2022届甘肃省甘谷县高三下学期第六次检测数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2 B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 o2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后

2、，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2019年 10月 1 日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，贝！1“鸿福齐天”的

3、 制 作 者 是()A.小明 B.小红 C.小金 D.小金或小明口 In x|2.已知函数 x)=一,若关于x 的方程呵(x)+w =0 有 4 个不同的实数根，则实数?的取值范围为X o()A.4 B.。与 C.g,()D.(争)3.中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫樟头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是樟头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4俯视方向B.C4.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故

4、又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2。的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为P,则 圆 周 率 乃 ()A.4+2B.4+1C.6-4/?D.4+35.设全集U=R,集合A =x|k)g 2(4 x)W l ,B =x|(x-3)(x-5)0,则 也 为1 A=()A.2,5 B.2,3 C.2,4)D.3,4)6.已知A A B C中 内 角 所 对 应 的 边 依 次 为 若2a=匕+l,c =工，则A A B C的面积为()3A.孚 B.G C.3上 D.2 G4 17.已知曲线y =a T+i(a。且a)过 定 点 化。)，若且加0,0,则 一+一的最小值为().m n2

5、28 .下列图形中，不是三棱柱展开图的是()A-1A.:B.9 .已知等差数列 4的前项和为S“，且4=-2,%=1 0,则$9=()A.45 B.42 C.25 D.361 0.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了 50户进行调查，得到本月的用水量(单位：n?)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过1 5 m 3的住户的户数为()”.下 列 四 个 图 象 可 能 是 函 数 户 咨 片 图 象 的 是，）1 2.若 i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数一的点是（）A.E B.F C.G D.H二、填

6、空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.（5 分）已知曲线C 的方程为y =-o r 3+x（aeR）,其图象经过点尸（1,0）,则曲线C 在点P处的切线方程是1 4.记 S“为数列%的前八项和.若a,+S“=3 2（e N*）,贝”5=.1 5.如图，在一个倒置的高为2 的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1 的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为.1 6.若 s i n（a +工）=,a （0,兀），贝（J c o s（3 -a）=_ _ _ _ _ _ _ _.6 3 1 2三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

7、步骤。1 7.（1 2 分）已知。也 C ER*,a+b+c=i,求证：4a-b 4-Vc /3;/、1 1 1 、3(2)-1-1-2 一 3。+1 3b+1 3c+1 21 8.（1 2分）已知数列 4 的各项都为正数，q=2,且 4 止=旦+1.%,%（I ）求数列 可 的通项公式；（I I）设a=l g（l o g 2。,）,其中表示不超过x的最大整数，如。9 =0,l g 9 9 =l,求数列 4 的前2020项和.2 2 2 21 9.（1 2分）已知。匕 0,如图，曲线由曲线G：=+A=l（y 0）组成，其a b a b中点K，K 为曲线G 所在圆锥曲线的焦点，点瑞,F,为曲线G

8、所在圆锥曲线的焦点.（I ）若 外（2,0）,月（一 6,0）,求曲线若的方程;（U）如图，作直线/平行于曲线G的渐近线，交曲线G 于点A 8,求证：弦 A B 的 中 点 必 在 曲 线 G的另一条渐近线上；cm）对 于（1）中的曲线，若直线4 过点工交曲线G 于点C。，求 A C。6 面积的最大值.20.(1 2 分)已知函数f(x)=|x +a|+|x 2|.(1)当。=1时，求不等式/(x)2 7的解集；(2)若/(理，|%-4|+5+2。|的解集包含 0,2,求 的取值范围.221.(1 2分)已 知 在A A B C中，角A，B,C的对边分别为。，b,c,A A B C的面积为 一

9、2c o s C(1)求证：t a n C =s i n As i n(2)若 C=,求c o s(A-B)的值.22.(1 0分)如 图，四棱锥PA B C D中，侧 面 为 等 腰 直 角 三 角 形，8 C_ L平面PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=5(1)求证：PA L平面PB C；(2)求直线PC与平面P A D所成的角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足

