2023届新高考数学函数压轴小题专题突破专题10 函数对称问题含答案.pdf

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1、2023届新高考数学函数压轴小题专题突破专题1 0 函数对称问题Ixlnx 2x,x 02 3 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线歹=-1 的对称点在y=京-1的x+0图象上，则实数4 的取值范围是()A.(1,1)B.(pC.(1,1)D.(1,2)2 .已知函数4x,X,图 象 上 有 且 仅 有 四 个 不 同 的 点 关 于 直 线 =e 的对称点在函数xlnx,x 0g(x)=h +2e+l 的图象上，则实数上的取值范围为()A.(1,2)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-6,-1)3 .已 知 函 数/()=卜 2+4兑招 图 象 上 有 且 仅 有 四 个 不 同 的

2、点 关 于 直 线=e 的对称点在函数xlnx,x 0g(*)=H +2 e+l的图象上，则实数的取值范围为()A.(1,2)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-6,-1)4.已 知 函 数 的 图 象 上 有 且 仅 有 四 个 不 同 的 点 关 于 直 线 y=l 的对称点在歹=丘+1的图I x 3x,0象上，则实数%的取值范围是()A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1 1)D.(-1 i)5.已 知 函 数 的 图 象 上 有 且 仅 有 四 个 不 同 的 点 关 于 直 线 y=-l 的对称点在y=b-l 的图象上，则实数A 的取值范围是()A.(1,1)B.(0,1)C

3、.(一；,0)D.(-1,0)6.已 知 函 数=则此函数图象上关于原点对称的点有()-x2-4x,x,0A.0 对 B.1对 C.2 对 D.3 对7.若直角坐标平面内的两个不同的点、N 满足条件：M、N 都在函数y=/(x)的图象上；M、N 关于原点对称.则称点对 M,N 为函数y=/(x)一对“友好点对”(注：点对,N 与 N,M为同一“友好点对”).已知函数/(x)=：(；：),此函数的友好点对有()A.0 对 B.1对 C.2 对 D.3 对8.若直角坐标平面内的两点尸，。满足：P,。都在函数.f a)的图象上；P,。关于原点对称，则称点对(尸,。)是函数y=/(x)的一对“友 好

4、点 对(注：点对(P,。)与(。,尸)看作同一对“友好点对”).已知函数x)=F 号 xx ,则该函数的“友好点对”有()I-x-4x,x,0A.0 对 B.1对 C.2 对 D.3 对9.若函数y=/(x)图象上存在不同的两点/,8 关于了轴对称，则称点对4,8 是函数y=x)的一对“黄2 x 4则此函数的 黄金点对“有()A.0 对 B.1对 C.2 对 D.3 对10.函数/(幻=83尤的图象上关于轴对称的点共有()cos 7VX,X 0A.0 对 B.1对 C.2 对,D.3 对11.已知函数/(x)=2/x(L 工，/),g(x)=mx+,若 f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y

5、=1对称的点，e则实数机的取值范围是()?_ 3A.-,2e B.-3e2,3e C.-e-2,3e D.-2e 3ee12.已知函数力=X 2-&(1,.0,e 为自然对数的底数)与g(x)=e*的图象上存在关于直线y=x 对称的e点，则实数。取值范围是()A.1,c H-B.1,c C.e j eH D.e,ee e e e e13.已知函数，(x)=Ax+l,g(x)=eA+l(-L x,1),若/(x)与 g(x)的图象上分别存在点M,N,使得点M,N 关于直线歹=1对称，则实数k 的取值范围是()A.一,+8)B.e,一)e eC.e t+o o)D.e U ，+)1 4 .己知函数

6、/(幻=/+机与函数8(%)=_/一38 _ 1,2 )的图象上至少存在一对关于工轴对称的点，则x 2实数?的取值范围是()A.-+7 2,2 B.2-7/7 2,-+/w 2 C.-+M 2,2 +/?2 D.2 勿2,2 4 4 41 5.已知函数/(x)=x 4+婷-g(x 0)与 g(x)=/+/(x +a)的图象上存在关于夕轴对称的点，则a的取值范围是()A.(-Q1 6 .已 知 函 数/(x)=，2 5 的 图 象 上 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 点 关 于 直 线 y =-2的对称点在+04区-y-3 =0 的图象上，则实数上的取值范围是1 7.已知函数/(%)=-xl

