2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高一下学期期末数学试题一、单选题21 .若复数z满足-1 +i ,则z 的虚部为()A.1 B.-1 C.i D.-iB【分析】根据复数的除法运算求得z 可得答案.2 _ 2(l-i)_z-=-=1 -1【详解】由题意得 1+i 2 ,故则z的虚部为一1,故选：BI _2 .若。、b w R ,则“4 6”是(+1)2 (+1)2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】取 =1，6 =-2,满足a b,而(H D?无意义，即 不 能 推

2、出(a+1)2 (6 +1)2若(4 +1)2 3+1)2,则必有a +l 6 +1 2 0,即a b成立，！所以“a b，是“伍+1)2 3+1)2，的必要不充分条件.故选：B3 .为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为40%.现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0 到9之间的随机整数，用1、2、3、4 表示堵车，用5、6、7、8、9、0 表示不堵车：再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况.经试验产生了如下2。组随机数：80 7 0 6 6 1 2 3 92 3 4 71 5 3 2 71 2 2 5 9 5 0 7 75 24

3、4 3 2 77 3 0 3 92 7 75 6 3 6 8 84 0 4 1 3 73 0 0 86据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为()A.0.2 5 B,0.3 c.0 3 5 D,0.4 0A【分析】找出表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】表示事件“三天中恰有两天堵车 的数组有：923、471、532、712、303,共5组，P=0.25所以，这三天中恰有两天堵车的概率近似为 20故选：A.4.已知加，是两条不同的直线，以，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若 加 m H a,夕，则B.若加 z _ L a,则/aC.若?a

4、,m _L，则 J_a D.若阳ml 1/3 则 a_L/7D【分析】根据空间线与线、线与面、面与面的位置关系逐项判断即可.【详解】解：A 项中，若机，m a ,），则平面出力有可能平行，也有可能相交，故 A 项错误；B 项中，若加工，m la ,则”/a 或 u a,故 B 项错误；C 项中，若 ma,m ln,则直线与平面a 可能平行，可能相交，也可能”u a,故 C 项错误；D 项中，若m la ,m/甲,则，故D项正确.故选：D.5.北京时间2021年 10月 16日0 时 23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约 58

5、2秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式1V=691n 14-I 来表示，其中，3 （单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m（单位：吨）表示它装载的燃料质量，M（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7 9 千米/秒），则火箭的燃料质量机与火

6、箭自身质量M 之比m约 为（）A.eL58-l B.e158 C.J D.e0-58Av=c on 1 +【分析】由题意，？=7.9,8=5 代入 I M),运算即得解v =t y l n f 1 +1【详解】由题意，丫 =7.9,。=5 代入 k 可得7.9 =5 1 n(l +5)n l n l +3=1.5 8+=e 5i=e1 5 8-l故 M M故选：A6.若。=c o s 2,b=l og32,。=晦4,则（）A.ahc B.b ac Q c h a p h c aC【分析】利用对数的性质和余弦函数性质比较即可 2 7T【详解】因为2 ,所以c o s 2 0,即”0,因为V =b

7、 g 3 X 在（。,钟）上为增函数，旦0 6 双 典,所以l o g s 石 l o g3我 l o g,我I2所以 l o g s 3 2 l o g3 2 l o g3 33 l o g,2 b 所以2 3,即 2 3因为N =b g 6 X 在（0,+s）上为增函数，且 痴 痂 6,所以 l o g s 疾 6 厢 l o g6 62所以 Io g 6 6 3 l o g 6 4 l o g 6 6,22 l o g,4 1 c 6 ”,故选：C7.如图为2 0 2 2 年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的力点测得尸的仰角为3 0 ,4

8、80=1 2 0。，/8/。=3 0。，AB =60（单位：m）,（点4 8,在同一水平地面上）,则大跳台最高高度 P=（）A.45mC.60mB.45/2mD.60V3mC【分析】在 中 由 正 弦 定 理 算 出/=6 0 G,在放/尸。中，得到尸=60.【详解】在 中，4 8 0 =120。，Z B A O =3 0 ,所以 N/OB=3 0 ,又 AB =60,由正弦定理可得,ABA O在RM4 Po中,3 3。=丝=耳=走A O 60V3 3所以，00=60(m)故选：C.8.已知函数2-0-x*2+l,x0sin 4 O 8 sinZ AB O 9，八 AB sinZ AB O 2

