2022年河南省方城县九年级中招模拟考试一（一模）数学试题（解析版）.pdf

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1、2022年中招模拟考试（一）数学试卷一、选择题（每小题3 分，共 30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.-工的相反数是（）2A.2 B.2 C.-D.工22【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0 即可求解.【详解】解：因为-3+!=0，所 以 的 相 反 数 是 g .故选：D.【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键.2 .下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）【答案】B【解析】【详解】分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析.详解：四棱锥的主视图与俯视图不同.故选B U点

2、睛：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表示在三视图中.3 .某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 9 4 m,用科学记数法表示这个数是（）A.9.4 x l 0-7m B.9.4 x l 07m C.9.4 x l 0-8m D.9.4 x I O m【答案】A【解析】【详解】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a x l(y n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数暴，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定0.000 000 9 4=9.4 x 10-7.故选A.4.下列运算正确的是()A.a-2

3、a a B.(-4%)-a(b2C.(a+b f =a2+b2 D.6,xa【答案】B【解析】【分析】根据同类项的合并、幕的运算法则、完全平方公式、二次根式的乘法法则即可完成.【详解】A、a-2 a =-aa,故运算错误；B、(-a3b)2=a6b1,故运算正确；C、+=a2+2a b +b2 a2+b2,故运算错误；D、-/2 x V 6 y 2 2 /3 ,故运算错误；故选：B.【点睛】本题考查了同类项的合并、幕的运算法则、完全平方公式、二次根式的乘法法则等法则与公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.5.如图，直线。匕，ACL AB,ZC交直线力于点C,小=5 2。，则口2 等 于()B

4、.3 2 C.3 0D.3 8【答案】D【解析】【分析】由直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可求出/2 的度数.详解】V AC AB,：.ZBAC=90,Z l=52,/.ZB=90-Zl=38,:ab,.Z2=Z5=380,故 D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等是解答的关键.6.若关于x 的一元二次方程3 l)V 2x+2=0 有实数根，则整数。的最大值为()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可求解.【详解】解：.一元二次方程(a

5、l)Y-2x+2=0 有实数根，,3Z?2-4 a c=(-2)-4 x 2(a-l)0,解得Y a取最大整数且，a=0；故选B【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.7.如图，在口/8。中，按以下步骤作图：以点A 为圆心，的长为半径作弧，交A O 于点E;分别以点S.E 为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两 弧 在 。的内2部交于点G,连接A G 并延长交8 c 于点F.若 AB=5,BE=6,则 A尸的长是()/E DBGFCA.4 B.6 C.8 D.10【答案】c【解析】【分析】如图，设A尸 交 防 于 点。，连接E E,证明四

6、边形A5EE，由菱形的性质得出B E A F，OB=OE=、BE=3,A/=2A O,然后由勾股定理得出2AO 7 A B -OB。即可【详解】解：设4 F交 的 于 点。，连接由作图知：AB=AE,ZBAF=ZEAF,V四边形A5CO是平行四边形，；AD/BC,；NAF=ZAFB，ZBAF=ZAFB.AB=BF=AE，四边形ABFE是平行四边形，又 AB=AE，四边形A6FE是菱形，又：A3=5,BE-6,A AF=2OA2OF,OB=OE=LBE=3,B E 1A F，2在 放AABO 中，ZAOB=90,AO=V AB2 OB1 A/52-32=4，AF=2OA=8.故选：C【点睛】本题

7、考查作图一复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，勾股定理等知识.证明四边形A5正 是 菱形是解题的关键.8.在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为（)【答案】C【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解：分别用A、B、C、D 表示正方形、正五边形、正六边形、圆，其中正方形、正六边形、圆是中心对称图形，画树状图得：开始A B C D/1/N

8、 ZN/1B C D A C DA B DA B C.共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6 种情况，抽到卡片上印有 图案都是轴对称图形的概率为：4=-.12 2故选：C.【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.9.如图，一次函数丁=工+血 的 图 像 与 x 轴、y 轴分别交于点/、B,把直线A 3 绕点8 顺时针旋转30。交 x 轴于点C,则线段A C长 为（）C.2+73D.6

