2022年中考数学压轴题型几何探索专题（含答案）.pdf

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1、2022年中考压轴题型(三)规律探索1.如图，在 RtZXABC中，ZACB=90,在 CB上截取C D=C A,连接A。，过 点 C 作 CE,4 3 于点E,交 A。于点F.(1)如 图 1,若。为 BC边的中点，且 CE=2,B E=4,求线段AO的长度；(2)如图2,过点C 作 CG_LAO于点G,延长CG交 A 8于点”，连接B G.若N1=N2,求证：CF+BH=2BG.(3)如图3,过 点 C 作 CGLAO于点G,把4GC绕 点 C 顺时针旋转，记旋转后的AGC为AG C,过点A 作直线AMG C 交直线A C 于点M,连接8 M.当4C=。8=加 时，直接写出线段8M 的最小

2、值.C4A E图12.数学课上，有这样一道探究题.如图，已知 4 8 C中，A B=A C=m,BC=n,ZBAC=a（0 a 的中点，设直线A P与直线E F相交所成的较小角为仇 探究旦2的值和。的度数与八小a的关系.AP请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：【问题发现】（1）小明研究了 a=6 0 时，如 图1,旦工=,0=；PA小红研究了 a=9 0 时，如图2,旦工=,0=；PA【类比探究】他们又共同研究了 a=1 2 0 时，如图3,也求出了旦2的值和B的度数；PA【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：里=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（用含根、的式子表

3、PA 一示）；P=（用含a的式子表示）.（2）求出a=1 2 0 时 毁 的 值 和0的度数.PAB3.（1）【探究发现】如 图1,正方形A B C D两条对角线相交于点0,正方形AiBiC iO与正方形ABC 的边长相等，在正方形4 B1 C 1 0绕点。旋转过程中，边04交边A B于点边0。交边BC于点M则线段B M、B N、A B之间满足的数量关系是.四边形0 M B N与正方形A B C D的面积关系是S mmOMBN=S正 方 形A B S；（2）【类比探究】如图2,若 将（1）中 的“正方形ABC。”改 为“含6 0 的菱形ABC。，即NBiO）i =/D 4 B=6 0 ,且菱形

4、OBiC iO与菱形4 8 c o的边长相等.当菱形OBiC id绕 点。旋转时，保持边。助 交边A B于点M,边。C i交边B C于点N.请猜想：线段B M、B N与A B之间的数量关系是；四边形0 M B N与菱形A B C D的面积关系是S四 边 形OMBN=S娜ABCD；请你证明其中的一个猜想.（3）【拓展延伸】如图 3,把（2）中的条件“/BiO i=/D 4 B=6 0 ”改为 u Z D A B=Z B 0 D i=an,其他条件不变，则 BM+BN=.（用含a的式子表示）BD 边形OMBN=_.（用含a的式子表示）S菱形ABC D图1图2图34.如 图 1,己知点G 在正方形A

5、BC。的对角线AC上，G E L B C,垂足为点E,G F 1 C D,垂足为点F.(1)证明与推断：求证：四边形CEG尸是正方形；推断：旭 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _.BE-(2)探究与证明：将正方形的CEGF绕点C 顺时针方向旋转a(0 a20A,4点 C 是 OB上一点，ZCAD=60,求 0 C 的长.图1图2图36.（1）【问题发现】如图，正方形A E F G的两边分别在正方形A B C D的边A B和A。上，连 接CF.填空：线段C F 与 D G的数量关系为；直线C F与D G所夹锐角的度数为.（2）【拓展探究】如图，将正方形A E F G绕点A逆时针旋转，

6、在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明.（3）【解决问题】如图，Z VI BC和 AOE都是等腰直角三角形，N 8 A C=N D 4 E=9 0 ,A 8=A C=1 0,O为A C的中点.若点Z）在 直 线 上运动，连接0 E,则在点。的运动过程中，线段0 E长的最小值为 （直接写出结果）.参考答案与试题解析1.如图，在 RtZXABC中，Z A C B=9 0Q,在 C3上截取C D=C 4,连接A Z),过 点 C 作 CE_LAB于点E,交 AD于点F.(1)如 图 1,若。为 8 c 边的中点，且 CE=2,B E=4,求线段AO的长度；(2)如图2,过点C

7、作 CGLA。于点G,延长C G 交 A B 于点H,连接B G.若N l=/2,求证：CF+BH=*B G.(3)如图3,过 点 C 作 CGJ_A。于 点 G,把AGC绕 点 C 顺时针旋转，记旋转后的4GC为4G C,过点A 作直线AMG C 交直线A C 于点M,连接当AC=加 时，直 接 写 出 线 段 的 最 小 值.A图1图2图3【分析】(1)根据勾股定理求出C 8,因。为 BC中点且C D=C 4,则可计算出CO和 CA,再利用勾股定理求出A D即可：(2)根据 A4S 证AG”丝C G F,得出 C2=Z)GA。，A D=C D,再证AO Bs4B D G,得出BD=CD,B