9、.八 AA O =-=-=60V3sin 乙4 O B 122则不等式（3 T）3 的解集为（f(x)=-)A(log3 4,+oo)B.5)c.(o，i)D.(L )D【分析】利用分段函数及指数函数的性质，分别求解3 T V O,3*-10时不等式的解集即可.【详解】解：当3*-140时,/I 一（丁，J/,所以3 T)41,故当3、-1 4 时，不等式无解,当 3、-10时,/(3r-l)=l(y-l)2+l-(3r-l)2+l3令 2,得 3、-l 2,解得 x l.故选：D.二、多选题9.下列说法正确的是()A.已 知 数 据 和.低的方差为4,则2%+3,2%+3,2x“+3 的方差

10、为&B.对于单峰的频率分布直方图而言，若直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数C.若 4 8 是两个互斥事件，则P(7U 历=1D,若事件4 8 C 两两独立，则尸(/3C)=P(Z)尸(B)P(C)BC【分析】根据数据的方差的性质可判断A；根据频率分布直方图中平均数和中位数的估计，可判断B;利用P(/U B)=1-P(工团可判断c；举反例判断D.【详解】对 于 A,数据再K2,，毛的方差为4,则2演+3,2超+3,2相+3 的方差为22x4=16,故 A 错误；对于B,对于单峰的频率分布直方图而言，如果左右对称，则中位数和平均数大致相等，若直方图在右边“拖尾”，则平均数将变大，更远离峰值处

11、，中位数位于单峰附近,故平均数大于中位数，B 正确；对于C,因为，8 是两个互斥事件，故尸(月团=0,所以(N u豆)=1-P(皿=1-0=1,故 C 正确;对于D,举例如从1、2、3、4 四个数字中随机取一个，即事件Z=取出的数字为1或 2，事件8=取出的数字为1或 3，事件C=取出的数字为1或 4”，AB=B C=A C=N8C=取出的数字为1 ”，PQ)=P(B)=P(C)=-=-P(AB)=P AC)=P(B C)=P(AB C)=-贝 U4 2,4,满足 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(B C)=尸(8)P(C),即事件4 8,C 两两独立，但 4 8

12、,故D错误，故选：BC10.设复数4=石+L z2=x+y i(X,R),Z E 对应的向量分别为Z”O Z 2(0 为坐标原点)，则()A.匕|=2B.若。Z J/O Z z,则 G x +y =0C.若Q Z J O Z?,则平2=0 D.若I Z 2+Z 1区G,贝|匕-2 1 的最大值为3 6A D【分析】对A,根据模长公式求解即可；对B,根据向量平行的坐标公式求解即可；对C,根据向量垂直的坐标公式求解J的关系，再求解ZK即可；对D,根据复数的几何意义数形结合求解即可【详解】对A,%疔+代=2；对B,4=6+i对应的坐标为4=（反1）,Z z=x +W对应的坐标为（x j）,因为O Z

13、 J/O Z?,故后一x =0,即=岛，故B错误；对 C,若Z|_ L Z 2,则任 +了 =0,即y =-Qx,因为Z|_ L O Z 2,故6x +y =0,即 尸-底，故3=侬+为-扇A岳 一2方已故c错误；对D,若 匕+4区 石，即|（+”&+并百，其几何意义为UM到（一亚一1）的距离小于等于百，又 匕-2”的几何意义为（X/）到（。,2）的距离，故|z2 i|的最大值J-yf i 0 ）+（1 2 ）+/3 =3 3故D正确；故选：A D1 1.如图所示，四边形/8 C。是由斜二测画法得到的平面四边形 8 C O水平放置的直观图，其中，彳。=5,C D=C B =2t点P在线段C。上

14、，P对应原图中的点P,则在原图中下列说法正确的是（）A.四边形”8 8 的面积为14_(_2 1)B.与 4 8 同向的单位向量的坐标为5 5_ _ (2 _!2C.在 向 量 上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为 5 5D.|3万+而|的最小值为*ABD【分析】根据直观图可得四边形力8。为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A；以点。为坐标原点建立平面直角坐标系，写出而的坐标，再根据与在同向AB的单位向量为I 即可判断B；根 据 而 在 向 量 上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为前.亦 AB网 M即可判断C；设尸(，垃”0,4 ,根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D

15、.【详解】解：由直观图可得，四边形4 8 c o 为直角梯形，且 ZO=5,C=4,8C=2(2+5)x4则四边形/8 C O 的 面 积 为 一 厂=14故 A 正确:如图，以点。为坐标原点建立平面直角坐标系,则。(0,0),4(5,0),C(0,4),8(2,4)则 方=(-3,4),所以与一 命N 8同向的单位向量的坐标为I I 、,故 B 正确:布=(-5,0)相 诟 AB _ 15(-3,4)(9 2 则 在 向 量 力 8 上的投影向量的坐标为I I I ，故 C错误；设 P（0 j）/w 0,4,则 方=（5 f），丽=（2,4_J）,则3万+方=（17,4-纱）,R 苒 +户司

