2022届安徽省合肥市、合肥高三下学期联考数学试题含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.设双曲线C:+-我 =1（。0/0）的左右焦点分别为6,K,点 0）.已知动点P在双曲线C的右支上，且点P,E,巴不共线.若A P E 与的周长的最小值为4 8,则双曲线C的离心率e 的取值范围是（）2.等比数列%的各

2、项均为正数，且 a 3a 8+a 4a 7=1 8,贝！|l o g?4 +l o g?g+4o =（）A.12 B.10 C.8 D.2+l o g353.设 xeR,则 是 x 2 x”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必条件4.5 G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5 G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年 8 月初推出了一款5 G手机，现调查得到该款5 G手机上市时间x和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横 轴 1代表2019年 8 月，2 代表2019年 9 月，5 代表2019年 12月，根

3、据数据得出N关于x的线性回归方程为y =0.042x+a .若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5 G手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（）A.2020 年 6 月 B.2020 年 7 月 C.2020 年 8 月 D.2020 年 9 月5.i 是虚数单位，复数z =l 一在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知，是两条不重合的直线，a,4是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A.若 加 a,a/p ,则 机 /或 加 u尸B.若m ，m H a,n 1）,贝在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象

4、限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知抛物线。：产=16的对称轴与准线的交点为加，直线/：y =履-4左与c交于A,B两点，若 A M =4 B M ,则实数4=.14.s i n a +c o s a =0是c o s 2a =0”的 条件.（填写“充分必要、充分不必要、”必要不充分、既不充分也不必要”之一）jr 37r 7i 1215.在平面直角坐标系x。)中，点P(x。,%)在单位圆。上，设=且(,).若c o s(o +?)=,4 4 4 13则/的值为.16.在棱长为6的正方体A B C。-4用GR中，加 是3 C的中点

5、，点 P 是面D C C R,所在平面内的动点，且满足Z A P D =Z M P C,则三棱锥P-B C D的 体 积 的 最 大 值 是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如 图，已知抛物线E：V=4 x与圆(%-3)2+y2=r2(r 0)相交于A,B ,C ,。四个(1)求r的取值范围；(2)设四边形A B C。的面积为S,当S最大时，求直线A与直线BC的交点。的坐标.18.(12分)如图所示,在四棱锥P-A B C D中，底面A B Q 9是棱长为2的正方形,侧面P A D为正三角形,且面P A D 面A B C。，旦产分别为棱AB,P C

6、的中点.(1)求证：即|平面P4 O；(2)求二面角尸E C 。的正切值.19.(12分)如 图，。是在A A 8 c边4 c上的一点，A B C D面积是 4 8 0面积的2倍，ZCBD=2ZABD=20.B(I)若，=9求 吗 的 值；o s i n C(I I )若 BC=4,AB=2y/2 9 求边 AC 的长.20.(12分)已 知 点A、3分别在大轴、了轴上运动，|A8|=3,溺=2微.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过 点 且 斜 率 存 在 的 直 线/与 曲 线C交于尸、。两点，E(O,1),求 上。|2+|。|2的取值范围.21.(12分)在平面直角坐标系X。)，中，以坐

7、标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐 _ o V2%=-2+?标方程为Os i n?6=2a c o s 8(0),过点尸(2,-4)的直线/的参数方程为 t _ (为参数)，直线/与曲I y=-4H2t线C交于M、N两点。(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：(2)若I P M 1,1 N P N|成等比数列，求 的值。22.(10分)设 椭 圆C:：+y 2=i的右焦点为尸，过户的直线/与C交于A 3两点，点M的坐标为(2,0).(1)当直线/的倾斜角为45时，求线段A 5的中点的横坐标；(2)设点A关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；(3

8、)设过点M的直线交椭圆于G,两点，若椭圆上存在点P,使 得 砺+M =/l而(其 中。为坐标原点)，求实数2的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】依题意可得 CAPE丹=P E +PF?+EF?=P E +PF?+EF1N 2P 6 2a =4Z?即 可 得 到2a +402（a +c）,从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详 解】解：依题意可得如下图象，C EF2=P E +PF?+EF=P E +PF?+EFl=P E+P Ft+E Fi-2 aN 2 P F-2 a =4b2 P Ft=2+

