2021-2022学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题一、单选题1.正“3 C的边长为1,则 方 就=（）_1 _V 3 gA.2 B.2 C.21D.2D【分析】根据数量积公式，展开求值，即可得答案.A B A C=U s|-U c|co s J =I xlx co s 60 =【详解】由题意得 Il l i 2故选：D2.下列区间中,A.吗7T/（x）=2si n（x）函数 6单调递减的是（3%（兀，丁）C.2D./3兀仁、（彳,2兀）B.1)C【分析】先求出函数的递减区间，然后逐个分析判断即可7 C _ .T C 3冗 _ ._-F 2k7 T X-4-F Z kjT、4 Z【详解】由

2、2 6 2，得+2k兀 x 5 a +b B.a +2/3b c 2a +b D y/3a +2bA【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，则 a=(50 cos 60,50 sin 60)=(25,255/3),c=(0,200),ft=(100cos 150,100sin 150)=(-5073,50),0=25x-50岛由 c=xa+yb 可得1200=25/Jx+50y,解得x=2/i,y=l,所以 c=2,3 a+6 ,故选：A6.已知4 8 两地的距离为10km,B,C 两地的距离为20km,且测得点8 对点力

3、和点 C 的张角为120。，则点8 到 NC的距离为()km.2 0 4 10万 20 Vli 10币A.7 B.7 C.7 D.7B【分析】由余弦定理求出月C,再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC-=AB+BC2-2 AB-BCcosl20=102+202-2 x l0 x 2 0 x(-1)=700即 zc=ioJ7,SA,=-A B B C sm nO =-AC-h所以 2 2,h_-8 8。sin 120 _ 100百 _ 10历解得 A C io4 7.故选：B2百 sin 700-百 sin 10 _7.计算：cos 100()A.1B.2C.3D.4c【分析】根据两角

4、差的正弦公式化简求解即可.【详解】也 2 百 sin 70。6 sin 0。2 百 sin（60。+10）-百 sin 0。器%cos 0。+万 sm 0。）-括 sm 1 0。cos 10 cos 10 cos 10_ 3cos 10 _ 3cos 10,故选：C8.斜三棱柱蜴G 中，侧面8 8/G C 的面积为S,侧棱/小到侧面8 8/G C 的距离为。，则该斜三棱柱的体积为（）Sa Sa A.6 B.3 C.2 D.SaC【分析】斜三棱柱补形为平行六面体，求平行六面体的体积即可得解.【详解】在斜三棱柱 s c-4 4 G 的一侧补上一个三棱柱 c o-4 G,使之成为一个平行六面体如图,

5、一y Q、显然，它的体积为”=a S,所以斜三棱柱 8 C-4 8 c 的体积为2 2、.故选：C二、多选题9.高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作.在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（）A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行AC【分析】对直线/与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线/垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平交，则该直线与平面内的直线的位置关

6、系：相交或异面；理解判断.【详解】根据题意可得：对直线/与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线/垂直，A 正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面C 正确；B、D 错误；故选：AC.1 0.在下列对A/B C 的描述中，能判定A/BC 是直角三角形的是()-2A.sin2/=sin28 B.A C A B A CC.A(1,1),B(3,-2),C(4,3)D./BC 为正方体的某个截面BC【分析】对于A：sin2Z=sin28可得2N=2

7、8或 2/+28=兀，分析得4/B C 是等腰三角形或直角三角形；对于B：整理可得。十 一 )=,利用向量减法得就至=,即 刀,而；对于c：利用两点间距离公式求三边长度为：A B =3,A C=3,B C=4 26 再根据勾股定理说明；对于D：正方体的截面有：三角形、四边形、五边形和六边形，其中三角形有：等边三角形、等腰三角形和锐角三角形，没有直角三角形.【详解】sin 2J=sin2 ,则24=28或 2/+28=兀A +B =-即4=8 或 2,则A/B C 是等腰三角形或直角三角形，A 错误；A C.A B =A C2,则万.西-司.-.A C CB =0,即 就!瓦，则2U8C是直角三