16、=172+（4-4y）2当N=1时，+取得最小值1 7,故D正确.8=80=2,/是力。的中点.沿8。将BCD翻折，折成三棱锥C-4 8 0,翻折过程中下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得0”与8。所成角为锐角B.棱CD上存在一点N,使得A/N/平面/8CC.三棱锥C-/8。的体积最大时，二面角C-4O-8的正切值为指28万D.当二面角/-8 0-C为直角时;三棱锥C-N8D的外接球的表面积是3BCD【分析】证明C W 8。判断A：取CZ）的中点N,由MN/HC推理判断B：三棱锥C-18D的体积最大时确定点C位置判断C：求出三棱锥C-Z8。的外接球半径计算判断D作答.【详解】对于A,取8

17、。中点E,连接CE,ME,如图，因8 8是正三角形，有CE1 BD,而M 是Z。的中点,有 ME AB ,而 4B L B D ,则 A/_L8。，CEcME=E ,CE,MEU 平面 C M E,于是得3D_L平面CNE,C M u 平面C M E,所以C M L8O,A不正确；对于B,取 CQ 的中点N,连 MN,因 是“。的中点，则M N/ZC,4 C u 平面4 B C ,N U 平面4 8 C,所以M N/平面48C,B 正确；S .n=-A B-D B =2对于C,因“2,要三棱锥C-8 0 的体积最大，当且仅当点C 到平面/8D 距离最大，由选项A 知，点 C 到直线8。的距离C

18、E=,NCEM是二面角Z-8 O-C 的平面角，当 Z.C E M=90 时，CE J平面 AB D,即当C 到 平 面 距 离 最 大 为 CE=W 时，三棱锥C-/8 O 的体积最大，此时点C 在平面 48。上的投影为点E,从而可知A。在平面4 1。上的投影为A 。，设二面角C-A D-B 的平面角为 0,则有S.CAD cos9=S E AD,在中，可 知 北=石，皿。2 BD 2 2 ,在 AC/Z）中，可知 ZC=2 V ,又 A D =2 .,C D=2 ,/r A n_ A C2+A D-C D2 _ 8+8-4 _3 不所以0 24 CZD-2 x 2 区2及?于 是 有 s

19、m D =7,所以晨皿=丁 25 2后丁行，从 而 有 限 os6=l,cos d=-4=n sin 6=牛=tan 0=&所以 S V7,c 正确；对于D,三棱锥C-的外接球被平面B C D所截小圆圆心0 是正A BCD的中心,被平面“8。所截小圆圆心为点”，设球心为0,连 a,o w,则。aJ平面s c。，OM _L 平面 480,当二面角4-8 O-C 为直角时，由选项c 知，CEJ_平面i s。，平面8 C Q,有0M/iOE,OOJIME,g/OM=O,E=四边形。为矩形，3,连/O,在中，AO=AM2+OM2=J(0 +哼 =S=4nAO2=所以三棱锥C-Z 8 O 的外接球的表面

20、积 3,D正确.故选：BCD关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题1 3.高一某班举行党史知识竞赛，其 中 12名学生的成绩分别是：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、9 8,则该小组 12 名学生成绩的 75%分位数是.92【分析】利用百分位数的计算公式进行计算.12x750/=9【详解】/。一 ，故选取第9 个和第10个数的平均数作为75%分位数，二二 92即 2故 921 ta n(a _/=；1 4.已知 1 2,1*2,则 cosa=_Violo-【分析】利用两角差的正切公式，可以求出t

21、ana,a 心巧1 2 人可以求出co sa的值.(消1tan a-=【详解】,M 2,tan a -1 _ 11 +tan a 2,解得 tana=3,根据同角三角函数的关系，结合.s i n2 =1-2 .8）=尸 *（8）,代入数据求出结果试题解析:记“甲射击1 次，击中目标”为事件A,“乙射击1 次，击中目标”为事件B,则A与 B,A 与 B,A与 B,A 与B 为相互独立事件，（1）”2人各射击1 次，恰 有 1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件/发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A-B 发生）根据题意，事件4 7 与1-B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和

