本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力.【解答】解：由题意可知：正三棱柱的上下底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2 x立x 3=百；3 2所以外接球的半径为：J(b)2 +(|)2 =誓.所以外接球的表面积为：4兀(亨)2 =2 1 7 r .故选：C.9.【答案】BCD【解析】

13、【分析】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质与图象等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.对 于A,若sin2 A =sin2 B,则24与2B相等或互补，对 于B,由4 B,根据“大角对大边，则 有a b ,根据正弦定理，得sinA sinB，对 于C,若 A BC为锐角三角形，则4+B*,可 得sinA s i n(-B),sinA c o s B，对 于0 ,根据正弦定理可求.【解答】第 6 页，共 14页解：A ：v sin2 A =sin2 B,A ,B G ,.24=28 或 2/+28=180,4=8 或 4+8=90。，则A AB C为等腰或直角三角形，故A错误.B：设

14、A BC 外接圆的半径为 r,A B,：.a b,:.2 rsinA 2 rsinB,:.sinA sinB,故 B 正确.C：M AB C为锐角三角形，AC为锐角，+,；.sinA sing-B),二 sinA cosB,故 C 正确.D:设 A A BC 外接圆的半径为 r,sinA sinB,:.2 rsinA 2 rsinB,a b,二 A B,故。正确.故选：BCD.10.【答案】A BD【解析】解：若a与b平行，ac,bc,与b与c相交矛盾，所以A错误；若a与b相交，由直线a u a,直线b u 0,平面a n平面/?=c,可知a与b都在同一点处与c相交，这与ac矛盾，所以B错误；

15、因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故a与b只能异面，所以选项C正确；综上所述，选项。错误.故选：A BD.通过空间中线面与线线的位置关系，对三种不同情况进行讨论与判断，即可得到答案.本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题.11.【答案】BCD【解析】解：对于4若zZ2互为共辗复数，则复数Zi，Z2的模相等，反之不成立，故A错误；对于B：若zZ2都是复数，设Z i=a+bi,z2=-a+di,则若z1+z?=(b+d)i是虚数，则Zi不是Z2的共朝复数，故B正确；对于C：复数z是实数的充要条件是z=z o a+=a bi o b=0,故C正确；对于D：复数zi=

16、-l +2i,z2=l-i,Z3=3-2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A,B,C,。为坐标原点；所以6 5=(1,2)，0B=(1,-1).0C=(3,-2)，由于。C=x OA +y O B，故(3,2)=x(l,2)+y(l,-1),整理得，解得，故x+y=5,故 O 正确.故选：BCD.直接利用共利复数的定义和复数的运算及充分条件和必要条件的应用求出结果.本题考查的知识要点：复数的运算，共辄复数，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.12.【答案】A BC【解析】解：作出立体图形如图所示，连结E,F,G,卜“四点构成平面EFGH,/；V 对于4因为

17、E,F分别是P 4 PD的中点，所以EF“A D,又E F C 平面ABCO,4D u 平面4BC。，所以EF平面 ZzD s CA B C D,同理EH平面4 B D C D,又EH nEF=E,E F,DEH u 平面E FG H,所以平面EFGH平面力B C D,故选项A 正确；对于B,连结AC,BD,DG,B G,设AC的中点为M,则M也是BD的中点，所以MGP4,又MG u 平面BOG,P 4 C 平面B D G,所以PA平面B D G,故选项2 正确；对于C,由4 中的分析可知EF4D,A D/BC,所以EFB C,因为EF C 平面PBC,BC c平面P B C,所以EF平面P

18、B C,故选项C 正确：对于。，根据C中的分析可知，EF/BC,再结合图形可得，BC C B D =B,则直线EF与平面BDG不平行，故选项 错误.故选：A BC.作出立体图形如图所示，连结E,F,G,H 四点构成平面E F G H,利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及性质定理对四个选项逐一分析判断即可.本题考查了线面平行与面面平行的判定，解题的关键是掌握线面平行的判定定理和面面平行的判定定理，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题.13.【答案】g【解析】解：因为|初=商|=3，3是与向量方方向相同的单位向量，所以向量为在向量至上的投影向量为|五IcosOE-3cos9召=|

19、e,解得cos。=I，又。G 0,7r,第 8 页，共 14页所以区与方的夹角”最故答案为：I根据平面向量与投影向量的定义，列式计算即可求出两向量夹角的大小.本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题.14.【答案】|【解析】解：如图，过。作。H垂直4B于点H,又乙4=90。，D H/C A,又 而=2 而，。为线段BC的靠近B点的三等分点，H为线段4B的靠近B点的三等分点，又4B=1,A H =IA B=|,而在荏上的投影为4H=|,根据向量数量积的几何定义得：A D-A B=A B x A H =l x-=,3 3故答案为：根据平面向量数量积的几何定义，向量投影，数形结合即可求解.本题考

20、查平面向量数量积的几何定义，向量投影，数形结合思想，属基础题.15.【答案】10海里/小时【解析】解：根据题意作出如图所示的图形，其中船由点4 到达点。，两个灯塔分别在在AABO 中，A B=A Dtan6 0,1+逅在ACD中，A C=A Dtan7 5,这里tcm75=tan(45。+30)=f=2+遮,1-T所以 8c=A C-A B =A D(tan7 5 -tan6 00),即 10=A D(tan7 5 0-tan600)=4D (2+旧-遮)，所以4D=5,所以这只船的速度u=?=京=10海里/小时.故答案为：10海里/小时.作出示意图，由三角函数的知识表示出B C,进而求得4

