2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)第6讲 立体几何(含详解).pdf

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1、第 6 讲立体几何、单选题1.（2022全国高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百 和 46,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（）A.100 B.128 C.144 D.1922.（2022.全国.高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0k n?;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65）（）A.1.0109m3 B.l.2109m

2、,C.1.4109m3 D.1.6109m33.（2022全国高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万,且3 3 则该正四棱锥体积的取值范围是（）1o 811 27 81I 27 64 r,o 0,A.18,B.C.D.18,27L 4 J L 4 4 J L 4 3 J4.（2022全国高考真题（文）在正方体ABCQ 4 C Q 中，E,分别为AB,BC的中点，则（）A.平面4 E丄平面8。B.平面片E丄平面8。C.平面BEF/平面A 4C D.平面BIE平面CQ5.（2022.全国.高考真题（文）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为,底面的四个顶点均在

3、球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时,其高为（）A.-B.I C.D.立32 3 26.（2022.全国.高考真题（理）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2 ,侧面积分别 为 和 ,体 积 分 别 为%和 .若 新=2,则 =（3乙 V乙A.5 B.22 C.107.（2022全国高考真题（理）在长方体ABC。4 B C Q 中,角均为30。,则（）A.AB=2AD B.AB与平面A8 G。所成的角为30。C.AC=CBt D.B刀 与平面B gG C 所成的角为458.（2021全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步

4、卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为3600OknI（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为。，半径r 为64（X）km 的球，其上点A 的纬度是指。A与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为,记卫星信号覆盖地球表面）n5104已知耳。与平面A5C。和平面AA所成的的表面积为S=2Q2（1-cosa）（单 位:km2）则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%9.（2021.全国.高考真题（理）已如4,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点,且AC丄8C,AC=BC=1,则三棱锥O-A B C的

5、体积为（）A.正 B.且 C.丝 D.12 12 4 410.（2021全国高考真题（理）在正方体A B C o-A B C a中,P为B a的中点,则直线尸B与A所成的角 为（）A.-B.C.-D.一2 3 4 611.（2022.全国.高考真题）如图,四边形3 8为 正 方 形,EZ）丄平面ABe,FBED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-A e 0,F-A B C 尸ACE的体积分别为匕,匕,匕，则（）C.K=匕+匕 D.2匕=3匕12.（2022全国高考真题）已知正方体ABC。-A B C Q ,则（）A,直线BG与。A所成的角为90 B.直线B a与CA所成的角为90C.直线B G与

6、平面BB所成的角为45 D.直线BG与平面BC所成的角为4513.（2021全国高考真题）如图，在正方体中,。为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶14.(2021全国高考真题)在正三棱柱A B C-A 4G 中,AB=AA1=1,点尸满足加=28C+M明,其中20,l,;0,l则()A,当=1时,ZAB的周长为定值B.当”=1时，三棱锥P-A B C 的体积为定值C.当=g 时,有且仅有一个点P,使得A尸丄8PD,当=g 时，有且仅有一个点尸,使得AB丄平面A 87三、解答题15.(2022全国高考真题)如图，PO是三棱锥P-A B C 的 高,PA=PB,ABLAC,E 是 P

7、B的中点.(1)证 明:O E/平面PAC；(2)若/ABO=NC eo=30。，Po=3,PA=5,求二面角 CAB 的正弦值.16.(2022全国,高考真题)如图，直三棱柱48C-A B IG 的体积为4,AA 8C的面积为22.(1)求 A 到平面ABC的距离;(2)设 为A C 的中点，AAi=A B,平面A B e丄平面ABqA,求二面角4 3。C 的正弦值.17.(2022全国高考真题(文)如图,四面体A3CZ中,AD CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E 为 AC的中点.（1）证 明:平 面3E）丄平面AC;（2）设A B=8 D =2,ZACB=60。,点F在8。上,当 A

8、FC的面积最小时,求三棱锥AB C的体积.18.（2022全国高考真题（理）如图,四面体ABC中，A D CD,A D =CD,Z A D B =A B D C ,E为A C的中占（2）设AB=B r）=2,NACB=60。,点 在8。上,当 A fC的面积最小时，求C尸与平面AB所成的角的正弦值.19.（2022全国 高考真题（文）小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面A B er）是边长为8（单 位:Cm）的正方形,AE4B,AFBC,AG 8,W z M均为正三角形,月.它们所在的平面都与平面ABCf）垂直.证 明:E F/平面ABC;（2）求该包装盒的容