8、角形，B 正确；A(1,1),B(3,-2),C(4,3),则 网=历|/=屈,忸 牛 商.Z8+。=忸。，则/B C 是直角三角形，C 正确；正方体的截面有：三角形、四边形、五边形和六边形，其中三角形有：等边三角形、等腰三角形和锐角三角形，没有直角三角形，D 错误；故选：B C.1 1.t a n 7 5=()，l +c o s l 5 0。s i n 1 5 0 A.2 +G B.v 1-c o s 1 5 0 c.1 +c o s 1 5 0 Dt a n 2 5 t a n 3 5 t a n 8 5 A C D【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A,由正切半角公式判断

9、【详解】3 ，故 A正确;B C,由 t a n (6 0 -a)t a n(6 0 0 +a)t a n a =t a n 3 a,令 a =25 即可判断出 D.。一+3t a n 7 5 =t a n(4 5 0 +3 0)=必 +tan 3()=%=2 +7 31-t a n 4 5 t a n 3 0 6/l-c o s l 5 0 t a n 7 5 =J-由正切的半角公式知 V l +c o s l 5 0 0,故B错误;t a n 7_5_0o =-s-i n-7 5-=-2-s i-n-7-5-；-c o-s-7 5-=-s i-n-1 5-0-c o s 7 5 2 c o

10、 s 7 5 l +c o s l 5 0 ,故 C 正确；,t a n(6 0-a)t a n(6 0 +a)t a n a =t a n 3 a ,令&=2 5,得 t a n 7 5=t a n 2 5 t a n 3 5ot a n 8 5 0 ,可得D正确.故选：A C D.1 2.棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为a,两相邻侧面所成的二面角大小为小不相邻两侧面所成的二面角大小为y,则（）A.p=2a B.y=2a C.p+y=7tD.c o s2a+c o s =0A C D【分析】在正四棱锥中分别找到或作出生/，？，求出三角函数值，利用三角函数值判断它们的关系即可

11、.【详解】设正四棱锥的棱长为2,连接相交于,取/民P R B C,/。的中点分别为E,F,M,N,连接P E,E。,M N,A F,C F,F O,如图p由棱长都相等正四棱锥可知，尸，平面”8C。，P ELAB,EO 1AB tA F L P D,C F L P D,所以NPEO=a,FC=。CF=AF=PE=2x =y/3,PO=/2,OC=s/2又2,OE=1,历 0 0 c y/2 41/r 8tana=V2 1211不=奇=1=方 彳=&a =P _故 i,2 J P O-P F V2-1，所以 2,即夕=2 a,故A正确：由对称性知，不相邻的侧面所成角为侧面4 8 与面PMN所成角的

12、2 倍，c o sY OP 2 V 1故 72 =PE G7 =3,所 以co,s/=2cos-2-1=-3,t.any=2C j/2T,tan2a=女3 =-2&而 1-tan%,故7=2 ,故B错误；因为tan/?=tan2a=-2&,tany=2应，所以？+/=%故 C 正确；cos2 a=-cos2 a+cos B=cos2 a+cos 2a=3 cos2 a-=3 x-l=0因为 3,所以 3,故D正确.故选：ACD三、填空题.乃 7 1sin-cos=1 3.求值：8 8.V24【分析】根据二倍角的正弦公式逆用，计算即可得答案.乃 71 I .71 V2sm-cos=sin 2x=

13、sm=【详解】由题 意 得8 8 2 I 8)2 4 4.也故 414.请写出一个定义域为R,周 期 为 兀 的 偶 函 数./(x)=cos2x(不唯一)【分析】根据三角函数的性质即可求解.7=如=兀【详解】根据三角函数的性质，函数x)=cos2x周期为R,周期为 2，符合要求.故f(x)=cos2x(不唯一)15.一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24%的球面上，则该四面体的体积为6母3 夜3 3【分析】设正四面体的棱长为“，外接球半径为R,画出正四面体的图形，则在RtZXOBM中，由0.2 +82=0 8 2,可求出0,从而可求出该四面体的体积【详解】设正四面体的棱长为。，外接球半径

