2022年北京市中考数学真题卷（含答案与解析）.pdf

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1、2022年北京市初中学业水平考试数学试卷1.考2.生3.须4.知5,本试卷共6页，共两部分，共2 8题，满 分1 0 0分。考试时间1 2 0分钟。在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。在答题卡上，选择题用2 B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。第一部分选择题一、选 择 题（共1 6分，每 题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中，是圆锥的为（A.2.截至2021年 12月 31 日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时

2、，相当于减排二氧化碳约2.2亿 吨.将 262 883 000 000用科学计数法表示应为（）A 26.2883xlO10B.2.62883xlO1 1C.2.62883xlO12D.0.262883xl012)4.实数。匕在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（C.120D.150)abI-3-2-1 0123A.aV 2B.bbD.-db5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）1A.-41B.-3C 13D.-46 .若关于x的一元二次方程/+x

3、+机=（）有两个相等的实数根，则实数机的值为（）A.-47 .图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（8 .下面的三个问题中都有两个变量：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x；用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长-其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.B.C.D.第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9 .若 J 二可在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是1 0 .分解因式：x y =2 11 1 .方程=一的解为.x+5 xk12.在平

4、面直角坐标系x O y 中，若点4（2,弘）,8（5,%）在反比例函数y=（左 0）的图象上，贝%（填“”=”或“7-4x,18.解不等式组：4+xx-.219.已知%2+2%2=0,求代数式X(X+2)+(X+1)2 的值.20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.2 1.如图，在 oA B C D 中，AC,B D 交于点0,点E,E 在 A C 上，A E =CF.(1)求证：四边形血 是平行四边形；(2)若 NBAC=N D 4C,求证：四边形血 是菱形.2 2.在平面直角坐标系xO y中，函数丁=依+。伏 7 0)的图象经过点(4,3),(2,0

5、),且与y 轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A 的坐标；(2)当x 0 时，对于x 的每一个值，函数y=x+的值大于函数丁 =依+。(左7 0)的值，直接写出的取值范围.2 3.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图：1 0,1 0,1 0,9,9,8,3,9,8,1 0c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：(1)求表中m的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的1 0个数据的方差越小，

6、则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致(填“甲”或乙”)；(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表 现 最 优 秀 的 是 (填“甲”“乙,，或“丙(2)连 接 过 点C作交)8的延长线于点E，延长。，交4c于点尸，若尸为A C的中点，求证：直线CE为。的切线.2 5.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运

7、动员的竖直高示意图蜕内高度y/m.K行路线起跳点度y（单位：rn）与水平距离X（单位：m）近似满足函数关系y=a（x /i）2+M a 0）.彳陆点某运动员进行了两次训练.-水平距离x/m（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-/2）2+A（a o）上，设抛物线的对称轴为X t.（1）当C=2,z=时，求抛物线与y轴交点的坐标及，的值；（2）点（玉）,，）（4/1）在抛物线上，若加 G

8、求 的取值范围及乙的取值范围.27.在A A B C中，ZA C B =9 0.。为A A B C内一点，连接3 0，0 c延长。到点E，使得CE=DC.图1图2（1）如 图1,延长8 C到点尸，使得C/=B C,连接A E，E F 若 A F 1.E F，求证：B D A F；（2）连接A E,交加的延长线于点，连接C”，依题意补全图2,若A 8 2=A 2 +8 0 2,用等式表示线段C O与C 的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系X。），中，已知点例3,份,N.对于点p给出如下定义：将点P向右（a NO）或向左(a 0)平移同个单位长度，再向上S 2 0)或向下S O M;2(2)

9、Q O 半径为I,M是 上 一 点，点N在 线 段 上，且O N =r(；t l),若P为O。外一点，点。为点P的 对应点，连接尸。.当点M在。上运动时直接写出P Q长的最大值与最小值的差(用含f的式子表示)参考答案一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中，是圆锥的为()【答案】B【解析】【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案.【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱柱，不合题意：D选项为球，不合题意；故选B.【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键.圆锥面和一个截它的平面，

10、组成的空间几何图形叫圆锥.2.截至2 0 2 1 年 1 2 月 3 1 日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2 6 2 8.8 3 亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2 亿 吨.将 2 6 2 8 8 3 0 0 0 0 0 0 用科学计数法表示应为（）A.2 6.2 8 8 3 x l O1 0 B.2.6 2 8 8 3 x 1 0 C.2.6 2 8 8 3 x l O1 2 D.0.2 6 2 8 8 3 x l O1 2【答案】B【解析】【分析】将 2 6 2 8 8 3 0 0 0 0 0 0 写 成 1 0 （1 引4 1 0）,”为正整数的形式即可.【详解】解：将 2

