线性变换及其矩阵表.ppt

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1、1.2 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示1.线性变换及其运算线性变换及其运算2.线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示3.特征值和特征向量特征值和特征向量1.线性变换及其运算线性变换及其运算(a)映射映射设设S、S是给定的两个非空集合，如果有是给定的两个非空集合，如果有 一个对一个对应法则应法则，通过这个法则，通过这个法则对于对于S中的每一个元素中的每一个元素a，都有，都有S中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素a与它对应与它对应,则称则称为为S到到S的一个的一个映射映射，记作，记作:或或 。称。称 a为为 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a称为称为a 在映射在映射下的下的原象原

2、象，记作，记作(a)a，或或若若 都有都有 则称为则称为单射单射；若若 都存在都存在aS，s s(a)=a，则称为，则称为满射满射；既是单射又是满射的称为既是单射又是满射的称为双射双射，或，或一一对应一一对应。设设1,2都是集合都是集合S 到集合到集合S的映射，若对的映射，若对S 的每的每个元素个元素a 都有都有1(a)=2(a)，则称它们相等，记作，则称它们相等，记作1=2。设设是集合是集合S 到到S1的映射，的映射，是集合是集合S1到到S2的映射，的映射，则映射的乘积则映射的乘积tsts 定义为：定义为：设设,分别是集合分别是集合S 到到S1，S1到到S2，S2到到S3的映射，的映射，则映

3、射的乘积满足结合律：则映射的乘积满足结合律：映射的乘积不满足交换律，即映射的乘积不满足交换律，即ts ts 不一定等于不一定等于st st。从集合从集合S 到集合到集合S的映射也称为变换。的映射也称为变换。设设V为数域为数域K上线性空间，若变换上线性空间，若变换 满足：满足：单位变换单位变换(恒等变换恒等变换)：则称则称T是线性空间是线性空间V上的上的线性变换线性变换。零变换零变换：数乘变换数乘变换：上述定义中的条件可以等价的写成：上述定义中的条件可以等价的写成：(b)线性变换线性变换例例1 考虑考虑R2中把每个向量绕原点旋转中把每个向量绕原点旋转q q角的变换：角的变换：这是一个线性变换。这

4、是一个线性变换。例例2 V=R3，a aV是非零向量，考虑把每个向量投影是非零向量，考虑把每个向量投影到到a a上的变换：上的变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例3 考虑考虑V=Pnx中的微分变换：中的微分变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例4 考虑考虑a,b上的所有连续函数构成的线性空间上的所有连续函数构成的线性空间Ca,b上的积分变换：上的积分变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例5 考虑考虑V=PnxCa,b，易有，易有DJ(f(x)=f(x)，但，但是是JD(f(x)=f(x)-f(a)。因此因此DJJD。下列变换中，哪些是线性变换？下列变换中，哪些是线性变

5、换？3在在线性空间线性空间V中，中，非零固定非零固定.4在中，在中，固定固定.2在在 中，中，1在在 中，中，5复数域复数域C看成是自身上的线性空间，看成是自身上的线性空间，6C看成是实数域看成是实数域R上的线性空间，上的线性空间，1.设设T是是V上的线性变换，上的线性变换，2.线性变换保持线性组合及关系式不变，即若线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 则有：则有：3.线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组，即若的向量组，即若x1,x2,xr线性相关，则线性相关，则T(x1),T(x2),T(xr)也线性相关。也线性相关。但若但若T(x1),

6、T(x2),T(xr)线性相关，线性相关，x1,x2,xr未必未必线性相关。事实上，线性变换可能把线性无关的线性相关。事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的。向量组变成线性相关的。设设T1,T2是线性空间是线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们的的和和为：为：T1+T2仍然是线性空间仍然是线性空间V上的上的线性变换线性变换。(c)线性变换的运算线性变换的运算设设T是线性空间是线性空间V的线性变换，定义它的的线性变换，定义它的负变换负变换为为：(-T)(x)=-T(x)。这也是一个。这也是一个线性变换线性变换。设设T是线性空间是线性空间V的线性变换，的线性变换，