14、为尺,如图正四面体Z8CO中，E 为8的中点，M 为8CO的中心，连接则平面8 C O,。为正四面体4 8 c o 外接球的球心，连接 6,2 2 V3 V3则 3 3 2 3,AM=J AB?BM?=.la2 a2=-a所以 193,因为正面体外接球的表面积为24乃，所以4乃 2=2 4，得氏=逐,所以 2 0 =08=A/6,所以0M=AM-O A=在 RtZXOBM 中，0M2+B M 2=0B2,则I 3 J I 3 J,解得。=4 或。=0(舍去),-5 BCD-4M =-x -x 42 x -x 4 =-V2所以该四面体的体积为3 3 4 3 31672故3四、双空题1 6.已知腰

15、长为2拒的等腰直角 月 B C,现沿斜边8 c 上的高力。翻折，使得二面角B-AD-C的大小为60。，则点B到AC的距离为.；异面直线Z 8 与 C）所成角的余弦值为里 雨脸 五【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高，根据向量法求异面直线所成角的余弦即可.【详解】如图，图图中，由题意，4 B =A C =2插，N B A C =90,所以 8C=280=CD=4因为8 c A D,CD 1 AD,所 以 为 二 面 角B AD C的平面角,即N8Z)C=60。，所以图中8 c =2,设点8 到 4 c 的距离为我I B C,2x77 714B C-.A B2-()

16、2=A C-h h=-3=-=由三角形面积可知 V 2，即 2V2 2.设异面直线AB与C D所成角为,:AB=AD+DB,AD VDB,AD VDC AB,CD=(AD+DB)CD=DB-CD=2x2xcosl20。=-2廊.西 2 0cos 0=_ 1.=-f=|J S|CZ)|2V2x2 4714 V2故 2；4.五、解答题1 7.已知平面直角坐标系中，向量,=(1，-2)1=(-3,4).(1)若 行(，),且同=2,求向量，的坐标;(2)若值与G+4否 的 夹 角 为,求实数2的取值范围.请在锐角；钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答.(。，2)或(0，-2)(

17、co,0)u f 0,|(2)若选锐角，2的取值范围为 I I1人 若选钝角，2的取值范围为【分析】(1)设c=(x j),先求得才+书 坐标，根据向量平行的坐标关系，可得x值,根据求模公式，可得y值，即可得答案.(2)先求得1+花坐标，求 得 与 共线时的2值，若选锐角，则啖+泥)0,即可得人范围；若选钝角，则 啖+4),即可得彳范围.【详解】设)=(2),由题意得3+=(0,-2),E“c/(ia+b因为、人所以-2-x=0 j,解得x=0,又同=2,所以&+/=|小2,解得了=2,所以向量 的坐标为3 2)或(0,-2)(2)a+b=(1 34,2+4/1)当。与2+与 共 线 时,lx

18、(-2+42)=(1-32)x(-2),解得/=(),若选锐角，则+0)力(心)+(-2)2 +43。Z 解得“，所以若五与5+万的夹角为锐角时，力的取值范围为(一 8,0)D(o 3若选择钝角，贝 10叫 W)+(-2)x(_2+M 解得“，所以若a 与a+把的夹角为钝角时，7 的取值范围为Asin a +cos a1 8.已知 sina-cosa(1)求 cos2a的值；IT3 ae(0,-)sin(a-/3)=-(2)若 7 10.作(0百且 2,求角人_ 3(1)5；71(2)4.【分析】(1)根据条件由同角三角函数的基本关系求出t a n a,再由二倍角的余弦公式转化为正切化简求值:

19、(2)利用角的变换#=&-9-夕)及两角差的正弦公式求解即可.sin a+cos a.-=3【详解】(1)由 sina cosa 可得 sina+cosa=3sina 3cosa,gp tan a =2_ cos2 a-s in2 a 1 -tan2 a 1-4 3/.cos la =；-=-=-=cos*a +sin a 1 +tan a 1 +4 5.“(0百 匹(0,9 2.2,-y -/?y v sin(a-)=-y-cos(a 一 夕)=n2 275 1 75 a e(0,)-sm a-f=,cos a =-f=由 知 tana=2,2,0,0,7 T 7 T(O B C B E=(

