2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何（附答案解析）.pdf

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1、2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何一.选 择 题(共 12小题)1.(2 02 1 秋房山区期末)圆心为(-2,3)且与y轴相切的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=9 B.(x+2)2+(厂 3)2=9C.(x-2)2+(3)2=4 D.(x+2)2+(厂 3)2=42.(2 02 1 秋成都期末)设直线八：a x+(a-2).1=0,/2：x+ay-3 0.若/山 2,贝 U。的 值 为()A.0 或 1 B.0 或-1 C.1 D.-13.(2 02 1 秋唐山期末)圆 C i：x2+)-4x+2 y-4=0 与圆 C2：x2+)+4x-4 y+4=0 的位置

2、关系 为()A.内切 B.相交 C.外切 D.外离4.(2 02 1 秋白云区期末)已知圆C的方程为x 2+/+2 x-4 y-4=0,则圆心C的坐标为()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-2,4)D.(2,-4)5.(2 02 1 秋河南月考)已知/(-1,2),B(3,5),则与直线48 平行且距离为2的直线方 程 为()A.3 x-4 2 1=0B.3 x-4 y-1=0C.3x-4y+21 =0 或 3 x -4y+l=0D.3 x -4 y -2 1 =0 或 3 x -4 y -1 =06.(2 02 1 秋嫩江市期末)已知直线/i：(a-2)x+ay+2=0,/2：x+(.

3、-2)尹.=0,则 ua=-1 是“/l_ L/2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.(2 02 1 秋平房区校级期末)若直线/：F=丘-3与直线2 x+3 y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是()A.,工)B.,2 L)C.(,)D.(,)L 4 3 J L 3 2 7 14 2，k 3 2 )8.(2 02 1 秋河东区期末)已知抛物线产=4 x 的 焦 点 为 凡 P 为抛物线上一点，过点P 向准线作垂线，垂足为0,若N F P Q=6 0 ,则|尸门=()A.1B.2C.3第 1 页 共 2 0 页D.42 29

4、.（2 02 1 秋海淀区期末）若 双 曲 线-工 一=1 （40,h 0）的一条渐近线经过点（,2 ,2a b1）,则双曲线的离心率为（）A.B.返 C.M D.23 21 0.（2 02 1 秋重庆月考）已知椭圆C：的一个焦点坐标为（2,0）,则 加=（）5 mA.1 B.2 C.5 D.91 1.（2 02 1 秋榆林期末）已知直线/：加工-3 _）；-4 7+9=0 与圆。：+产=1 00相交于4、B两点，则|4 8 的最小值为（）A.5&B.5 73 C.1 072 D.1 0732 21 2.（2 02 1 秋重庆月考）已知椭圆C：彳J-l（a b 0）的左、右焦点分别为乃、Fi，

5、上顶点为4 抛物线的顶点为坐标原点，焦点为尸2,若直线Q/与抛物线E交于P，。两点，且1刈 1+1 3 1=4”，则椭圆C的离心率为（）A.A B.返 C.D.返2 2 5 2二.填 空 题（共 4小题）1 3.（2 02 1 秋宜春期末）已知直线的倾斜角a=3 0,且过点Z （4,3）,则该直线的方程为.1 4.（2 02 1 秋滨海新区校级期末）在圆M：/t/-4 x-4 y-1=0 中，过点（0,1）的最长弦和最短弦分别为A C和BD,则四边形A B C D的面积为.1 5.（2 02 1 秋南岗区校级期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线炉=我乂上，则 这 个 等