22、相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P（A B）+P（A B）=P（A）P（B）+P（A）P（3）=0.8x（1-0.9）+（l-0.8）x0.9=0.08+0.18=0.262人中恰有1 人射中目标的概率是0.26.6 分（2）（法 1）：2 人至少有1 人射中包括“2 人都中”和“2 人 有 1 人不中”2 种情况，其概率为P=PA 5）+jP（A-B）+P（A-5 J|=0.72+0.26=0.98（法 2）：“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件，2 个都未击中目标的概率,P（A B）=P（A）P（B）=（1-0.8）（1.09）=0.02 .“两皿人1 k至 少

23、 有A+口 UlT M P=1 P（A-B）=1 0.02=0.981 人击中目标”的概率为 I）.点睛：设 A、B 为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A 与事件B 相互独立.若 A 与 B 是相互独立事件，则 A 与豆，）与 B,N与豆也相互独立.相互独立事件同时发生的概率.尸（8）=一 般 地，如 果 事 件 4 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积./（x）=2sin|2x+|+21 8.已知函数 I.若/（a）=3,且。（0,兀），求a 的值;1 6 兀 兀（2）若对任意的.2，不等式/（、）加-3 恒成立，求实数?的取值范围.兀（1

24、）3（2）S 4）sin 2cr+j=zn、【分析】（1）根据已知条件求得 I 6J 2,结合a e”,町即可求解;（2）根据X的范围求得f（X）的范围，只 需/）而 ”-3 即可求解.【详解】（1）因为/（）=3,所以2sin(2a+-1 +2=3sinl 2a+即V 612Tl _ 71 13K又由a 。，兀),得*-3 对 任 意 的 由 5 恒成立，只需/0）而“”-3,所以m-3 1,解得.加4故所求实数?的取值范围为（一 4）.1 9.已知正三棱柱 8 C-4 耳G中，AB =2,是 4G的中点.（1）求证：G平面（2）点尸是直线G上的一点，当G与平面”8 C 所成的角的正切值为2

25、 时，求三棱锥P-4M8的体积.（1）证明见解析2 百3【分析】（1）连接,与交48于点N,连接MN,利用中位线的性质可得出M N/G,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)利用线面角的定义可求得CG的长，分析可知点P到平面4河8的距离等于点G到平面AM B的距离，可得出=,结合锥体的体积公式可求得结果.【详解】(1)证明：连接/用交于点N,连接MN,因为四边形 4 4 8为平行四边形，耳c 4 8 =N,则N为 片的中点,因为M为4G的中点，则M N/AC,t,幺。2平面4朋5,MNU平面4历8,故4C平面4MB(2)解：因为CG，平面/8C,G与平面/8 C所成的角为/C 4G,因

26、为A/8C是边长为2的等边三角形，则”C=2,cc；CG 1平面/BC,HCu 平面 ABC,c ci-L A C y 贝 JanN C/q所以，CG=2/C=4,G平面4M8,PG A G,所以，点p到平面4M8的距离等于点&到平面4MB的距离，&3 _1 2%_ 也因为M为8G的中点，则 叼 5 w-ixTx 一了,则,2=G-AMB=%一 4GM_1 AA q _1 A 拒 _ 2拒=-B B-5A4CIA/=-X4X =2 0.在 4BC中，内 角 的 对 边 分 别 为a,b,c.选择下列两个条件之一作为已知条件：cos2C=2sin2，+一 1 +L+I 2 J；力。.解答以下问题

27、:（1）求角C 的大小;.3C /T sin 4 sin 8=若“8 C 的面积为2J3,1 4,求c 的值.（备注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分）C=（1）3 2疗【分析】（1）选择条件，根据三角形内角和结合已知条件可得2cos2C-cosC-l=0,cos C=即可解得 2,即可求解角C 的大小；选则条件，利用余弦定理结合条件即可求解；27?=1（2）利用三角形面积公式可得必=8,利用正弦定理可得 3,结合角C 的大小，利用整理即可求解.【详解】（1）解：（1）若选择条件：:在 XBC 中，4+3+。=乃，.cos（4+8）=-cosC,cos2C=2sin2 f +一

28、1.v 2 J 即 cos2C=1 -cos（Z+4）-l,即 2 cos2 C-cos C-1 =0,.(2cosC+l)(cosC-l)=0,.c s C-或cosc=l(舍去),0 C 7 T t 3若选择条件：&q+1=且 ,v a b ab,-,a+b2+ab=c2 f gpa2+Z72-c2=-ab 9c=.0C =0.0 2 4,75 分(2)90 分(3)s,=1 2 9,得分为5 2 分的同学的成绩没有进入到 x-2 s,x+2 s 范围，得分为94 分的同学的成绩进入到比-2 s,x+2 s 范围了【分析】(1)先由各组的频率和为1,求出加，然后利用平均数的定义可求出X,(

