2022年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（三）（三模）（解析版）.pdf

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1、2022年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（三）（三模）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 =在 刃 1 1,命题4：/-2 x 0,则p 是 4 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形A B C D为正方形，E、F分 别 为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）A.直线AE与直线B尸异面 B.直线AE与直线O F异面C.直线EF平面PA。D.直线EF平面A3CD5.已知 sinx+cosx=孝，若 xe

2、（0,IT）,则 cos2x 的 值 为（）A.-B.C.D._ 隹222 26.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题 意 是：把 996斤绵分给8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8 个儿子分到的绵 是（）A.2 0 1 斤B.1 9 1 斤C.1 8 4 斤D.1 74 斤2 27.已知双曲线C：_=1（a 0,6 0）,点尸是双曲线C的右焦点，4是双曲线Ca2 b2的右顶点，过点尸作x 轴的垂线，交双曲线于M,N两点，若 t a n N M A N=-,，则双曲

3、线 C的离心率为（）A.V 2 B.V 3 C.2 D.38 .设，。）为 函 数/（公的导函数，已 知 力 （x）+xfCx）=bvc,f（1）=-1,则（）A.xf（x）在（0,+8）单调递增B.xf（x）在（0,+8）单调递减1C.xf（x）在（0,+8）上有极大值-21D.xf（x）在（0,+8）上有极小值5二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。（多选）9.我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行

4、动，为实现农村富强目标而努力.2 0 17 年 2 0 2 1年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示.根据如图图表，下列说法正确的是（）今增长率2017 2018 2019 2020 2021 年份r-城镇居民人均可支配收入比上年才长率-农村居民人均可支配收入比上年增长.（、）A.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，城镇比农村的大B.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C.2 0 2 1年该市农村居民年人均可支配收入比2 0 2 0 年有所下降D.2021年该市农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升（多选）10.若 z+|z|

5、=8-4 i,其中，为虚数单位，则下列关于复数z 的说法正确的是（)A.|z|=5B.z 的虚部为-4iC.z 3+4iD.z 在复平面内对应的点位于第四象限（多选）1 1.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。2,在轴截面A BCD A B=A D B C 2 c m,且 C=2A8,则（）A.该圆台的高为1cmB.该圆台轴截面面积为36 cm?C.该 圆 台 的 体 积 为*cn?3D.一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到4。的中点，所经过的最短路程为5c？（多选）1 2.已知函数/（x）=cos2 x+acosx（6R）,则（）71A.当=-2 时，函数/（%）在（1n

6、）上单调递增B.函数f（X）的图象关于直线x=n 对称C.函数/（X）的最小正周期为T T7TD.若函数f （x）在（0,-）上存在零点，则”的取值范围是（-1,+8）三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.已知；，Z为单位向量，若向一 2&=遍，则区+2&=-14.写出一个在区间（-8,0）上单调递减的幕函数：.15.已知尸为抛物线V=12x上一个动点，。为圆炉+（y-4）2=1 上一个动点，那么点尸至 IJ点Q的距离与点尸到直线x=-3 的距离之和的最小值是.16.已知a 0 且 a W l,函数/（X）=L-a1t在（0,+=）上有且仅有两个零点，则 a 的取值范围是

7、四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 “满足。1 =1,nan+i=2 （n+1）an.（1）判断数歹U 多 是否为等比数列，并说明理由；（2）求数列 斯 的前项和18.为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数（结果保留两位小数）；柒率蝙0.18.0.14.(160503020O.OSO.JHn（2）通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液

8、中A 指标的值X 服从正态分布N（7.4,2.632）.（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A 指标的值不超过10.03的家禽数 量（结果保留整数）；（i i）在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检2 0 只，若某天发现抽检的2 0 只家禽中恰有3 只血液中A 指标的值 大 于 12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：0.022753比0.00001,0.9772517=0.7；若 X N（U,。2）,则 P（a-o%0.6827；P（厂 2。W X

9、4+2。）%0.9 5 4 5.1 9 .如图，在三棱锥尸-A B C中，平面P A C_ L平面P 8 C,P A _ L平面4 8 c.(1 )求证：B C_ L平面PAC；(2)若A C=B C=P A,求二面角A-P B-C的大小.2 0 .在b s i n-=a s i nB：J 3 a s i n8=i (2 -c os 4)这两个条件中任选一个，补充在下面2的问题中，并作答.问题：已知 A B C中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，.(1)求角A的大小；(2)已知A B=2,4 c=8,若B C、A C边上的两条中线A M、B N相交于点尸，求N M P N的余弦值.2 1