9、 +&【答案】A【解析】【分析】根据一次函数表达式求出点N和点8 坐标，得到0/8 为等腰直角三角形和的长，过点C 作 C O L Z 8,垂足为。，证明4 8 为等腰直角三角形，设 C Z /Z x,结合旋转的度数，用两种方法表示出8。，得到关于x 的方程，解之即可.【详解】解：；一次函数y=x+0的图像与x 轴、y 轴分别交于点4 B,令 x=0,贝 U尸 血,令尸0,则=一正，则 Z（-7 2，0）,B（0,V 2）,则ON8为等腰直角三角形，乙48。=45。，；.70+曲=2,过点C 作 CD_LZB,垂足为。，ZCAD=ZOAB=45,为等腰直角三角形，设 C Z4x,，心 y/AD

10、2+CD2 二 夜 x，:旋转,：.ZABC=30,：.BC=2CD=2x,.瓦”JBC 2 _ C 2=岳,又 BD=AB+AD=2+x,2+x=yfix,解得：行6+1,：.AC=y/2x=y/2（73+1）=/6+V 2，故选A.【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形.1 0.如图，平行四边形/B C D 中，对角线ZC、8。相交于点O,且 NC=6,BD=8,P 是对角线8。上任意一点，过点尸作E F IZ/C,与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设B

11、P=x,E F=y,则能大致表示y与x之间关系的图象为（)【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出BEFS/SB/C,再利用相似三角形的性质得出x的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当02时，BO 为/8 C 的中线，EF/AC,.8P为A8E/的中线，ABEFSB4C,BPEF,即x二=v2，解得y=3BO AC 4 6 2 3同理可得，当4烂8时，y=-（8-x）.故选4【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似二、填空题（每小题3 分，共 15分）1 1.比一3小3的数是.【答案】-6【解析】（分析根据有理数的减法法则即可完成计算.【详解】一3-3=6故答案

12、为：6【点睛】本题考查了有理数减法的应用，根据题意列出算式是关键.12.如图，D E为LM8C的中位线，点尸在D E上，且N/FB=90。，若Z8=6,B C=8,则EF=.【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出D E，根据直角三角形的性质求出。尸，据此计算即可.【详解】解：口。芯为M 8 C的中位线，QDE=BC=4,V ZAFB=90,。是N8 的中点，：.DF=AB=3,EF=DE-DF=4-3=1.故答案为：L【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.13.已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5,则这

13、组数据的中位数是.【答案】5【解析】【分析】根据平均数的定义先算出。的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数.【详解】解：；这组数据的平均数为5,E JO +4+5+6+7则-=5,解得：。=3,将这组数据从小到大重新排列为：3,4,5,6,7,观察数据可知最中间的数是5,则中位数是5.故答案为：5.【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.1 4.如图，在扇形CU8中，已知“108=90。，O A=O ,过 的 中 点 C 作 CDU04,CE O B,垂足

14、分别为。、E,则图中阴影部分的面积为7 T 答案】-12【解析】【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CZJOE是矩形，再根据AAS证明COD Z O E,根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 从 而 得 到 矩 形 CAOE是正方形,求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论.【详解】解：如图，连接0C,：CDLOA,CEVOB,二 Z CDO=Z CEO=ZA(95=90,四边形COOE是矩形，点C 是 A B 的中点，ZAOC=ZBOC,在COZ)与COE 中，Z.CDO=4 CEO,NAOC=NBOC,o c =o c：.COD J CO(AAS),O

15、D=OE,，矩形C C O E是正方形，：O C=O A=y/2，/.2 O E2=OC2=(V 2)O =l,图中阴影部分的面积=9 x(8)：=乃i3 6 0 27 T故答案为：-1.2【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键.1 5.如图，4 0 8=3 0。，0 4=4,。为。4的中点，点尸是射线0 8上的一个动点，连结AP,D P,将A 4 D P沿。尸折叠，折叠后得到4。以,，当。以 与Z O O P的重叠部分的面积恰好为4 O D P面积的一半时，0 P的长为一【答案】2或2 6#2#