7、nx-2x,x 03x2+02的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =-l的对称点在y =h-l 的图象上，则实数攵的取值范围是.1 8 .已知函数x)=x 2 _ a x d,x,e,e 为自然对数的底数)与g(x)=，的图象上存在关于直线y =x 对称的e点，则实数。的取值范围是.1 9 .已知函数/。)=工X3 一 机 x +3,g(x)=-5x+4lnx,若函数/(x)的导函数/(x)与g(x)(x 1,9 )的图象6上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m的最大值为一.2 0.已知函数x)=g-2 x 023 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =-l的对称点在丁=b-1的X

8、-+x,x,0图象上，则实数4的取值范围是()A.(1,1)B.(1 C.(1,1)D.(1,2)【解析】解：，,函数/(%)=xlnx-2x,x 0,3 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-l 的对称点在x+02y=kx-的图象上,而函数歹=依-1关于直线=-1 的对称图象为=-依-1,xlnx-2X9 x 0.*./(x)=2 3 的图象与歹=-云-1的图象有且只有四个不同的交点,x+x.x,02xlnx-2x,x 0作函数=1 2 3 的图象与卜=-a-1 的图象如下，x+02易知直线y=kx 1恒过点?4(0,1),设直线A C与y=x阮v-2x相切于点。(x,x/x-2x),y

9、r=I nx-1 ，,r,i xlnx-2x+1H I nx-I =-x解得，x=1故 k/c=一 1a a设直线Z 8 与y=%2+,X 相切于点+x),c 3y=2x4-,-22 3 1&X+X+1故 2x+-=-2 x解得，x=-1；7 1故 人 =-2 H=；/ID 2 2故-1一 4 ，2故一%1；2故选：A.2.己 知 函 数/(幻=卜+以，乂，图 象 上 有 且 仅 有 四 个 不 同 的 点 关 于 直 线 y=e 的对称点在函数x/小户 0g(x)=Ax+2e+l 的图象上，则实数上的取值范围为()A.(1,2)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-6,-1)【解析】解：

10、函 数/。)=卜 2+以，乂，图 象 上有且仅有四个不同的点关于直线y=e 的对称点在函数xlnXyX 0g(x)=Ax+2e+1 的图象上,而函数g(x)=H +2 e+l关于直线y=e 的对称图象为y=-Ax-l,，函数#(X)=F+4X，A；,0图象与了=-丘-1的图象有且只有四个不同的交点，xlnXy x 0作函数八对=卜2+4%*,0 图象与y=一辰-1的图象如下，xlnx,x 0易知直线y kx-1恒过点?4(0,1),设直线彳。与y=xlnx相切于点C(x,x加x),y=Inx 4-1，故/”1=四里，X解得，X=1 ；故 L=1;设直线4 8 与 =xlnx相切于点C(x,x2

11、+4x),y =2x+4,c A f +4x+1故 2x+4=-，X解得，x=-1；故 AC=-2+4=2；故 1 -%2,故一2 女 0g(x)=Ax+2e+l 的图象上，则实数4 的取值范围为()A.(1,2)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-6,-1)【解析】解：.函数/()=卜2+4x，x.0图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e 的对称点在函数xlnxyx 0g(x)=Ax+2e+1 的图象上,而函数8(%)=履+26+1关于直线 =6 的对称图象为y=-去-1 ,函数/(幻=(+4、，”，图象与了=一 米一1的图象有且只有四个不同的交点,xlnx,x 0作函数/Xx)x2

12、+4x，X，图象与了=一日_ 1的图象如下,xlnx.x 0易知直线y=-kx-恒过点J(O,-1),设直线A C与y=相切于点C(x,xlnx),y*=I nx 4-1 ,故/x+l=必 竺 里，X解得，x=l;故 kAC=1 ；设直线力 8 与y=/+4x相切于点B(X9X2+4X),y=2x+4,故 2x+4=x2+4x+1x解得，x=-1；故 AC=-2+4=2；故1 一 左 2,故一2 女 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =1的对称点在y =丘+1的图I-x 3冗,x,0象上，则实数k的取值范围是()A.(；,1)B.(-1,1)C.D*(H)【解析】解：直线了 =代+1关于

