2022-2023学年上海高一上学期数学同步练习(沪教新版)2-3平均值不等式证明(第1课时)(解析版).pdf
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1、2.3平均值不等式证明(第 1 课时)(作业)(夯实基础+能力提升)【夯实基础】一、单选题(2021 上海高一专题练习)若(),则下列不等式一定成立的是(【答案】C【分析】利用不等式的性质结合基本不等式进行判断【详解】*0aa+b,h-4ab.ba0f/.aba2,yab a.,a+b/故选:C2.(2020 上海高一课时练习)已知0 x 0,结合基本不等式,即可求解.【详解】因为0 v x 0,由x(3-3x)=3x(1 -x)4 3 X+?-X)1=:,当且仅当x=l-x 时,即x=1 时等号成立.故选:B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三
2、相等”的条件,合理推算是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.3.(2021上海市崇明中学高一期中)已知关于x 的不等式/一4+3a20(。0)的解集为(芭,X,),贝 I玉+&+,-的最大值是()A.迈 B.-述 C.延D.一 任【答案】D【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解,根据韦达定理求出为+=4 ,x,x2=3 a2,再用基本不等式求出最值【详解】-4奴+3”2 0(。0)的解集为(不,x2),则占,是方程*2-4以+3/=0的两个根,故为+”4彳 ,中2=3r 2 ,辽故 事+%+标a=船A+工1因为a 0,所以有基本不等式得:4 a +=-4 a +f-0,h
3、0,a+b=2,则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 有.(填不等式序号)MV1;&+扬4攻;+。2 4 2.【答案】【分析】利用不等式性质可判断;将&+括 平方展开再结合已知条件和可判断;将4+3 =2两边平方再展开结合可判断,进而可得正确答案.【详解】对于:而4等=1,所以M41,当且仅当。=6=1时等号成立,故正确;对于:(&+扬=+人+2痴=2 +2窥4 2 +2 =4,所以&+扬M 2,当且仅当a =b =l时等号成立,故不正确;对于:4 =(6 7 +f e)2=a2+b2+2aba2+Z?2+2 ,所以2+)2N2,当且仅当。=b =l时等号成立,故正确;故答案为:.5.(2
4、0 1 6上海市控江中学高一期末)设x l,则厂-x+l的值域为X-1丫2 1 -【答案】(7,-1【分析】先将原式化为:=+一=-(1-力+1,再由基本不等式,即可X-l A-1 L 1-X.求出其最值,进而可得出结果.【详解】因为X 1,所以x 1 0,r2 _ i i r 1 因止匕 -=X +=-(l-x)+l 0,则小/1-4 丁 的最大值为【答案】74【分析】先由题意求出00,所以再由=L 2 x.J 一 “V).4x+1_4X=J _,2 2 2 4当且仅当2X=V T K,即X=%O,;时,等号成立.所以xl-4 x2的最大值为I.故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式的应用
5、,熟记基本不等式即可,属于常考题型.7.(2 0 2 1 上海浦东新高一期中)已知x T,则 y =x +1 的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _.x+1【答案】1【分析】利用基本不等式求对勾函数的最小值即可,注意等号成立的条件.【详解】由题设,x+1 0,*y=x-=(x +1)4-1 2.(x+1)-1 =1,当旦仅当 x =0 时等号成立,x+l x+l V x+1,函数最小值为1.4故答案为:1 8.(2 0 2 0 上 海 高 一单元测 试)当 x l 时,x +;的最小值为_ _ _ _ _ _x-1【答案】5【分析】将所求代数式变形为x +冬4 +4 利用基本不等式即可求解.
6、x-1 x-1即可得出结果.【详解】因为x l,所以x 1 0,4 4 4所以x +-=x-l +-4-1 2 J(x-l)x-+1 =5 ,x-1 x-1 V X-l4当且仅当1=:一 即 工=3 时等号成立,x-1所以X +工 的 最 小值为5,x-1故答案为:5.4 19.(2 0 2 0.上海市第三女子中学高一期中)已 知 正 数 满足x+y =l,则一+一的最小值为.【答案】9【分析】将展开,再利用基本不等式求解即可.【详解】解:4 11=4 y x当 且 仅 当x =y ,即X =2 =;1时等号成立.x+y =I故答案为:9.1 0.(2 0 2 0 上海古美高中高一期中)已知x
7、 0,y 0,x+2 y =l 0,则孙的最大值是,2 5【答案】y【分析】将代数式科变形为个然后利用基本不等式可求出外的最大值.【详解】Q x 0,y 0,x+2 y =l 0由基本不等式得盯=;x2),4;x(三 箸 J =;x 5 2 =日,5 “y =当 且 仅 当.2时,等号成立,因此外的最大值为2当5,x-5 22 5故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查利用基本不等式求积的最大值,解题的关键就是对代数式进行配凑,利用“积定和小,和定积大”的思想进行求解,考查计算能力,属于中等题.H.(2 0 2 1 上海.高一专题练习)设x,y 0,且V y =i,则2 x+y 的最小值是.【答