16、或2【解析】【分析】分两种情况讨论：若为 与 力。交于点E连接。，易得SADFLS.ODL2 2S DP,即可得到。尸 =,。=。尸，P F=-A P=A F.从而可得四边形4 A P O是平行四边2 2形，即可得到O f。，从而可求出。尸；若D H与0 C交于点G,连接4 4，交。尸与H,如图，同理可得G P=O G,D G=-D A =,根据三角形中位线定理可得/4 2,此时点P2与点C重合，从而可求出0 P.【详解】解：若为 与为0 4交于点尸，连接。，如图.点。是 的 中 点,：.OD=AD=1.由折叠可得4。=/。=2,由题可得 SdDF产 SAOZV=SziD产 SAHOP,2 2

17、 2DF=-OD=OF,PF=-A P=A F.2 2/.四边形ADPO是平行四边形，：.OP=AD=2；若DT与8。交于点G,连接4 T,交DP与H,如图.B同理可得 GP=，OP=OG,DG=-DA=-2=.2 2 2OD=AD,I：.DG=-AP=,2：.AP=2,过点A作/C L 0 5于点C,：408=30。，OA=4,：.AC=2,.,.点P与点C重合，：.0P=0C=2 6.故答案为：2或2 G.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本

18、题的关键.三、解答题（本题共8题，满分75分）16.先化简，再求值：（彳-2+=尸+2*,其中I x+2J x+2x=(-2 0 2 2)-V 4+-、T【解析】【分析】根据分式的运算顺序进行：先算括号再算除法，最后约分即可化简；再求出工的值，并把X的值代入化简后的式子中即可求得值.、斗（c 3、x2+2 x+1【详解】解：X-2 +-k-I x+2 J x+2(x+2)(x-2)3x+2 x+2x+2X-7(x+l)-厂1 x+2-x-x+2 (x+1)(x+l)(x-l)x+2x+2-X(x+1)2x-1-x+T x=(-2 0 2 2)-V 4 +W=1-2+3 =2原式=马42 +13

19、【点睛】本题是分式的化简求值，考查了分式的混合运算，算术平方根的计算、零指数基、负整数指数基的意义，求代数式的值等知识，分式的化简及求得x的值是关键，分式运算注意运算顺序不能出错.1 7.某校有学生2 1 0 0人，在“文明我先行”的活动中，开设了“法律、礼仪、感恩、环保、互助五门校本课程，规定每位学生必须且只能选一门课程.为了解学生的报名意向，学校随机调查了 1 0 0名学生，并制成如下的统计表：课程类别法律礼仪环保感恩互助合计频数Sa2 7b1 51 0 0频率0.0 80.2 00.2 7m0.1 51.0 0（1）在这次调查活动中，学 校 采 取 的 调 查 方 式 是 （填“普查”或

20、 抽样调查”），表中的b=：（2）如果要画“校本课程报名意向扇形统计图”，那么“礼仪”类校本课程所对应的扇形圆心角应为多少度？（3）请估算该校2 1 0 0 名学生中选择“感恩”类校本课程的学生约有多少人.【答案】（1）抽样调查，3 0（2）“礼仪”类校本课程所对应的扇形圆心角应为7 2 度（3）该校2 1 0 0 名学生中选择“感恩”类校本课程的学生约有6 3 0 人【解析】【分析】（1）由题意即可知道调查方式；由统计表可求得，的值，由频数与频率的关系即可求得b的值；（2）由礼仪类的频率即可求得对应扇形圆心角的度数；（3）由（1）求得的，值，即选择“感恩”类校本课程所占的百分比，它与2 1