13、直线=1的对称直线为y =-b+l,则直线夕=-日+1与y =/(x)的函数图象有4个交点，当 x 0 时，fx=-lnx，.当 0 x 0,当 x e 时，f(x)=/(x)有 4个交点，/.直线y =f c r +l与y =/(x)在(-o o,0)和(0,+8)上各有2个交点,-1 A:0 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线=_ 的对称点在=代_ 的 r+2 ,工，0图象上，则实数4的取值范围是()A.(1,1)B.(0,1)C.(-p 0)D.(-1,0)【解析】解：.己知函数/(x)=1“内-2 x 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =_ 的对称点在x+2 4,天，0丁 =履

14、-1 的图象上，而函数y =h-1关于直线歹=-1 的对称图象为y二-去-1,已知函数 x)=H x-2 x，x 0 的图象与昨-的图象有且只有四个不同的交点，lx +2X,K 0作函数/(x)的图象与夕=-依-1 的图象如下,设直线月C 与了=丫/-2 相切于点C(x,x/x-2 x),y=lnx-,故加*-1 =业 士 生 里x解得，X=1 ；故左心=一1设直线A B与y=x?+2ax相切于点B(x,x2+2x),y=2x+2,i2x+2=r-21X解得，x=-1故 kAB=2+2=0,故-1 -及 0,故0%),此函数的友好点对有(-X 6 x(x,0)A.0 对 B.1 对 C.2对【

15、解析】解：令(s,f)(s 0),N(-s,-t),)D.3 对函数/(x)=f/o g4x(x0)-x2-6 x(x,0)/.t=l o g4 s,-t=-s2+6t,.1 0 g45=5,2-6 s画出 y=l o g4 x，y=x2-6 x(x 0)的图象,由图象可得有两个交点.故该函数的友好点对有2对.尸，。关于原点对称，则称点对（P,。）是函数y =/（x）的一对“友 好 点 对（注：点对（尸,。）与（。,尸）看作同一对“友好点对”）.已知函数/）=吗 *,则该函数的“友好点对”有（）X-4X9%,0A.0对 B.1 对 C.2对。D.3 对【解析】解：根据题意：当用0时,r 0）的

16、图象，看它与函数 X）=l o gz x Q 0）交点个数即可得到友好点对的个数.如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2.即/(x)的“友好点对”有：2 个.故选：C.9.若函数y=/(x)图象上存在不同的两点1,8 关于y 轴对称，则称点对 4,8 是函数y=/(x)的一对“黄2x,x0金点对”(注：点对/,8 与 8,如可看作同一对“黄金点对”).已知函数/3)=4则此函数的“黄金点对“有()A.0 对 B.1对 C.2 对 D.3 对【解析】解：由题意知函数/(x)=2、，x 0,作出函数/(x)和利=x 0 的图象,由图象知当x 0 时，/(x)和y=()*,x 0 的图象有3 个交

17、点.所以函数/(%)的“黄金点对”有 3 对.故选：D.io.函数/(幻=(1&的图象上关于歹轴对称的点共有()cos 7TX,X 0 的部分画出，与y=log；的交点的个数，如图中的红色交点，共有3 对.11.已知函数f(x)=2lnx(-x,e2),g(x)=mx+,若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线歹=1对称的点,e则实数机的取值范围是()2A.-,2e B.-3e-2,3e C.e-2,3e D.2e 2,3e【解析】解：设(向是函数/*)上的点，则L a,/,b=2lna,e则点(a,b)关于y =1 对应的点为(a,2 -b)在g(x)上，即2 -b=am+1 有解,即 1