9、积（不计包装盒材料的厚度）.2 0.(2 0 2 2.上海.高考真题)如图,在圆柱。中,底面半径为1,A 为圆柱。O 的母线(1)若 AI=4,为 AA的中点,求直线Ma 与底面的夹角大小;(2)若圆柱的轴截面为正方形,求该圆柱的侧面积和体积.2 1.(2 02 1 湖南高考真题)如图,四棱锥P-A B e O 中,底 面 ABs是 矩 形,抬丄平面ABCE为 P。的中点.(I)证 明:8平面A C E；(2)设 F4 =l,A D =B 直线尸B与平面3 C。所成的角为4 5。,求四棱锥尸-A B e D 的体积.2 2.(2 02 1 .天津.高考真题)如图,在棱长为2的正方体A 8 C

10、ABCa 中，E为棱BC的中点,F为棱CD的中点.(I)求 证:。/平 面 A E c I；(I I)求直线AG 与平面AEG 所成角的正弦值.(I I I)求二面角A-AG-E的正弦值.2 3.(2 02 1 全国高考真题)在四棱锥Q-ABS 中,底面A B c 短是正方形,若=2,。=。A =6。C =3 .(I)证 明:平 面QA丄平面ABCz);(2)求二面角B-Q o-A的平面角的余弦值.24.(2021北京高考真题)如图:在正方体A B C Q-A B C A中,E为A 中 点,B e与平面COE交于点(1)求 证:为B C的中点;(2)点M是棱A片上一点,且二面角M-F C-E的

11、 余 弦 值 为 好,求 缆 的 值.3 A425.(2021浙江高考真题)如图,在四棱锥P-A fiC D中,底 面A8CZ是平行四边形,NABC=I 20。,4B=1,BC=4,PA=店,M,N 分别为 8C,PC 的 中 点,P D L D C,P M M D.(1)证明:(2)求直线AN与平面H)M所成角的正弦值.26.(2021全国高考真题(理)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,P。丄底面ABCr,P D=D C =I,M 为 Be 的 中 点,且 尸 3丄A M.R(1)求 B C；(2)求二面角A-PM-B的正弦值.2 7.(2 0 2 1 全国高考真题)如图,在三棱锥A-B

12、CD中,平 面 A f i 丄平面B C 0,AB=A D,。为3 O的中点.(1)证明:O A l C Di(2)若 0 8 是边长为1 的等边三角形，点E在棱仙 上,D E =I E A,且二面角后BC-E 的大小为4 5。,求三棱锥A -B C 的体积.第 6讲立体几何、单选题1.(2022全国高考真题)己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百 和46,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.100 B.128 C.144 D.192【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径Z;,再根据球心距,圆面半径,以及球的半径之间的关系,即可解出球的半径,从

13、而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径不 明 所以=一,2=且-,即，i =3,=4,设球心到上下底1 si n 60=2 si n 60。面的距离分别为44,球的半径为R,所以4=JR2-9,4 =1 6,故4-4 =或4+4=1,即|9-R 2-16卜 1或病二 +病二而=1,解得7?2=25符合题意，所以球的表面积为5=4成 2 =10071.故 选:A.2.(2022.全国.高考真题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0kn;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为18

14、0.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升至157.5m时，增加的水量约为(7=2.65)()A.1.0109m,B.1.2109m,C.I.4109m3 D.1.6109m,【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为MN=I57.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S=I40.0kn=140l()6m2,下底面积S=180.0kn=180 xl06m?,V=A(5+5,+5y)=9(140106+180106+1401801012j=3(320+