8、A=&8 G,再利用等量代换即可得证结论；(3)根据GCA M,得N4WC=NACG=45=Z C D A,即可得出何在以A 3 为直径,G 为圆心的圆上运动，即 当 例 在 BG上时，最小，证A D B M s A B N C,根据线段比例关系即可求得此时的BM.【解答】解：(1)：CE=2,B E=4,且 CE_LA8,*-C S=VCE2+BE2=V22+42=2，为 8C 的中点，.CD=ACB=V52在 RtZ4C 中，ZACB=90,C D=C A=r5,A Q=JcD 2K A 2=J(泥 产+(痛)2=折；(2)：AC=CD,且 CGJ_A。，：.AG=GC=GD,ZAGH=9

9、0,V Z 1 +Z CHE=ZDAB+Z CHE=90 ,又：NAGH=NCGF=90,AG=CG9：./AGH/CGF(A4S),:CF=AH,AD2=AC2+CD1=2CD2,GD=XAD,2C.CDDG-AD,AD=y/CD,：ZDAB=Z=Z2,S.ZADB=ZGDB,：.ADBsABDG,B D =D A=B A(,丽 B D B G，:.Ba=D GAD=C,：.BD=CD,:.型=也=近,B G C D：.BA=y2BG,:BA=BH+AH,AH=CF,:.BH+CF=BG；(3)：GC/AM,：.ZAMC=N4CG=45=NCDA,：.A.C、D、M四点共圆，M在以AO为直径

10、，G为圆心的圆上运动,.当M在3G上时，MB最 小,:AC=CD=近,：.AD2,：.AG=DG=,如图3,延长3G交圆G于N,连接CM DM,：.MN=AD=2,VZN+ZCDW=180,Z B D M+Z C D M=S O 0 ,N N=N B D M,又,：4DBM=4 D B M,:A DBMs A BN C,B M=B C,丽 丽 BM的 ,=:,V 2 B M+2即 8M8W+2）=&X2A/2.解得8知=遥-1或-遥-1 （舍去）,故线段8M 的最小值为遥-1.AA【点评】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，准确找出M点的运动轨迹和MB

11、最小时M点的位置是解题的关键.2.数学课上，有这样一道探究题.如图，已知ABC 中，A B=A C=m,B C=n,Z B A C=a(0 a180)，点 P 为平面内不与点A、C 重合的任意一点，连 接 C P,将线段C P绕点P 顺时针旋转a,得线段P D,连 接 C。、A P 点、E、F 分别为BC、C O 的中点，设直线A P与直线E尸相交所成的较小角为B，探究旦旦的值和0 的度数与机、a 的关系.A P请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：(1)填空：【问题发现】小明研究了 a=6 0 时，如 图 1,求出了2 2 的 值 和 p 的 度 数 分 别 为 里=1,0=PA PA

12、 -2 一60；小红研究了 a=9 0 时，如图2,求出了工上的值和0的度数分别为旦2=1 ，0 =PA PA 2 一4 5 ；【类比探究】他们又共同研究了 a=1 2 0 时，如图3,也求出了巫的值和p的度数；PA【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：变=旦 （用 含 机、n的式子表示）；0 =PA -2 m-1 8。i =NDAB=60,且菱形O B i C i。与菱形A B C。的边长相等.当菱形OBiCiDi绕 点。旋转时，保持边。囱 交边A B于点M,边0。交边8 c于点M请猜想：线段B M、B N与A B之间的数量关系是 B N+B M=LB；2四边形0 M B N与菱形A B

13、 C D的面积关系是S四 边 形OMBN=J _ S哪ABCD；-8 请你证明其中的一个猜想.（3）【拓展延伸】如图 3,把（2）中的条件“N 8 i O i =/D4 B=6 0 ”改为“/D4 B=/8 i 0 i =a，其他条件不变，则 辿 典 _=s i n乌；（用含a的式子表示）B D 2 一包型型吧=_工墟（用含0的式子表示）S 菱形 A B C D 2 2图1图2 图3【分析】(1)证明 A O M丝/SB O N (A SA),推出A M=8 N,可得结论；(2)猜想：BM+BN=1AB,S四 边 彩OMBN=2 S箜 形ABCD.如图2中，连接M N.将O B N2 8绕 点

14、。顺时针旋转6 0 得到 O H M,证明A H=H 8,可得结论；(3)如图3中，在A 8上取一点的H,连接O”，使得。=。8,证明O B N四O H例C A AS),推出“M=BM 可得BN+BM=BH,再利用BAQS A B OH,可得结论.【解答】解：(1)如 图1中，图1,/四边形ABCD是正方形，：.ACBD,ZOAB=ZOBC=45,OA=OB,：ZAiOCi=ZAOB=9Q,，ZAOM=NBON,在 4 O M和 B O N中，Z O A M=Z O B N 是菱形，/BiODi=NDAB=60,：.AABC=20,:NM0N+/MBN=180,：.O,M,B,N四点共圆，：.