7、kK，定义，定义数乘数乘变换变换为为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个。这也是一个线性变换线性变换。注注：线性空间：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合上的全体线性变换所构成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的上的一个线性空间。一个线性空间。设设T1,T2是线性空间是线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们的的乘积乘积为：为：T1T2仍然是线性空间仍然是线性空间V上的上的线性变换线性变换。注注：线性变换的乘积不一定满足交换律：线性变换的乘积不一定满足交换律。例例6 设设A,BRnn是两个给定的矩阵，定义是两个给定的矩阵，

8、定义Rnn上上的两个线性变换：的两个线性变换：T1(X)=AX，T2(X)=XB，则容易，则容易验证验证T1T2=T2T1。若定义：若定义：T1(X)=AX，T2(X)=BX，则只有当，则只有当AB=BA时，时，T1T2=T2T1。否则不成立。否则不成立。设设T为线性空间为线性空间V的线性变换，若有的线性变换，若有V上的变换上的变换S使得：使得：TS=ST=Te，则称，则称T为可逆变换，并称为可逆变换，并称S为为T的的逆变换逆变换，记为，记为S=T-1。1.可逆变换的逆变换仍然是可逆变换的逆变换仍然是线性变换线性变换。2.线性变换线性变换T可逆当且仅当可逆当且仅当T是一一对应。是一一对应。4.

9、设设x1,x2,xn是线性空间是线性空间V的一组基，的一组基，T是是V上的上的线性变换，则线性变换，则T可逆当且仅当可逆当且仅当T(x1),T(x2),T(xn)也也是是V的一组基。的一组基。3.可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。关的向量组。5.若若T1,T2都是可逆变换，则都是可逆变换，则设设T为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换，n是自然数，定义是自然数，定义称之为称之为T的的n次幂次幂。这仍然是。这仍然是线性变换线性变换。1.规定当规定当n=0时，时，T0=Te(单位变换单位变换)。4.一般的，一般的，(TS)nTnSn。

10、2.容易验证容易验证TmTn=Tm+n，(Tm)n=Tmn。3.当当T可逆时，定义负整数次幂为：可逆时，定义负整数次幂为：T-n=(Tn)-1。设设T为线性空间为线性空间V的线性变换，并设的线性变换，并设则变换则变换也是也是线性变换线性变换，称，称f(T)为线性变换为线性变换T的的多项式多项式。即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律。即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律。1.在在Px中，若中，若h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x)，则，则2.对任意对任意f(x),g(x)Px，有，有2.线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示(a)线性变换在给定基下的矩阵表示线性变换在给定基

11、下的矩阵表示设设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，T是是V上的上的线性变换。线性变换。对于对于V中的任意一个向量中的任意一个向量x，必存在数域，必存在数域K中的一中的一组数组数k1,k2,kn使得使得从而有从而有这表明，这表明，T(x)由由T(x1),T(x2),T(xn)完全确定完全确定。设设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，T1,T2是是V上的两个线性变换。上的两个线性变换。容易证明，若容易证明，若T1(xi)=T2(xi)，i=1,2,n，则，则T1=T2。这表明，这表明，一个线性变换完全由它在一组基上的作一个线性变换完全由它在

12、一组基上的作用所决定用所决定。定理定理1：设：设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，对于对于V中的任意中的任意n个向量个向量y1,y2,yn，存在唯一的线，存在唯一的线性变换使得性变换使得设设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，T是是V上的上的线性变换。线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设基向量的象可以被基线性表出，设写成矩阵形式即有写成矩阵形式即有其中矩阵其中矩阵称为称为线性变换线性变换T在基在基x1,x2,xn下的矩阵下的矩阵。1.给定给定V的基和线性变换的基和线性变换T，则矩阵，则矩阵A是唯一的。是唯一的。2.单位变换在任意一组

13、基下的矩阵都是单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵都是单位矩阵；例例6 设线性空间设线性空间R3中的线性变换中的线性变换T为：为：求求T在标准基在标准基e1,e2,e3下的矩阵。下的矩阵。3.零变换在任意一组基下的矩阵都是零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵都是零矩阵；4.数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵。数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵。例例7 设设Pnx中的线性变换中的线性变换T为：为：T(f(x)=f(x)，基基I：基基II：求求T在两组基下的矩阵。在两组基下的矩阵。定理定理2：设：设x1,x2,xn是数域是数域K上上n维线性空间维线性空间V的一的一组基，组基，在这组基下