11、6 2 8 8 3 0 0 0 0 0 0 保 留 1 位整数是2.6 2 8 8 3,小数点向左移动了 1 1 位，2 6 2 8 8 3 0 0 0 0 0 0 =2.6 2 8 8 3 x l O 故选B.【点睛】本题考查用科学计数法表示绝对值大于1 的数，掌握a x l 0 （l|a|1 0）中 的取值方法是解题的关键.3 .如图，利用工具测量角，则 N 1 的大小为（）A.3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0【答案】A【解析】【分析】利用对顶角相等求解.【详解】解：量角器测量的度数为3 0。，由对顶角相等可得，Z l =3 0.故选A.【点睛】本题考查量角器的使用和对顶

12、角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键.4 .实数a,h在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）ab-3-2-1 0 1 2 3A.a b D.-d b【答案】D【解析】【分析】根据数轴上的点的特征即可判断.【详解】解：点在-2 的右边，故 -2,故 A选项错误；点匕在1 的右边，故 8 1,故 B选项错误；方在”的右边，故匕 4,故 C 选项错误；由数轴得：则 1.5 v-a 2,bb,故 D 选项正确，故选：D.【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键.5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，

13、再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）1-41-B.33-4D.1-2【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解：画树状图得：开始第 一 次 红 球/第 二 次 红 爆红球.共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1 种情况，.第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，4故选：A.【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键.6.若关于尤的一元二次方程f+x+m=。有两个相等的实数根，则实数用的值为

14、（）1 1A.-4 B.一一 C.-D.44 4【答案】C【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=（）,建立关于，的方程，解答即可.（详解】一元二次方程V+%+加=o 有两个相等的实数根，/.A=0,I2 4/7?=0 解得m-,故 C正确.4故选：C.【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时A 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，A=0；当方程没有实数根时，A 0)的图象上，则 Mxy2(填或“【解析】【分析】根据反比例函数的性质，Q0,在每个象限内，)，随尤的增大而减小，进行判断即可.【详解】解：.次 0,.在每个象限

15、内，)，随 x的增大而减小，；M 内 故答案为：.【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键.1 3 .某商场准备进4 0 0 双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的4 0 双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双.【答案】1 2 0【解析】【分析】根据题意得：3 9 码的鞋销售量为1 2 双，再用4 0 0 乘以其所占的百分比，即可求解.【详解】解：根据题意得：3 9 码的鞋销售量为1 2 双，销售量最高，.该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为4 0 0 x =1 2 0双.4 0故答案为：1 2 0【点睛】本题主要考查了用样

16、本估计总体，根据题意得到3 9码的鞋销售量为1 2双，销售量最高是解题的关键.1 4.如图，在 A A B C中，AO平分 若 4?=2,。6=1,则5 0 8=.【解析】【分析】作O F _ L A C于点F,由角平分线的性质推出。-=。石=1，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作。E L AC于点F,A；4。平分二班。，DEAB,DF1 AC,:.DF=DE=T，S.Arn=2 AC2-DF=x 2 x l =l.故答案为：1.【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形A C Q中A C边的高是解题的关键.4/7|1 5.如图，在矩形A 8 C O中，若A B =

17、3,A C =5,=,则AE的长为FC 4【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理求出B C,以及平行线分线段成比例进行解答即可.【详解】解：在矩形A B C。中：A D/BC,Z A B C =9Q,.A E _ A F B C F C 4BC7AC2-AB?52-32=4，,A E _1,=4 4A E =1，故答案为：1.【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.1 6.甲工厂将生产的I号、I I号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、I I号产品的重量如下：甲工厂准备用一辆载重不超过1 9.5

18、吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于1 1吨，写出一中满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ _ _ （写出要包裹编号I号产品重量/吨I I号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于1 1吨，同时装运的H号产品最多，写出满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）.【答案】.A BC （或A B E或A D或A C D或B C D）.A BE或BC D【解析】【分析】（1）从A,B,C,D,E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于1 1吨，总重不超

