《微分运算》PPT课件.ppt

《《微分运算》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微分运算》PPT课件.ppt（38页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、科学计算软件 第八章微分运算8.1 极限的计算l Mathematica 中使用Limit 命令来计算极限，它总是力求确定极限的准确值l Limitfx,x-a:计算 的值l 例1 计算 Limit(x5-32)/(x3-8),x-2Factorx5-32Factorx3-88.1 极限的计算l 可以利用Direction 选项确定左、右极限的计算l Direction-1:计算左极限，即x从左边趋近于al Direction-1:计算右极限，即x从右边趋近于al Limit 的默认值为Direction-Automatic，除了在无穷远点外，方向为右极限。l 对于非连续函数，最好指定Dire

2、ction，采用默认值可能会得到不正确的结果8.1 极限的计算l 例2 考虑极限l 如果没有选定方向，默认计算右极限LimitAbsx/x,x-0LimitAbsx/x,x-0,Direction-1LimitAbsx/x,x-0,Direction-18.1 极限的计算l 例3 Mathematica 也可以计算无穷极限及在无穷远点处的极限Limit1/x,x-0,Direction-1Limit1/x,x-0,Direction-1Limit(2x2+3x+4)/(x2+1),x-Infinity,Direction-18.1 极限的计算l 例4 当x趋向某点时极限不存在，但f(x)有界时

3、，Limit 命令会返回一个区间min,max，表示值的范围在此区间之内LimitSin1/x,x-0LimitTan1/x,x-0习题解答l 8.6 如果每年支付利息n 次，年利率为r，那么p 美元在t 年后变为p(1+r/n)nt 美元，假设如果连续计息（n-infinty）,那么t 年后钱数为多少？Limitp(1+r/n)(n t),n-Infinity习题解答l 8.7 函数的导数定义为极限 l 利用这个定义计算f(x)=Logx+x5+sinx 的导数fx_=Logx+x5+Sinx;Limit(fx+h-fx)/h,h-0习题解答l 8.8 函数的2阶导数可以用 极限计算得到。l

4、 利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx 的2阶导数习题解答l 利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx 的2阶导数fx_=Logx+x5+Sinx;Limit(fx+h-2fx+fx-h)/h2,h-08.2 导数的计算l 如果fx 表示一个函数，那么它的导数表示为fx。高阶导数用fx、fx.等表示l 例5 fx_=x5+x4+x3+x2+x+1fxfxfx8.2 导数的计算l 撇号也可作用到内置函数上。l 如果不给出参数，Mathematica 就返回一个纯粹函数，表示所要求的导数(有关纯粹函数见附录A1)SqrtSqrtxSqrtSqrtx8.2 导数的计算l 用撇号表示高阶导

5、数并不方便l Dfx,x：返回f 相应于变量x的导数l Dfx,x,n：返回f 相应于变量x的n 阶导数l 例7Dx5+x4+x3+x2+x+1,xDx5+x4+x3+x2+x+1,x,2Dx5+x4+x3+x2+x+1,x,38.2 导数的计算l 计算导数，也可以使用模板上的偏导符号l 返回相应于x的n 阶导数l 例8l D(x5+x4+x3+x2+x+1),x,38.2 导数的计算l Derivativen 是一个算子，它作用到一个函数上，得到一个新的函数，即函数的n 阶导数l Derivativenf 用纯粹函数的形式给出f 的n 阶导数l Derivativenfx 计算f 在x点的n

6、 阶导数，x为具体数或为符号l 在Mathematica 内部，f 被转化为Derivative1f8.2 导数的计算l 例9fx_:=x5+x4+x3+x2+x+1;Derivative1fDerivative1fx8.2 导数的计算l 计算导数在特定点的多种方法，注意:=的用法l 例10fx_=(x2-x+1)5;f1Dfx,x,2/.x-1g:=Derivative2f g1fx_=x3g18.2 导数的计算l 作为符号计算软件，Mathematica 可以方便的进行公式推导，包括导数的运算法则l 例 11Clearf,gDfx+gx,xDfx gx,xDfx/gx,x/Together

7、Dfgx,x8.2 导数的计算l 例12 证明函数fx=(x3+2x2+15x+2)SinPi x 在区间0,1 上满足罗尔定理，求出定理中所声称的点cfx_=(x3+2x2+15x+2)SinPi xf0f1FindRootfc=0,c,0.5Plotfx,f.640241,x,0,1中值定理l 令f 为有限闭区间a,b 上的连续函数，并在开区间(a,b)上可微，则存在一个数c，介于a与b 之间，使得f(b)-f(a)=f(c)(b-a)l 罗尔定理与中指定理都保证至少存在一个数c，实际中可能存在满足条件的多个数中值定理l 例13 对于函数fx_=Sqrtx+Sin2Pi x，求出使得中值定

8、理在区间0,2 上成立的c 值fx_=Sqrtx+Sin2Pi xa=0;b=2;m=(fb-fa)/(b-a);Plotfx-m,x,0,2,PlotRange-8,8中值定理FindRootfc=m,c,.3FindRootfc=m,c,.7FindRootfc=m,c,1.3FindRootfc=m,c,1.7习题解答l 8.11 在同一坐标系中绘出f(x)=x4-50 x2+300 及其导数在-10=x=10 上的图形GrayLevel0,Dashing.015,PlotLegend-fx,fx;习题解答l 8.12 给定函数f(x)，其图形为C，C 在点a的切线斜率为f(a)。令f(