14、，在这组基下，V上的每一个线性变换都与上的每一个线性变换都与 Knn中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。于逆矩阵。推论推论1：设：设T是线性空间是线性空间V的一组基的一组基x1,x2,xn下的下的矩阵，矩阵，则线性则线性变换变换f(T)在同一组基下的矩阵是：在同一组基下

15、的矩阵是：定理定理3：设线性变换：设线性变换T在基在基x1,x2,xn下的矩阵为下的矩阵为A，xV在基在基x1,x2,xn下的坐标为下的坐标为(x x1,x x2,x xn)T，T(x)在基在基x1,x2,xn下的坐标为下的坐标为(h h1,h h2,h hn)T，则，则(b)线性变换在不同基下的矩阵之间的关系线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理定理4：设：设V上的线性变换上的线性变换T在基在基I下的矩阵为下的矩阵为A，在基在基II下的矩阵为下的矩阵为B。从基。从基I到基到基II的过渡矩阵为的过渡矩阵为C，则有，则有:设设A、B为数域为数域K上的两个上的两个n阶矩阵，若存在可逆矩阶矩阵，若存

16、在可逆矩阵阵PKnn，使得，使得B=P-1AP，则称矩阵，则称矩阵A与与B是是相似相似(similar)的，记做的，记做AB。相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：1.反身性：反身性：AA；2.对称性：若对称性：若AB，则，则BA；3.传递性：若传递性：若AB，BC，则，则AC。定理定理5：线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反：线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。一线性变换在两组基下所对应的矩阵。相似矩阵的运算性质：相似矩阵的运算性质：

17、即，即，2.若若B=C-1AC，则，则Bm=C-1AmC。1.若若 则则3.若若B=C-1AC，f(x)Px，则，则f(B)=C-1f(A)C。例例8 设设x1,x2是线性空间是线性空间V一组基，线性变换一组基，线性变换T在这在这组基下的矩阵为组基下的矩阵为 y1,y2是另一组基，且是另一组基，且(1)求求T在在y1,y2下的矩阵下的矩阵B；(2)求求Ak。例例9 在在R3中定义线性变换中定义线性变换T如下：如下：分别计算分别计算T在标准基在标准基x1,x2,x3和基和基y1,y2,y3下的矩阵。下的矩阵。3.特征值和特征向量特征值和特征向量(a)线性变换的特征值和特征向量线性变换的特征值和特

18、征向量设设T是数域是数域K上线性空间上线性空间V的一个线性变换，若存的一个线性变换，若存在在K中的一个数中的一个数l l，和，和V中的一个非零向量中的一个非零向量y，使得，使得则称则称l l为为T的的特征值特征值(eigenvalue)，y为为T的属于的属于l l的的特征向量特征向量(eigenvector)。1.几何意义：特征向量经过线性变换后几何意义：特征向量经过线性变换后保持方向保持方向不变不变或相反，或变为零向量。或相反，或变为零向量。2.若若y是属于是属于l l的特征向量，的特征向量，ky也是特征向量。也是特征向量。3.若特征向量给定，则特征值被唯一确定。若特征向量给定，则特征值被唯

19、一确定。(b)矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量取定取定n维线性空间维线性空间V的一组基的一组基x1,x2,xn，并设，并设T在在这组基下的矩阵是这组基下的矩阵是A。假设假设l l是是T的一个特征值，的一个特征值，y是对应的特征向量。设是对应的特征向量。设y在基在基x1,x2,xn下的坐标为下的坐标为(x x1,x x2,x xn)T(=x).则则Ty在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是Ax。另一方面，。另一方面，l ly在这在这组基下的坐标是组基下的坐标是l lx，于是，于是Ty=l ly就变成了就变成了满足上式的满足上式的l l称为矩阵称为矩阵A的的特征值特征值(eigenval