18、一 2lna-am,当加=0 时，不满足条件.当0 时，m=1-2 ,a设%(a)=驷，a2则(a)=_a a a当a,e2 时，一 L,2 ,则,一 Z,2/a,4,e即由(a)0,得一 3+2 0 0,得加a ,即/,时，函数为增函数，23 1 2由(a)0 ,得-3+2/”0,得出a ,即 e-=彳,/)(-)=3e,.函数(a)的最大值为3e,e e e Ye3即 人(a)的取值范围是-2 e”,3e,3则m的取值范围是-2)1 30,故选：D.1 2.已知函数/*)=工2-公(1,工 6,e 为自然对数的底数)与g(x)=，的图象上存在关于直线y =x对称的e点，则实数。取值范围是(

19、)A.1 ,e+B.1 ,e-C.e-,e+D.e-,ee e e e e【解析】解：若函数/(x)=f 一 6(1 X.e,e 为自然对数的底数)e与g(x)=e 的图象上存在关于直线y =X 对称的点,则函数%0=/_ 以(士,x,e,e为自然对数的底数)e与函数h(x)=Inx的图象有交点，即 x2-ax=Inx,(-x,e)有解,e即。=x -,(-x,e)有解，x e令 y=x-蛆，(-X,e),x e则入止的，x当.x l时，y 0,函数为减函数,e当1 0,函数为增函数,故x =l时，函数取最小值1,当方=时，函数取最大值e+，e e故实数。取值范围是1,e+-,e故选：A.1

20、3.已知函数/(x)=A x +l ,g(x)=+1(-L,王.1)，若/(x)与g(x)的图象上分别存在点，N,使得点用，N关于直线歹=1对称，则实数的取值范围是()A.,+0 0)B.-e,)e eC.-e,4-o o)D.(-o o,-eJ ,+o o)【解析】解：由题意/(x),g(x)图象上分别存在点M ,N,使得点M,N关于直线y =l对称，则A r+1 +e*+1 =2 ,即 e*=kx,所以指数函数y =与一次函数歹=-依 在-L,x,l恒有交点，画出图形，工=一1时，、=k,即=!；e e x =1 时，k=-e f综上，解得k G(-o o ,-eJ,-,+co)e故选：D

21、.1 4.已知函数/(工)=/+2与函数g(x)=-/J-3 x(x w,2 D 的图象上至少存在一对关于X轴对称的点，则x2实数7的取值范围是()A.-+/H2,2 B.2-ln2,-+ln2 C.-+M2,2+/n2 D.2 勿2,24 4 4【解析】解：由已知，得至|J方程/+加+加=一/冗+3工 一 工 2在_1,2上有解.x 2设/(x)=-Inx 4-3x-xI 2,I.二,，X,2,2令 fx)=O ,解得 x=；或 x=l,当/(x)0时，g x l函数单调递增，当 八 x)0 时，l x 2 函数单调减，.在x=l 有唯-的极值点，./(1)=/2+,f (2)=-ln2+2

22、,/极 大 值=/(1)=2,且知/(2)/(；),故方程?=-/%+3*-苫：!在；,2上有解等价于2-历2.m,.2.从而加的取值范围为2-/2,2.故选：D.1 5.已知函数/。)=工4+靖-3。0)与 8(刈=4+/(;:+4)的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值P.Z 0、1 _ _ 2x?3x+1 (2x l)(x 1)求导得：f x)=+3-2x=-=-,X X X范围是()A.(-0 0,V e)B.(-0 时,有解即可,则 x4+ex-2 =+加(“+)，即 、一；=/(+)，在(0,+0 0)上有解即可,设 y=-,h(x)=lnx+a),作出两个函数的图象如图:当

23、 x=0 时，y=e x =1 ,2 2 2当a,0,将/工的图象向右平移，此时勿(x+Q)一定与歹=-；有交点，满足条件,11 r-当 a 0 时，则 (0)=I na -9 得 0 a 62 =&,综上a y/e，即实数a的取值范围是(7,6)故选：A.的 图 象 上 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 点 关 于 直 线 y=-2 的对称点在b-y-3 =0 的图象上，则实数我的取值范围是 左 1 _.4【解析】解：函数y=&-3 关于直线y=-2 的对称图象为y=-b-1,所以条件等价于函数/(幻与 =-履-1 有且仅有2个不同的交点，当x 0,f(x)=xlnx-lx,贝 U 令/(

