2022年中考数学复习之挑战压轴题——二次函数（填空题）.pdf

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1、2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：二次函数（10题）一.填 空 题（共10小题）1.（2020浙江自主招生）已知抛物线产/+蛆+经过点（2,-1）,且与x 轴交于A（a,0）,B（b,0）两点，若点P 为该抛物线的顶点，则使附8 面积最小时抛物线的解析式为.2.（2021 广西）如图，已知点 A（3,0）,8（1,0）,两点 C（-3,9）,D（2,4）在抛物 线=/上，向左或向右平移抛物线后，C,。的对应点分别为C,D .当四边形ABC D 的周长最小时，抛 物 线 的 解 析 式 为.3.（2019灌云县模拟）已知抛物线y=-f+2%+8与 x 轴交于&C 两点，点。平分8 c

2、.若在 x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点，且NBAC为锐角，则的取值范围是.4.（2016秋资中县期末）如图，已知二次函数），=0?+版+0；4a+2b+c0；4ac-房 -4a；a c.其 中 正 确 结 论 有 （填写所有正确结论的序号）.5.（2021鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度 A8=274a，发球机紧贴球台端线点A 处，高出球台的部分AC=12czn,出球管道C=5近 加，若将水平状态的CD绕点C 逆时针旋转4 5 到 CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网G 4左侧7 2 c,“处到达最高点高出台面2 1

3、5 1,则 E B=c m.6.（2 0 2 0 秋吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=近2-以巧交3x轴于4,8两点，交 y 轴于点C,点。为抛物线顶点.（1）求 tan/D4C=；（2）若点尸是线段AC上的一个动点，Z D P Q Z D A C,D P1 D Q,当点尸在线段A C上运动时，。点不变，Q点随之运动.求当点尸从点A运动到点C时，点 Q运动的路径长为.7.（2 0 2 1 秋济南月考）如图，抛物线y 巨 仁 与 产二且与 轴交于点A，与 x轴交于3、32 8C,点 A关于抛物线对称轴的对称点为点。，点 E在 y轴上，点户在以点C为圆心，半径为2的圆上，则D E+E

4、 F的 最 小 值 是.8.（2 0 2 1 春永嘉县校级期末）如图抛物线y=-/-2 x+3 与 x 轴交于A,B,与 y轴交于点C,点 P为顶点，线段抬上有一动点。，以 C。为底边向下作等腰三角形 ,且/DEC=9 0,则 4E的 最 小 值 为.9.（2 0 2 0 无锡二模）如图，一次函数y=1-2的图象交x轴于点A,交），轴于点8,二次2函数y=-1 2+6 X+C 的图象经过A、B 两 点,与 x轴交于另一点C.若点M在抛物线的2对称轴上，且则所有满足条件的点M 的坐标为.1 0.（2 0 2 1 秋汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数-2 x+c的图象与x轴交于4、C两点

5、，与），轴交于点B（0,-3）,若 P是 x轴上一动点，点。（0,1）在y轴上，连接PD,则 C点的坐标是，MPD+PC的最小值是.2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：二次函数（10题）参考答案与试题解析填 空 题（共 10小题）1.（2 0 2 0浙江自主招生）已知抛物线经过点（2,-1）,且与x轴交于A （a,0）,B（b,0）两点，若点尸为该抛物线的顶点，则使以B面积最小时抛物线的解析式为 y=f -4 x+3 .【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题；函数的综合应用；运算能力；推理能力.【分析】4、B两点在x轴上，用|A B|=|a-b|表示线段A 8的长，由两根关系

6、转化为叭n的表达式，根据顶点坐标公式得P （一，虫a _）,故有迫将2 4 2 4点（2,-1）代入解析式得4+2/%+=-1,即=-2 m-5转化为关于m的二次函数，求 面 积 最 小 时n的值.【解答】解:由题意知4+2加+=-1,B P n=-2 m-5,V A （，0）B（/?,0）两点在抛物线y=/+?K+上，:a+b=-ah=n,又,.|4 8|=|-臼=/+m+经 过（2,-1）,代入得，n=-2 m-5,l l=7 m2+8m+2 0，p 点纵坐标为-/-2 m-5,s =4，l y p|=iVm2+8m+2 0 *1 一 一 2m-51=1 V （m2+8m+2 0 ）3=/