20、ue)，非，非零向量零向量x称为属于称为属于l l的的特征向量特征向量(eigenvector)。线性变换的特征值问题转化为矩阵的特征值问题。线性变换的特征值问题转化为矩阵的特征值问题。定理定理6：l l是矩阵是矩阵A的特征值的充分必要条件是：的特征值的充分必要条件是：det(l lI-A)=0。设设A是是n阶矩阵，把阶矩阵，把l l看成参数，则。看成参数，则。是关于是关于l l的的n次多项式。称为次多项式。称为特征多项式特征多项式。考虑复数域考虑复数域C，n次多项式刚好有次多项式刚好有n个根个根(重根按重重根按重数记数记)，因此，因此n阶矩阵刚好有阶矩阵刚好有n个特征值个特征值。矩阵矩阵A的

21、所有特征值构成的集合称为的所有特征值构成的集合称为A的的谱集谱集(spectrum)，记为，记为l l(A)。例例10 计算下列矩阵的特征值和特征向量。计算下列矩阵的特征值和特征向量。假设假设l l0是是A的一个特征值，而且它刚好是特征多项的一个特征值，而且它刚好是特征多项式式|l lI-A|的的m重根，则把重根，则把m称为称为l l0的的代数重数代数重数(algebraic multiplicity)。把把dimN(l l0I-A)(=n-rank(l l0I-A)称为称为l l0的的几何重数几何重数(geometric multiplicity)。可以证明，可以证明，1几何重数几何重数代数

22、重数代数重数n。如果特征值如果特征值l l0的代数重数的代数重数大于大于几何重数，则称是几何重数，则称是l l0是是亏损的亏损的(defective)。此时对应线性无关的特征向。此时对应线性无关的特征向量的个数量的个数小于小于特征值的重数。特征值的重数。如果矩阵如果矩阵A有一个特征值是亏损的，则称有一个特征值是亏损的，则称A是是亏损亏损的的(defective)。否则。否则(即所有特征值半单即所有特征值半单)称称A是是非亏非亏损的损的(nondefective)。如果特征值如果特征值l l0的代数重数的代数重数等于等于几何重数，则称是几何重数，则称是l l0是是半单的半单的(semi-simp

23、le)。此时对应线性无关的特征。此时对应线性无关的特征向量的个数向量的个数等于等于特征值的重数。特征值的重数。特别的，如果特征值特别的，如果特征值l l0的代数重数是的代数重数是1，则称是，则称是l l0是是单的单的(simple)。此时刚好有。此时刚好有一个一个线性无关的特征线性无关的特征向量。向量。例例11 若若l l是是A的一个特征值，则的一个特征值，则3l l是是3A的一个特征的一个特征值；值；l l2是是A2的一个特征值；的一个特征值；1/l l是是A-1的一个特征值；的一个特征值；l l+3+3是是A+3I的一个特征值；的一个特征值；f(l l)是是f(A)的一个特征的一个特征值值

24、则称则称X为为A的的不变子空间不变子空间。例例12 设矩阵设矩阵A满足满足A2=A，证明矩阵，证明矩阵A的特征值只的特征值只能是能是0或或1。给定给定ACnn，若存在，若存在XCnm(mn)，满足，满足例例13 若若X是是A的不变子空间，则必存在的不变子空间，则必存在BCmm满满足足AX=XB，且，且特征多项式特征多项式根据多项式根与系数的关系有：根据多项式根与系数的关系有：1.A的所有特征值的积的所有特征值的积=detA=|A|；对于给定的矩阵对于给定的矩阵A，它的所有对角元的和称为，它的所有对角元的和称为A的的迹迹(trace)，记做，记做tr(A)。2.A的所有特征值的和的所有特征值的和

25、=a11+a22+ann。定理定理7：tr(AB)=tr(BA)。定理定理10：属于不同特征值的特征向量一定线性无：属于不同特征值的特征向量一定线性无关。关。定理定理11：矩阵：矩阵A的所有特征值都是半单的，当且仅的所有特征值都是半单的，当且仅当当A相似于对角矩阵。此时称矩阵相似于对角矩阵。此时称矩阵A是是可对角化的可对角化的(diagonalizable)。定理定理8：若：若AB，则，则tr(A)=tr(B)。定理定理9：若：若AB，则，则A与与B有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。从而有相同的特征值。注注：有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。：有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。