19、过1 9.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运H号产品最多的方案即可.【详解】解：（1）根据题意，选择A B C时，装运的I号产品重量为：5+3+2 =1 0 （吨），总重6+5+5=1 6 1 9.5（吨），符合要求；选择A B E时，装运的I号产品重量为：5+3+3 =1 1 （吨），总重6+5+8=1 9 1 9.5（吨），符合要求;选择A D时，装运的I号产品重量为：5+4=9（吨），总重6+7 =1 3 1 9.5（吨），符合要求；选择A C D时，装运的I号产品重量为：5+2+4=1 1 （吨），总重6+5+7 =1 8 1 9.5（吨），符合要求;选 择BC D时，

20、装运的I号产品重量为：3 +2 +4=9（吨），总重5+5+7 =1 7 1 9.5（吨），不符合要求；选择BD E时，装运的I号产品重量为：3 +4+3 =1 0 （吨），总重5+7+8=2 0 1 9.5（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有A BC或A BE或A D或A C D或BC D.故答案：A BC （或A BE或A D或A C D或BC D）.选 择A BC时，装运的I I号产品重量为：1 +2 +3 =6（吨）；选择A BE时，装运的n号产品重量为：1 +2 +5=8（吨）；选择A D时，装运的H号产品重量为：1 +3 =4（吨）；选择A C D时，装运的I I号产品重

21、量为：1 +3+3 =7 （吨）；选择BC D时，装运的n号产品重量为：2 +3+3 =8（吨）；故答案：A BE或BC D.【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键.三、解答题（共 68分，第 17-20题，每题5 分，第 21题 6 分，第 22题 5 分，第 23-24题，每题6 分，第 25题 5 分，第 26题 6 分，第 27-28题，每题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1 7 .计算：（万一 1）+4s i n 45-V8+|-3|.【答案】4【解析】【分析】根据零次累、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解.

22、【详解】解：（乃一l）+4s i n 45-密+卜3|.=l+4x -2 7 2+32=4.【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次累、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键.2 +x 7 -4%,1 8.解不等式组：4+xx-.I 2【答案】1%7-4 x?【详解】解：4+x /x l，解不等式得x 4,故所给不等式组的解集为：l x EBC,则/B =/B 4 Q，ZC =Z 4 C.（两直线平行，内错角相等）,点 ,A E1 在同一条直线上，.Nm B+/B A C+NC =1 8 0.（平角的定义）Z B+NR 4C+NC=180.即三角形的内角和为180。.【点睛】本

23、题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.2 1.如图，在 oABC D 中，AC,B D 交于点。，点 E,E 在 A C 上，A E =CF.（1）求证：四边形E3ED 是平行四边形；（2）若 NBAC=ND 4C,求证：四边形石 3 包 是菱形.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABC。为平行四边形，得出AO=CO,B O =D O,再根据AE=C F,得出E O =F O,即可证明结论；（2）先证明N）G4=NO A C,得出。1=。，证明四边形48C。为菱形，得出A C L M,即可证明结论.【小 问 1详解

24、】证明：.四边形ABCO为平行四边形，A A O-C O,B O =D O,；AECF,，AO-AE=CO-CF,即 E O =F O,四边形EBED是平行四边形.【小问2详解】/四边形A B C D为平行四边形，ABCD,/.ZDCAZBAC,；ABAC=ADAC,z r c4 =zmc,DA-DC,四边形A B C。为菱形，A C BD,即 F _ L ，四边形EBED是平行四边形，.四边形EBED是菱形.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键.2 2.在平面直角坐标系x O y 中，函数)，=乙+仅女

25、工0)的图象经过点(4,3),(2,0),且与丫轴交于点A .(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x0 时，对于x每一个值，函数y =x +的值大于函数丁 =依+。伏?0)的值，直接写出的取值范围.【答案】(1)y =；x +l,(0,1)(2)n【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数解析式，当x =o时，求出y即可求解.(2)根据题意x+x +l 结合x0 解出不等式即可求解.2【小 问 1详解】解：将(4,3),(-2,0)代入函数解析式得，3=4k+b x+1,即x 2-2,2又由x0，得2-2 l,的取值范围为“2 1.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等

26、式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关系.2 3.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:根据以上信息，回答下列问题:同学甲乙丙平均数8.68.6m（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个

27、最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表 现 最 优 秀 的 是(填“甲”乙或丙”).【答案】(1)8.6(2)甲 (3)乙【解析】【分析】(1)根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解.(2)根据方差的计算方法先算出甲乙的方差，再进行比较即可求解.(3)按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分，再进行比较即可求解.【小 问1详解】解：丙的平均数:10+10+10+9 +9 +8 +3 +9 +8+10108.6,则 m 8.6.【小问2详解】5E=-12X(8.6-8)2+4X(8.6-9)2+2X(8.6-7)2+