9、4/?2（a+c）所 以28c贝 114c 2 一 4a 2 c2所 以3c 2 4/所 以e?=:ga2 3所 以e 竽，即竿,+8【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.2.B【解 析】由等比数列的性质求得44。，再由对数运算法则可得结论.【详解】.数列他“是等比数列，:.=1 8,6 Z|4Z|Q=9,log3|+log34 +log34o=log3（i2 1（）=log3（44o）5 =51og39=10.故 选:B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.3.B【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题

10、答案.【详解】由|x-l|2,得又由V e x，得0 x l,因为集合x|0 xlux|-lx3,所以“|x-11 2”是“/0.5x13因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.5.D【解析】求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数z=l-/.在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.6.D【解析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断a,夕所成

11、的二面角为90;D中有可能 u a,即得解.【详解】选项A：若 加 a,/7,根据线面平行和面面平行的性质，有机尸或加=尸，故A正确；选项B：若加，m H a,由线面平行的判定定理，有 a,故B正确；选 项C：若m _L，加，2,！,故a,夕所成的二面角为9 0 0,则。，力，故C正确；选项D,若m _L，m a ,有可能 u a,故D不正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.7.B【解析】由函数的奇偶性可得，/(1)=-/(-1)=-2【详解】V/(X)=X3+asinx其中g(x)=d为奇函数，f(x)=asinx也为奇函数，

12、/(x)=g(x)+x)也为奇函数.,./(I)=-/(-!)=-2故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：奇函数士奇函数=奇函数；奇函数x奇函数=偶函数;奇函数十奇函数=偶函数；偶函数土偶函数=偶函数；偶函数x偶函数=偶函数；奇函数x 偶函数=奇函数；奇函数千偶函数=奇函数8.D【解析】集 合 =但 父=1=_1,1.N为自然数集，由此能求出结果.【详解】解：集合M=x|f=1=卜1,1.N为自然数集，在 A 中，1 M,正确；在 B 中，=一1，正确；在 C 中，正确；在 D 中，M不是N 的子集，故 D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断、元素

13、与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.B【解析】3 3 3由题意知，X 5(5,)，由EX=5x =3,知 乂 6(5,一)，由此能求出。(X).m+3 m+3 5【详解】3由题意知，X 3(5,-),m+33 .EX=5x =3,解得加=2,m+3 X B(5,|),o a A(X)=5 x-x(l-)=-.5 5 5故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用.10.A【解析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A、右焦点尸的坐标，再求出过点尸与C的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点8的坐

14、标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：a=3,b=4:.c=la2+b2=5因此右顶点A的坐标为(3,0),右焦点厂的坐标为4 4(5,0),双曲线的渐近线方程为：y =-x,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线y =4 4的直线与C交于点8,所 以 直 线 的 斜 率 为1,因此直线反方程为：=(x-5),因此点3的坐标是方程组：175 17 32，即B(w，-不)，所以/X A E B的面积为：D D 13y=-(x-5)2 ,的解，解得方程组的解为：，*旷1-二1故 选:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平

15、行的性质，考查了数学运算能力.11.C【解析】设A /，蓍，尸,-3),根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P点坐标代入切线方程，抽象出直线A8方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.【详解】圆 x2+y 2 _ 6 y +5 =0 可 化 为 炉+(_3)2 =4./2 (2 设 A，”才 ,B Xr-T,P,-3),、4 J I 4 1则4 4的斜率分别为%吟段吟,所以44的 方 程 为=即 y =5x x，2，2：y=(x-x 2)+?即 丁=?一%，-3=1-y2 1由于44都过点P。，-3),所以-3=-t-y22 2即 4(2),3(”2)都在直线-3 =7上，Y

16、所以直线AB的方程为一3 =5 一，恒过定点(0,3),即直线AB过圆心(0,3),则直线4?截圆f+尸一6 y +5 =0所得弦长为4.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.1 2.B【解析】分别比较复数二的实部、虚部与0的大小关系，可判断出Z 在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为a l 时，所以1。0,所以复数二在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.+-3【解析】由于直线/

17、：=依-4 4 过抛物线。的焦点，因此过A,3分别作。的准线的垂线，垂足分别为P,Q,由抛物线的定义及平行线性质可得|幽=4,从而再由抛物线定义可求得直线AB倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率.注意对称性，问题应该有两解.【详解】直线/:丁=丘 一4过抛物线。的焦点尸（4,0）,=8,过A,8分别作。的准线的垂线，垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知|旬=|A耳，|3。|=|5 .I PM I I Ap I I AP I因为APHMFUBQ，所 以 言 蒲=吊=篇.因 为NAPM=NBQM=90。，I I I I I I所以A4PMABQM,从 而 四=四=3 =4m|BM|BQ|B F|设直