6、 边 三 角 形 的 边 长 为.1 6.（2 02 1 秋工农区校级期末）已知尸1，尸 2 为双曲线C：式 _式=1（。0,b 0）的左、a b右焦点，双曲线的离心率为2,点尸在双曲线。的右支上，且 PF i 的中点N在圆O：/旷=。2 上，其中c 为双曲线的半焦距，则 sin/F|P F2=.三.解 答 题（共 6 小题）1 7.（2 02 1 秋房山区期末）在平面直角坐标系中，/B C 三个顶点坐标分别为N （2,-2）、B(6,6)、C(0,6).第2页 共2 0页(I )设线段N8 的中点为“，求中线CW所在直线的方程;(I I )求边48 上的高所在直线的方程.1 8.(2 02

7、1 秋房山区期末)已知圆A/：/+炉-2 x=0 与圆N：f+y2-8x+a=0外切.(I )求实数a的值；(I I)若直线x-y-2=0 与圆M 交于/,B两 点,求弦N8的长.2 21 9.(2 0 2 1 秋重庆月考)已知双曲线C：b 0)的一条渐近线斜率为返，且双曲线C经过点M(2,1).2(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为二的直线/与双曲线C交于异于M 的不同两点/、B,直线M4、8的斜2率分别为人、依，若心+乃=1，求直线/的方程.2 0.(2 0 2 1 秋西固区校级期末)已知两定点工(-2,0),8(1,0),若动点尸满足条件|孙|=2 陷.(1)求动点尸的轨迹C的方程；(2

8、)求直线/：y=x 被轨迹C所截得的线段长.2 22 1.(2 0 2 1 秋让胡路区校级期末)以椭圆C：L，L=l(a b 0)的中心。为圆心，a 2+b 2 为半径的圆称为该椭圆的 准圆”.已 知 椭 圆 C的长轴长是短轴长的加倍，且经 过 点(加，1),椭圆C的“准圆”的 一 条 弦 所 在 的 直 线 与 椭 圆 C交于、N两点.(1)求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；(2)当而币5=附，证明：弦 Z8的长为定值.2 2.(2 0 2 1 秋 月 份 月 考)如 图 所 示，已知抛物线C：y2=2 x,过点/(2,0)的直线/与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点，N关于

9、直线/对称，记 N的中点为T.(1)求 点 7的轨迹方程；(2)求品/M T的最大值.第3页 共2 0页第4页 共2 0页2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何参考答案与试题解析一.选 择 题（共12小题）I.（2021秋房山区期末）圆 心 为（-2,3）且与y 轴相切的圆的方程为（）A.（%-2）2+（y+3）2=9 B.（x+2）2+（y-3）2=9C.（x-2）2+（3）2=4 D.（x+2）2+（厂 3）2=4【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】由所求圆与y 轴相切可得，圆心尸到y 轴的距离等于半径，根据尸点坐标求出产

10、到V 轴的距离，得到圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可.【解答】解：点（-2,3）到y 轴的距离为2,所以圆的半径为2,所以圆心为（-2,3）且与夕轴相切的圆的方程为（x+2）2+（j-3）2=4.故选：D.【点评】此题考查了圆的标准方程，要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程.由圆与y 轴相切，根据尸点横坐标的绝对值求出产到y 轴的距离得到圆的半径是解本题的关键.2.（2021 秋成都期末）设直线 l：ax+-2）y+=0,b：x+ay-3=0.若 l-L h,则 a的 值 为（）A.0 或 1 B.0 或-1 C.1 D.-1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【专

11、题】方程思想：定义法；直线与圆：数学运算.【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解.【解答】解：,直线小 ax+（。-2）1=0,b：x+ay-3 0,/iI/2，.*.tzXl+（a-2）Xa=0,解得aQ或 a 1.故选：A.【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求第5页 共2 0页解能力，是基础题.3.(2 0 2 1 秋唐山期末)圆：x2+/-4 x+2 y-4=0 与圆C 2：/+/+以-4 4=0的位置关系 为()A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【专题】转化思想：综合法：直线与圆；数学运算.【分析】求出两个

