量子力学实用.pptx

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1、1其中动量算符又如前面引进的能量算符第1页/共78页2线性算符：如果算符 满足下列条件则算符 是线性算符3.1 3.1 算符的运算规则算符的运算规则 第2页/共78页3刻画可观测物理量的算符都是线性算符。（通常）第3页/共78页4这是算符最基本的运算。2、算符的运算性质（1）算符相等：（2）算符相加：对于任意的波函数都成立若算符的运算离不开 对波函数的作用第4页/共78页5注意算符的乘积一般不对易：第5页/共78页6（4）算符对易 讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。若相等，则对易；否则，不对易。即比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符的对易关系。第6页/共7

2、8页7而因为对任意波函数：那么而是任意波函数第7页/共78页8若一力学量有经典对应，可用这个关系导出其对易式。对易关系的运算性质：第8页/共78页9角动量算符的对易关系角动量 在直角坐标系中的分量表达式第9页/共78页10其中第10页/共78页11类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：下面证明与角动量平方有关的一个对易式。第11页/共78页12第12页/共78页13得证。作业：P50-51 2.7,2.9,2.10 P55 Ex.1第13页/共78页14回答几个问题：（1）势阱的特征长度具有什么含义？表征势阱中的束缚态的空间几率分布情况。由 可知，它与粒子的质量有关。第14页/共78页15解

3、释：内积的定义左矢空间的态矢量右矢空间的态矢量如果 是右矢空间的矢量，则 仍然是右矢空间的矢量，二者描述相同的概率波是没有问题的。但是复共轭作为一个算符作用到右矢空间态矢量上，使之成为左矢空间的态矢量 （假设态矢量不是实函数），二者就不能描述相同的概率波了，尽管相对概率相同。有关左矢空间和右矢空间的概念，在学完了第七章以后会有进一步的理解。（2）由于描述的相对概率一样，因而波函数 和 描述同一个概率波；但 和 的相对概率也一 样，为何就不能描述同一个概率波（实函数除外）？第15页/共78页16（3）关于对相互作用势的理解问题。考虑如下体系EEE两个同性电荷粒子两个异性电荷粒子（能量较小）两个异

4、性电荷粒子（能量较大）可以发现，粒子的真实运动状态与相互作用势的性质及粒子的能量有关。第16页/共78页17上次课内容复习：（1）一维谐振子体系变系数常微分方程求解厄米方程，得到厄米多项式解第17页/共78页18 最终得到一维谐振子哈密顿算符的本征能量 及相应的本征波函数 这些本征函数满足正交归一关系其意义是什么？第18页/共78页19 需要记住的是了解波函数及其导数的递推关系第19页/共78页20算符相乘（2）算符的定义及运算法则 一般算符的运算法则（包括对易法则），要让其作用在任意波函数上才能看出来对易关系线性算符算符相加算符就是一种作用量，运算符号对易关系的一般运算法则最常用的运算法则第

5、20页/共78页21推导了角动量算符及其分量的相关对易式：若一力学量有经典对应，可用此关系导出其对易式（3）介绍了基本对易关系其中 称作Levi civita 符号。下面介绍由角动量算符给出的其它算符。第21页/共78页22这些对易关系在某些证明题和计算题中经常使用，希望能记住。有关角动量的升降算符及其对易关系引进升降算符（希望会证）下面看角动量算符在球坐标中的表示第22页/共78页23在球坐标中，以及利用第23页/共78页24 从而有第24页/共78页25可以理解吗？0第25页/共78页26显然得证。（课下证）第26页/共78页27由于又由于所以上述算符方程两边同左乘以所以第27页/共78页

6、28算符的复共轭算符 将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。例 动量算符的复共轭算符（4）转置算符tilde第28页/共78页29利用内积的定义，有则转置算符的表达式也可以写为即：去掉“”，换位复共轭。要会转换！一维粒子 三维粒子 其中对体积元：第29页/共78页30？对任意满足标准条件的波函数第30页/共78页31（5）厄米共轭算符显然在坐标表象中同样可以证明第31页/共78页32按照转置算符A的定义，有则有即故对任意态和，有但是反复使用第32页/共78页33利用转置的性质，可以证明：提示：可首先证两算符关系对任意 都有第33页/共78页34在此基础上，介绍一个特别重要的算符厄米算符：满足下

7、列关系的算符是厄米算符或者写成积分的形式前面介绍了以下几种算符：单位算符逆算符复共轭算符转置算符厄米共轭算符第34页/共78页35利用厄米共轭算符的定义式因此，厄米算符的定义式也可以写为结合上页定义可以得到但复线性组合为非厄米算符（会证明吗？）。第35页/共78页36（已经知道 ）第36页/共78页37在体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。证明：介绍个定理:第37页/共78页38在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。证明：存在逆定理:第38页/共78页39所以即第39页/共78页40上面两式分别相加减，得满足厄米算符的定义由此可知厄米算符的意义第40页/共78页41因

8、此相应的算符对应于厄米算符物理可观测量要求在任何状态下的平均值为实数即物理可观测量用厄米算符表示。而在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。即 厄米算符平方的平均值必是不小于零的数。第41页/共78页42前面我们介绍了几个算符：复共轭算符厄米共轭算符逆算符转置算符单位算符厄米算符算符都有的属性：单位算符复共轭算符转置算符算符可能有的属性：逆算符厄米共轭算符厄米算符要注意区别联系。第42页/共78页43（6）算符的函数类似地，可定义算符的函数第43页/共78页44例：不难看出，利用级数展开，有先对算符求先对算符求n n次导数次导数再令算符为再令算符为0 0求值求值平移算符的概念第4