10、 .在圆/+V=2上任取一点O,过点。作x轴的垂线段。H,为垂足，线段。，上一点E满 足 整 =V 2.记动点E的轨迹为曲线C.EH(1)求曲线C的方程；(2)设。为原点，曲线C与)，轴正半轴交于点A,直线A P与曲线C交于点P,与x轴交于点M,直线A Q与曲线C交于点Q,与x轴交于点N,若 血.而=2,求证：直线P Q经过定点.2 2 .已知函数/(x)=(f+or T)e，的一个极值点为x=-2.(1)求函数f(x)的极小值；(2)若函数 g(x)=3 一 (2/n+D X-(2 m+l)修+/+2,当 x 2-2 时，/(x)与g(x),求实数，的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8

11、小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合U=xe z|l x 6,A=2,3,则C M的子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.8【分析】先化简集合U,再求补集.解：*.,1/=xe Z|l x6，.（-1）y-%，令6-圻=0得，r=4,展开式中的常数项为以36-4 ,（-1）4=1 3 5,故选：C.3 .已知命题p：l o g 2 X 1,命题q：x2-2%0,则p是4的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，得出结论.解：命题p：即

12、命题P：x 2,命题q：x2-2 x 0,即命题q：x 2.由命题p：x 2成立，可得命题q：x V O或x 2成立，故充分性成立.但由命题q：x 2成立，不能推出命题p：x 2成立，故必要性不成立，故P是q的充分不必要条件，故选：A.4.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形A B C D为正方形，E、F分 别 为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）A.直线AE与直线8尸异面 B.直线AE与直线。尸异面C.直线EF平面PAO D.直线EF平面ABC。【分析】可将展开图还原成几何体，再由位置关系进一步确定线线与线面关系即可.解：由题可知，该几何体为正四棱锥，对 A,可假设AE

13、与 8 F 共面，由图可知，点厂不在平面ABE中，故矛盾，A 正确；对 B,因 E,F 为 BP,C P中点，故 E F H B C,又四边形ABCD为正方形，所以AO8C,故 EFAD,A,D,E,尸四点共面，B 错；对 C,由5 的证明可知，E F/AD,又AOu平面PA。，故直线EF平面PAO,C 正确;对。，同理由B 的证明可知，EF/BC,又 8C u平面ABCZ）,故直线EF平面ABCD,。正确；故 选:B.5.已知 sinx+cosx=芋，若（0,IT）,则 cos2x 的 值 为（）A.-B.亚 C.-i D.一立2 2 2 2【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关

14、系式可得2 s i n x c o s x=0,可得c o s x V O,进而可求s i a r -c o s x=手，进而利用二倍角公式即可求解.解：因为 s i a 4-c o s x=苧，所以两边平方，可 得 l+2 s i n x c o s x=i,可得2 s i a w o s x=0,T C所以 COS X 0,6 0）,点尸是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线Ca2 b2的右顶点，过点尸作X轴的垂线，交双曲线于M,N 两点，若 t a n/M 4 N=-率 则 双 曲线 C 的离心率为（）A.V 2 B.V 3 C.2 D.3【分析】利用已知条件画出图形，列出方程转化求解即可.

15、解：由题意可设NM4N=29,0G(0,-),则 即2产吗 =2 l-ta nz0 4匕2解得 tan8=3,即-=3,可得/+2 4-3 a c=0,即+2-3e=0,e l,a(c-a)解得e=2.故选：C.8.设 r (x)为函数f(x)的导函数，已 知 货 (x)+xf(x)=lnx,f (1)=一,则()A.xf(x)在(0,+8)单调递增B.xf(x)在(0,+8)单调递减C.xf(x)在(0,+8)上有极大值三2D.xf(x)在(0,+8)上有极小值工2【分析】首先根据题意设g(x)=xf 3,得到(%)=等，再求出g(x)的单调性和极值即可得到答案.解：由 x2/(x)+xf(