12、圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可.【解答】解：圆 Ci：/+产-4 什2 广 4=0,即(x -2),+(尹1)?=9 的 圆 心(2,-1),半径为3；圆 C i：X2+J+4X-4y+4=0,即(x+2)2+(y -2)2=4 的 圆 心(-2,2),半径为 2；圆心距为(-2-2 )2+(2-(-1)2=5，因为5 =3+2,所以两个圆的位置关系是外切，故选：C.【点评】本题考查圆的位置关系的判断，求解圆的圆心与半径，两个圆的圆心距与半径的关系是解题的关键，属于基础题.4.(2 0 2 1 秋白云区期末)已知圆C的方程为x2+y2+2 x-4y-4=0,则圆心C 的坐标

13、为()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-2,4)D.(2,-4)【考点】圆的一般方程.【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算.【分析】根据已知条件，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求解.【解答】解：圆 C 的方程为x 2+/+2 x-4 y-4=0,(x+1)2+(y-2)2=9,圆心C 的坐标为(-1,2).故选：A.【点评】本题主要考查圆心的求解，属于基础题.5.(2 0 2 1 秋河南月考)已知/(-1,2),B(3,5),则与直线48 平行且距离为2的直线方 程 为()A.3 x-4 j+2 1=0B.3x-4y-1 =0第6页 共2 0页C.3x-4y+21 =0 或

14、 3 x -4y+l=0D.3 x -4 y -2 1=0 或 3 x -4 y -1 =0【考点】两条平行直线间的距离.【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.【分析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果.【解答】解：已知/（-I,2）,B（3,5）,所 以 直 线 的 斜 率k=3,所 以 直 线 的4方程为y-5=3（x-3 整理得 3 x-4 y+l l=0,设与直线A B平行的直线方程为3 x -4 y+c=0,利用平行线间的距离公式：J*d=2,解得。=1或2 1.也2+（-4）2故直线的方程为3 x -4八2 1 =0或3 x -4八1 =0.故选：C.【点评

15、】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.6.（2 0 2 1 秋嫩江市期末）已知直线人：（0 -2）x+a产2=0,/2：x+（a-2）j a=0,则“a=-I”是“/4/2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线的一般式方程与直线的垂直关系.【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理：数学运算.【分析】直接利用直线垂直的充要条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果.【解答】解：当a=7时，则直线/i：-3 x-尹2=0,直线/2：x-3 y-1=0,

16、则/2,当时，则（。-2）+a（a -2）=0,整理得 a2-a-2 0,解得 a=-l 或2,故%=-1”是“1 山 2”的充分不必要条件；故选：A.【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.7.（2 0 2 1秋平房区校级期末）若直线/：y=f c c-3与直线2 x+3 y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）第7页 共2 0页A.苧拳B.苧拳C.（V【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.D亨得）【专题】转化思想；综合法；直线与圆：数学运算.【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组

17、，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0,联立得到关于人的不等式组，求出不等式组的解集即可得到A的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率&,根据正切函数图象得到倾斜角的范围.【解答】解：联立两直线方程得：fy=kX-3，l 2 x+3 y-6=0 将代入得：-，把 代 入 ，求得了=里二殳，2+3 k 2+3 k所以两直线的交点坐标为（3_,里二攵），2+3 k 2+3 k因为两直线的交点在第一象限，所以得到3_ 0,且 典 心 _ 0,2+3 k 2+3 k解得：k,设直线/的倾斜角为0,则t a n0 l,所以0 6 （工，2 L）.4 2故选：C.

