2023届高考数学一轮知识练习：连续型随机变量（含答案）.pdf

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1、2023届高考数学一轮知识点训练：连续型随机变量一、选 择 题(共 15小题)1 X2-4X+4I .设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)=e ,则()A.g =2,。=3 B.4=3,a=2 C.g =2,a=y/3 D.4=3,7 =V 32 .已知随机变量x服从正态分布N(3,O2),且 p(x W 4)=0.84,则 P(2 x m)=0.3,则 P(X 8-m)=()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.与 的值有关4.已知随机变量X服从正态分布N(2 2),p(x 2)=0.02 3,则 P(-2 z 2)=()A.0.477 B.0.62 5 C.0.977

2、 D.0.9547.在某次数学测试中，学生成绩f 服从正态分布N(100,72)(0),若 f 在(80,12 0)内的概率为0.8,则 f 在(0,80)内的概率为()A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.28.若随机变量X的概率密度函数为/(X)=康6一条，x e(-8,+8),则在(一 2,1)与(1,2)内取值的概率分别为P 1与 P 2，则P 1与P2的大小关系为()A.P 1P 2 B.p1 a3 B.a3 a2 0 C.(T3 o2 D.a2 a312.某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩f 服从正态公布NCIOO,/),已知P(80 tW 10

3、0)=0.4 0,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷分析，则应从120分以上的试卷中抽取()A.5 份 B.10 份 C.15 份 D.20 份13.高三某班有5 0 名学生，一次数学考试的成绩f 服从正态分布：f N(105,102),已知P(95W 2)=p,则 P(0 X 2)=0.0 2 3,则 P(-2 f 2)=()A.0.954 B.0.977 C.0.488 D.0.477二、填空题(共7 小题)16.若 X N(0,；),则 P(-l X 0).若 S 在(0,1)内取值的概率为0.4,则 f 在(0,2)内 取 值 的 概 率 为.18.已知某电子元件的使用寿命(单位：小

4、时)服从正态分布N(1000,502),那么该电子元件的使用寿命超过1000小 时 的 概 率 为.19.若随机变量 f N(2,1),且 P(f 3)=0.1 5 8,则 P(f l)=20.若随机变量 X N(JI 2),且 p(x 5)=P(X -1)=0.2,则 P(2 X 5)=.21.某个部件由3 个型号相同的电子元件并联而成，3 个电子元件中有一个正常工作，则该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限f(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3 年的概率和多于9 年的概率都是0.2.那么该部件能正常工作的时间超过9 年的概率为.22.己知随机变量X 服从正态分布N(3 2),若

5、P(1 5)=.三、解 答 题(共 8 小题)23.平均数为，标准差为。的正态分布在各区间的概率如图所示，试利用正态分布表验证该图的正确性.一317 一2。p-y +T+ZC7/+W24.在某次数学考试中，考生的成绩X 服从正态分布/V(90,100).(1)试求考生成绩X 位于区间 70,110 内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计成绩在 80,100 内的考生大约有多少人？25 .某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸(单位：m m)并绘成频率分布直方图，如图所示.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺

6、寸Z(mm)服从正态分布N(H 2),其中近似为零件样本平均数元，小近似为零件样本方差5 2.附：V110 10.5；若 Z N Q z,d),则 P(“一C T Z +7)B 0.6 8 2 7,P(-Z +2a)0.95 45,P(-3a Z n+3c)0.9974.频率组距0.0350.0300.0200.0100.0050(1)求这批零件样本的元和S2的值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)假设生产状态正常，求 P(5 4Z85.5)；(3)若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30 m m,根据3。原则判断该生产线是否正常.26.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛

7、成绩近似服从正态分布N(70,1 0 0).己知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.可供查阅的(部分)标准正态分布表中(X。)=P(x x0)如下：(1)试问此次参赛的学生总人数约为多少?%001234567891.20.88490.88690.88880.89070.8925 0.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.9115 0.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.925 10.9265 0.92790.92920.93060.9

8、3191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.975 00.975 60.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.985 00.985 40.985 7(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？27.某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直