16、x)=ln x,得 x0,则4(x)+f a)=竽,即 w a)r=竽,又/(1)=-1,所以41)=1,设 g(x)=xf(x),则/(x)=等 0=X1,g(x)0=0 x=248,可得 C=4,高。2=4-()2=3则圆台轴截面ABCD面积为二(2+4)x V3=3百 CM?,故 4 错误，B 正确；2圆 台 的 体 积 为(1+4+2)x V3=故 C 正确；5 3由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 c m,底面半径为2 c m,侧面展开图的圆心角为。=竿=m设 AD的中点为，连接C P,可得N C O P=9 0 ,0 C=4,O P=2+1=3,则CP=V 42+32=5,所以

17、沿着该圆台表面从点C到A D中点的最短距离为5 c m,故D正确.故选：BCD.D(多 选)1 2.已知函数/(x)=c o s 2 x+c o s x (a R),则()71A.当a-2时，函数,f (x)在(1 n)上单调递增B.函数，(x)的图象关于直线X=T T对称C.函数f(x)的最小正周期为7 TD.若函数/(x)在(0,上存在零点，则。的取值范围是(-1,+8)【分析】对于A,将 a=-2代入，化简函数/(x),利用复合函数的单调性进行判断；对于8,判断了(x+2 T r)与/(-x)的关系即可得出结论；对于C,判断/(X+T T)与/(X)的关系即可得出结论；对于。，令/(X)

18、=0可得a =_2cs2xT,通过换元，构造新函COS X数转化求解判断即可.解：当 a=-2 时，/(%)=cos2 x 2 cosx=2 cos2x 2 cosx-1 =2(cosx )2 一令t(x)=c o s x G l -1,1 ,易知f(X)在G，兀)上单调递减，而y =2(t ；)2 -方在t e(1,；)单调递减，由复合函数的单调性可知，此时/(X)在/，兀)上单调递增，故选项A正确；,:f(X+2I T)=C O S(2 x+4 n)+acos(x+2 n)=c o s 2 x+t z c o s x=c o s (-2 x)+acos(-x)=f(-x),：.f(x)关

19、于 直 线 对 称，故选项8正确；,:f(x+n)=C O S(2X+2T T)+a c o s (X+T T)=C O S2X-acosxf(x),：.f(x)的最小正周期不为m 故选项C错误;令于 3=0,贝|J 2 c o s 2工-1+C O S X=0,即.=_ Z C 0 S X T,cosx令 c o s x,因为x (0,分 所 以 生(0,1),则a =衣=_ 2 t,t e(0,1)又y=彳2 t在(0,1)上递减，且 f f 0 时，y f+8，/-1 时，y-1,二要使/(x)在(0,分上有零点，贝U a -1,即实数a的取值范围为(-1,+8),故选项。正确.故选：A

20、BD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .已知2,Z为单位向量，若万一2&=S，则区+2&=一 而一.【分析】由日_ 2。|=花两边平方，结合；j为单位向量可求得；工，然后代入日+2&=+2可得结果.解：由日一 2 b=近两边平方滔-昭 工+4京_ 5,又因为之，1为单位向量，所以全力=0,所以向+2 b=J(a +2 b)2=V 1+4 +4 x0 =V5-故答案为：V5-1 4 .写出一个在区间(-8,0)上单调递减的塞函数：y=x7 (答案不唯 一).【分析】由题意，利用事函数的单调性，得出结论.解：根据基函数的定义，可得y=/3在 区 间(-8,0)上单调递

21、减，故答案为：=一3 (答案不唯一).1 5 .已知P为抛物线产二口工上一个动点，。为圆/+(y-4)2=1上一个动点，那么点P到点。的距离与点P到直线%=-3的距离之和的最小值是 4 .【分析】求得圆心与半径，由抛物线的定义可知：可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x=-3距离之和的最小，利用勾股定理即可求得I Q F I.解：抛物线炉=1 2 x的焦点为尸(3,0),圆 2+(y-4)2=1的圆心为E (0,4),半径 为1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P,Q,尸三点共线时P到点。的距离与点P到直线x=-1距离之和的最小为：I Q

22、F|=|E F|-r=V32+42-l=5-1=4,故答案为：4.1 6.已知。0且a W l,函数f (x)=尸-炉 在(0,+8)上有且仅有两个零点，则。的取值范围是(1,e)U (e,+8).【分析】依题意，,设g(x)=也，则g (x)=g (a)有两个零点，利用导数X C L%作出函数g(X)的大致图象，结合图象可得。的范围.Irix解：令/(X)=0,则犬=优，两边同时取自然对数得，alnx=xlna,即=x设 g(x)=g Q)=1一仇式X2Inaa易知函数g (x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,1且g(e)=,无-。时，g(x)-8,x f+8时，g(x)-