15、607)106(96+182.65)107=1.437109 1.4109(m3).GM/故 选:C.3.(2022.全国高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36乃,且3 0,当2 3 G 时，V,Ja2+b2+c2 解得=0 c 对于 A,AB=a,AD=b,AB=&A D，A 错误;对于B,过8作8 E丄A用于E,易知B E丄平面ABCQ,所以A B与平面ABC。所成角为4E,因为tanZBAE=-=-所 以/84Ew30,B 错误:a 2对于 C,A C=a2+b2=y3c9 CB1=/?2+c2=2c C CB1,C 错误;对于D,4。与平面B B

16、 C C所成角为/O B(,Sin/。耳C=照=,而()N O 8C,ACU平 面A3C。,则 団 丄AC,又ED Bi=O,ED,B D u平面B D E F ,则 C丄平面 B D E F,又=DW=；8。=&,过F作 G丄O E于G,易得四边形B D G F为 矩 形,则F G =B D =22,E G =a,则 EM=也 Y+(j2 4)=6,F M=M +(E t j =瓜,E F =+(2&a j =3 a，E M +F M =E F-,则 EM 丄 f,S EFM=E M F M=2-AC=2 伝，贝 匕=匕“”+%YFM=(AC S,8=2，则 2匕=3乂,匕=3 匕,=+V2

17、故 A、B 错 误;C、D 正确.故 选:CD.12.(2022全国高考 真 题)已知正方体A B C o-A B C R ,则()A.直 线BG与。A所成的角为90 B.直 线BG与C a所成的角为90C.直 线B G与 平 面8用?。所成的角为45 D.直 线BG与 平 面ABC所成的角为45【答 案】ABD【解 析】【分 析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详 解】如 图，连 接4 C、B 3,因 为 A 与。,所 以 直 线8 G与8 C所成的角即为直线B G与。A所成的角,因为四边形BBCC为正方形，则AC丄B Q,故 直 线B a与。所成的角为90。,A正确;连接A C 因

18、为A旦丄平面1c,c,cl平面fi filclc 则Afi.丄fic,因为B c 丄fiG，A11c =1 所以fic 丄平面 4C,又A C U 平面 耳。,所以fi C 丄C A,故 B 正确:连接A 6,设A G nfi1 =。,连接fio,因为f i f i 丄平面AfilG,C O U 平面AfiiG,则G。丄f i f i,因为C 0 丄耳，BIDICBIB=BI ,所以G o 丄平面8 4 2 ,所以/G fiO 为直线fiC,与平面BBQQ所成的角,设正方体棱长为1,则CQ=立,fi C=0,si nNC fi O=g =J,1 2 fi C,2所以，直线fiG 与平面BBQ所

19、成的角为30,故 C 错误;因为C C 丄平面ABC。，所以/G fiC 为直线fi C 与平面ABCD所成的角,易得CIfi C=45。,故 D 正确.故 选:ABD13.（2021.全国高考真题）如图，在正方体中,。为底面的中心,P 为所在棱的中点,M,N 为正方体的顶点.则满足MN丄OP的 是（）【答案】BC 解析:【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误,平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断A D 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A,如 图（1）所示,连接A C,则MV/AC,故/POC（或其补角）为异面直线OAMN所成的角,在直角三角形OPC，O C =6,C P=I,

20、故tanPOC=4=,2 2故M N丄OP不 成 立,故 A 错误.对 于 B,如图（2）所示，取 的中点为。,连接PQ,OQ,则 OQ 丄 N T,P Q l M N,由正方体S B C W-N S T可得SN丄平面AM）T,而。Q U 平面AM）T,故SN丄。Q,而S N C M N =N ,故。丄平面SWTM,又M N U 平面S N T M ,O Q l M N ,而OQnPQ=Q,所以MN丄 平面。P Q,而P oU 平面。P Q,故M N丄。尸,故 B 正确.图（2）对于C,如 图（3）连接5Z）,则BD/MN,由 B 的判断可得O P l B D,故O P I M N,故C正确.