18、【点评】本题主要考查根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题.8.（2 0 2 1秋河东区期末）已知抛物线/=4 x的焦点为尸，尸为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为。，若NFPQ=6 0 ,则|户用=（）A.1 B.2 C.3 D.4【考点】抛物线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】根据题意作出简图，可得为等边三角形，在R t 0 N尸中求解可得|0月=4,从而得解.【解答】解：根据题意作出简图，如图所示：第8页 共2 0页根据抛物线的定义可知|P F =|P 0 ,结合/E

19、P 0=6 O ,可得 尸 尸。为等边三角形，所以 尸 N-6 0 ,在 R t A Q V F 中，因为|八阴=2,所以|0 g=4,所以 川=4.故选：D.【点评】本题考查了抛物线的定义及其简单几何性质，属于基础题.2 29.（2 0 2 1 秋海淀区期末）若 双 曲 线 三 一 二=1 （a 0,b 0）的一条渐近线经过点电,2,2a b1）,则双曲线的离心率为（）A.B.后 C.V 3 D.23 2【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出a,b关系，然后求解离心率即可.2 2【解答

20、】解：因 为 双 曲 线 七-9=1（a 0,i 0）的一条渐近线经过点（如，1）,J 0所 以 渐 近 线 经 过 点（如，1）,所以巨二巨，【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力.是基础题.第9页 共2 0页2 21 0.（2 0 2 1秋重庆月考）已知椭圆C：三-4二1的一个焦点坐标为（2,0）,则加=（）5 mA.1 B.2 C.5 D.9【考点】椭圆的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.【分析】利用椭圆方程求解结合焦点坐标，列出方程求解机即可.【解答】解：椭圆c：可知。=遥，b=。5 m因为椭圆C：式工=1的一个焦点坐标为（

21、2,0）,5 m所以 V 5-2 ,解得机=1.故选：A.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题.1 1.（2 0 2 1秋榆林期末）已知直线/：z nx -3 y -4加+9 =0与圆C：，+/=1 0 0相交于4、B两点，则|/8|的最小值为（）A.5&B.5 a C.IOA/2 D.10A/3【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】求出直线恒过定点。，定点。在圆内，故 当 弦 与 垂 直 时，弦|/8|长度最小.【解答】解：依题意，直线mx-3厂4?+9=0恒过定点。（4,3）,在圆C内部，故弦M用长度的最小时，直线Z 8与直线C

22、。垂直，又 仍=山2 +3 2=5,此 时 幽=2.1 0 0-2 5=1 0西故选：D.【点评】本题考查了直线恒过定点的求法，考查了圆的弦长问题.考查逻辑思维能力和计算能力，本题属于中档题.第1 0页 共2 0页2 21 2.(2 0 2 1秋重庆月考)已知椭圆C：W-+U l(ab0)的左、右焦点分别为Q、尸2,a y上顶点为4 抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为尸2,若直线F 1 Z与抛物线E交于尸，。两点，且|刃|+|0/|=4 a,则椭圆C的离心率为()A.A B.返 C.D.返2 2 5 2【考点】椭圆的性质.【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【

23、分析】由题设可得抛物线E为产=4 ，直线尸M为x=v-c,联立方程应用韦达定b理，弦长公式求IP QI，由 柴j _=黑，求|P A|,结合|阳+|。4尸 0|+2|用=4 ，得到2/升23 23也2-?2-2 0=4”,化简可求离心率.b b【解答】解：由题设知：A(0,b),Fi(-c,0),Fi(c,0),且抛物线方程为炉=4 cx,直线Q Z为x=r-c,联立抛物线方程有产=J y-4 c 4b b整理得“2-4 02尸 4历2=0,则 A=1 6C2 (C2-b2)2 0,即令 P (x i,y i),Q(X 2,y2)且”尹 0,则，y 2 y i=4 cVb所 以 川 二 对 工

24、”1亘3,令 =|P AI，如图可知I =里即=去-,可 得”=与1-,|P F 1|P B a+d y b-所以 d=2aq 一 小 又 旧 田。川=/Q|+2 d=4“，b2所以生2 /2人兴.2 2 5：-2 a cj j-b2 _ _ 2a=4a,整理得2/=3属，又口=序-c2,2 v c-b,2b b所以 3 2 =52,所以 e=_=YI,a 5故选：C.第1 1页 共2 0页【点评】本题考查椭圆的离心率问题，属中档题.二.填 空 题(共 4 小题)13.(2 02 1秋宜春期末)已知直线的倾斜角a=3 0,且过点N (4,3),则该直线的方程为 心-3 K 9-4、后=0 .【