8、案】3【分析】将 2 x+y 适当分拆后利用三元均值不等式求得最小值.【详解】2x+y=x+x+y3 x-x-y=3,当且仅当x=y=1时等号成立.所以2x+y 的最小值3,故答案为:3.12.(2021上海华师大二附中高一阶段练 习)若 x 0,则x圻二,的最大值是.【答案】y【分析】先求解出x 的取值范围,然后利用基本不等式求解出最大值.【详解】因为【1一:2 0,所以xw(O,l,x0取 等 号 时=1-F,即*=变,0 x l,则函数y=尸:1的最小值为.【答案】3【分析】由y=-x+l=x-l+-L +i,及 1,利用基本不等式可求出最小值.x 1 x【详解】由题意,y/七2K+)+
9、()+l=(i y+(x)+=x T +J _ +,x-1 x*-l x 1 x 1因为x l,所以y=x-l+厂+122。3)+1 =3,当且仅当X-1 =7,即x=2时等号成立.所以函数y=2-x +l 的最小值为3.x-1故答案为:3.14.(2021上海市南洋模范中学高一期末)方程a-4 x-1 =0在xe(0,xo)上有解,则实数。的X取值范围是.【答案】a 4【解析】由4=4x+1利用基本不等式求解.Xa=4 x+-2.k x -=4,当且仅当4x=!,即=时等号成立,X X x 2:.a4.故答案为:a4.1 5.(2 0 1 8 上海市向明中学高一期中)若函数f(x)=x+(x
10、 2)在x 处取得最小值,则。等于x-2【答案】3【分析】将/(x)=x+二 化成%-2 +1+2,使x-2 0,然后利用基本不等式可求出最小值,注意等号x-2 x-2成立的条件,可求出。的值.【详解】解:/(x)=J C +-I-=x-2 +-t-+2.4x-2 x-2当x-2 =l时,即x=3时等号成立.处取最小值,.“=3故答案为:3【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正各项均为正;二定一积或和为定值;三相等等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.1 6.(2 0 2 2.上海同济大学第二附属中学高一期末)若x -3,则x+三 的 最 小 值 为
11、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x+3【答案】2&-3【分析】整理代数式满足运用基本不等式结构后,用基本不等式求最小值.【详解】V x+3 0 xH-=(x +3)H-3 2 2 ./(JC+3)x 3 =2 7 2 3x+3 7 x+3 V x+3当且仅当+3 =义,x=及-3时,取最小值2夜-3.故答案为:2夜-3【点睛】用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等“,若不能取等,则要改变求最值的方法.三、解答题1 7.(2 0 2 0上海市川沙中学高一期中)己知。0力 0.(1)求证:a2+3 b2 2b(a+b);(2)若a+b=l,求 二 的最小值.ab【答案】(1)证明见
12、解析;(2)4.【分析】(1)利用作差法证明:(2)利用基本不等式求解.【详解】(1)Ha2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2 0,所以4+3 6 2 2 伙a+。);(2)因为a 0,。,且。+人=1,所 以 必 色 史 T=J.,当且仅当”=6=1 时,等号成立,I 2 J 4 2所以ab所以J的最小值是4.ab【能力提升】一、单选题1.(2022上海曹杨二中高一期末)已知x、y、z 是互不相等的正数,则在x(l-y)、y(l-z)、z(l-x)三个值中,大于,的个数的最大值是()4A.0 B.1 C.2 D.3【答案】c【分析】首先证明x(i-y)、),(1-z)
13、、z(i-x)三个值中不可能都大于;,然后举例判断即可【详解】首先证明x(iy)、y(i-z)、z(i-x)三个值中不可能都大于:,假设X(l-y)、y(l-z)、Z(l-x)三个值中都大于1,因为X、y、z 是互不相等的正数,且:0,由x(l-y);0,可得0 y l,同理可得0 x l,0 z 2x1=l,当且仅当 x+y=l 时取等号,同理可得y+(l z)l,z+(l x)l,所以x+(l y)+y+(l_z)+z+(l_x)3,jJijx+(l-)+y+(l-z)+z+(l-x)=3,所以假设错误,所以x(i-y)、y(i-z)、z(i-x)三个值中不可能都大于:,取x=g,y =;
14、,z=,则X l-y)=X =-,y(l-z)=-x =,z(l-x)=x=,2 3 3 4 3 10 10 4 10 2 20所以这3个数中有两个大于“所以大 于;的个数的最大值是2,故选:c2.(2 0 2 1.上海.南洋中学高一期中)若 则 下 列 结 论 不 正 确 的 是()A.a2 b2 B.ab b2 C.2 D.一网=|a 目【答案】C【分析】利用作差法判断A,利用不等式的性质判断B,利用基本不等式判断C,利用绝对值的概念判断D.【详解】匕0,故A正确;由。6 0得故B正确:ab0,.0 -l,-+2,故 C 错误;a b a ba b 匕0,那么 匕2C.对任意实数。和b,有
15、当且仅当=b时等号成立D.对任意正实数。和b,有a+b22&,当且仅当a 时等号成立【答案】C【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作凡匕,斜 边 为=/+),可得外围的正方形的面积为,2,也就是/+从,四个阴影面积之和刚好为2时,可得对任意正实数。和人,有即可得出.【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作6,斜边为。(。2=/+/),则外围的正方形的面积为0?,也就是/+从,四个阴影面积之和刚好为2,对任意正实数。和6,有片当 且 仅 当 时 等 号 成 立,故选C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,结合勾股定理,利用直角三角形的面积公式,得到其对应的关系,从而可以得到在什么情况下取得等
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