7、4 o|V（m+4）2+4 3,所以，当m=-4时，S 用B最小，此时，该抛物线解析式为y=/-4 x+3.故答案是：y=W-4 x+3.【点评】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路.2.(2 0 2 1 广西)如 图，已知点 A (3,0),B(1,0),两点 C (-3,9),D(2,4)在抛物 线y=/上，向左或向右平移抛物线后，C,。的对应点分别为C ,D.当四边形A B C D 的周长最小时，抛物线的解析式为 y=(x-空)2.13【考

8、点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题；二次函数图象上点的坐标特征.【专题】函数的综合应用；平移、旋转与对称；应用意识.【分析】过C、。作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点4,过4作A七 C D,且AE=CD,连接B E交直线y=9于C,过C作C D，C ,交直线y=4于D,四边形AECD和四边形C O O C是平行四边形，可得四边形4 E C。是平行四边形，可 证8E=8C+E C=BC+AD,B C+4 7最小，最小值为B E的长度，故此时四边形A B C。的周长最小，求出4 (3,8),(-2,1 3),可得直线8 E解析式为y=

9、-乌+卫，从 而C (-JA,3 3 139),CC=-B-(-3)=至，故将抛物线y=/向右移空个单位后，四边形4B C 13 13 13D 的周长最小，即可得到答案.【解答】解：过C、力作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点4,过4作AE/CD,且4 E=C D,连接B E交直线y=9于C,过C作。8,交直线y=4于/),如图：作图可知：四边形AECO和四边形C 0 O C是平行四边形,：.AE/CD,CD/CD,S.AE=CD,CD=CD,，CD/AE5.CD=AE,四 边 形 是 平 行 四 边 形，：.AD=EC,V A关于直线y=4的对称点A,：.AD=AD,：.EC=AD,：.

10、B E=B C+E C=BC+AD,即此时BC+A。转化到一条直线上，BC+A。最小，最小值为BE的长度，而AB、CD为定值，.此时四边形ABC D 的周长最小，(3,0)关于直线y=4的对称点W,(3,8),；四边形AEC。是平行四边形，C(-3,9),D(2,4),：.E(-2,13),设直线B E解析式为产丘+6,则=k+b,I 1 3=-2 k+b/.直线B E解析式为y=-4+迫，3 3令 y=9 得 9=-A.x+A.,3 3户-1 41 3：.C(-J A,9),1 3：.c c=-J A-(-3)=丝，1 3 1 3即将抛物线y=/向右移彳|个单位后，四边形ABC D 的周长最

11、小,此时抛物线为y=(x-至)2,故答案为：y=（x-至）2.13【点评】本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求 到C的坐标.3.（2 01 9灌云县模拟）已知抛物线y=-7+2 x+8与x轴交于8、C两点，点。平分8 c.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且N B A C为锐角，则A D的 取 值 范 围 是3 V A eW 9 .【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】探究型；数形结合；分类讨论.【分析】由“2 5 4 C为锐角”可知点A在以定线段8 c为直径的圆外，又点A在x轴上侧，从而可确定动点4的范围，进而确定AO的取值范围.【解 答】解：如 图，抛 物 线y

12、=-/+2 x+8,.抛物线的顶点为Ao（1,9）,对称轴为x=l,与x轴交于两点B （-2,0）、C（4,0）,分别以8 C、D 4为直径作0。、0,则两圆与抛物线均交于两点尸（1-2&,1）、Q（1+2 72.1）.可知，点A在不含端点的抛物线亍顺内时，Z B A C 9 0a,且有 3=D P=D Q 0；4 a+2 b+c 0；4a c-房-4a；a c.其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）.【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】根据对称轴为直线x=l及图象开口向下可判断出。、尻C的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过（3,0）,则得的判断；根据图象经过（-1,0）可得