25、考点】直线的点斜式方程.【专题】方程思想；定义法；直线与圆：数学运算.【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式方程.【解答】解：直线的倾斜角a=3 0,所以直线的斜率为左=ta n 3 0=返，3又因为直线过点力(4,3),所以直线的方程为y -3=返(x-4),3VSv -3 y+9 -4 百=0.故答案为：J 私-3 _y+9 -4 j =0.【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.14.(2 02 1秋滨海新区校级期末)在圆M：1=0 中，过点(0,1)的最长弦和最短弦分别为A C和BD,则四边形A B C D的面积为 12 .【考点】直线与圆的位置

26、关系.【专题】计算题；整体思想；演绎法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点E(0,1)在圆内，即可得到过点 的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积.【解答】解：圆 M：/+9-4 x -4 y -1 =0,即(x -2)2+(y-2)2=9,圆心(2,2),半径r=3,点 E (0,1),第1 2页 共2 0页则(0-2)2+(1-2)5 0,b 0)的左、2 ,2 xa b右焦点，双曲线的离心率为2,点尸在双曲线C的右支上，且P F i的中点N在圆O：f ty2=。2上，其中。为双曲线的半焦距，则s in/F i尸F 2=_

27、亚 .4 第1 3页 共2 0页【考点】双曲线的性质.【专题】计算题：转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.牌【分析】由题意可得在FI972 中，|尸 尸 1|=6 ,甲 尸 2|=/1 尸 2|=4,利用s in ZF|P F2=即可求解.【解答】解：如图，由题意可得I。尸 1|=|O M=C,因为。为尸正2 的中点，所以|C W =白尸尸2|,所以I尸/2|=2C,PF=2 a+2 c,2.双曲线 C：z i _ x i=i(a 0,b 0)的离心率为 2,；.c=2 a,2 ,2 xa b故在尸声放 中，|P F i|=6 a,|尸 尸 2 尸|尸13|=4 4，的中点

28、 N,：.F2N1.PF,:*NPNF2=90：.sin Z F1PF2=fc2!L=V 16a2-9 a=V7.|PF2|4a 4故答案为：叵.【点评】本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题.三.解 答 题(共 6 小题)17.(2 0 2 1秋房山区期末)在平面直角坐标系中，ZB C 三个顶点坐标分别为/(2,-2)、B(6,6)、C(0,6).(I )设线段4 8的 中 点 为 求 中 线 CM所在直线的方程;(I I)求边48上的高所在直线的方程.【考点】直线的-一般式方程与直线的性质.【专题】转化思想；综合法；直线与圆；

29、数学运算.第1 4页 共2 0页【分析】(1 )先 求 出 线 段 的 中 点 为 用 的 坐 标，再利用两点式求出中线CW所在直线的方程.(I I)先 求 出 的 斜 率，可得工8边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边N 8上的高所在直线的方程.【解答】解：(I )三个顶点坐标分别为/(2,-2),B(6,6),C(0,6),二线段Z 8的中点为M(4,2),求中线CM所在直线的方程为：之 二2=立2,x-4 0-4即 x+y-6=0,(I I)由于直线Z 8的斜率为：6-(-2)=2,故边4 8上的高所在直线的斜率为-工，6-22故边上的高所 在 直 线 的 方 程 为y-6=-2(X

30、-0),即x+2 y-12 =0.2【点评】本题主要考查中点公式、斜率公式、两直线垂直的性质，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题.18.(2 0 2 1秋房山区期末)已知圆M：2+/-2%=0与圆N：/+/-8 x+=0外切.(1 )求实数”的值；(I I )若直线x-y-2=0与圆M交于Z,B两 点,求 弦 的 长.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.【分析】(I)由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心距等于半径和列式求解。值：(I I)求出M到直线的距离，再由垂径定理求弦长.【解答】解：(I)由圆M：/旷-2 x=0,得(x -1)2 =1,则(