28、2X(8.6-10)2=1.04,Si=4X(8.6-7)2+4X(8.6-10)2+2X(8.6-9)2=1.84,S；8=9 0 ,进而得到/4 8。=6(),即可证明O C/D B,故可证明直线CE为O。的切线.【小 问1详解】证明：设A B交C D于点、H,连接。C,由题可知，OC=OD,ZOHC=ZOHD=90,：OH=OH,：.RtCOH M RtDOH(HL),ZCOH=ZDOH,BC=BD，:./C O B =/B O D,.NC03=2ZA,ZB 0D =2 Z A；【小问2详解】证明：连接A D，,/OA -O D .：.ZOA D=ZODA,同理可得：N。4 c =4 0

29、 cA,ZOCD=Z O D C,.,点是C D的中点，点尸是4 c的中点，Z O A D =Z ODA =Z O A C =ZOCA =Z O C D =Z O D C,Z O A D+Z O D A+Z O A C+Z O C A+Z O C D+Z O D C=1 80,Z O A D =ZODA =Z O A C =ZOCA =Z O C D =Z O D C=3 0 ,/C O B =2 ZCA O=2 x 3 0=6 0,Q A B为0 0的直径，:.ZA DB=90 ,ZA BD=90-Z D A O=90 -3 0 =6 0,:.ZA BD=NCOB=S 0,.OC/DE,Q

30、C E L B E,:.CE OC,直线C E为。的切线.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键.2 5.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m）与水平距离X （单位：m）近似满足函数关系y =a（x-/z）2+左（。0）.某运动员进行了两次训练.（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:根据

31、上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y =a（x-。）2+%（。”=，或【答案】（1）2 3.2 0m；y =-0.05（x 8）2+2 3.2 0（2）【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、%的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出。的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用，表示出4和 然 后 进 行 比 较 即 可.【小 问 1 详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8,2 3.2 0）,：.h=8,k=23.20,

32、即该运动员竖直高度的最大值为2 3.2 0m,根据表格中的数据可知，当x =（）时，y =2 0.00,代入y =a（x 8）2+2 3.2 0得：2 0.00=a（O-8）2+2 3.2 0,解得：a =-0.05,.函数关系关系式为：y =-0.05（x-8）2+2 3.2 0.【小问2详解】设着陆点的纵坐标为t,则第一次训练时，r =-0.05（x-8）2+2 3.2 0,解得：x =8+0（2 3.2 0-r）或x =8-j 2 0（2 3.2 0-f）,.根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离4 =8+7 2 0（2 3.2 0-/）,第二次训练时，t=-0.04（x-9）2+2

33、 3.2 4,解得：x =9+j 2 5（2 3.2 4-f）或x =9-j 2 5（2 3.2 4-f）,.根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离4=9+j 2 5（2 3.2 4-f）,；2 0（2 3.2 0-/）2 5（2 3.2 4-r）,j 2 0（2 3.2 0-J）v j 2 5（2 3.2 4-f）,/.d10）上，设抛物线的对称轴为x-t.（1）当c =2,z =”时，求抛物线与y轴交点的坐标及，的值；（2）点（玉）,，）（4/1）在抛物线上，若加 G求 的取值范围及乙的取值范围.【答案】（1）（0,2）；23（2）r的取值范围为5 r 2,%的取值范围为2 /时，y随

34、x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点（1,加），点（3,），（2 t,c）均在对称轴的右侧时；当点（1,加）在对称轴的左侧，点（3,），（2/,c）均在对称轴的右侧时，即可求解.【小 问1详解】解：当 c =2 时，y=ax2+bx+2 ,当 x=0 时,y=2,.抛物线与y轴交点的坐标为（0,2）；/m-n ,.点（1,m）,（3,n）关于对称轴为x=t对称,【小问2详解】解：当x=0 时，y=c,.抛物线与y 轴交点坐标为（0,c）,.抛物线与y 轴交点关于对称轴 =/的对称点坐标为（2 f,c）,：a 0,.当x W f 时，y 随 x的增大而减小，当%，时，y 随 x的增大而增大，

35、当点（1,加），点（3,），（2 f,C）均在对称轴的右侧时，t 1,/m n c,i 3,即2 （不合题意,舍去），2当点（1,加）在对称轴的左侧，点（3,），（2 f,c）均在对称轴的右侧时，点（飞,而）在对称轴的右侧,1 r 3.此时点（3,n）到对称轴x =f 的距离大于点（1,根）到对称轴x=t的距离，：.t-3-t,解得：t2,：m n c,3,即 t 一,2.3 c.-r 2,2V （x0,m）,（1,/n）,对称轴为=/,.f_/+l2.|1 2,解得：2 x 0 3,3t的取值范围为5 t2,x的取值范围为2 x0 C(SAS),推出 M E=8 O，通过等量代换得到A2=A

