练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-4ppt课件.ppt

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1、线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题61-4ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念本次课学习：一、行列式计算（续）；一、行列式计算（续）；二、克莱姆法则解线性方程组二、克莱姆法则解线性方程组三、矩阵的定义与基本运算三、矩阵的定义与基本运算下次课学习：一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；一、第

2、二章第二节：矩阵的运算（续）；二、第二章第三节：逆矩阵二、第二章第三节：逆矩阵2线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念复习行列式计算的分类：复习行列式计算的分类：1.1.行（列）和相等行列式行（列）和相等行列式方法：提公因子；方法：提公因子；2.2.爪形行列式爪形行列式方法：段一爪为零；方法：段一爪为零；3.3.行（列）递增行列式行（列）递增行列式方法：逐行（列）相减多减少；方法：逐行（列）相减多减少；4.4.分块行列式分块行列式方法：类似二阶有零块；方法：类似二阶有零块；5.5.按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式方法：

3、行中很少元素不为零；方法：行中很少元素不为零；6.6.递推行列式递推行列式方法：递推公式是关键；方法：递推公式是关键；7.7.范德蒙行列式范德蒙行列式方法：归纳证明；方法：归纳证明；8.8.利用展开式构造行列式利用展开式构造行列式方法：元素换值构造新行列式。方法：元素换值构造新行列式。展开式如下：展开式如下：3线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第二讲第二讲 行列式的运算行列式的运算例例1：计算下列行列式：计算下列行列式分析：按照第一列展开分析：按照第一列展开或一、行列式计算（续）一、行列式计算（续）1.递推行列式递推行列式4线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第二讲第二讲 行

4、列式的运算行列式的运算5线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式解解按第一行展开，只有按第一行展开，只有a、b不为不为0，其余均为，其余均为0例例2.计算0000000000006线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念7线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式证证用数学归纳法证。当 n=2 时，显然成立。现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，注意，是下标注意，是下标大的元素减下大的元素减下标小的元素标小的元素分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上乘幂相减，以

5、得到相应的乘幂相减，以得到相应的02.范德蒙行列式范德蒙行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念8线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式对于从第n行开始，后一行减去前一行的 倍，目的是使第目的是使第1 1列产生列产生0 0第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念9线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式证毕第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念10线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式例例3（1992.3）计算）计算分析：首先，本行列式是个分析：首先，本行列式是个1、2行和相等行列式，其次，行和相等行列式

6、，其次，本例很像范德蒙行列式。因此，设法把第一行变成1。把第2行加到第一行，提取公因式，即为范德蒙行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念11线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念3.构造行列式构造行列式元素换值构造新行列式元素换值构造新行列式 （1 1）余子式求行列式性质）余子式求行列式性质3 3：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于零，即或i ij j时和为时和为D D证：由行列式按照行列展开定理，证：由行列式按照行列展开定理，12线性代数线性代数 第一章第一章

7、 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念13线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式同理，用第同理，用第j行元素对应取代第行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两行行元素，则由于行列式两行元素相等，得元素相等，得0值。值。定理得证定理得证第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念由以上推理，我们可以用任意数取代第由以上推理，我们可以用任意数取代第i行（列）元素，取代行（列）元素，取代后，只改变原行列式第后，只改变原行列式第i行值，而其它代数余子式和元素值不行值，而其它代数余子式和元素值不变，如，用变，如，用1，1，1取代第取代第i行值

8、，得：行值，得：14线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式由定理3及其推论还可以写成如下形式：或第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念15线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式例2 设求分析：根据以上推理，该题相当于在分析：根据以上推理，该题相当于在D中把第一行元素变中把第一行元素变成成1，1，1，1即可。即可。解解第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念16线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念17线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式例例3（2001.4）设行

9、列式）设行列式则第则第4行各元素余子式之和的值为行各元素余子式之和的值为_分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念18线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式二、二、克莱姆法则解线性方程组克莱姆法则解线性方程组1.1.克莱姆法则克莱姆法则的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即(8)若线性方程组若线性方程组教材中已注明，本教材中已注明，本法则证明在第二章法则证明在第二章给出给出第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念19线性代数线性

10、代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念则方程组（则方程组（8 8）有唯一解：）有唯一解：其中其中对于线性方程组（对于线性方程组（8）右端的常数项）右端的常数项方程组（方程组（8）叫做）叫做非齐次线性方程组非齐次线性方程组；不全为零时，不全为零时，2.2.线性方程组的分类线性方程组的分类20线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式(9)当当 全为零时，全为零时，即即称称（9）式为式为齐次线性方程组齐次线性方程组。3.3.克莱姆法则判定方程组的解克莱姆法则判定方程组的解对于非齐次线性方程组，即对于方程组（8），有如下结论 定理定理4：如果