9、4页/共78页45两个或多个算符的函数可类似地定义,类似于多元函数第45页/共78页463.2 3.2 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数 1、本征值与本征函数对于都用来描述其状态的大量相同体系进行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向于一个确定的值。见下表：处于 态中，测量力学量A，可得到各种值，这些值有一定的几率分布。第46页/共78页47多次测量定义每一次测量结果范围绕平均值的涨落-体系体系体系第47页/共78页48即由上式得第48页/共78页49 上述方程加上相应的数学和物理要求（边界条件），构成了量子力学的本征值问题，解此问题可得力学量的本征值和本征函数。由此有此时即

10、第49页/共78页50量子力学的又一基本原理：第50页/共78页51下面介绍两个定理：定理1 厄米算符的本征值必为实数 （要会证）定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交。证明：第51页/共78页52以上两式相减，得对方程第52页/共78页532、举例本征值方程为解：这是个定轴转动问题，z为转轴，变量为第53页/共78页54解之得利用周期性边界条件由此得到本征值波函数的单值性要求第54页/共78页55所以，相应的本征函数为第55页/共78页56解：与以上问题的区别这里求的是能量的本征值和本征态考虑绕z轴转动的平面转子(如右图)。式中I为转动惯量。其Hamiltonian为第56页/

11、共78页57或简写为其正交归一化的解可取为Lz的本征态相应的本征能量为试思考：能级的简并度是多少？第57页/共78页58也就是说，能量是二度简并的。发现：平面转子的角动量z分量本征态和能量本征态可具有相同的函数形式。为什么？作业：p74 3.1(前一半)3.3,3.8,3.11第58页/共78页59Ex.2.12(d)求能量涨落(e)体系的特征时间所以这是量子力学(II)的能量-时间不确定度关系。第59页/共78页601）Ex.2.7 有的同学将1D线性谐振子波函数上次作业问题：中的归一化系数 写成2）Ex.2.9 有的将动量涨落的关系式写成 或3）Ex.2.10 有的同学不会处理外电场下的谐

12、振子第60页/共78页61求解该问题的关键有两点：（1）当一个体系的哈密顿增加一个常数时，是否 影响能量的本征态？是否影响本征能量？如 何影响？（2）对变化后的势函数 如何利用已有知识 进行处理？配方法：结论：本征值平移，本征函数不变 第61页/共78页62令则那么结论：本征函数形式相同：本征能量减少试想：如果 会不会求解？第62页/共78页63上次内容复习：1）介绍了以下几种算符：单位算符逆算符复共轭算符转置算符厄米共轭算符厄米算符2）厄米算符的性质定理：在任意状态下平均值为实数逆定理存在第63页/共78页643）厄米算符的本征值和本征函数平均值涨落的概念涨落为0的状态就是力学量算符的本征态

13、而这个准确值就是力学量算符的本征值用公式表示相关性质定理：4）通过几个例子说明如何求解某一个算符 的本征值和本征函数Kronecker函数第64页/共78页65解：动量的x分量的本征值方程动量的本征值上式改写为 其解为第65页/共78页66归一化的平面波。与连续的本征值相应的波函数所表示的是不能习惯上取则有平面波的“归一化”就用函数的形式表示了出来。可以取一切实数值。若粒子位置不受限制，则Dirac函数第66页/共78页67在三维情况下，动量算符的本征值方程是动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px,py 和pz均为实数。动量本征值方程的解是为的单色平面波。第67页/共78页68问题：平

14、面波表示的状态是否束缚态？函数的形式“归一化”。在量子力学中，平面波代表粒子处在动量一定、在空间各处出现的概率都相同的状态，这是一种理想化的模型。它不能用通常的办法归一化,而是采用一维自由粒子的Hamiltonian为第68页/共78页69或简写为相应的能量本征值为几重简并？第69页/共78页70问题：一维粒子动量与能量算符具有相同本征态发现：对平面转子或自由粒子来说，为啥具有相同的本征态？第70页/共78页713 3、简并度问题如果属于本征值的本征态是即力学量A的本征值方程为因而，在出现简并时，简并态的选择并不是唯一的。则称本征值是重简并的。可以证明：简并态的线性组合仍然是该本征值的本征函数

15、。问题：简并度到底是多大？由什么决定？称fn简并度。第71页/共78页72一般来说，给出的简并态不一定彼此正交。下面介绍的Schmidt正交化方法就是经常采用的方法。但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加使之彼此正交。其中 是本征值标识，是相应的简并态比如：算符 有3个本征值，第2个本征值是3重简并的，简并态为 。第72页/共78页73目的：通过选择 ,使最后所得 彼此独立。这组简并态一般并不是正交的，我们试图通过适当的线性组合构成一个新的简并态同样方式可以构造属于该本征值其它简并态即第73页/共78页74第74页/共78页75对于正交条件取组合第75页/共78页76第76页/共78页77 在在常常见见的的一一些些问问题题中中，当当出出现现简简并并时时，为为了了把把某某力力学学量量A A的的简简并并态态确确定定下下来来，往往往往可可以以用用A A以以外外的的其其他他力力学学量量的的本本征征值值来来对对简简并并态态进进行行分分类类，此此时时正正 交交 性性问问 题题 将将自自动动得得到到解解决决。这这就就涉涉及及到到了了两两个个或或多多个个力力学学量量共共同同本本征征态态问问题题。下下面面予予以以介介绍绍。尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数彼此正交，不管它们是否简并。第77页/共78页78感谢您的观看！第78页/共78页