13、到。、3 c之间的关系，从而对作判断；利用4ac-b2_ ,可判断；从图象与y4a轴的交点8在（0,-2）和（0,-1）之间可以判断c的大小得出的正误.【解答】解：.函数开口方向向上，.对称轴在y轴右侧:.ab异号，.抛物线与y轴交点在y轴负半轴，：.c 0,故正确;；图象与x轴交于点A （-1,0）,对称轴为直线x=l,图象与x轴的另一个交点为（3,0）,.当 x=2 时，y 0,.,.4a+2/?+c 0,二最小值：4ac-b2 V-4a：a 0,.4 ac-/2-4a：.正确；图 象 与 y轴的交点8在（0,-2）和（0,-1）之间,二-2 c -1二-2 -3a（/；3 3故正确 心。

14、，.b-c 0,即 6 c；故正确.综上所述，正确的有，故答案为：.【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.5.（2021 鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB=2 74 cm,发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分A C=12c m,出球管道C D=5近cm,若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45到CD的位置，发球机模式为“一跳球”,路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧7 2c m 处到达最高点高出台面21c m,则 E B=（209 -30j?7）_cm.【考点】二次函数的应用.【专题】二次函数的

15、应用；应用意识.【分析】以AC为 y 轴，以AB为x 轴，A 为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为 M 对 称 轴 与 x 轴 交 于 则 M N=21,根据题意写出抛物线解析式y=a(x-65)2+21(a 0),然后通过旋转求出D 坐标，再 把 坐 标 代 入 抛 物 线 求 出 小 再令y=0解一元二次方程求出E 对岸坐标即可.【解答】解：以AC为 y 轴，以AB为 x 轴，A 为原点建立平面直角坐标系，如图，设抛物线最高点为M 对称轴MN与 x 轴 交 于 则 MN=21,=274,.GH是 AB正中间，2：.AM=AH-MH=31-72=65,设抛物线为：y=a(x-65)2+

16、21(a3A A（-3 我，0）,B（我，0）,0A=3 我令 x=0 得丫=-3 M，：.C（0,-3 M）,OC=343,:.CE=OE-O C=M，；.OA=OC=3代，C E=D E=,.4OC和 是 等 腰 直 角 三 角 形，A C=3&,O C=JE，A ZACO=ZDEC=45Q,：.ZDCA=90,t an/。w=远=避 分 工，A C 3V6 3故答案为：1；3（2）V ZDPQ=ADAC,D P V D Q,且NCA=90,：.ADCS/PQD,-D-C =-D-Q-=1,A C D P 3；点P在线段A C上运动时，。点不变，。点随之运动,.P的 路 径UC）与Q的路径

17、之比等于更，D Q,:A C=3 娓,，Q的路径为3 J E X 更=娓,D Q故答案为：V s 【点评】本题考查二次函数、三角函数、相似三角形等知识，题目较综合，解决本题的关键是需要掌握P点运动路径与Q点运动路径的关系.7.（2021秋济南月考）如图，抛物线y旦 6-6）2互与y 轴交于点A,与 x 轴交于8、32 8C,点 A关于抛物线对称轴的对称点为点。，点 E在），轴上，点尸在以点C为圆心，半径为2 的圆上，则D E+E F的 最 小 值 是 23.【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【专题】代数儿何综合题；与圆有关的计算；数据

18、分析观念.【分析】过点。作 y 轴的对称点H（-12,15）,连接CH交 y 轴于点E,交圆C于点凡则点E、尸为所求点，即可求解.【解答】解：对 于 产 生 5-6）2互，令 x=0,则y=1 5,令y工（x-6）2工=0,32 8 32 8解得x=4 或 8,故点A、B、C的坐标分别为（0,15）、（4,0）、（8,0）,函数的对称轴为x=6,则 点 的（12,15）,过点。作 y 轴的对称点”（-12,15）,连接CH交 y 轴于点E,交圆C于点凡 则点反产为所求点，yn.理由：点H、。关于y轴对称，则 4=&）,则 D E+EF=HE+EF=H F 为最小,则 DE+EF 最小=4/=/

19、。-2=（8+12）2+15 2-2=23,故答案为23.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键.8.（2021春永嘉县校级期末）如图抛物线y=-，-2x+3与x轴交于A,B,与y轴交于点C,点尸为顶点，线段以上有一动点。，以C O为底边向下作等腰三角形 C D E,且NC E C=9 0,则A E的最小值为_岂叵【考点】抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【专题】图形的全等；数据分析观念.【分析】证明 E MO丝 C N E（A A S）,求出点E （-网1,细 史）