15、/OMN=NOBN=60,V ZMON=60,.MON是等边三角形，：.0M=0N,将08V绕点0 顺时针旋转6 0 得到OHM,：OM=ON,ZOMB+ZONB=m0,边BN刚好落在AB上，即为MH,：.BM+BN=BH.：OB=OH,N BOH=60,：.4 0 B H是等边二角形，:BH=OB=1AB,2:.BM+BN=LAB,2,S 四边形 0M8N-S&OBH SOBA-2-S 菱形 A8C。.2 8故答案为：BM+BN=LAB,工；2 8(3)如图3中，在A 5上取一点的从 连接。/7,使 得0”=0 5,图3：OH=OB,：/O B H=/O H B,.N ABD=N AD B,

16、:N D A B=N B O H=a,:/B O H=/M O N=a,：.Z M O H=ZN O B,NM ON+NM BN=180,A ZO M B+ZO N B=180,V ZOM B+ZOM/7=180,：./O N B=/O M H,OBN之/O H M (AAS),:HM=BN,；BN+BM=BH,：B A D sB O H,.跑=强=5 2，DB AB 2，典 吟 展BD 2.5四边形O M E N _ A O B H _ 1-2 0.s i n S 菱形A B C D 2 SAABD 2 2故答案为：s i n-SL,A s i n2-1-.2 2 2【点评】本题属于四边形综

17、合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.4.如 图1,已知点G在正方形A 8 C O的对角线A C上，G E L B C,垂足为点E,GFCD,垂足为点F.(1)证明与推断：求证：四边形C EG F是正方形；推断：巡的值为BE(2)探究与证明：将正方形的C EG F绕 点C顺时针方向旋转a(0 a =9 0 可得四边形C E G F是矩形，再由N EC G=45 即可得证；由正方形性质知/C EG=N 8=9 0、Z EC G=45 ,据此可 得 空 死、GE/AB,利用平

18、行线分线段成比例定理可得;CE(2)连 接C G,只需证 4C G s/i 3C E即可得；(3)证明A H G sC H A,由相似三角 形 的 性 质 得 出 旭 型 _ 贺，设 BC=CD=ADA C A H C H=a,则 A C=&“，求出。的值，则可得出答案.【解答】解：(1)四边形ABCO是正方形，:./BC D=90,ZBCA=45,GEA.BC,GF LCD,：.ZCEG=NCFG=NEC尸=90,四边形 CEGF 是矩形，ZCGE=ZECG=45,：.EG=EC,二四边形CEG尸是正方形；由知四边形CEGF是正方形,；.N C E G=/B=90,ZECG=45,里班,GE

19、/AB,C E:出望地,B E C E故答案为：n；(2)连 接 CG,由旋转性质知NBCE=/A C G=a,在 RtA CEG 和 RtZXCBA 中，=cos45=返、=cos45=返,C G 2 C A 2 C G C A 用.ACGs/SBCE,二线段AG与 BE之间的数量关系为A G=JB E；(3)由(2)知BCEs/ACG,./AGC=N8EC=135,V ZCGF=45 ,A ZAGC+ZCGF=180,；.A、G、F三点共线.,：ZC EF=4 5，点 8、E、F 三点共线,A ZBC=135,IXAC Gs 丛 B C E,：.Z A G C=Z BE C=1 3 5 ,

20、；.N4GH=NC4H=45,：Z C H A Z A H G,.A G G H _ A HA C =A H W设 BC=CQ=AO=a,则 A C=&”，则 由 旭 乌 得 正，A C A H V 2 a A H2_则 D H=A D -AH=2,C H=7CD2+D H2-.A G A HA C C H，a._ 4 _ T _Fa双2 a解得：a=2而，即8 c=2行，故答案为：2/记.【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.5.(1)【探究发现】如 图1,NEO尸的顶点。在正方形