21、对于D,如 图(4),取A的中点。,A B的中点K,连接AC,P Q Q Q,P K Q K ,则 A C H M N,因为P=P C,故 P Q/AC,P Q H M N ,所以N Q P O或其补角为异面直线PO,M N所成的角,因为正方体的棱长为2,故P Q =(A C =拒,O Q =yAO2+A Q2=1T2=3,P O=4 P K2+o-=4+=5 Q O2 y0-此时P与N重 合,故D正确.故 选:BD.【点睛】本题主要考查向量的等价替换,关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.三、解答题15.（2022全国高考真题）如 图,PO是三棱锥尸-ABC的 高,PA=PB,A B Y A

22、 C,E是8的中 点（2）若/AeO=NCeo=30。，Po=3,PA=5,求二面角 C-A E-B 的正弦值.【答案】（1）证明见解析213【解析】【分析】（1）连接8。并延长交4 C于点，连接。4、P D,根据三角形全等得到。4=。6,再根据直角三角形的性质得到AO=0,即可得到。为B。的中点从而得到OE/P。，即可得证:（2）过点A作O P,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值,再根据同角三角函数的基本关系计算可得:（1）证 明:连 接8 0并延长交AC于点。,连接。4、PD,因为PO是三棱锥尸 /WC的 高,所 以P。丄平面ABC,AO,BOu平面ABC,所以 PO

23、丄 AO、P O Y B O,又 PA=P B,所以 APOA=/P 03,即。4=0 8,所以。AB=NOBA,又 AB 丄 A C,即84C=9 0 ,所 以/。4B+NOAD=90,Z O B A+Z O D A =9Qo,所以 N0。A=N。4。所以A0=。0,即Ao=。0=。8,所以。为3。的中点，又E为尸B的中点，所以。叫。,又。E a平面PAC,P。U 平面PAC,所以。E/平面PAC(2)解:过 点A作AZ 0P,如图建立平面直角坐标系,因为P0=3,AP=5,所以C=Ci p2-PO2=4,N o B A =N o B C =30 ,所以8f=2OA=8,则 AD=4,AB=

24、43,所以AC=I2,所以。(26,2,),(43,),尸(2。,2,3),C(0,12,0)所以,AB=(4石,(),0),AC=(0,12,0),一 z h AE=/+V +z=O设平面EB的法向量为 =(x,y,z),贝I卜 .2 令z=2,则 =-3,x=0,所以WAB=43=0=(0,-3,2)；3设平面AEC的法向量为=(,b,c),则_ a+?+24-令a=乖,则c=-6,6=0,所以in-A C =U b =O小(。,司;-12133943设二面角C A E-B 为8,由图可知二面角C A E B为钝二面角,所以CoSe=所以Si nd=Jr-COS2，=1313故二面角C-A

25、 E-B 的正弦值 为 共；16.(2022.全国.高考真题)如图,直三棱柱 BC4 的体积为4,AA/C 的面积为(I)求 A 到平面ABC的距离;设为C 的 中 点,AAt=A B,平面BC丄平面ABBd,求二面角 A 3。C 的正弦值.【答案】(1)及 立【解析】【分析】(1)由等体积法运算即可得解;(2)由面面垂直的性质及判定可得BC丄平面AB耳,建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱A B C-AiBtCt中,设 点 A 到平面A1BC的距离为h,则匕-A B C =s.A,BC h=Wft=vAl-ABC=1 S.ABC-AA=匕岭 s1q=解得=夜,所以点A

26、 到平面ABC的距离为夜:(2)取 A B 的中点E,连接AE,如 图,因 为 AA=AB,所以AE丄A1B.又平面ABC丄平面A8g A1 平面A lC n 平面ABqAl=4 B,且 AEU平面ABq At,所以AE丄平面A BC,在直三棱柱ABC-A円Cl中，BB.丄平面ABC,B C u平面 AiBC,B C u平面 3C可得 AE丄BC,BBi 丄 BC,又AE,BBIU平面ABq A 且相交,所以BC丄平面ABBi Ai,所以BC,8A,B 4两两垂直,以B 为原点,建立空间直角坐标系,如图,由(1)得 AE=&，所以 AA=A8=2,AiB=2 丘,所以 BC=2,则 A(0,2

27、,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以 A C 的中点。(1,1,1),则 丽=(1,1,1),丽=(0,2,0),册=(2,0,0),一 .m-BD=x+y+z=0设平面BZ)的一个法向量/M =(X,y,z),贝叫_ _ _ _ _ ,m BA=2y=0可取浣=(LO,-1),设平面BZ)C的一个法向量”=(a,6,c),贝叫_ _ _ _ _.,m-BC=2a=0可取:(),1,-1),则3加/-=m丽n=71 =11所以二面角A-B D-C 的正弦值为出 =W.17.（2022全国高考真题（文）如图,四面体ABC。中,AD 1 CD,AD=CD,ZADB=Z