21、D 的长，得解.本题考查解三角形中的实际应用，熟练掌握三角函数的基础知识，理解方位角的概念是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.16.【答案】32【解析】解：UB C中，a,b,c 分别是角4 B,C 的对边，v a=V 3,b +c =3,向量记=(2 c o s 2 A +3,2),n =(2 cosA,1),且沆五.当 C O S A 0 0 时，2C：S2 4：3 _ 2 即 2 c o s 2 4 +3 =4cosA,2 cosA 1即2(2 c o s 2 yl 1)+3 =4cosA,即(2 c o s 4 l)2=0,求得c o s Z =I，-%=%由余弦定理

22、可得 a 2 =3 =匕2+_ 2 bc-cos A=(b +c)2 3bc=9 3 b c,.be=2,则 A B C 的面积为工b e -sinA =,22故答案为：立.2由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则求得4,再利用余弦定理求得加，再利用正弦定理 A BC 的面积.本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，余弦定理、正弦定理的应用，属于中档题.1 7 .【答案】解：(1)因为b =(2,4)，c =(-2,m),所以b +不=(4,4 +m)，若苍 1 (3 +芸)，则苍 (b +c)=-4 +2(4 +m)=0,解可得，m =2,c=(2,-2)

23、所以|研=2 v L(2)由已知可得 k 乙 +3=(k -2,2 k +4)，2 a-b =(4,0)，所以 0 x(k-2)=4(2 k +4),所以k=-2.【解析】(1)先分别求出向量的坐标，然后根据向量数量积的性质的坐标表示可求;(2)根据向量平行的坐标表示即可直接求解.本题考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题.第 10页，共 14页18.【答案】解：(1)l+&i 是实系数方程/+几=0 的一个复数根，:.(1+V2i)2+m(l+V2i)+九=0,A(m+n 1)+V2(m+2)i=0,A m 4-n-1=0 且?n+2=0,*7 7 1 =-2,7 1 =3.(2)v

24、z2=2+2i,z2=/4+4=2或，|z j=1,二|Z i-Z zl的最大值为2企+1,最小值为2企-1.【解析】(1)利用复数代数形式的运算，复数的相等求解即可.(2)利用复数的几何意义求解即可.本题考查了复数代数形式的运算，复数相等，复数的几何意义，是基础题.19.【答案】解：(1)=25讥(3%+0)(3 0(9 0)的最小正周期为2兀，所以T=O)=2兀，可得3 =1；因为/Q)图象关于直线=与 对 称，可得1-|兀+0=；+而，k e z,而”(一 1,0),可得3=一算所以/(X)=2sin(x-)；O(2)由(1)可得及/(x)的图象上所有点向左平移2 个单位长度，再将得到的

25、图象上每个点的横坐标缩短到原来的“纵坐标不变)，可得 g(x)=2 sin(2 x+-7)=2 sin(2 x-),IN o 1Z则单调递增区间满足一/2k n 2x-sin(2x ；,1,/o o o o Z 方程f(x)=a有唯一解，sin(2 x-J)e -|,|)U 1 ,对应的f(x)的值域为(2,4 U 1,Q=1或2 V a 4 4.故Q的取值范围为1U(2,4.【解析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数/(%)化简为/(%)=-2sin(2x-)4-3.6(1)令一+2 k 4 2%*4 1+2/CTT,k E Z,解得一2+k W%4 g+k,k W

26、Z,再结合 工 -(初 的限定，即可得到函数X)的减区间；(2)由*6 0,3,可知2%-法 一 芍，由于方程f(x)=a有唯一解，结合正弦型函数的图象可推出sin(2 x-)6 T J)U1,再求得与之对应的函数/(x)的值域，从而得a的取值范围.本题考查平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.21.【答案】解：(1)存在，BN：ND=5：8；理由如下：连接4N并延长，交BC于E,连接PE.第 12页，共 14页pD/_ 人_ 1A.XC因为正方形4BC

27、D中，AD/BC,所以言=需=*又因为哈=|,所以MNPE；PE u 平面PBC,MN,平面PB C,所以MN平面PBC.(2)由(1)得BE：AD=5：8,所以BE=；PBE 中，PE2=PB2+BE2-2PB-BEcos600=132+(y)2-2 x l3 x x 1 =鬻,所以PE=”；o因为MNP E,所以MN：PE=8：13,所以 MN=?x S =7.8 13【解析】(1)根据平行线的比例性质得出AN：NE=5：8,从而证明M N/PE,得到线面平行；(2)根据比例可求BE的长，结合余弦定理可求PE的长，然后利用比例关系可得MN的长.本题考查了线面平行的证明以及空间中两点间线段长

28、度的计算，属于中档题.22.【答案】解：(1)由题设及正弦定理得s讥4$讥 等=sinBs讥(B+C),又因为 ABCA+B+C=180,可得sin=cos,sin(B+C)=sinA,iilsinAcos=sinBsinA,因为 ABC中sMA力0,故 cos 2=2sin-cos-,2 2 2p因为cos&H 0,故 sin?=j2 2因 止 匕 B=60.(2)由题设及(1)知 ABC 的面积 SMBC=cicsinB=y a,由正弦定理得a=2批（12。一）sinCsinC怎+1.tanC由于 ABC为锐角三角形,故 0 A 90,0 C 90,由(1)知 A+C=180-B =120

29、,所以 30。C 90,所以l a 4,ShABC=|acsinB=a,从 而:S-BC 2V3.因此，ABC面积的取值范围是除2 6）.【解析】（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sing=点即可求解8 的值.（2）由题设及三角形的面积公式，正弦定理得a=也%=2sin（12。-。）=+1,可求范sinC sinC tanC围30。90。，利用正切函数的性质可得tanC e（当,+8）,求得范围l a 4,即可得解 ABC面积的取值范围.本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.第14页，共14页