9、方图.参考数据，若ZN(,82),则p Z /z+6)=0.6826,P(ji-25 Z 205品的平均成本.28.2019年2月1 3日 烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.参考数据：V178 0.773419 0.0076.若 丫 N(0,l),则 P(Y W 0.75)=0.7734.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数元和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代

10、表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布N(R2),其中近似为样本平均数元，d 近似为样本方差s2.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 X N 3 R 2),令y=F，则 yN(o,l),且 P(XWa)=P(y W于)，利用直方图得到的正态分布，求P(X 10)；从该高校的学生中随机抽取2 0 名，记 Z 表示这2 0 名学生中每周阅读时间超过1 0 小时的人数，求 P(Z2 2)(结果精确到0.0001)以及Z 的数学期望.29.在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即XN(90,100)(1)求考试成绩X 位于区间(7

11、0,110)内的概率(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？30.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了 100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.附：若 Z N W，/),则：P(/z-c 7 f g +cr)=0.6826,P(-3T+3。心0.013a o io(1)求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数.(2)由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N(Q2),其中“近似为样本平均数，经计算得 =V142.75 x 11.95,

12、求 Z 落在(14.55,38.45)内的概率.(3)将频率视为概率，若某人买了 3 包该品牌水饺，记这3 包水饺中质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求 X 的分布列和数学期望E(X).答案1.c(X-2)：【解析】由/(x)=/袅 后 e 2(甸2,得 =2,a=V3.2.B【解析】因为 P(x 4)=1-0.84=0.16,所以 P(x 4)=0.16,所以 P(2%4)=P(x 4)-P(x 2)=0.84-0.16=0.68.3.C4.A【解析】随机变量X 落在指定的两个数Q,b之间的概率就是对应的正态曲线在x=a,x=b 两直线之间的曲边梯形的面积，而 X N(2,(J2),

13、由 p(X N 4)=l-P(X W 4)=0.16,P(X 4)：0.16.5.D【解析】根据正态分布的对称性可知，其曲线关于 =9 0 对称.因为大于120分的人数占10%,6 0 分以下的人数占1 0%,所以60 分到120分的人数占8 0%,故 9 0 分到120分的人数占40%.6.D7.B【解析】由题意，得 P(80 f 100)=P(100%。3.12.B13.A【解析】因为考试的成绩 服从正态分布N(105,102),所以考试的成绩率关于f=105对称，因为 P(95 f 115)=0.5-0.3413=0.1587.14.D【解析】由X 落在(一 3,-1)内的概率和落在(1

14、,3)内的概率相等得 =0.又因为P(X2)=p,所以尸(一 2 x 2)=l-2p,所以 P(0 X 2)=詈=：-p.15.A【解析】P(2 f 2)=0.954.16.0.954【解析】由题意可知 4=0,a=|故 P(1 W X W 1)=P(-2cr 4 X W +2o)=0.954.17.0.8【解析】如图，易得P(0 f 1)=P(1 f 2)故 P(0 2)=2P(0 f 3)=0.158,所以 P(f 1)=1 P(f 5)=P(X -1)=0.2,所以 P(-l x 5)=1-2 x 0.2=0.6,所以尸(2 X 5)=笠=0.3.21.0.488【解析】因为使用年限少于

15、3 年的概率和多于9 年的概率都是0.2,所以 P(0 f 9)=0.2,所以正态分布的对称轴为f=6,所以9 年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2.所以9 年内部件不能正常工作的概率为0.83=0.512,所以该部件能正常工作的时间超过9 年的概率为1-0.512=0.488.22.0.2【解析】由题意得，相应的正态曲线关于直线x=3 对称，于是有P(X 3)=0.5,P(l x 3)=P(3 5)=P(X 3)-P(3 X W 5)=0.5 -0.3=0.2.23.略.24.(1)因为 X N(90,100),所以 4=90,a=V100=10.由于正态分布N O，/)在区间 p-26