11、线性方程组（8）的系数行列式D不等于零，则该方程组有解，且解唯一 定理定理4：如果线性方程组（8）无解或有两个及以上不同的解，则它的系数行列式一定为零第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念21线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式一定是（9）式的解零解零解。定理定理5 5 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）的系数行列式）的系数行列式 D00，则（则（9）式有唯一零解式有唯一零解（即没有非零解）（即没有非零解）。定理定理55 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（9 9）有非零解有非零解，则它的系数，则它的系数行列式行列式必为零。必为零。概括克莱姆法

12、则及其推论概括克莱姆法则及其推论1.非齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一解；若无解或多解，则系数行列式一定为零2.齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一零解；若有非零解，则系数行列式一定为零。对于齐次线性方程组（对于齐次线性方程组（9）而言，显然：）而言，显然：根据克莱姆法则，可以推出根据克莱姆法则，可以推出第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念22线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式分析分析;系数行列式是范德蒙行列式，系数行列式是范德蒙行列式，例例8（2003.2）第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念23线性代数线性代数 第一

13、章第一章 行列式行列式例例9:问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解解（10）由定理5知，要使（10）有非零解，必须其系数行列式D0。得 、或 。第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念24线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式三、矩阵的概念与运算三、矩阵的概念与运算1.1.矩阵定义矩阵定义 由由mn个数个数 排成排成的的称为称为 m 行行 n 列矩阵，列矩阵，简称简称 mn 矩阵矩阵.记作称为矩阵 A 的元素元素，简称元元，数 位于矩 阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的（i,j)元元.以数 为（i,j)元的矩阵可简记作或 .mn 矩阵 A 也记作 .

14、m行行n列数表列数表:第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念25线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式1）行数与列数都等于）行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A 称为称为 n 阶矩阵阶矩阵 或或 n 阶方阵阶方阵.矩阵矩阵 A 也记作也记作 .n 阶阶2）行矩阵）行矩阵行向量行向量3）列矩阵）列矩阵列向量列向量4）同型矩阵）同型矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵.且 那么就称矩阵那么就称矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 相等相等.如果如果 与与 是同型矩阵，是同型矩阵，2.几个特殊矩阵几个特殊矩阵第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计

15、算续与矩阵的概念26线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式6）单位矩阵）单位矩阵简记作简记作 E.单位矩阵单位矩阵 E 的（的（i,j)元为：元为：7）对角矩阵）对角矩阵也记作也记作5）零矩阵）零矩阵元素都是零的矩阵，元素都是零的矩阵，记作记作 O.注：注：不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念27线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式3.3.矩阵的基本运算矩阵的基本运算（1）矩阵的加法）矩阵的加法定义定义2 2矩阵矩阵A 与与 B 的的和记作和记作 A+B，规定为规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法

16、运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是mn 矩阵):注注:(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 与与 ，第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念28线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式记记显然有显然有 A+(A)=O由此规定由此规定矩阵的减法矩阵的减法为为AB=A+(B)（2）数与矩阵相乘）数与矩阵相乘定义定义3 3 规定为规定为 设矩阵设矩阵 ，数数 与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作 或或 ,-A称为矩阵称为矩阵 A 的的负矩阵负

17、矩阵，数乘矩阵满足下列运算规律数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是mn 矩阵,、为常数)(i)(ii)(iii)第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念29线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 （3）矩阵与矩阵相乘）矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换:求出从 到 的线性变换.1）乘法的历史）乘法的历史第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念30线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式2223322）乘法的定义与运算规律）乘法的定义与运算规律定义定义4 4 其中其中并把此乘积记作：并把此乘积记作：设设 是一个是一个 ms 矩阵矩阵,是一个是一个

18、sn 矩阵矩阵,那么规定那么规定矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积是一个的乘积是一个mn 矩阵矩阵 矩阵形式如下：矩阵形式如下：第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念31线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念32线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式如:是一个数.注意：只有当注意：只有当左矩阵的列数左矩阵的列数等于等于右右 矩阵的行数矩阵的行数时，时，两个矩阵才可以相乘两个矩阵才可以相乘(与顺序有关与顺序有关).第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念33线性代数线性代数

19、 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念34线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念35线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念36线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念答案提示：主要用递推法，注意到本题除首末两行外其余行元素和相等且等于0，故将其加到第1列，得到：37线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式第三讲第三讲 行列式计算续与矩阵的概念行列式计算续与矩阵的概念38