9、x)=sin x，画出函数图像及其在a=PI/3 处的切线.l 过点(x1,y1)，斜率为m 的直线方程为 y-y1=m(x-x1)或 y=y1+m(x-x1)l 切线斜率为m=f(a)，切线方程为 y=f(a)+f(a)(x-a)习题解答l 8.12 给定函数f(x)，其图形为C，C 在点a的切线斜率为f(a)。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在a=PI/3 处的切线.fx_=Sinx;a=Pi/3;lx_=fa+fa(x-a);Plotfx,lx,x,0,2Pi;8.3 最大值与最小值l 称函数f 在区间I 中c 点达到绝对最大值，指对I 中所有点x，f(c)=f(x)成立，即f(

10、c)是f(x)在I 上的最大值。l 最小值可类似定义l 最值定理：如果f 为有界闭区间上的连续函数，则f在这个区间既具有绝对最大值，也具有绝对最小值l 注意：最值是全局性的概念，极值是局部性概念8.3 最大值与最小值l 如果函数在有界闭区间a,b 上连续，则其最大值和最小值出现在驻点或者区间端点l 求最大值和最小值的步骤l(1).求驻点和不可导点;l(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值8.3 最大值与最小值l 例14 计算函数fx_=x4-4x3+2x2+4x+2 在区间0，4 上的绝对最大值和最小值。首先求其临界点fx_=x4-4x

11、3+2x2+4x+2;Solvefx=0c1=0;c2=1;c3=1+Sqrt2;c4=4;pointstocheck=c1,fc1,c2,fc2,c3,fc3,c4,fc4/ExpandTableFormpointstocheck,TableHeadings-None,x,fx8.3 最大值与最小值l 例15 一根线长100英寸，要用它构成一个正方形和一个圆形。请问如何分配，才能使它所围成的图形面积和 a)最大；b)最小l 设正方形的边长为x，圆的半径为rl 两个形状的组合面积为A(x)=x2+Pi r2l 圆的周长为2Pir，正方形周长为4xl 4x+2Pi r=100l 0=x=25l

12、还有其它设置变量的形式吗？书上为什么要这样处理？8.3 最大值与最小值ClearaSolve4 x+2Pi r=100,r(*从周长的约束中解出r 关于x的表达式，*)ax_=x2+Pi r2/.r-2(-25+x)/Pi(*定义面积函数a，自变量统一为x*)Solveax=0(*求出临界点*)x1=0;x2=100/(4+Pi)x3=258.3 最大值与最小值pointstocheck=x1,ax1,Nax1,x2,ax2,Nax2,x3,ax3,Nax3/Together;TableFormpointstocheck,TableHeadings-None,x,ax,Nax(*列表给出驻点处

13、的面积值*)Signa100/(4+Pi)(*使用二阶导数验证最小值*)8.3 最大值与最小值l 局部极值l FindMinimumfx,x,x0：求出f(x)靠近x0点的局部极小值l 如何求局部极大值？l max(f(x)=-min(-f(x)8.3 最大值与最小值l 例16 函数f(x)=x+Sin 5x 在区间0,Pi 中有3个极大值点，2个极小值点fx_=x+Sin5 x;Plotfx,x,0,PiFindMinimumfx,x,1FindMinimumfx,x,2-FindMinimum-fx,x,0.4-FindMinimum-fx,x,1.6-FindMinimum-fx,x,2

14、.8-FindMinimum-fx,x,2.8,Method-Newton习题解答l 8.16 求出两个和为50的正数，使得第一个数的平方根加上第二个数的立方根尽可能大y=50-x;fx_=Sqrtx+y(1/3);Plotfx,x,0,50NSolvefx=0FindMinimum-fx,x,40习题解答l 8.17 一个圆柱被单位球面所截。(a)求出最大可能的体积(b)求出最大可能的表面面积l 球面的大小是确定的，只需确定圆柱的半径即可l 所截体积和面积以球的体积和面积为一个上界，当圆柱的半径趋于0时，所截体积和面积趋于0，所以所截得的体积和面积是有界的。l 问题即求所截体积和面积的上确界

15、。习题解答l 记被截圆柱的半径与高分别为r与h，被截圆柱的体积为l r 与h 的关系可由勾股定理求得 l 被截圆柱的体积V 可表示为1rh/2习题解答vh_=Pi(1-(h/2)2)hSolvevh=0,hvmax=v2/Sqrt3Signv2/Sqrt3习题解答l 圆柱的表面积=侧面积+上下底面积l，其中，由于S 的表达式中同时出现r 与r2，使用r 表示h 更方便一些Solver2+(h/2)2=1,h(*用h 表示r*)sr_=2Pi r h+2 Pi r2/.h-2Sqrt1-r2(*用r 统一表示面积s*)Solvesr=0,r/SimplifysSqrt(5+Sqrt5)/10/SimplifySignsSqrt(5+Sqrt5)/10