16、4+2 R 内取值的概率约是0.95 4,而在该正态分布中，一20=9 0-2 x 10=70,+2d=90+2x10=1 1 0,于是考生成绩X 位于区间 70,110 内的概率约为 0.95 4.(2)由于 A=90,a=10,所以/z 7 =90-10=80,/+7 =90+10=100.由于正态分布N(4 2)在区间 一(7,+司 内取值的概率约为0.683,所以考生成绩X 位于区间 80,100 内的概率约是0.683.一共有2000名考生，成绩在 80,100 内的概率约为0.683,所以在这2000名考生中，成绩在 80,100 内的人数大约为 2000 X 0.683=1366

17、.25.(1)由题意可得平均数元=5 5 x 0.1+65 x 0.2+75 x 0.35+85 x0.3+95 x0.05 =75,s2=(5 5 -75 尸*0 1+(65 -75)2 x 0.2+(75 -75)2 x 0.35 +(85 -75)2 x 0.3+(95 -75)2 x 0.05=110.(2)因为 V H U al0.5,所以 Z N(75,10.52).从而 P(5 4 Z 75)=|x P(75-2 x 10.5 Z 75 +2 x 10.5)I x 0.95 45 =0.47725.P(75 Z 85.5)=1 x P(75 -10.5 Z 75 +10.5)|x

18、 0.6827=0.34135,所以 P(5 4 Z 85.5)=P(5 4 Z 75)+P(75 Z 85.5)0.47725 +0.34135 =0.8186.(3)-3 90)=1-P(f x)=1-x)=1-0(誉)=言 0.095 1,即 0(詈)0.9049,查题表得*=1.31,解得 x=83.1.故设奖的分数线约为83分.27.(1)a=0.1-(0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002)=0.033.(2)所以 P(187.8 Z 212.2)=P(200-12.2 Z 200+12.2)=0.6826,故 P(187.8,212.2)上的频率为

19、 0.6826.(3)设生产成本为y,质量指标为x,生产成本与质量指标之间满足函数关系y=(0.4x,x 205则y=70 x 0.02+74 x 0.09+78 x 0.22+82 x 0.33+92 x 0.24+100 x 0.08+108 x 0.02=84.52.。/.A x=6 x 0.03+7 x 0.1+8 x 0.2+9 x 0.35+10 x 0.19+11 x 0.09+12 x 0.04Zo.k 1 2 c=9,sz=(6-9)2 X 0.03+(7-9)2 X 0.1+(8-9)2 X 0.2+(9-9)z x 0.35+(10-9)2 X 0.19+(11-9)2

20、X 0.09+(12-9)2 x 0.04=1.7 8.(2)由(1)知4=9,a2=1.78,所以 X N(9,1.78),a=V V 8 =等 所以 P(X W 10)=P(Y =P(Y 10)=1-P(X 2)=l-P(Z =0)-P(Z=1)=1 -0.77 3 420-C1o x 0.2266 x 0.773419=1-(0.7734+20 x 0.2266)x 0.0076X 0.9597.所以 E(Z)=20 x 0.2266=4.532.29.(1)因为 X N(90,100),所以”=90,r=V100=10.因 为 正 态 变 量 在 区 间2a,+2 o)内取值的概率是9

21、5.4%,而该正态分布中，4-2O=9 0-2X10=70,+2。=90+2 x 10=110,所以考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是95.4%(2)由=90,a=1 0,得 乩r80,+T=100因为正态变量在区间0 -G4+。)内取值的概率是68.3%,所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是68.3%因为一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2000 x 68.3%=1366(人).30.(1)所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数元为：元=5 x0.1+1 5x0.2+25 x0.3 4-35 X 0.25 4-45 X 0.15=26.(2)因为Z服从正态分布N(/z,/),且=2 6.5,”42.75q11.95,所以P(14.55 Z 38.55)=P(26.55-11.95 Z 26.5+11.95)=0.6826.所以Z 落在(14.55,38.45)内的概率为0.6826.(3)根据题意得：P(X=0)=C(|)3=i;P(X=1)=禺(丁=P(X=2)=Cj(|)3=P(X=3)=Cl(|)3=所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 1 3p 1 3 3 1E(X)=3x5=5P 8 8 8 8 2 2