24、x)=/x-l =O,解得x=e,且当0 x e,/(x)单调递增,作出函数/(*)与j =-心-1 图象如图:当了=-履-1 是y=x及 x-2 x 切线时，设切点(x。，%)，则/-1=-4，FL 必=-Ax0 1 =xolnxo 2 x(),解得切点坐标为(1,-2),k=1 ,根 据 图 象 可 知 则/1；当了=-米-1 是y=x?+j x 切线时、设切点(x。，%),则2%+；=-且 盟=x；+；x()=-小-1 ,解得切点坐标为(-1,一 1)，-k=-f4 4根据图象可知-%-3,则 3,4 44综上，上 1 ,4-1 的对称点在夕=日-1 的【解析】解：.函数/(x)=，xl

25、nx 2x,x 0,3 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线歹=-1 的对称点在x-+x,x,02歹=-1 的图象上,而函数y=依-1 关于直线y=-1 的对称图象为y=-履-1,xlnx-2x,x 0：.f(x)=2 3 的图象与、=-履-1 的图象有且只有四个不同的交点,x+x,x.02xlnx-2x,x Q作函数x)=1 ,3 的图象与卜=-履-1 的图象如下,x+02易知直线y=-kx-1 恒过点J(O,-1),设直线4 c与y=相切于点。(x,x/x-2 x),.1 M,xlnx-2x+y=lnx-,wL lnx-=-，x解得，X =1 故 3c =-1；a，设直线AB y=x2+x

26、相切于点B(x,x2+x)，3y =2 x+-,22 3,a x H x+1故 2 x+=-,2 x解得，x=-1 ;a 1故卜谊=-2 +=,2 2故 1 k ,2即,%1 ；2故答案为(;，1).1 8.已知函数/(x)=f-a x(Lx.e,e 为自然对数的底数)与g(x)=e 的图象上存在关于直线y=x 对称的e点，则实数”的取值范围是 1-e +“一【解析】解：若函数/（外=/一3（1,&e,e为自然对数的底数）e与g（x）=e 的图象上存在关于直线y=X对称的点，则函数/（刈=寸-4工X,9,e为自然对数的底数）e与函数力（x）=I nx的图象有交点，BP x2-a x=I nx，

27、（-天、c）有解，e即x -，（L工？）有解，x ey=x-（-%,e）,x e则 八年I?吗x当L x i时，y o,函数为减函数，e当1 o,函数为增函数，故x=l时，函数取最小值1,由于当x=1时，y=e +L 当x=e时，y=e-；e e e故当x=工时，函数取最大值e +，e e故实数取值范围是 1,e +-,e故答案为：1 ,e +-.e1 9.己知函数/X)=L 3 一s +3,g(x)=_ 5x+4加，若函数/(x)的导函数/(x)与g(x)(xw l,9)的图象6Q上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数加的最大值为 2 +8/3_.2【解 析】解：因为/(x)=x3-z w

28、x+3，所 以fx)=x2-m.由 题 意 知 方 程6 2/(x)+g(x)=；x2 -tn-5x+4lnx=0 在,9上有解，等价于阳=；X 2 -5x+4lnx f t x e 1 ,9上有解，令 h(x)=-X2-5X+4lnx(x e 1,9),贝U hx)=x-5+-=-=d)(I),2 xx x当 1 c x 4 时，hx)0 ,当 4 cx 0 .所以函数万。）在 1,4）上单调递减，在（4,9上单调递增,所以 (1)h(4),i i o o因为秋4)=5*1 6-5乂4+8加2 =-1 2 +8妨2-y+8 0 ,Q所以/?(x)的最大值为-5+8/3,a所以机的最大值为-一+8 3.2故答案为：-？+8/3.22 0.已知函数x)=|-2，x 0与g(x)=b g K x-a)的图象上存在关于点(1,1)对称的点，则实数a的取值范围是_(0,4-0 0)_【解析】解：函数x)=|-2 ,x 2的图象与y=g(x)的图象有交点，由(0,1)关于(1,1)的对称点为(2,；),代入y=g(x),可得l o g4(2-a)=g ,解得4=0,由图象平移可得 =8(对 的图象向右平移，均有一个交点，则。的范围是4 0,故答案为：(0,+8).