29、2)先求出这20名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数，然后利用百分位的定义求解即可，(3)先利用方差公式求出方差后再判断即可【详解】(l)v(0.0 0 6+0.0 1 4+m+0.0 3 6+0.0 2 0)x1 0 =1 m=0.0 2 4二该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：5 0 x 0.0 6+60 x 0.1 4 +70 x 0.2 4 +8 0 x0.3 6+90 x 0.2 =75 分;跑 工9。:2 0 0 ,这20名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数，0.0 6+0.1 4 +0.2 4 +0.3 6=0.8 0.9,85+0-9 0-8X1

30、0=90该次校内考试测试分数的9 0%分位数为 1-0.8二这20名学生的最低分数的估计值为9 0分；尸容力Ge=0.0 6x(5 0-75)2 +0.1 4 x(60-75)2+0.2 4(70-75)2+0.3 6x(8 0-75)2+0.2(90 -75)2=1 2 9.s=1 1.4 ,二 x_ 2 s =5 2.2 ,x+2 s=97.8 ,二得分为5 2 分的同学的成绩没有进入到 5 2.2,97.8 内，得分为94 分的同学的成绩进入到了 5 2.2,97.8 内.即：得分为5 2 分的同学的成绩没有进入到b-2 s，x+2 s 范围,得分为94 分的同学的成绩进入到b-2 s,

31、x+2 s 范围了2 2.如图，在四棱锥一 CD中，底面“8 C O 是边长为2的菱形，44)=60。,是正三角形，E为线段力。的中点，点F为棱PC上的动点.求证：平面P 8 C J 平面P 8 E；(2)若平面P AD I平面A B C D当点尸恰为PC中点时，求异面直线PD与B F所成角的余弦值；B H在平面P 3 E 内确定一点，使+的值最小，并求此时防的值.（1）证明见解析（2）二相；答案见解析【分析】（1）根据面面垂直的而判定定理证明即可；（2）作辅助线，根据平移法找到异面直线尸。与8 尸所成角，解三角形即可求得其余弦值；根据图形的几何性质说明当NF L PC时，NF最短，此时，点H

32、在棱B HBP上，然后通过解三角形求得相关线段长，继而求得而的值.【详解】（1）证明：连 接B D ,四边形 N 8 C Z）为菱形，=,B C|A D ,A B A D =60，二 4 8 0 为正三角形；PA D为正三角形，且 E 为 4。中点，A D 1P E,且 4 O J.8 E ,P E B E =E ,A D 1 平面 P B E ,v B C|A D ,.-.B C Y 平面 P B E ,:B C u 平面 PBC，:.平面 P B C 1 平面 P B E.取 CO的 中 点M,连 接B M ,F M ,-P D =,:F 为 P C 中点，,M F I I P。,MF =

33、2 ,.Z B FM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角.平面 P AD X.平面 A B C D,平 面 /。八平面 AB C D=AD,P E 1AD,P E 1 平面 AB C D,P E 1 B E ,.菱形/B C D 的边长为2,N B AD=60。，:.4 P A D与 B D s B C D 是全等的正三角形,:M、E 分别为 8、4。的中点，：.PE=BE=BM=后,.在 Rt APBE 中，FB=，房 +由 =V 6 ,在 RSPBC 中,PC=yJPB2+BC2=J1 6 ,cr=-=-.2 2cos/B M F =MFJBF-B M IM F BF.在 ABMF

34、 中,1+j 3=7 io2 x l x -2 02 设 我为平面P5 E内一点，延 长C 8到 点 N,使 得 BN=BC=2,BCr 平面 PBE,.RtBCH RUBNH，:C H =NH,.-.CH+FH=NH+F H,.NH+FH N F,.要 使C+最 小 只 需N尸最短即可，由于点尸为棱P C上的动点.，故 当 N F 1 P C 时，N F 最短，此时，点 H 在 棱 BP上，在R L P B C 中,-cos/FCB-=-1=PC=J*+由 =V ib,.PC vio,2Z/-cos AFCN=在 RS NFC 中，N3FC彳,-ZPCB=ZFCNcos NFPH=cos ZBPC=sin NPCB=V l-cos2 ZPCB=5 ,9 不 厢 5.在 RtD PFH 中，cos/8%5 7 l5逅3a V6 _ 276 BH 2：.BH=B P-H P=3 3,.BP 3,BH 2.当H 在 线 段 B P 上，且满 足 而 一？时，可使C H+7 的值最小.