20、2,A)(6,-A)=12-A2=O 解得Z=2 行，C 8 E =(6,-N (4,-2 4)=2 4 +2 1 HO综上，/=2 或 4 =2 6.2 1.某景区的平面示意图为如图的五边形N 8 C D E,其中8 ),8 E 为景区内的乘车观光游览路线，ED,DC,CB,B A,NE是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：4 8 8=13 5 ,乙 B 4 E=120,80=3 0 ,CD=3近,D E=8,且3cos N DB E=5(1)求 3E的长度；(2)景区拟规划/B E 区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域 Z8 E 面积最大,并求此最大值.(1)10_

21、10 7 3(2)当步行观光旅游路线 一 一 3 时，种植区域 N 8 E 面积最大，且最大值为2 5 立3【分析】(1)在 80中，根据正弦定理，可得8。的长，在中，根据余弦定理，即可得答案.A B x A E 2ABxAE,ABxAE 所以3,D_“J O 百AD=AE=-当且仅当 3时等号成立，c1 .D.r/DAT?253S=xABxAExsm/BAE=-此时ABE面积最大值 2 3g _ 1073所以当步行观光旅游路线 一 一 3时，种植区域Z8E面积最大，且最大值为25后32 2.如图，在四棱锥尸一 45CD中，PB=PD,PAA.PC,M,N分别为P/,8 c的中点底面四边形49

22、CL)是边长为2的菱形，且ZD48=6O。，NC交8。于点0.A 求证：MMI平面PC。；C 1COS U=-(2)二面角B-P C-D的平面角为仇若 7.求 尸工与 底 面 所 成 角 的 大 小；求点N到平面CDP的距离.(1)证明见解析；叵60。.【分析】(1)取尸。得中点E,连接ME,C E,证明M0 E C,然后证明N平面P C D；(2)作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出BF,PC,再由条件可证明所求线面角为/P/C,利用直角三角形求大小即可；由 ON平面尸/c 转化为求。到平面距离，作出垂线段，利用等积法求解即可.【详解】(1)取 PO 得中点E,连接ME,C E,如图，

23、P:.N C/A D,N C=-A D为8 c 的 中 点 且 四 边 形 为 菱 形，2.N C M E,N C =ME，二四边形MNC E为平行四边形，M N/EC又 W 平面P CD,CEU平面P CD,MV|平面 P CD.连 接 PO，过 8 作 8尸,PC 于尸，连接D F，0 F ,由 PB=PD,。是2。的中点，P O L B D,由菱形 4 8 8 知 H C J.B D,又 POC 4c=。，：.B D 1 平面 P 4 C,8 O u 平面/8C O,.平面P/C L 平 面 且 交 线 为/C,1直线P A在平面Z8CD上的射影为AC,即P A与底面ABCD所成角为4

24、4 c.和_1平面/。，B F P C,且 在 平 面 P/C 上的射影为OF,O F 1 P C ,又 H I P C,，O F/P/,是 8。的中点，,/7 是 PC 的中点，P B =B C=2,由的Cm D P C 知,D F 工 PC,B F=D F ,/B F D为二面角B-PC-D的平面角，D1 ZB D2=B F2+D F2 2B F D FcosN B F D =2B F2+-B F2=B F27 74=5F2 BF2=-:.PC=2FC=222-Z=3即 7,解得 4,V 4/.sin NP/CPC PCAC 2AO3 _ V3v 00 ZPJC 90,.1 ZPJC=60,即PA与底面ABCD所成角的大小为60.连接 N,过。作G_LED于G,由 ON/CD,ON ,平面 PC7)点N到平面CDP的距离即点 到平面CDP的距离，BF PC,DF PC,BFCDF=F fPC工平面D,.平面PCD 1平面BDF，且。尸是交线,OG FD,/.OG，平面 PCD,OF=DF=在 Rt。尸。中，2,。=1,2,由 等 积 法 可 得=,G ,5/21OG=-即 7历即点N到平面CAP的距离为7