18、线/的倾斜角为a,不妨设0 W a 1 ,如图，则|A目=|明=四 月+|4qc o s a =+|A同c o s a,|A F|=-R,同理忸司=E,l-c o s(2 1 +c o s aP则吧=1-c osaj+c s a=4,|BF|p 1-c o s c r1+c o s a3 4 3解得c o s a=,=tan=-,由对称性还有&二 一一满足题意.5 3 4【点睛】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键.14.充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得 cos 2=cos2-sin2 a =(cos a-s

19、in a)(cose+sine)=0,即 sina-cosa=0或sin a+cos a=0,即可判断命题的关系.【详解】由 cos 2a=cos2 a sin2 a=(cos a-sin a)(cos a+sin a)=0,所以 sin a-cos a=0 或 sin e+cos a=0,所以“sin a+cos a=0 是cos 2a=0”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断，考查余弦的二倍角公式的应用.【解析】JT 12 71根据三角函数定义表示出Xo=c o s由同角三角函数关系式结合以拈(。+4)=一值求得5皿(+)，而(71 冗x()

20、=cosc=cos I a+,展开后即可由余弦差角公式求得乙的值.【详解】点尸(七,打)在单位圆。上，设=由三角函数定义可知cos。=x),sin a=y0,E、，K 3 万、r,71(71因为a e(z，7),则a+万所以 X。=cos a=cos兀a+4兀4(乃、兀 .(万、.乃=c o s a +c o s+s i n a +s i n I 4；4 I 4；41 2 V 2 5 V 2 -7 夜=-x-1-x-=-1 3 2 1 3 2 2 6故答案为:二 .2 6【点睛】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.16.1273【解析】根据R/AA

21、0P与府AMCP相似，P D=2 P C,过P作PO_LC。于。，利用体积公式求解0P最值，根据勾股定理得出3 2=_3f+48 x144,0 x =x,p o=h,J x2+1 =2(6%)+h2,化简得：32=3 f+4 81 4 4，0 x 6,根据函数单调性判断，x=6时，3 取得最大值36,*2 5在正方体中P 0，平面A B C D.三棱锥P 体积的最大值为L 1 x 6 x 6 x 2白=1 2 63 2【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（1）272 r 3（2）点 P的坐

22、标为（g,O）【解析】将抛物线方程y2=4x与圆方程（x-3）2 +y2=/联 立，消去y得到关于X的一元二次方程，抛物线E与圆加有四个交点需满足关于x的一元二次方程在（0,+纪）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于r的不等式组，解不等式即可.（2）不妨设抛物线E与圆 的四个交点坐标为A（玉,2嘉），8区,2禽），C（%,-2），。区,2人），据此可表示出直线A D、B C的方程，联立方程即可表示出点P坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形A B C D的面积5的表达式，令t=，由f =也 _ 户及（1）知0 f 0,所以，7 解得2夜 r 0,所以厂的取值范围为re（2

23、夜,3）.（2）根 据（1）可设方程*2一2%+9-r=0的两个根分别为玉，%2（0 玉 ），则 4（%,2毒），3（%,-2北），C（x2,-2yfx）,D（x2,2yx）,且玉+龙2=2,xx2=9 -r2,所以直线A。、8 c的方程分别为打2号2日-2入_%）,七一%2y+小2 厄,Xj-x2联立方程可得，点P的 坐 标 为 卜 质,（），因为四边形A 3 C D为等腰梯形，所以 5=3倍 例 +|0）|）2 _%）=1 4喜+4后）（尤2 _%）=2dxi+/+2dxi%-（芯 +）2-402=2也 +2也一产,4 _ 4（9一r）,令f =,9-产 e（O,l）,则/（f）=S 2=

24、4（2+2f）（4 4 ）=-32（d+2 7 1）,所 以/(f)=_32(3+2f _l)=_32+l)(3-l),因为0 f l,所以当0 f 0；当：/1 时,/(/)-=-p=-=-;A B V 3 sin C V 3 3(I I)-B C -B D sin20 =2 x-A B -B D sin0,2 2所以 4 x 2sin O co s。=2 x 2&sin 3=co s 6 =，2所以。=工，Z A B C =3 0 =,4 4所以 A C 2=i6+8 2 x 4 x 2 C x 1 =40,所以边A C =2j而.【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用