10、；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作123456鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.2.C【解析】求导，先求出“X）在x e（0,&）单增，在x e（&,+8）单减，且/（初 侬=/（&）=；知 设/（力=，则方程91（X）-矿（幻+G=0有4个不同的实数根等价于方程o71 1/一加,+=0在（0,）上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.8 2【详解】依题意，二,、

11、/（%）=X2-2xenxx(1-2 I n x),令/(刈=0,解得l n x =g,x=&，故当%(),)时，/(工)0,当G(G,+Q O),/r(x)0用-1)o0 r,+r2 2 1 nm 021 根 1 C-1 08 2 4Q m解 得m e故选：C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法:构造法：构造函数g(x)(g(x)易求，g(x)=O可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、(2)定理法:极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解;先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研

12、究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.3.A【解析】详解：由题意知，题干中所给的是梯头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形故俯视图为故 选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。4.A【解析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.【详解】由,p =S阴 =T-i-e-r-2；a2-=n-1-,.万=4.+2n./4/4故选：A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.5.D【解析】求解不等式，得到集合A,B,利用交集、补集运

13、算即得解【详解】由于log2(4-x)1 2 x0.x5故集合 B =(T,3)U(5,+oo)/.4 8)c|A =3,4)故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6.A【解析】由 余 弦 定 理 可 得/+/_ =7,结合2a=人+1可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，J a2+b2-2 a b c o s C a2+b2-a h,由，XU解得仁，所以，sM B C=-a/?sinC=-x2x3x =.222 2故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7.A【解析】

14、4 1根据指数型函数所过的定点，确定k=l,b=2,再根据条件加+=2,利用基本不等式求一+一的最小值.m n【详解】,定 点 为(1,2),k=1,/?=2,.m+n=24 1 14 1 z、1.初 4、9I 二 一(I)(m+n)=(5+I-).m n 2 m n 2 n m 2nq 4n当 且 仅 当 一=一时等号成立，n m4 2 9即/=,=时取得最小值一.3 3 2故选：A【点 睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.8.C【解 析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详 解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项

15、不是三棱柱展开图.故选：C【点 睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.9.D【解 析】由等差数列的性质可知q +%=4 +%,进而代入等差数列的前“项和的公式即可.【详 解】,Q 9(6+为)9 +4)9 x(-2+1 0).由题,$9 =上=-=3 6.故选:D【点 睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.1 0.C【解 析】从频率分布直方图可 知，用 水 量 超 过1 5m 3的住户的频率为(0.05+0.01)x 5=0.3,即分层 抽 样 的50户 中 有0.3x 50=1 5户住户的用水量超过1 5立方米所以小区内用水量超过1 5立方米的住户户数为I I x 2

16、00=60,故选C1 1.C【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由丫二丑囱目的图象沿x轴向左平移1 个单位而得到，因为 =辿 鼠 区 为x x奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据x 0 时函数值，排除5,即可得解.【详解】.y =*：出 的定义域为 x|XH -1 ,其图象可由y =59区的图象沿X轴向左平移1 个单位而得到，X.y=51og3|x|为奇函数,图象关于原点对称，X.y =51嗝 1的图象关于点(-1,0)成中心对称.x+1可排除A、。项.当x()时，y=5些|-+l|0,项不正确.x +1故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根

17、据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.1 2.C【解析】由于在复平面内点Z的 坐 标 为 所 以 z =-l +i,然后将z =-l +i 代入 化简后可找到其对应的点.z【详解】由z =l +i,所以=一=i(-l i)=l-i,对应点G.z -1 +z故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.2x+y 2,0【解析】依题意，将点尸(1,0)的坐标代入曲线C 的方程中，解得a =1.由)，=-/+X,得；/=_ 3/+1,则曲线c在点P处切线的斜率尢=了k=2,

18、所以在点尸处的切线方程是y =-2(x l),即2 x+y-2 =0.1 4.1【解析】由已知数列递推式可得数列 a,是 以 16为首项，以g为公比的等比数列，再由等比数列的前八项和公式求解.【详解】由 an+=3 2,得 2%=32,:,ax=1 6.且%-I +5.1 =32(.2),则 an-a“-i +sn -S i =0，即 子=；(,2)s 1，数列仅“是 以 1 6为首项，以;为公比的等比数列，1 6(1-。则 Ss=点 一=31.故答案为：1.【点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.1 5.正【解析】由已知可得到圆锥的底面半径