28、BDC,E 为 C 的中点.(1)证明:平 面3切 丄平面AC;(2)设AB=8。=2,NACB=60。,点 在8。上,当 AFC的面积最小时,求三棱锥 ABC的体积.【答案】(1)证明详见解析【解析】【分析】()通过证明AC丄平面加里)来证得平面BEf)丄平面ACD.(2)首先判断出三角形AFC的面积最小时F点的位置,然后求得到平面ABC的距离,从而求得二棱锥ASC的体积.(I)由于AD=C,E是A e的中点，所以AC丄 E.A D =CD由于 0 =8。，所以 AOB=/CD8,Z A D B =Z C D B所以B=CB,故AC丄BD,由于E cB D =Q,DE,BDl 平面BED,所

29、以AC丄 平面8E),由于ACU平面A C D，所以平面BE丄平面AC).(2)依题意5=即=5C=2,NAeB=60。,三角形BC是等边三角形,所以 AC=2,AE=CE=1,BE=石,由于A=以,A r)丄8,所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以。E=LD E2+B E2=B D2 所以 D E丄BE,由于ACCBE=石,A c B E u平面A 3 C,所以Z)E丄 平面A3C.由于/SAOB=/C Q B,所以/bBA=NB5C,BF=BF由于NFBA=N F B C ,所以 ziEBA二 FBC,AB=CB所以A尸=C,所以砂 丄AC,由于c=g A C E F，所以当M最短时，三

30、角形AFC的面积最小值.过E作E尸丄瓦),垂足为,在RtZBEZ中,二BE DE=二BD EF,解得EF=也,2 2 2FH BF 3过 作 相 丄 的 垂足为，,则F E,所以口 丄 平 面 相。，且无=而=所以山=“所以匕TPC=；.眞c.F =；x g x 2 x g x =.AD CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为 AC 的中点.(2022.全国.高考真题(理)如图，四面体A8CZ中,(1)证明:平 面8E丄平面AC;(2)设A3=3O=2,ZAC3=6()。,点 尸在8上，当AFC的面积最小时,求C与平面AB。所成的角的正弦值.【答案】(D证明过程见解析(2)C F与平面AB

31、。所成的角的正弦值为竽【解析】【分析】(1)根据已知关系证明AB陵 C B D,得到AB=C3,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明;（2）根据勾股定理逆用得到M 丄D E,从而建立空间直角坐标系,结合线面角的运算法则进行计算即可.（1）因为AD=CD,E 为AC的中点，所以AC丄 E；在 A B D 和 ACBD 中，因为 AD=Cr）,Z A D B =ACDB,D B =D B ,所以49。丝/X CB D,所以AB=C8,又因为E 为 AC的中点，所以AC丄BE；又因为E B E u 平面3皮，D E c B E =E,所以AC丄平面因为ACU平面A C

32、D,所以平面四%）丄平面ACD.（2）连接E尸，由（1）知，AC m B E D,因为EFU平面BE。,所以AC丄 F,所以SAAFC=;ACE/，当 F 丄Br）时，E最小，即AAFC的面积最小.因为AABOgZXCa）,所以C8=AB=2,又因为/ACB=60。,所以AA3C是等边三.角形,因为E 为AC的中点,所以AE=EC=1,BE=6,因为AP丄8,所以。E=；AC=1,在 。中,D E2+BE2=B D2,所以BE丄。E.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则 A（LO,）,3（0,）,。（,（）,所以 AZ）=（-l,O,l）,A=（-l,3,）,设平面A B

33、D的一个法向量为n=（須y,Z）,则万 AO=-x+z=O _-/-一 r,取 y=6,则 =(3,g,3),nA=-x +3=0*v 所以庁=f l,g ,46所以CoSG,而）=又因为 C(T,0,(),F设C F与平面ABD所成的角的正弦值为0 O 0 L所以Si ne=卜 OS,C尸=所以C与平面说所成的角的正弦值为生叵.19.（2022全国高考真题（文）小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面ABC。是边长为8（单 位:Cm）的正方形,AEAB,AFBC,AG 8,MTOA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABC垂直.证明：所/平 面ABCr；（2）