25、，关键在于识记公式，属中档题.20.(1)+y=1 (2)f 4,4-I 25【解析】(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出丽，丽，得到E P _L E Q,所以IEP|2+|EQF=|PQF，代入韦达定理即可求解.【详解】(1)设 A(/,(),8(0,%),则 x；+y；=9,-1 xo=2Z x.y-%=2(0-y)%=3 y又由于(x +(3 y)2=9,2化简得M的轨迹C的方程为三+V =1.4 -3（2）设直线P。的方程为 二 一,与c的方程联立，消去得（1+4攵2卜2一 眷 去 一|=0,A0,设P(X|,y),Q(x2,y2),

26、则 X y+X224 k5 +20 k2-64X-X,=-7 25+1 0 0公由已知=-1),E 2 =(,y2-1),则EP E Q =xyx2+(1,-l)(y2-1)=x,x2+-64 8,24k 64%x F25+1 0 0女 2 5_5 +20 k2_ 25-64 -6 4k2-19 2k2+64 +25 6 k225 +1 0 0 Z:2故直线EP_LEQ.|F +1 E Q F=|0=0 +%2)+J _ 4 a=(1 +国J/24k y _4x-64 =64(l +1)(25 F +4)1 4 1 5 +20 1 25 +l OOF 1 25 0+4 /64(4 +29 A:

27、2+25 P)25(1+4 Zr2)2 令l +4/=f,则4-27+66.+25 户25?由于7=1 +4/210-1,t4()+1-,=+4)0科=32+8 a 00,r2 0由已知IP M 1,1 M N 1,1 P N|成等比数列,MN F=|PM-PN即 乂 一 以=同 也|，(。+幻 2-4%=能，+，2=5%，（2V2（a +4）f =5（3 2+8。）整理得 2+3 -4 =0。=一4 (舍去)或 4 =1.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键.222.(1)AB的中点的横坐标为；(2)证明见解析；(3)(-2,2

28、)【解析】设 4（%,乂）,8（2，%）.y =x-l(1)因为直线/的倾斜角为4 5。，尸。,0),所以直线A 5 的方程为y =x-1,联 立 方 程 组 f,消去了并整理,一+v =11 2,得3丁 _ 以=0,贝！|玉+七=：,七 =2故线段A B的中点的横坐标为1.(2)根据题意得点C(x，-y),若直线4 5 的斜率为0,则直线A 8 的方程为y =0,A、C 两点重合，显然M,B,C 三点共线;若直线A 8 的斜率不为0,设直线4 8 的方程为x =，y +l,联立方程组x=my+1x2,消去X 并整理得（加+2）丁+2,町，-1 =0,+y-=11 2则 y+%2m忌5,设直线

29、四、侬的斜率分别为即“、J则f _ y _%（为-2）+%（刍-2）_ _ 2m x y 2-（y +必）2%2 _%（%）2）（x,-2）（my-l）（my2-1）+必）+机2y l y 2-2/7?2m-2-1 2=0即&9=七.，即 M,B,C 三点共线.1 H-m2+2 m2+2(3)根据题意，得直线G H 的斜率存在，设该直线的方程为y =%(x-2),设尸(X。,%),G(x j,%),H(X4,4)，y=k(x-2)联 立 方 程 组 Y,消去 并整理，得(1+2公)/_8公x+8公一2=0,+y，=121 07,2 o 7,2 _ D由4=6 4/-4(1+2/)(8公一2)0,整理得上2一，又 占+匕=,也 看=*W2 1 +2 公 5 1 +2 公4k所以+%=以电+%4)=-T1十乙K结 合 南 +丽=2而，得 2%=x,+Z,，%=%+%，当2=()时，该直线为x轴，即y=0,此时椭圆上任意一点尸都满足萌+丽=7而，此时符合题意;_ 1 8k=T 1 ,n/,2 32rl 1642当4/0时，由 旃+两=2而，得；1+个,代入椭圆C的方程，得*/；心=1 4k X(1+ZK)A(14-ZK)I+2k2整理,/16 16得=1 7 2 F=J 7；再结合%V，得到即)U Q 2),综上，得到实数X的取值范围是(-2,2).