19、，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为r,体积为V,半球的体积为匕，水(小圆锥)的体积为匕，如图B则 O A=r,O C =l,O3=2,BE=，所以 E D =q,2x r =/7+4x l 解 得 尸=，所以 V =万/x 2=3 乃，V.=7 T,V2=7 rx()2 x h=Trh3,3 9 1 3 2 3 2 9Q 9 1由v =K+%,得 x万=z乃+工乃川,解得=也.9 3 9故答案为：啦【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.因为(a +%)+(一。)二 ，以a +J e (兀,=)

20、，所以o 6c o s(a +)=-【解析】所以3-a =；-(a +?).因为a e(O,兀)，所以a +J eG，?),X s i n(a +)=-i/2三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)结合基本不等式，石 4色 史,痴 4竺,疝 4 2 可证明；2 2 24I4 4(2)利用基本不等式得 +(3a+1)22 一 3a+1)=4,即-3-3 a,同理得其他两个式子，三式相3a +l V 3t z +1 3a +l加可证结论.【详解】，-、.l,a+b r._ _ b+c i-.c+a(1).y cib 4-,l

21、be W-,yjCQ W-,2 2 2+b+c=a +/?+c +2,ab+2 J be+2yl caW (a +b +c)+(a +b)+(b +c)+(c+a)=3,当且仅当 a=b=c 等号成立，*a+4b+/3;(2)由基本不等式-+(3。+1)22J 一(3a+l)=4,3。+1 ，3Q+143(2+12 3 3。94同理-3-3Z?,3b+l-2 3-3c f3c+14(i+1 +一)9-3(a+b+c)=6,当且仅当 a=b=c 等号成立3a+1 3b+1 3c+1-1-1-.3a+l 3+1 3c+l 2【点睛】本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立.解题关键是发

22、现基本不等式的形式，方法是综合法.18.(I)。“=2；(II)4953【解析】(I)递推公式变形为(4用+%)(4用-2a“)=0,由数列是正项数列，得到a,M=2a“，根据数列是等比数列求通项公式；(U),=lg(log2)=lgn,根据新定义和对数的运算分类讨论数列也 的通项公式，并求前2020项和.【详解】(I),:=+1，二 a,-4+4 2。；=0，：.(%+4)(%+2%)=0an an+又T数列 的各项都为正数，：.an+l-2an=0,即an+l=2an.二数列?是以2 为首项，2 为公比的等比数列，.a,=2.0,1 /?10(n)R=lg(lo g M)=lg,.心=2,

23、100 1000，eN*.3,1000 /7 0).；(H)证明见解析；(III)地 叵.20 16 20 16-3【解析】.cr+-Z八r =346 解得(1)由6(2,0),居(一6,0),可 得*2=*,解出即可；a-b =4b(II)设点A(玉，x),3(w，%),M(%,%),设直线/:y =(x M)，与椭圆方程联立可得：2x2-2/m:+(/n2-a2)=0,利用/0,根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；2 2(HI)由(I)知，曲 线 京+汽=1(为0),且工(6,0),设直线4的方程为：x =y +6(0),与椭圆方程联立可得：(5 +4 n2)y2+4 8/t-+6 4

24、 =0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，即可求解.【详解】(1)由题意：；6(2,0),月(一6,0),a2=20尸=1 6 2 2 2 2则曲线的方程为：H+?=1(必,0)和1 l(y 0).20 1 6 20 1 6(II)证明：由题意曲线C 2的渐近线为：y=+-x,ab设直线/：y =(x 机)，aby=-(x-m)则联立，“，得22-2氏+(疗一4)=0,官+正，A =4加 -8(工 0,解得：加 ，又由数形结合知a,m 0),二联立x=+6y2，得：（5+4/22）+48 y+64=0,120 16A=（48）2 4 X 64 X（5+42）