23、0,作出函数g (x)的大致图象如下图所示,由图象可知，要使函数/(x)有且仅有两个零点，则0 V粤 V，又g (1)=0,结合图象可知，且。We,故答案为：(1，e)U (e,+8).四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知数列 满足 0 =1,+i=2 (n+1)an.(1)判断数列 答 是否为等比数列，并说明理由；(2)求数列 ,的前项和S,.【分析】(1)通过递推关系构造皿与也关系即可证明.n+l n(2)求出斯通项公式再利用错位相减法求和即可.解：(1)因为 nan+2 (+1)an =1,即 +I=2 1-1 n+l na”所以数

24、歹|J 上 是公比为2,首项为1 的等比数列.n(2)由第一问可知&=2 一】，即n所以 S“=I X 2 0+2 X 2 4 3 X 2 2+.+(n -1)2n2+n*2n i.所以 2 S n=I X 2 1+2 X 2 2+3 X 2 3+.+(-1)*2 1+n 2n.-得-S“=1+2 +22+23+2 T -(1 -n)2n.所以以=(-1)2+1.1 8.为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值.养殖场将某周的5 0 0 0 只家禽血液样本中A 指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这5 0 0 0 只

25、家禽血液样本中A 指标值的中位数(结果保留两位小数)；柒*蝙。.】8.一 0.1 4.H41I()6O5O3O2OO.OSO.(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A 指标的值X服从正态分布N (7.4,2.6 3 2).(i )若其中一个养殖棚有1 0 0 0 只家禽，估计其中血液A 指标的值不超过1 0.0 3 的家禽数量(结果保留整数)；(i i)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检2 0 只，若某天发现抽检的2 0 只家禽中恰有3只血液中A 指标的值大于1 2.6 6,判断这一天该养殖场的

26、家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.参考数据：0.0 2 2 7 5 3 七0.0 0 0 0 1,0.97 7 2 51 7 0.7；若 X N，。2),贝 ij P(R-o WXWu+。)-0.6 82 7；P (p-2。W X W|i+2。)0.95 4 5.【分析】(1)设这5 0 0 0 只家禽血液样本中4指标值的中位数为X,可得(0.0 2+0.0 6+0 1 4)X 2+0.1 8(x-7)=0.5,解得 x.(2)(i)由 /。=7.4+2.6 3=1 0.0 3,可得 P (X W 1 0.0 3)=尸(XWp+。)=l+P(4 P X 1 2.6 6)=P(-2 丁+2)

27、,设，随机抽检的 2 0 只家禽中恰有3只血液中A 指标的值大于1 2.6 6”为事件B,利用二项分布列概率计算公式即可判断出结论.解：(1),/(0.0 2+0.0 6+0.1 4)X 2 =0.4 4 0.5,设这5 0 0 0 只家禽血液样本中A 指标值的中位数为x,则(0.0 2+0.0 6+0.1 4)X2+0.1 8(x-7)=0.5,解得4 7.1 7.(2)()V n+o =7.4+2.6 3=1 0.0 3,：.P(X W 1 0.0 3)=P(X W u+。)=1+P(F 7 -0.84 3 5.A 1 0 0 0 P (X W 1 0.0 3)二84 1.(ii)V 1

28、2.6 6=n+2 o ,：.P(X 12.66)=l-P(-2b jX v+2 i)-0 02275.设 随机抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66”为事件B,则 P(B)=Cf0 X(0.02275)3X(0.97725)17=0.00798 AP=AM=(4C+4B)，再结合平面向量数量积运算及向量的夹角的求法求解即可.解：(1)若 选 ：由正弦定理得 sinBsin(-)=sinAsinB,2 2因为 O V B V n,所以 sin5WO,所以 sin()=sinA,2 2又因为B+C=T T-A,A.A A所以 cos-=2sin-cos-,2 2 2因为 0 4