21、ABC。两条对角线的交点处，NEOF=90,将/EOF绕 点。旋转，旋转过程中，Z E O F的两边分别与正方形A B C D的边B C和C D交于点E和 点F(点、F与点C,D不 重 合).则CE,CF,B C之间满足的数量关系是CE+CF=B C .(2)【类比应用】如图2,若 将(1)中 的“正方形ABCD”改 为“Z8C D=120的菱形ABC。，其他条件不变，当NEOF=60时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立,请猜想结论并说明理由.(3)【拓展延伸】如图 3,ZBOD=120,0 D=3,0B=4,0A 平分/BOO,且 0820A,4点 C 是 OB上一点，ZC

22、AD=6Q ,求 OC的长.【分析】(1)如 图 1中，结论：CE+CF=BC.证明aBOE丝ZSCOF(ASA),即可解决问题.(2)如 图 2 中，结论不成立.CE+CF=1BC.连 接 E F,在 CO上截取C J=C F,连接2F J.首先证明CE+CF=OC,再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.(3)如图3 中，由。8 2 0 4 可知BAO是钝角三角形，/9 4。90,作 AH_L08于H,设 O H=x.构建方程求出x 可得0A=1,再 利 用(2)中结论即可解决问题.【解答】解：(1)如 图 1中，结论：C E+C F=B C.理由如下：四边形A8CO是正方形,：.AC

23、BDf OB=OC,ZOBE=ZOCF=45,:NEOF=NBOC=90,NBOE=NCOF,:BOE安丛COF(ASA),:BE=CF,：CE+CF=CE+BE=BC.故答案为CE+CF=BC.图2理由：连接在C。上截取C/=CR 连接/V.四边形A8C。是菱形，ZBCD=120,：.ZBCO=ZOCF=60,VZEOF+ZCF=180,.O,E,C,尸四点共圆,：.ZOFE=ZOCE=60,V ZEOF=60,EOF是等边三角形，：.OF=FE,NOEE=60,:CF=CJ,NFCJ=60,A ACFJ是等边三角形，：.FC=FJf NJFC=NOFE=60,：.ZOFJ=ZCFE,.,.

24、OFJAEFC(SAS),：.OJ=CE,:.CF+CE=CJ+OJ=O C=1 B C,2(3)如图3 中，由 0B 20A可知84。是钝角三角形，N8AO90H,设 OH=x.B,作 A”_LOB 于在 RtZXAB”中，BH=yji2-3 x2,OB=4,713-3 x2+x=4,解得x=3或工，2 2；.0 H=上或 3,2 2，OA=2O”=1 或 3（舍弃），：ZCOD+ZCAD=SO ,.A,C,0,。四点共圆，,：OA 平分 NCO。，：.Z A O C=Z A O D=i）0 ,A ZAC=ZAOC=60,VZCAD=60,.AC。是等边三角形，由（2）可知：OC+OD=OA

25、,.OC=1-旦=工4 4【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.6.（1）【问题发现】如图，正方形4EFG的两边分别在正方形A8C。的边4 8 和 A。上，连接CF.填空：线段C F 马 D G的数量关系为 C F=J?.G D；直线CF与D G所夹锐角的度数为 45。.（2）【拓展探究】如图，将正方形AEFG绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明.（3）【解决问题】如图，ZVIBC和ADE都是等腰直角三

26、角形，Z B A C Z D A E=9 0a,A8=AC=10,。为 A C 的中点.若点。在直线8 c 上运动，连 接 O E,则在点。的运动过程中，线段OE长 的 最 小 值 为 旦 巨（直接写出结果）.2 【分析】（1）连接AF,由正方形的性质可得点4、F、C 三点共线,A C=&A D，从而得出答案;(2)连接 AF,A C,利用C4FSZD4G,得 C F=MDG,Z A C F=Z A D G,从而解决问题;（3）连接 C E,利用 SAS 证明BAO丝C 4 E,得NACE=45,则NDCE=90,可知当OELCE时，OE最小，再利用等腰直角三角形的性质求出答案.【解答】解：（

27、1）连接AF,；四边形AE尸 G、ABC。是正方形,：.ZGAF=45，.点A、F、C三点共线，AC=&A D，A F=&A G,：.CF=yf2GD,故答案为：C F=MGD,4 5 ；(2)仍然成立，连接A F,AC,：.ZCAF ZD AG,及 J -如,A D A G：./CAF/DAG,：.CF=42DG,ZACF=ZADG,./C O O=N C 4 O=4 5 ,，(1)中的结论仍然成立;(3)连 接CE,：.ZBAD=ZCAE,：AB=AC,AD=AE,：.BAD/CAE(S A S),N A B。=/A C E=4 5 ,A Z D C =9 0 ,.,.当 O E _ L C E 时，O E 最小，V A C=1 0,。为A C的中点.:.0C=5,VZOCE=45,/.OE=?Z_OC=殳 2 2故答案为：立巨.2【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转型相似是解题的关键.