25、o=2,设。（七,）,。,%）,48 64,%+%=-7 7大y3y4=77力 5+4几 5+4II （2-165/5 jn-1.|%一%|二4为+乂）-4%=-3，ACDF面积 S=3式用加 _ y=6475 x H,21 1 211 3 41 2 5+4 5+4/令/=J 4 -1 0，-=厂 +1，c_ 6475/_ 64/5 16石丁4rH_当且仅当r=3,即=巫 时 等 号 成 立，所以ACZ)耳面积的最大值为竺好.2 2 3【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理论证能力与运算求解能力，属于

26、难题.20.(1)(o,-3U4,+oo)；(2)-2,2.【解析】2.x+1,X,1(1)对x范围分类整理得：/(x)=3,-lx2，分类解不等式/(x)2 7即可.2x-l,x.2(2)利用已知转化为“当xe 0,2时，|x+a|x+2a|,2”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：x+a-x +2a|a ,问题得解.【详 解】2x+1,x,1当“=时，/(x)=3,-1 x 2,2x-l,x.2当xW l时，由/(x)N 7得 一2 x+1 2 7,解 得xW 3；当T x 7的 解 集 为(9,-3 U 4,E)(2)/*),|x-4|+|x+2 a|的解集包含 0,2等 价 于|x+a

27、|-|x+2 a|,|x一4|一次一2|在 0,2上恒成立，当x e 0,2时，|x+a|x+2a|”|x-4|x 2|=2等 价 于(|x+a|x+2a|)1 1 1 ax”2恒 成 立，而|工+。|-|%+2。|,|*+。)-(+2。)|=|。|,，,区2,故满足条件的。的取值范围是-2,2【点 睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题.21.(1)证明见解析；(2)正.6【解 析】c2 1(1)利 用 一=-a b s i n C,利用正弦定理，化 简 即 可 证 明tan C=sin Asin 82cosC 2(2)利 用(

28、1),得 到 当。=工 时，sinAsinB=3,6 3得出 cos(4+8)=-cosC=-c o s-,得出 cos A cos 8=,6 2 6然 后 可 得cos(A-B)【详 解】c2 1证 明：(1)据 题 意，得一一=-a b s i n C,2 cos C 2：c2=absin C cos C，：sin2 C=sin Asin Bsin Ceos C.又 C （0,）,:.sin C=sin Asin Bcos C,:.tanC=sin AsinB.解：（2）由（1）求解知，tan C=sin Asin工当 C=f 时，sin Asin B=-6 3又 cos（A+B）=cos

29、C=-cosX=-g6 2&：cos Acos B-sin Asin B=-,2.V3 COS A COS D-，6:.c os=cos A cos 3+sin A sin B石G=-1-6 3-6 ,【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题22.（1）见 解 析（2）旦9【解析】（1）根据8 C J _平面2钻，利 用 线 面 垂 直 的 定 义 可 得2 4,再 由 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证出.（2）取AB的中点。，连接O P,。，以。为坐标原点，。,。氏。分别为苍乂2正半轴建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面PAD的一个法向量，利用空间向量法即可求

30、解.【详解】（1）因为3 C_L平面平面R L B,所以3C_LQ4由AEAB为等腰直角三角形，所以Q4J.Q3又 P B c B C=B,故 P4_L 平面 Q4B.（2）取AB的中点。，连接0P,。，因为 PA=PJB,AJD=B D,所以 PO，A8,OO_LAB因为8CL平面B45,所以W平面A8CD所以 P 0，平面 ABCD,P 010D,如图，以。为坐标原点，。,。8,。尸分别为%2正半轴建立空间直角坐标系。-型,则 AO=3O=PO=1,D O =ylAD2-A O2=2,又BC_L AB,。，尸A,所以O D!/B C且。=BC,于是P（0,0,l）,A（0,-l,0）,D（2,0,0）,C（2,l,0）PC=（2,1,-1）,AP=（0,l,l）,AD=（2,1,0）,设平面尸AZ）的法向量为=（x,y,z）,则n-AP=y+z=0 _n-AD=2 x+y=0令x=l得平面PAD的一个法向量=（1,一2,2）设直线尸C与平面PAO所成的角为。，则 sina=|cos/PC,rt|=含 二=-i=造川 、/I 附 卜“V6.3 9【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.