31、1,0),半径 n =l,由圆 N：，+/-8%+4=0,得(x-4)2+7 2=6-q,则N(4,0),半径0=疝 公：两圆外切，l|=l+V 16-a-即。=12；(I I )/(1,0)至I J直线x-y-2=0 的是巨离4=J 1-0-2 I =返,V l2+(-l)2 2.弦 的 长 为2孔 匚考)2汨【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题.第1 5页 共2 0页2 219.（2021秋重庆月考）己知双曲线C：b 0）的一条渐近线斜率为a t/返，且双曲线C 经过点M（2,1）.2（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为二的直线/与双曲线C 交于异于

32、M 的不同两点/、B,直线小1、8 的斜2率分别为41、依，若所+e=1,求直线/的方程.【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程组，求解,6 可得双曲线方程;（2）设出直线/的方程并与双曲线方程联立，由韦达定理结合条件可求直线方程.【解答】解：（1）由题意可得,a2=2 2 =1 X2 9 C：-y =V(2)设1.y=-A(xi,yi),B(X2，y2)fZ 9 9联立2+4 tx-4(t +1)=0,kx-y 2=11因为直线/与双曲线C 交于异于M 的不同两点Z、B,所以 =16於+16(

33、?+1)0,Xl+%2=-4z,X .X 2=-462+1），因为 ki+k2=1,所以-X lX 2+t（X i+x2）-4（t-l）=Xj X2-2（X J +X2）+4整理得:=L 解得f=l,所以直线L y=-lx +1.【点评】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，属于基础题.第1 6页 共2 0页2 0.（2 0 2 1秋西固区校级期末）已知两定点工（-2,0）,B（1,0）,若动点尸满足条件|以|=2|P 5|.（1）求动点尸的轨迹C的方程；（2）求直线/：y=x被轨迹C所截得的线段长.【考点】轨迹方程.【专题】计算题：转化思想：综合法：直线与圆；数学运算.【分析】（1

34、）设P点 的 坐 标 为（x,y）,用坐标表示|刈|、|P印 代入等式|以|=2甲8|,整理即得点P的轨迹方程：（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理可求弦长.【解答】解：（1）已知两定点月（-2,0）,B（1,0）,由动点尸满足|以尸2 Q用，设尸点 的 坐 标 为（x,y）,则（x+2）2+/=4 （x-1）2+y2,即（x-2）2+/=4；（2）由（1）知轨迹C为圆，圆 心 为（2,0）,半径厂=2,圆心到直线/：y=x的 距 离 =号=&,由 垂 径 定 理 可 得 弦 长 为 彳，所以直线/：y=x被轨迹C所截得的线段长为2&.【点评】本题考查轨迹方程的求法与弦长的求法，属中档题.

35、2 22 1.（2 0 2 1秋让胡路区校级期末）以椭圆C：当的中心。为圆心，1 a 2+b 2为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.已 知 椭 圆C的长轴长是短轴长的加（西 且经 过 点（点，1）,椭 圆C的“准圆”的一条弦N 8所在的直线与椭圆C交于M、N两点.（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；（2）当 而 祈=3寸，证明：弦Z 8的长为定值.【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合.【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.a=V 2 b【分析】（1）由题意1 2 1 解 得。，b,则可写出椭圆的方程，进而可得椭圆C的-T-T=l“准圆”方程.第1 7页 共2