21、0 0 的积就是所要求的结果.【小 问 1 详解】由题意知，所进行的调查是抽样调查；由统计表知，/=1 -（0.0 8 +0.20+0.2 7 +0.1 5）=0.3 ,则 6=1 0 0 3=3 0故答案为：抽样调查，3 0【小问2详解】由表知，礼仪”类校本课程的频率为0.2,则 3 6 0 x 0.2=7 2 所 以“礼仪”类校本课程所对应的扇形圆心角应为7 2 度【小问3详解】由（1）知，加=0.3 =30%,则 2100X30%=630（人）即该校2 1 0 0 名学生中选择“感恩”类校本课程的学生约有6 3 0 人【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图中的扇形的圆心角，用样本的百分

22、比估计总体的数量等知识，借助表中的信息求出相关的数据是解答本题的关键.1 8.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场8,C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是4 1.6 m,此时从无人机测得广场。处的俯角为6 3。，他抬头仰视无人机时，仰角为a,若小星的身高B E =1.6 m,E 4 =5 0 m （点 在 同 一 平 面 内）.A-n-/V、63 ./、/、/a 、q B C（1）求仰角的正弦值；（2）求C两点之间的距离（结果精确到1 m）.（sin 63 0.89,cos 63 0.45,tan

23、63 1.96,sin 27 0.45,cos 27 0.89,tan 27 0.51）4【答案】（1）y;（2）B,C两点之间的距离约为51m.【解析】【分析】（1）如图，过4点作2 c于。，过E点作E/，/。于尸，利用四边形8 D F E为矩形得到 尸二口），=8 E=1.6 m,则/=4 0 m,然后根据正弦的定义求解；（2）先利用勾股定理计算出E F=30 m,再在E&4CD中利用正切的定义计算出C D,然后计算B O+C D即可.【详解】解：（1）如图，过/点作于。，过 点作E F L 4 9于F,A-n-Z：V63/:/:/：/II 、Ek q B D CV Z E B D=Z F

24、 D B=Z D F E=9 0Q,四边形BDFE为矩形,:,EF=BD,DF=BE=L 6 m,：.AF=AD-DF=4 l.6-1,6=4 0（m）,4/40 4 4在/4 77中，sinZAEF=-=,即 s ina=.AE 50 5 54答：仰角。的正弦值为二；（2）在用中，EF=（S O 2一 正=30 m,在/?，/(?)中，ZACD=6 3 ,ZD=4 1.6 m,AD,：ta n Z A C D=，CD.*.C Z=4 1,6 4-t an6 30 =4 1.6 4-1.9 6 21.22m,B C=B D+C D=3 0+21.22 g 51m.答：B,C两点之间的距离约为5

25、1m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.419.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =2的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y =A在第一象限内的图象相交于点B（m,2）,过点B作3 C y轴于点C .x（1）求反比例函数的解析式;（2）求A B C的面积.【答案】（1）y =9；（2）6x【解析】【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将8代入到一次函数解析式中，可以求得8点坐标，从而求得上，得到反比例函数解析式；（2）因为5C _L

26、y轴，所以C（0,2）,利用一次函数解析式可以求得它与V轴交点A的坐标（0,2）,由A,B,。三点坐标，可以求得AC和 的 长 度，并且3C 7/X轴，所以即可求解【详解】解：（1）：8点是直线与反比例函数交点，.8点坐标满足一次函数解析式，一 ITI 2=2,37 7 2 =3,B（3,2）,：.k=6f反比例函数的解析式为y =；x（2）轴,C（0,2）,8C7/X轴，:.BC=3,4令 x=0,则 丁 =一工一2 二 -2,3 A（0,-2）,AC 4，:.SZA4/iBo Ce =2 AC BC 6,.AABC的面积为6【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时

27、要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段.20.如图，是口。的直径，过 点/作 n。的切线并在其上取一点C,连接0C交口。于点D,8。的延长线交N C于 E,连接4 0.（1）求证：L I C A E 。；（2）若 4 B=2,AC=2y/2）求 ZE 的长.【答案】（1）证明见解析（2）7 2【解析】【分析】由 是 口。直径得到口/。8=9 0。，则有 归+口 9 0。，由/C为口。的切线得胡 +口。/=9 0,则口8=口 。，由于口8=口。8,Q O D B=J C D E,所以口8 二口口后，则力口上,则可得到口。后 口 口。；(2)在 RfU40C中，04=1,AC=