36、E2+M E 2,利用平行线的性质得出？2 A E M 9 0?，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到C D =C H .【小 问 1详解】证明：在 AEC E和&BCD中，C E =C D N F C E =N B C D ,C F =C B:.AFCEA5 C)(SAS),:.?C F E?C B D,；E F/B D，/A F E F,.BD AF.【小问2 详解】解：补全后的图形如图所示，C D =C H ,证明如下：延长BC到点M,使CM=CB,连接E/W,AM,：ZACB=90，CM=CB,AC垂直平分BM,在AMEC和AB。中，CM=CBAM2=AE2+ME2 NAM=9O

37、,/?CME?CBD,；BH EM，2 BHE?AEM 90?，即 NOHE=90,;CE=CD=-D E,2CH=-D E,2CD=CH.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明NZ7E=90。是解题的关键.28.在平面直角坐标系xOy中，已知点3,份,N.对于点P给出如下定义：将点尸向右(a 2 0)或向左(a0)平移同个单位长度，再向上(。2 0)或向下S0)平移网个单位长度，得到点P，点P，关于点N的对称点为Q,称点。为点P的“对应点”.(1)如图，点 例(1,1),点

38、N在 线 段 的 延 长 线 上，若点尸(2,0),点。为点尸的“对应点”.r -11111Iy i i 1111111111tL _11111I1111111_ JL _111_ 1 _11111_ 1 _11-1-N7T111_ 1 _11111_ 1 _1111111_ JL _11_ 1 _1111111111/11111111_ 1 _1111111111_ J 一 一尸I111111O11111111111111111111X 1在图中画出点Q；连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=、OM;2(2)0。的半径为1,是 O O 上一点，点 N 在 线 段 上，且 ON=f(f l)

39、,若尸为。外一2点，点。为点P 的“对应点”，连接PQ.当点M 在。上运动时直接写出尸。长的最大值与最小值的差(用含f 的式子表示)【答案】Q)见解析(2)4，一2【解析】【分析】(1)先根据定义和M(L D 求出点P 的坐标，再根据点P 关于点N 的对称点为。求出点。的坐标；延长ON至点A(3,3),连接A。，利用44S证明A4QT=A O P T,得到力4=TO=g o A,再计5 1算出OA,OM,O N,即可求出可7=。-0 7 =2=0：2 2(2)连接尸。并延长至S,使 OP=Q S,延长SQ至 T,使 ST=O M，结合对称的性质得出MW为APQT 的中位线，推出 NM=g Q

40、T,得出 SQ=ST7Q=1(2 2f)=2f 1,则P-P G L=(PS+Q S H P S-Q S)=2QS.【小 问 1详解】解：点 Q 如下图所示.点”(1,1),.点P(-2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P,:点 P，关于点N 的对称点为。，N(2,2),.,.点。的横坐标为：2 x 2-(-l)=5,纵坐标为：2 x 2 1=3,，点。(5,3),在坐标系内找出该点即可;证明：如图延长ON 至点A(3,3),连接AQ,；AQ/OP,：.ZAQT=Z O P T,在 AAQT 与 A/O P T 中，ZAQT=ZOPT ON=J 2,+2?=2V2:.T

41、O=LoA=1 e,2 2/.NT=O N-O T =2 -血=&，2 2NT=-O M；2【小问2 详解】解：如图所示，连接尸0并延长至S,使OP=OS，延长SQ至T,使ST=Q 0,份，点P向右(心0)或向左(。0)平移同个单位长度，再向上S 2 0)或向下S 0)平移四个单位长度，得到点P，PP=OM=1,.点P 关于点N的对称点为。，NP=NQ,又,：OP=OS,：.OM/STf NM为PQT的中位线，NM/QT,NM=；QT,:NM=OM ON=1t,：.TQ=2NM=2-2 t,：.SQ=ST-TQ=-(l-2 t)=2 t-,在 APQS 中，PS-QSPQPS+QS,结合题意，PQmM=PS+QS,PQmin=PS-Q S,A 尸9皿 一P血=(PS+QS)(PS QS)=2QS=4r 2,即PQ长的最大值与最小值的差为4f-2.【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点。和点P 的轨迹是解题的关键.