36、0页2 2（2）分两种情况：当弦轴时，设M（t,t）、N（t,-t）,二q=l得_4 2|t|=2返，进而可得原点。到弦力8的距离4,进而可得M8|.3 当 弦4 8不垂直于x轴时，设直线4 8的方程为=公什加，M（x i，y i）N（犯，y 2），联立直线4 3与椭圆的方程，结合韦达定理可得X 1+X 2,X 1 X 2,/，由而,而二0得m 2 士 2+1）,再求出原点。到弦4 8的距离力 即可得出答案.3【解答】解：（1）由题意4a=V 2 b2 1 一解得 a=2,b=V 22 2 1a b2 2所以椭圆的标准方程为4 2椭圆C的“准圆”方程为了切2=6.（2）证明：当 弦 轴 时，交

37、点M、N关于x轴对称,又 翻 诟=0，则。可设M（t,t）、N（t,-t）,4 4=1 得|t|=，此时原点。至I J弦A B的距离d=1 1|=型 因此I A B|=2后1号反 当 弦N 8不垂直于x轴时，设直线4 8的方程为、=丘+加，且与椭圆C的交点M（x i，刈）、N（X2,二），y=kx+m联列方程组 x 2 y2,代入消元得：（2F+1）x2+4kmx+2 m2-4=0,=3 2庐-8加2+1 6=8（4启-冽2+2）o,由X 1+X 2=*2k2+12m 2-41 X2=2k 9z-+l，2可得32=&x(k X 2+M k 2义盟+km义肃+m 2 _ m 2 -4Ayk 2-

38、2k2+1第1 8页 共2 0页由于I ,币?二0 得 x i x 2+yi y2=0,2m2-4 俨 24卜2 3 m 2-4k 2-42k2+l 2k2+l 2k2+1 所以m24（k*+1），o此时A0成立,则原点。至 I J 弦A B的距离d=-7 加1 r后I 2我则|AB I =2后1号位综上得因此弦Z B的长为定值.【点评】本题考查直线与椭圆的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.22.(20 21 秋 月 份 月 考)如 图 所 示，已知抛物线C：/=2 x,过点/(2,0)的直线/与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点M,N关于直线/对称，记的中点为T.

39、(1)求 点 7的轨迹方程:(2)求 必/M r的最大值.【考点】直线与抛物线的综合.【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；直观想象；数学运算.分析】(1)设直线/：yk(x -2),T(x,y,M(x i,yI),N(必”)，将 M,N 的坐标代入抛物线方程得到y=-左，再代入直线方程化简即可；(2)联 立 直 线 的 方 程 和 抛 物 线 方 程，将4加在面积表示出来，再利用SA/T=2S24M V求解即可二【解答】解：(1)由题意可得直线/的斜率存在且不为0,设直线/：y=k(x-2),r(x,y M(x i,y)f N(X2,”)，(9=2xi,由 可得：(歹 1 小

40、)(yi-/)=2 (x i-工 2),7 22=2X2第1 9页 共2 0页所以.LL 2=2=2=J L=-A,xt-x2 Yi+y2 2y y k所以夕=-左，代入直线方程得：x=l,又当x=l时，由炉=2才得=J,：7在抛物线开口方向内，-&7&，.点T的轨迹方程为：x=l(-&y 0,解得：k (-&，o)U(o,&),yi+V2-2k,yy2=2k1-2,I 尸 J 6 1 +了2)2-4丫1丫2=、8-4卜2,MN=V(l+k2)(8-4 k2),又因为|刈=4+卜2.|2-1|=71+k2,S&AMT=AMN=-M NA7|=-1-J (l+k2)2(g-4k2)=-/-k6+3k2+2,令 t=R,y=-t3+3t+2(tE(0,2),W=-3?+3,令V=0,得，=1(负根舍去),当 化(0,1)时，y随f增大而增大，当76(1,2)时，夕随,增大而减小,.当f=l时，y取最大值4,k=i 1 时，(SA4 M 7)max=1 【点评】本题考查了直线和抛物线相交所产生的问题及最值问题、转化思想等，属于中档题.第2 0页 共2 0页