29、 0,所以 V5sinA=2-cosA,所以 2sin(A+1)=2,B|J sin(A+?)=1,o o由A 为三角形内角得，A=l，(2)由 8C、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P,则点P 为A8C的重心，则8P=BN=w(B4+BC)=3(ZC-2/1B)，AP=AM =(AC+4B)，又 AB=2,AC=8,ZBAC=60,则 4 力 8=8*2*/=8,|加|=亦+届 +2后./=|同，1821=1T T T T 4./2村 AC2+4AB2-4AC-AB=亨 则 晶，BP=W AC2-2AB2-ACAB=学,则 cos N M P N=AP-BP16TAP-BP 室x挈2/7

30、2 1.在 圆/+产=2 上任取一点0,过点。作 x 轴的垂线段。人”为垂足，线段。”上一点E满足整=0.记动点E的轨迹为曲线C.|EH|（1）求曲线C 的方程；（2）设。为原点，曲线C 与 y 轴正半轴交于点A,直线A P与曲线C 交于点P,与 x 轴交于点M,直线AQ与曲线C 交于点Q,与 x 轴交于点N,若 而.加=一 2,求证：直线 PQ 经过定点.【分析】（1）根 据“相关点“法求解；（2）引入两个参数表示直线P Q,通过6.而=_2,采 用“设而不求”建立两个参数的等式，从而消去一个参数，再将直线尸。关于参数整理即得所过定点.解：（1）如图，设点E 为（x,）,又。H 垂直x 轴，

31、XO=XE=X,又足|今=yr）=y/2 yE=2 y二。为（x,、，），又点。在圆V+产=2 上，.,.%2+（V2y）2=2,即 x2+2 y22,x2二动点E的轨迹曲线C的方程为：+/=1；（2）证明：由（1）知点A 为（0,1）,丫 2设直线PQ 方程为：xmy+t,联立曲线C：+/=1，得（，/+2）产“机 9+户-2=0,设 尸（xi,y）,Q（如”），,乃+先=-悬 ,0%=黑,又直线A P方程为：y=（）x+l,令 y=0,得 久=击，为（/，0）,y 1 i-y1同理可得N为（言，），又。方 O N =-2 =-2,.xX2=-2 （yi-1）（j2-1）,:.（myi+力

32、（加工+力=-2（J1-1 ）（52-1），/.（rn2+2）yty2+（92）仇 +y2）+t2 4-2=0,，将代入中得2t2+（mt _ 2）.（悬 刍）=0,整理得 f (f+机)=0,.，=()或 f=-2,当f=0时，直线P Q方程为：x=m y,恒过定点O(0,0),当/=-/时，直线尸。方程为：(y -1),恒过定点A (0,1),此时不满足题意,故直线尸。经过定点。(0,0).7小2 2.已知函数/(%)=(f+o x-l)炉的一个极值点为x=-2.(1)求函数/CO的极小值；(2)若函数 g(x)=x2-(2 m+l)x-(2 m+1)er+x2+4 x+2,当 G-2 时

33、，f(x)2 g(x),求实数机的取值范围.【分析】(1)直接求导，由/(-2)=0解得。=-1,再确定单调性，求出极小值即可；(2)将题设转化为(x2-x-1)6A和x2-(2加+1)x-(2 m+1)+x2+4 x+2 在 xe-2,+8)上恒成立，整理后对x的范围分类讨论，参变分离后转化为最值问题即可.解：(1)/(x)=(Z r+a+f+o x-1)d=f+(。+2)x+a-l ex,则/(-2)=4 -2 (a+2)+a-1 -2=。，解得。=-i,贝 1 1/(x)=(x2-x-1)F,f(x)=(x2+x-2)F=(x+2)(x-1)当x l时，f(x)0,f(x)单调递增，当-

34、2 V x 1 时，f(x)0,f(x)单调递减，故/(x)在x=l处取得极小值，极小值为/(I)=-e；(2)当x 3-2时，/(x)g(x)等 价 于(/7 -1)/x2-(2/n+l)x-(2?+l)F+/+4 x+2 在-2,+8)上恒成立,整理得 2 m(x+1)e x2+4 x+2,当 x=-1 时，0 2 -1 显然成立；当-2 W x V -1 时,2 m 0,h(x)单增，则 h(x)2力(-2)=2 e2f故 2?W 2”,即/n W/；当x -1 时,2 m 必+4%+2(%+l)ex由上知，当-l V x V O 时，(%)0,h(x)单增，当 x 0 时，(%)0,h(x)单减，贝(x)W h(0)=2,故 2 加22,即加2 1.综上可得加日1,e2.