34、求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.【答案】（1）证明见解析;C 6亍40 技r-【解析】【分析】（1）分别取民8。的中点知,汽,连接MN,由平面知识可知E M丄B,硒 丄BC,EM=F N,依题从而可证E M丄平面A B C D,尸N丄平面ABC）,根据线面垂直的性质定理可知EM/EN ,即可知四边形EMNF为平行四边形,千是E F u M N、最后根据线面平行的判定定理即可证出;（2）再分别取A 3 O C中点K,L,由（1）知，该几何体的体积等于长方体MwZV EFG”的体积加上四棱锥3-MNEE体积的4倍,即可解出.(1)如图所示:分别取A8,BC的中点M,N,连接 N,因为AE

35、4B,AF8C为全等的正三角形,所以EM 丄A民/W 丄BC,E M =F N,又平面E4B丄平面ABCz),平 面 EA Bc平面A3CD=A,EW U 平面E 4 3,所以EM 丄平面A B C D,同理可得RV丄平面ABe,根据线面垂直的性质定理可知EM/W ,而 EM=FN,所以四边形EMN为平行四边形,所以E F/M N,又E F a 平面ABC,MNU平面ABC,所以“/平面ABC.(2)如图所示:分别取 A,。C 中点 K,L,由(1)知,E F/M N 宜 EF=M N ,同理有，H E K M,H E =K M ,H G/KL,H G =KL,GFllLN,GF=L N ,由

36、平面知识可知,B D Y M N,M N l M K ,K M =M N =NL=L K ,所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-M N F E体积的4 倍.因为M N =NL=LK=K M=隈 叵,EM=8si n 60-=，点8 到平面MNFE的距离即为点B 到直线MN的距离d,d=2 L 所以该几何体的体枳 =卜)4百+4x1x4x4石 x2=1286+G =有.20.(2022上海高考真题)如图，在圆柱。I中,底面半径为1,(D若 A A=4,M 为 AA的中点,求直线M a与底面的夹角大小;(2)若圆柱的轴截面为正方形,求该圆柱的侧面积和体积.【答案】ar

37、ctan2；(2)侧面积4万,体积2万.【解析】【分析】(1)分析可知直线M a与底面所成的角为/M a ,求出tanN M Q A,即可得解;(2)求出圆柱的母线长,利用圆柱的侧面积公式和体积公式可求得结果.(1)解:因 为 A与圆柱。I的上底面垂直,则直线M a与底面所成的角为NM。,易知41 丄4,在 7AMO A 中,M A=丄4l=2,0,A=1,故tanNMOIAl=黑!=2,故直线。与底面的夹角大小为arctan2.U(2)解:若圆柱的轴截面为正方形，则A A=2,故圆柱。I的侧面积为2X1X2=4,体积 为%X/X2=21.21.(2021.湖南高考真题)如图，四棱锥尸 BC。

38、中，底面ABC。是矩形，丄平面ABC,E 为 P。的中点.(1)证 明:尸 8 平面ACE；(2)设 R4=l,A D =B 直线PB与平面 ABC。所成的角为45。,求四棱锥P-A B eD 的体积.【答案】证 明 见 解 析;(2)旦.【解析】【分析】(1)连接5。交4 C 于点。,连接。E,由三角形的中位线定理可知P 3/O E,结合线面平行的判定定理可证明尸 5平面AC.(2)由题意可知ZPBA=4 5 ,再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.【详解】(1)连接8O 交 A C 点。，连接。E.在 尸班)中，因为PE=OE,3 0 =0,所以PB/OE,因为OEU平面AeE,PBa平面