28、2y/2，由勾股定理可得 O C=3,则 C 3=O C-O O=2,由 CnnG4Z),根据相似比可计算出CE的长，从而可得4 E 的长.【详解】解：(1)力 8 是一。的直径，405=90。，B+BAD=90。，ZC为。的切线，JBAJAC,B心90。,即 口 54。+。力 E=90。,5=DG4L,0B=0D,口B=DODB,而ODB=UCDE,S=nCDE,rQCAD=JCDEf3ECD=UDCAy CDEDEICW；(2)QAB=2f 0Z=l,在出口/OC 中，A C=2y/2，0 C=L+A C2=3,UCD=OC-0D=3-1=2,CDEDDCD,C E=O .UAE=AC-C

29、E=yiB21.某商店分两次购进A E J8 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）AB第一次30403800第二次40303200 1）求 4 口 8两种商品每件的进价分别是多少元？2）商场决定工种商品以每件30 元出售，8种商品以每件10 0 元出售.为满足市场需求,需购进4 8两种商品共10 0 0 件，且 1 种商品的数量不少于8种商品数量的4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.【答案】（1）/种商品每件的进价为2 0 元，8 种商品每件的进价为80 元；（2）当购进/种商品80 0 件、8 种商品2 0 0

30、件时,销售利润最大，最大利润为1 2 0 0 0 元.【解析】【详解】试题分析：（1）设 A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w 元，则购进A种 商 品（1 0 0 0 -m）件，根据总利润=单件利润x 购进数量，即可得出w 与 m之间的函数关系式，由 A种商品的数量不少 于 B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题.试题解析：（1）设 A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，皿皿皿.

31、后（30 x+40y=3 8 0 0,后 fx=20,根据题意得：,解得：.40 x+30y=3200 y=80.答:A种商品每件的进价为2 0 元，B种商品每件的进价为80 元.（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w 元，则购进A种 商 品（1 0 0 0 -m）件，根据题意得：w=（3 0-2 0）（1 0 0 0 -m）+（1 0 0 -80）m=1 0 m+1 0 0 0 0.A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，1 0 0 0 -m 4 m,解得：m 0,口 w 的值随m的增大而增大，口当m=2 0 0 时，w 取最大值，最大值为1 0 x 2 0 0+1 0 0 0 0=1 2

32、 0 0 0,当购进A种商品80 0 件、B种商品2 0 0 件时，销售利润最大，最大利润为1 2 0 0 0 元.考点：一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式.2 2.2 0 2 2年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线C j y =一 一/+一 尤+1近似表示滑雪场地上的1 2 6一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线1 、C2:y=一一x+Z 7x +c 运动.y/米(1)当运动员运动到离A处的水平距

33、离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线G的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求。的取值范围.1 3 3 5【答案】（1）V =x H x +4；（2）1 2 米；（3）b N .8 2 2 4【解析】【分析】(1)根据题意可知：点A (0,4)点B (4,8),利用待定系数法代入抛物线1 ,C,：y =x +b x+c 即可求解；2 8(2)高度差为1米可得C=1可得方程，由此即可求解;7 C 1(3)由抛物线C/y =/+-工+

34、1可知坡顶坐标为(7,一)，此时即当尤=7时，运1 2 6 1 2动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即 丁 =-1*72+78+。之 处+3,由此8 1 2即可求出b的取值范围.【详解】解：(1)根据题意可知：点A (0,4),点B (4,8)代入抛物线1 .。2:y =+bx+c 得，c=4 +3,81235解得：b .24【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论

35、还原为实际问题.23.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.(1)口/8 c是边长为3的等边三角形，E是边/C上的一点，且4 E=1,小亮以8 E为边作等边三角形BEF,如 图(1)所 示.则CF的长为一.(直接写出结果，不说明理由)Fc图(2)E U3C是边长为3的等边三角形，E是边Z C上的一个动点，小亮以8 E为边作等边三角形B E F,如 图(2)所 示.在 点E从点C到点4的运动过程中，求点尸所经过的路径长.DDABC,口跳户都是等边三角形 BA=BC,BE=BF,a ABC=G EBF=6 0 J A B E+=D C B F+；Q Q A B E=Q C B FJ D A