20、，则 人 屏=（-3+老也）2 2 22+（细9 _）2=与2+2机+生，即可求解.2 2 2【解答】解：抛物线y=-2%+3与x轴交于A,B,与），轴交于点C,则点A、B、C的坐标分别为（-3,0）、（1,0）,（0,3）,函数的对称轴为*=-1,故点P （-1.4）,由点A、P的坐标得，直线A P的表达式为：y=2x+6,设点。（m，2m+6）；过点E作x轴的平行线交y轴于点N,交过D点与y轴的平行线于点M,设点 E(。，b),贝IJME=Q-m，DM=2m+6-b,CN=3-b,EN=-a,VZ D E M+Z E D M=9 0 ,/DEM+/CEN=90,:./EDM=/CEN,*：

21、ED=ED,/EMD=4CNE=90,:EMDQXCNE(A A S),:.CN=ME,DM=EN,B|J 3-b=a-m,-=2?+6-b,解得：4=-1 （3+皿），=3m+9 ,故点 E（-3+m,3m+9）,2 2 2 2则 AF=（-3+3tm）2+（3m+9）2=5根2+12?+至，2 2 2 2当 机=-2.4时，A S z取得最小值8.1,故A E的 最 小 值 为 曳 亘，_ 1 0故答案为：生叵_.1 0【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，综合性强，难度较大.9.（2 0 2 0无锡二模）如图，一次函数y=L-2的图象交x轴于点A,交y

22、轴于点8,二次2函数y=-1 2+扇+（?的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C若点M在抛物线的2对称轴上，且N A M B=N ACB,则所有满足条件的点M的坐标为（，1）或2 2 （互，且）,2 2 y./【考点】二次函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质.【专题】代数几何综合题：与圆有关的计算；数据分析观念.【分析】如图2,先证明利用相似比得到P D=2 P E.设P(m,-Xn2+-/n2 2-2),则 E (机，工机-2).再利用m表示出P D+P E得至IP D+P E=3X-机-22 2 2-(1/7 7 -2),然后根据二次函数的性质解

23、决问题；2(3)讨论：当点M 在直线A8上方时，根据圆周角定理可判断点M 在 A B C 的外接圆上，如 图 1,由于抛物线的对称轴垂直平分AC,则 A B C 的外接圆。|的圆心在对称轴上，设圆心0|的坐标为(,T),根据半径相等得到(金)2+(-r+2)2=(1-4)2 2 22+P,解方程求出t 得到圆心0 1 的坐标为(5，-2),然后确定001的半径半径为上.从2 2而得到此时“点坐标；当点M 在在直线AB下方时，作 0 1 关于AB的对称点。2，如图2,通过证明N 0 i A B=/Q 4 B 可判断0 2 在 x轴上，则点。2 的 坐 标 为(旦，0),然后计2算出D M即可得到

24、此时M点坐标.【解答】解：一次函数y=L-2的图象交x 轴于点4,交 y 轴于点B,则点A、B的坐2标分别为(4,0)、(0,-2),当点M 在直线A 8 上方时，则点M 在 A 8 C 的外接圆上，如 图 1.A B C的外接圆O i的圆心在对称轴上，设圆心0 1的坐标为（$,-t）,2：0B=0A,；.（$）2+（-什2）2=（A-4）2+?,解得 f=2.2 2.圆心0 1的坐标为（,-2）.2 OIA=-J（|）2+22=-|即O OI的 半 径 半 径 为 此 时 点 坐 标 为（5,1）；2 2 2当点M在在直线A3下方时，作0 1关于AB的对称点。2，以 3 为圆心，以0M半径画

25、。2，此时A、B两点均在0 3上，M点为。0 2与对称轴的交点，如图2,：0 1与。2关于AB的对称，.O2A.=OIB=OA=OB,。2与。1是等圆，为002与。0 1共同的弦，圆周角/AC8对应的优弧是。01中的优弧A8,圆周角NA MB对应的优弧是。2中的优弧AB,又.在等圆。0 2与。0 1中，NA CB与N AM B所对应的优弧相等，Z A M B Z A C B,.工0 1=0 1 8=8,2：.ZOABZOBA.；。出龙轴,：.ZOBAZOAB.：.Z O ABZOAB,0 2 在 x 轴上，.点。2的 坐 标 为（3,0）.2:.O2D=,D M=亳）2 _ 2=方 .此时点”