39、ACE,则 PB/平面AEC.(2)因为R4丄平面A B C 所以NPBA就是直线PB与平面ABCZ所成的角,所以/P84=45。,又/=1,A D =B 所以 Q4=1 =A8,所以四棱锥尸一 ABC。的体积匕Z(C a=gx PAx ABxAO=丄 XIXlXG =3,所以四棱锥P-ABCD的体积为22.(2021天津高考真题)如图,在棱长为2 的正方体ABCz)-A8 中,E 为棱BC的中点,为棱 的中点.(I)求 证:。/平面AEG；(I I)求直线AG与平面AEG 所成角的正弦值.(H I)求二面角A-A G-E 的正弦值.【答案】(I)证明见解析;(I I)且;(III)9 3【解

40、析】【分析】(I)建立空间直角坐标系,求出炉及平面ECl的个法向量而，证 明 即 丄记,即可得证;(I I)求出宿,由sin，=卜 os(加 司 运算即可得解；(I I I)求得平面AAG的个法向量 方,由cos(而,同=南 扁 结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】(I)以A为 原 点,A8,AO,A4(分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则 A(0,0,0),A(0,0,2).B(2,0,0),C(2,2,0),。(,2,0).C,(2,2,2).D1(0,2,2),因为E为棱BC的中点，为棱C。的中点,所以E(2,l,0),。,2,0),所以=(1,0,-2),而=(2,2

41、,0),需=(2,1,-2),设平面AEG的 一 个法向量为而=(如z j,则-A-Cl =2xl+2 V 1=O,令=2,则一“=(/2,-2,1),/W A1E=2x1+y1-2z1=O因 为 扉 正=2-2=0,所以麻丄碗,因 为 F U平面AECI,所以。尸/平面AEG；(I I)由(1)得,M =(2,2,2),设直线AC1与平面EG所成角为。,则 si n =卜 OSM ACl)=m-ACi2 63x2百 一9(I)由正方体的特征可得,平面G的个法向量为DB=(2,-2,0),DBm 8 22回 胴 3x2近一 3所以二面角A-AG-E的正弦值为 I-cos?(DB,m)=.23.

42、(2021 全国高考真题)在四棱锥Q-ABC中，底面ABC。是正方形，若AO=2,。=。A=6QC=3.Q(1)证 明:平 面Q A丄平面A B C z)；(2)求二面角B-Q o-A的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;f .【解析】【分析】(1)取A的中点为。,连接Q。,C 0,可证Q O丄平面A B c,从而得到面Q A。丄面A B a(2)在平面A B C。内,过。作O T H C D,交B C于T,则O T l A D,建如图所示的空间坐标系,求出平面QAD.平面B Q D的法向量后可求二面角的余弦值.Q【详解】(I)取A。的中点为,连接。,C.因为Q A =Q O,OA=O

43、D,则。丄 A 0,而 A O =2,Q A =行，故Q。=信1=2.在正方形A B C z)中，因为A z)=2,故。=1,故C O =也,因为Q C =3,故Q C 2=。+。,故AQ。C为直角三角形且。丄。C,因为。C n A=。,故。丄平面A B e 0,因为。U平面。,故平面。丄平面ABCD.(2)在平面A B C z)内，过。作0 77/C Z),交B C于T,则O T丄A Z),结 合(1)中的。丄平面A B e D,故可建如图所小的空间坐标系.Q8。=(2,1,2),8=(2,2,0).则(0/,(),Q(0,0,2),5(2,-1,0),故设平面QBD的法向量 =(,y,z)

44、,则,呼=。即万 BD=0-2x y2z=0 1.2x+2y=0 取 X=则1=5,故 破.而平面。A。的法向量为浣=(l,o,o),故cos(in,Il=-=二/1x3 32二面角B-Q O-A的平面角为锐角,故其余弦值为24.(2021北京高考真题)如图:在正方体ABCB e Q中,E为A a中点,BC与平面CE)E交于点.(1)求 证:为qG的中点;点M是 棱 的 上一点,且二面角C”的 余 弦 值 为 冬 求 然的值.【答案】证明见解析;雑T【解析】【分析】(1)首先将平面CD E进行扩展,然后结合所得的平面与直线BC的交点即可证得题中的结论;(2)建立空间直角坐标系,利用空间直角坐标