36、B E Q a C B FJUBAE=a BCF=6 0又口Z BC=60 J Q B C F=U A B C ；当点E在 点/处 时，点尸与点C重合.当点E在点C处时，CF=CA.口口点F所 经 过 的 路 径 长 为.(3)1N 8 C是边长为3的等边三角形，/是 高CZ)上的一个动点，小亮以8/W为边作等边三角形5 MM如 图(3)所 示.在 点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长.(4)正 方 形 的 边 长 为3,E是边C 8上的一个动点，在点E从点C到点8的运动过程中，小亮以8 为顶点作正方形8EG”,其 中 点 凡 G 都在直线ZE上，如 图(4).当点E到达点8 时

37、，点 F，G,H与点、B重 合.则 点 所 经 过 的 路 径 长 为.(直接写出结果，不说明理由)【答案】(1)1 (2)DDCBE；DCBE；DCF；AB；D3(3)点 N 所经过的路径长为速23兀(4)4【解析】【分析】(1)证明/8 E 四C8月 则 C F=4E=1,问题即解决；(2)读懂每步推理的依据，即可完成；(3)取 8 c 的中点“，连结N H,证明UBCML B H N,则当点M 在点C 处时，NHDBC,K NH=CD,此时在直角/C。中即可求得8 的长，从而求得结果；(4)当E、8 不重合时，取 8 c 的 中 点 连 结 M?/,C H,可证台9 口口即/。，可得13

38、H、G、C 三点共线，可得的“=-8。=二；当点E 在 C 处时，M HOBC,所以可确2 2定点，所经过的路径，从而求得路径长.【小 问 1 详解】/5 C、都是等边三角形 BA=BC,BE=BF,DABC=nEBF=60 3ABE+ZEBC=-JCBF+/E B CUQABE=DCBF口 Z8E CBF：.CF=AE=故答案为：1【小问2 详解】当点E 不与点/重合时，如图，连结CR ABC、8E尸都是等边三角形口BA=BC,BE=BF,OABC=GEBF=60 OABE+ZEBC=CBF+ZEBCQOABE=QCBFQGABE3aCBFaQBAE=UBCF=60又 EM8C=60DQBC

39、F=QABCQCf/AB当点E在点/处时，点尸与点C重合.当点E在点C处时，CF=CA.点尸所经过的路径长为3.故答案为：QQEBC,DEBC；DCF,AB；口3【小问3详解】如图(3),取BC的中点“，连结ZW,N H,则8 H=；8C图(3)UUABC等边三角形，8口48/BC=60。，AB=BC,BD=-A B2aBD=BH.QBDH是等边三角形 8A/N是等边三角形由(2)知U80A/LBHN BHN=BDM=90即 NHDBC当点M在点。处时，点N与点，重合，当 点 初 点C处时，NHCBC,且NH=CD在心口/CD 中，口4=60。，AC=3 CL=/Csiivl=3xsin600

40、=3x =2 2所以点N所经过的路径长为史i.2【小问4详解】如图口，当点E不与点8重合时，取8 c的 中 点 连 结M”,C H图由四边形A B C D和四边形B F G H都是正方形:AB=BC,BF=BH,N A B C=/F B H=N B H G=90：./A B F=/C B H：.BFA UBH C 5E 4=D 5/C=9 0 8 G=9 0。、G、。三点共线 M H是直角丛B C H斜边上的中线1 3：.MH=-B C=-2 2当点E在C处时，如图口，MH DBC,3所以点所经过的路径长为：以点为圆心，半径为一，圆心角为9 0。2“9()-X 3此时弧长为：“兀2 a兀18 0 -3兀故答案为：4的弧【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算等知识；关键是正确寻找到点的运动路径，这是属于几何压轴题.