26、的坐标为（擀，-专 工）.综上所述，点M的坐标为（互，工）或（0,N K）.2 2 2 2【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和圆周角定理；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题.10.（2021秋汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/-2 x+c的图象与x轴交于A、C两点，与），轴交于点8（0,-3）,若尸是x轴上一动点，点O（0,1）在y轴上，连接PZ）,则C点的坐标是（3,0）,JPD+PC的最小值是 4.【考点】胡不归问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线

27、与x轴的交点；轴对称-最短路线问题.【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；应用意识.【分析】过 点P作P J BC于J,过 点D作D H L B C于H.根据&P D+P C=&（P D+叵P C）=&（DP+P J）,求出。P+PJ的最小值即可解决问题.2【解答】解：过点P作/于J,过点。作。H_L8C于H.二次函数y=/-2x+c的图象与y轴交于点8（0,-3）,-3,工二次函数的解析式为y=/-2 x-3,令y=0,A2-2x-3=0,解得x=-1或3,.A（-1,0）,C（3,0）,:.O B=O C=3,V ZBOC=90,：.ZOBC=ZOCB=45,：D（0,1）

28、,：.OD=,BD=4,：DHLBC,:.NDHB=90,：.DH=BDsin45Q=2&,：PJLCB,：.ZPJC=9Q,：.PJ=-PC,2_:.42PD+PC=42（尸。+亚 PC）=V 2（DP+PJ）,2:DP+PJDH,:.DP+PJ2瓜J.DP+PJ的最小值为2&,:.MPD+PC的最小值为4.故答案为：（3,0）,4.【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求我PQ+PC得最小值转化为求我(DP+PJ)的最小值.属于中考选择题中的压轴题.考点卡片1 .一次函数图象上点的坐标特征一次函数y=f c r+6,（%#0

29、,且 鼠b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-上，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.k直线上任意一点的坐标都满足函数关系式ykx+b.2 .二次函数的性质2二 次 函 数 尸/+bx+c （介0）的顶点坐标是（-以，4 a c-b）,对 称 轴 直 线 尸 一 巨，2 a 4 a 2 a二次函数y=o r 2+b；+c （a W O）的图象具有如下性质：当。0时，抛物线=/+区+。（a W O）的开口向上，x V -上二时，y随x的增大而减小；2 a2x -2时，y随X的增大而增大；x=-且 时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线2 a 2 a 4 a的最低点.当a 0时，

30、抛物线），=0?+法+0 （“r o）的开口向下，x -旦 时，y随X的增大而减小；x=-旦 时，y取 得 最 大 值%即 顶 点 是 抛 物 线2 a 2 a 4 a的最高点.抛物线y=a f+灰+c （。2 0）的图象可由抛物线y=/的图象向右或向左平移|-上|个单2 a位，再向上或向下平移I%口3个单位得到的.4 a3 .二次函数图象与系数的关系二次函数丫=4/+。尤+。（4 0）二次项系数。决定抛物线的开口方向和大小.当”0时，抛物线向上开口；当a 0）,对称轴在y轴左侧；当 a 与 b异号时（即ab 0时，抛物线与x轴有2个交点；=庐-4 a=0时，抛物线与x轴 有1个交点；=廿-4

31、 a 0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增2大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当=一 旦 时，=%工.2a 4a(2)当 0时，抛物线与x轴有2个交点；=廿-4改=0时，抛物线与x轴 有1个交点；=层-4狂 0时，抛物线与x轴没有交点.（2）二次函数的交点式：y=a（x -Xi）（x-X2）（a,b,c是常数，a W O）,可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x i，0）,（及，0）.9.二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大

32、值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论.（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.10.二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符

33、号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项.（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.11.等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角

34、三角形.（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5 ,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径R=&+1,所以r：R=l：V 2+1.12.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者

35、缺一不可.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.13.轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线工上的同侧有两个点A、B,在直线乙上有到A、8 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线乙的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点.2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.14.胡不归问题著名的几何最值问题