45、系求得相应平面的法向量,然后解方程即可求得实数的值.【详解】(D如图所示，取BC的中点尸,连结。E,E尸,尸C ,由于A B C z)-A qG 为 正方体，E,尸为中点，故EFI I C Z),从而E,尸,C,四点共面,即平面C T)E即平面C o E尸，据此可得:直线8 交平面CD E于点 尸,当直线与平面相交时只有唯一 的交点,故点与点F 重合,(2)以点Z)为坐标原点,D4,Z)C,O f 方向分别为X轴,y轴,Z轴正方向,建立空间宜角坐标系。，z ,不妨设正方体的棱长为2,设 第=(O 1),则:M(2,2,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),从 而:旗=(-

46、2,2-2,一2),庁=(1,0,2),而=(),2,0),设平面MC产的法向量为:，”=(x ,乃,zj,则:th M C=-2x +(2-2)yl-2zl=Oth-C F=Xl +2Z l=O令ZI=-I可 得：m=2 !-1设 平 面CF E的 法 向 量 为:n=（x2,y2,z2）则:n-FE=-2y2=0ft-CF=x2+2Z2=0令Zl=-I可 得:=(2,0,-1),从而:mn=5 AmJ W=逐,贝 :mn整 理 可 得:（=L故 =!（=舍 去）.【点 睛】本题考查了立体几何屮的线面关系和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,对 于 立 体 几 何 中

47、 角 的 计 算 问 题,往 往 可 以 利 用 空 间 向 量 法,通 过 求 解 平 面 的 法 向 量,利 用 向 量 的 夹 角 公 式求解.2 5.（2 0 2 1浙江高考真题）如 图,在 四 棱 锥P-ABCD中,底 面A B C。是平行四边形,ZABC=1 2 0 ,AB=1,B C =4,PA=yl5,M,N分别为 BC,尸C 的 中 点,PD L DC,PM A.MD.(1)证 明:ABLPM-,（2）求 直 线AN与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析;（2）叵【解 析】【分 析】（1）要 证AB丄PM,可 证 C丄P M,由 题 意 可

48、 得,P D lD C,易 证 M丄EC,从而。C丄平面/V W,即有C丄尸/0,从而得证;（2）取A。中 点E,根 据 题 意 可 知,ME,。河,PM两 两 垂 宜,所 以 以点”为 坐 标 原 点,建 立 空 间 宜角坐标系,再 分 别 求 出 向 量 丽 和 平 面 灯w的个法向量，即可根据线面角的向量公式求出,.【详 解】(1)在(%Z中,DC=L CM=2,A D C M =60 ,由余弦定理可得M=6，所以。M?+=C M ,DW 丄 C.由题意。C丄P且P。C QM=Q,.fC丄平面尸。M,而 HMU平面 。M,所以 C L P M,又AB/DC,所以AB丄P M.(2)由PM

49、 丄MD,AB丄尸”,而 8 与。/0 相交,所 以 PM 丄平面ABe),因为A例=7,所以P =2 0,取 。中点E,连接汪:,则MEQM,PM两两垂直,以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则 A(-3,2,0),P(0,0,22),D(3,0,0).M(0,0,0),C(3,-1,0)又 N 为 PC中点,所以 N(9,一 g,a ,AJV=-,-,2 .由(1)得C丄平面t。/,所以平面尸。M 的 个法向量万=(。,1,0)5,AN-n 0 5从而直线A N与平面P D M所成角的正弦值为Sm=卜 .IANW n /27 25 2 6V 4 4+【点睛】本题第一问主要考查

50、线面垂直的相互转化,要证明AB丄PM,可以考虑。C 丄PM,题中与DC有垂直关系的直线较多，易证C 丄平面?DM,从而使问题得以解决;第二问思路直接,由第问的垂直关系可以建立空间直角坐标系,根据线面角的向量公式即可计算得出.26.(2021全国高考真题(理)如图，四棱锥尸 A B a)的底面是矩形,P。丄底面ABC短，P D=D C =I,M 为 3C 的中点，且 PB丄W .R(1)求 8C；-7 M（2）求二面角A-R M-3 的正弦值.【答案】（1）正;（2）回【解析】【分析】（1）以点为 坐 标 原 点,DA.D C,。户所在直线分别为X、Z轴建立空间直角坐标系,设3C=24,由已知条